ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Đường thẳng chung là duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.. Đường thẳng chung đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.. Ví dụ: Đường thẳng chung d của hai mặt phẳ

Chương 2:

ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Bước đầu tiên làm quen với Hình học không gian, các bạn các bạn phải nhớ kỹcác khái niệm và những tính chất sau sau:

I KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

2 Điểm thuộc mặt phẳng:

Cho điểm A và mặt phẳng

Khi điểm A thuộc mặt phẳng , ta nói

A nằm trên hay mặt phẳng chứa A,

hay mặt phẳng đi qua điểm A và kí hiệu

, được biểu diễn ở hình 2

Khi điểm A không thuộc mặt phẳng

ta nói điểm A nằm ngoài mặt phẳng hay

mặt phẳng không chứa điểm A và kí

hiệu là , được biểu diễn ở hình 3

II CÁC TÍNH CHẤT ĐƯỢC THỪA NHẬN

Tính chất 1: Có một và chỉ một đường

thẳng đi qua hai điểm phân biệt

Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng

đi qua ba điểm không thẳng hàng

Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai

điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi

điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng

điểm chung khác nữa

Từ tính chất này suy ra: Nếu hai mặt

phẳng phân biệt có một điểm chung thì

chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua

điểm chung ấy Đường thẳng chung là duy

nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt

phẳng đó Đường thẳng chung đó được gọi

là giao tuyến của hai mặt phẳng

Ví dụ: Đường thẳng chung d của hai mặt

phẳng phân biệt và được gọi là

GIAO TUYẾN của hai mặt phẳng và

 Mặt phẳng được hoàn toàn xác định

khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng

hàng

   

 

  d    �

 Mặt phẳng được hoàn toàn xác định

khi biết nó đi qua một điểm và chứa một

đường thẳng không đi qua điểm đó

 Cho đường thẳng d và điểm A không

thuộc d Khi đó điểm A và đường thẳng d

xác định một mặt phẳng, kí hiệu là mp (A , d),

hoặc mp (d, A ) hay (d, A)

Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau:Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b

Khi đó hai đường thẳng a và b xác định một

mặt phẳng và kí hiệu là mp(a, b) hay (a , b) ,

hoặc mp (b , a) hay (b, a)

HÌNH CHÓP VÀ TỨ DIỆN

1 Khái niệm:

Trong mặt phẳng cho đa giác lồi Lấy một điểm S khôngthuộc mặt phẳng Lần lượt nối điểm S với các đỉnh ta được

Ta gọi S là đỉnh của hình chóp, còn đa giác là mặt đáy của hình

chóp, các tam giác …, được gọi là các mặt bên của hình

chóp, các đoạn thẳng được gọi là các cạnh bên của hình

chóp

Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, , lần lượt là hình chóp

tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác ,

Cho bốn điểm A , B , C , D không đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC,

ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn gọi là tứ diện) và được kí hiệu là ABCD Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh của tứ diện Các đoạn thẳng

AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện của tứ diện Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi

là các mặt của tứ diện Đỉnh không nằm trên mặt gọi là đỉnh đối diện của mặt đó

Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều

BÀI TẬP GIẢI CHI TIẾT

Có bốn dạng toán chính là:

� Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

� Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

� Tìm thiết diện của hình chóp

� Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui

Ta lần lượt xét từng dạng một như sau:

DẠNG 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

là điểm chung thứ hai.

Các bạn phải nhớ kỹ: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, cónghĩa là giao tuyến là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia.Dạng toán tìm giao tuyến, thường giao tuyến của những câu hỏi đầu hay được

sử dụng để tìm giao điểm để làm bài tập ở những câu sau Ta xét cụ thể những bàitoán sau:

Câu 1: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau Lấy

một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD) Xác định giao tuyến của :

a) Mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD)

b) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD)

c) Mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SBC)

LỜI GIẢI

a) Nhìn hình ta dễ dàng thấy S là điểm chung

thứ nhất , nối AC và BD lại chúng cắt nhau tại

O, thì O là điểm chung thứ hai, AC và BD cắt

nhau là vì chúng cùng thuộc mặt phẳng đáy

(ABCD) Cách trình bày giao tuyến của (SAC)

Câu 2: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC.

a) Tìm giao tuyến của 2 mp (IBC) và mp (JAD)

b) Lấy điểm M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC sao cho M, N không là trungđiểm Tìm giao tuyến của mp (IBC) và mp (DMN)

b) Tìm giao tuyến của mp (IBC) và mp (DMN).

