BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAONGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

CHƯƠNG 3.BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.. CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM Đầu tiên xin nhắc lại các khái niệm và định lí căn bản để quý bạn đọc có kiến thức nền tảng trướckhi đi vào

CHƯƠNG 3.

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

CHỦ ĐỀ 1.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM

Đầu tiên xin nhắc lại các khái niệm và định lí căn bản để quý bạn đọc có kiến thức nền tảng trướckhi đi vào các bài toán cụ thể

G x F x C cũng là một nguyên hàm của hàm số f x trên K. 

Định lí 2 Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số   f x trên K thì mọi nguyên hàm của   f x 

trên K đều có dạng G x  F x  C với C là hằng số.

Định lí 3 Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 

11

tancos u du  u C

�

2

1

cotsin x dx  x C

1

cotsin u du  u C



 là: ln sinxcosx C .CHọn A

Bài 3: Tìm một nguyên hàm của:

2

2 2

tan2

1 4

tan 12

x x

sin x

C tanx 2 D cotx 2Giải:

 

2 2

2 