Trong mp(ABD) gọi

Từ (1) và (1) :   IBC �DMNEF

Câu 3: Cho tứ diện ABCD Lấy các điểm M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC sao

cho MN cắt BC Gọi I là điểm bên trong tam giác BCD Tìm giao tuyến của :a) Mặt phẳng (MNI) và mặt phẳng (BCD)

Từ (5) và (6) suy ra MNI �ACD NF

Câu 4: Cho tứ diệnS.ABC Lấy điểm E;F lần lượt trên đoạn SA ,SB và điểm Gtrọng tâm giác ABC Tìm giao tuyến của:

Trong mp(ABC) gọi L CG AB � mp(SCL) mp(SGC).

Trong mp(SAB) gọi

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có AB song song

CD Gọi I là giao điểm của AD và BC Lấy M thuộc cạnh SC Tìm giao tuyếncủa :

a) Theo đề điểm P thuộc mp(ABCD) suy ra P là điểm chung thứ nhất của (MNP)

và (ABCD) Ta phải đi tìm điểm chung thứ 2 như sau:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB

và AD Suy ra MN thuộc mp(SIJ), nên MN

và IJ cắt nhau tại điểm K Mà IJ lại thuộc

mp(ABCD) Do đó K là điểm chung thứ 2.

b) Điểm chung thứ nhất là giao điểm E

của KP và AC (do KP là giao tuyến của

(MNP) và (ABCD) nên KP thuộc (ABCD)

và KP cũng thuộc (MNP)).

Điểm chung thứ 2 hơi khó tìm (đòi hỏi

các bạn phải hình dung hình tốt) Điểm

này không có sẵn, ta phải tìm một mặt

phẳng chứa một đường thẳng thuộc

(MNP) Sau đó tìm giao tuyến a của

(SAC) với mp vừa chọn Giao tuyến a cắt

đường thẳng vừa chọn đó là điểm chung

thứ 2 Cụ thể như sau:

� Chọn mp(SIJ) chứa MN Giao tuyến của (SAC) và (SIJ) là SF với F là giao điểm của AC và IJ SF cắt MN tại O, thì O là điểm chung thứ 2.

c) Tìm điểm chung nhờ vào hai giao tuyến vừa tìm ở câu a và b.

� Do KP là giao tuyến của (MNP) và (ABCD) nên KP cắt CD tại điểm R (Vì

KP và CD cùng thuộc mp(ABCD).

Do OE là giao tuyến của (MNP) và (SAC), nên OE và SA cùng thuộc mp(SAC),

do đó chúng giao nhau tại điểm H Như vậy 2 điểm H và N cùng thuộc mp(SAD),

nên đường thẳng HN cắt đường thẳng SD tại điểm Q Ngoài ra HN lại thuộc mp(MNP), nên Q là điểm chung thứ 2:

Cụ thể trình bày như sau:

a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và AD

Trong mp(SIJ) gọi

b) Trong mp(ABCD) gọiF IJ AC � �SF (SAC) (SIJ) �

Trong mp(SIJ) gọi

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N, P lần

lượt là trung điểm các cạnh BC, CD, SA Tìm giao tuyến của :

a) Mp (MNP) và mp (SAB) b) Mp (MNP) và mp (SAD)

c) Mp (MNP) và mp (SBC) d) Mp (MNP) và mp (SCD)

LỜI GIẢI

Gọi F MN AB, E MN AD vì MN ,AB,AD �  �  �ABCD 

a) Mp (MNP) và mp (SAB).

Câu 10: Cho tứ diện S.ABC Lấy M SB,N AC,I SC� � � sao cho MI không songsong với BC, NI không song song với SA Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNI)với các mặt (ABC) và (SAB).

Từ (1) và (2) suy ra MNI �ABC NK

b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNI) với (SAB)

Gọi J NI SA NI,SA �  �SAC 

Từ (3) và (4) suy ra MNI �SABMJ

Câu 11: Cho tứ diện ABCD , M là một điểm bên trong tam giác ABD , N là một

điểm bên trong tam giác ACD Tìm giao tuyến của các cặp mp sau :

a) (AMN) và (BCD) b) (DMN) và (ABC )

LỜI GIẢI

a) Tìm giao tuyến của (AMN) và (BCD)

Trong (ABD ) gọi E = AM  BD

b Tìm giao tuyến của (DMN) và (ABC)

Trong (ABD ) gọi P = DM  AB

Câu 12: Cho hình chóp S.ABC; gọi H;K lần lượt là trọng tâm SAB; SBC M

là trung điểm AC; I SM� sao choSI SM Tìm giao tuyến của:

Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành Gọi G,G'

lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và SBC Tìm giao tuyến của các cặpmặt phẳng:

và BFC

c) SH và CI có cắt nhau không? Giải thích Nếu có, gọi giao điểm đó là O,chứng minh IH SCP

c) Theo câu a và b có SH�(SCD) và CI�(SCD)� SH và CI cắt nhau tại O

Có H và I lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và SAB

hai cách làm như sau:

Cách 1: Những bài đơn giản, có sẵn

một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và

một đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P)

Giao điểm của hai đường thẳng không

song song d và a chính là giao điểm của d

và mặt phẳng (P)

Cách 2: Tìm một mặt phẳng (Q) chứa

đường thẳng d, sao cho dễ dàng tìm giao

tuyến với mặt phẳng (P) Giao điểm của

đường thẳng d và mặt phẳng (P) chính là

giao điểm của đường thẳng d và giao

tuyến a vừa tìm

BÀI TẬP

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB Gọi I,J

là trung điểmSA;SB Lấy điểm M tùy ý trên SD Tìm giao điểm của:

a) Chọn mp(SAD) chứa IM Tìm giao

tuyến của (SAD) và (SBC)

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB Gọi I, J, K là

ba điểm trên SA ,AB,BC

a) Tìm giao điểm củaIK vớiSBD 

b) Tìm các giao điểm củamp IJK 

Từ (5) và (6) suy ra (IJK) (SAC) IP� 

Trong mp(SAC) gọi

d) SA vàCMN

LỜI GIẢI

a) Gọi E trung điểm của CD

Trong mp(SBE) gọi

Từ (1) và (2) suy ra (SAC) (SBE) SG� 

Trong mp(SBE) gọi

Từ (3) và (4) suy ra (AMN) (SAC) AH� 

Trong mp(SAC) gọi

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O Gọi E là

trung điểm của SC

a) Tìm giao tuyến của BED

và SAC

.b) Tìm giao tuyến của ABE

và SBD

.c) Tìm giao điểm của SD và AEB

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA,

SD, P là điểm thuộc cạnh SB sao cho: SP 3PB

a) Tìm giao điểm Q của SC và MNP

b) Tìm giao tuyến của MNP

b) Tìm giao điểm E của SA với mpBCM

Chứng minh E là trung điểm của SA

LỜI GIẢI

a) Có S (SAC) (SBD)� � (1)

Trong mp(ABCD) gọi

Trong SBD có I là giao điểm của hai đường trung tuyến SO và BM suy ra I là

trọng tâm của SBD Do đó BI 2IM

cũng là trọng tâm của SAC.Do đó CI là đường trung

tuyến của SAC nên E trung điểm của SA.

Câu 7: Cho tứ diện ABCD Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho

M, N không song song với CD Gọi O là một điểm thuộc miền trong tam giácBCD

a) Tìm giao tuyến của BCD

và OMN

.b) Tìm giao điểm của BD và OMN

.c) Tìm giao điểm của BC và OMN

.d) Tìm giao điểm của MN và ABO

.e) Tìm giao điểm của AO và BMN

Từ (3) và (4) suy ra (ABO) (ACD) AK� 

Trong mp(ACD) gọi

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD, gọi M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác

SAB và SCD Xác định giao điểm của:

Từ (1) và (2) suy ra (SAD) (SEF) SI� 

Trong mp(SEF) gọi

c) Chọn mp(SAD) chứa SD Tìm giao tuyến (SAD) và (BMN)

Trong mp(SAB) gọi

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn AD Gọi E

và F là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh SB và CD

a) Tìm giao điểm của EF với mặt phẳng SAC

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng AEF

với các đường thẳng BC và SC

LỜI GIẢI

a) Chọn mp(SBF) chứa EF Có

Câu 10: Cho tứ diện SABC Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA, BC Lấy

điểm M trên đoạn IJ, lấy N trên cạnh SC

d) Chọn mp(SAJ) chứa AM.

Có SJ (SAJ) (SBC) � Trong mp(SAJ) gọi P AM SJ � , có

Câu 11: Cho tứ diện OABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của OA ,OB và

AB Trên cạnh OC lấy điểm Q sao cho OQ QCf

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M là

trung điểm của SB và G là trọng tâm của tam giác SAD

a) Tìm giao điểm E của SA với mặt phẳng OMG

b) Tìm giao điểm F của AD với mặt phẳng OMG

c) Tìm giao điểm K của GM với ABCD

LỜI GIẢI

a) Gọi R trung điểm của AD

Trong mp(ABCD) gọi

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M,

N là 2 điểm lần lượt nằm trong tam giác SAB và SAD

a) Tìm giao điểm E của MN với mặt phẳng ABCD

b) Tìm giao điểm F của AB với mặt phẳng OMN

c) Tìm giao điểm H của SA với mặt phẳng OMN

d) Tìm giao điểm K của CD với mặt phẳng OMN

LỜI GIẢI

a) Trong mp(SAB) gọi P SM AB � .

Trong mp(SAD) gọi Q SN AD �

a) Gọi E trung điểm của BC

Trong mp(SAE) gọi

EK là đường trung bình, nên E trung điểm của AI.Trong mp(ABC) tứ giác ABIC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗiđường �ABIC là hình bình hành.

b) Có P và I là hai điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (ABC) Do đó

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB và

AB 2CD Gọi I, J, K lần lượt là ba điểm trên các cạnh SA ,AB,BC

a) Tìm giao điểm của IK và mpSBD

.b) Tìm giao điểm F của SD và mp IJK

Tính tỉ số

FS

FD.c) Tìm giao điểm G của SC và mp IJK

Tính tỉ số

GS

GC

LỜI GIẢI

a) Chọn mp(SAK) chứa IK Có

uur uuur uuur

) Do đó C là trung điểm của DQ, vàBJCQ là hình bình hành

Trong DPQ có CJ là đường trung bình Do đó A là trung điểm của DP.

Từ (3) và (4) suy ra (SAD) (IJK) IP� 

Trong mp(SAD) gọi

Câu 16: Cho tứ diện S.ABCD Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC.

Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK 2KD

a) Tìm giao điểm E của CD với mp IJK

CMR: DE DC .

b) Tìm giao điểm F của AD với mp IJK

CMR: FA 2FD c) Chứng minh: FK IJP

d) Gọi M và N là hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD Tìm giaođiểm của MN với mp IJK

là đường trung bình của tam giác này Suy

ra D trung điểm của CE Vậy DE DC .

Từ (1) và (2) suy ra (IJK) (ACD) EI� 

Trong mp(ACD) gọi

Có F là giao điểm của hai đường trung tuyến AD và EI của tam giác ACE, suy

ra F là trọng tâm của tam giác này Nên FA 2FD

c) Tương tự câu b) có K là trọng tâm của BCE Theo tính chất trọng tâm có

FK IJ

.d) Chọn mp(ABN) chứa MN

Từ (3) và (4) suy ra (ABN) (IJK) PQ� 

Trong mp(ABN) gọi

Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB Gọi I, J

là trung điểm của SA, SB Lấy điểm M tùy ý trên cạnh SD

1) Tìm giao tuyến của SAD

và SBC ; SAC  

và SBD

.2) Tìm giao điểm của IM và SBC ;JM

Trong mp(SAC) gọi H AI SC � , có

Câu 18: Cho tứ diện SABC Lấy điểm M trên cạnh SA Lấy N, P lần lượt nằm

trong các tam giác SBC và ABC

1) Tìm giao điểm của MN với ABC

2) Tìm giao điểm của MNP

với AB; SB; AC; SC 3) Tìm giao điểm của NP với SAB , SAC  

Từ (3) và (4) suy ra (SAC) (AMN) AI� 

Trong mp(SAC) gọi H AI SC � , có

Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O Gọi M là

trung điểm của SB, N là điểm thuộc đoạn SD sao cho SN 2ND .

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SBD

và SAC

b) Tìm giao điểm E của đường thẳng MN và mặt phẳng ABCD

Tính

EN

EM c) Tìm giao điểm K của đường thẳng SC và mặt phẳng AMN

Gọi J giao điểmcủa AK và SO, tính

JK

JA

LỜI GIẢI

c) Trong mp(SBD) gọi J SO MN � ,

cần tìm, chính là giao điểm của AJ và SC

Dựa vào hình 2, có MO đường trung của BDS, do đó có JOM ~ JSN g.g  

Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi và không có

cặp cạnh đối nào song song Lấy điểm M trên cạnh SC và điểm N trên cạnh SD.a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAD

và NBC

b) Tìm giao điểm của đường thẳng AM và mặt phẳng SBD

b) Bước 1: Chọn mp(SAC) chứa AM

Bước 2: Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD)

Trong mp(ABCD) gọi I AC BD � Vì

DẠNG 3: Tìm thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P).

Thiết diện là phần chung của mặt phẳng (P) và hình (H)

Xác định thiết diện là xác định giao tuyến của mp (P) với các mặt của hình (H).

Thường ta tìm giao tuyến đầu tiên của mặt phẳng (P) với một mặt phẳng nào

đó thuộc hình (H), giao tuyến này dễ tìm được Sau đó kéo dài giao tuyến này cắtcác cạnh khác của hình (H), từ đó ta tìm được các giao tuyến tiếp theo Đa giác giớihạn bởi các đoạn giao tuyến này khép kín thành một thiết diện cần tìm

Thông qua cụ thể những bài tập sau thì các bạn sẽ hiểu rõ hơn.

Câu 1: Cho tứ diện SABC Gọi K ,Ntrung điểm SA và BC M là điểm thuộcđoạn SC sao cho 3SM 2MC .

a) Tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng KMN

.b) Mặt phẳng KMN

gọi I AB EN � Từ đó suy ra thiết

diện cần tìm là tứ giác MNIK

 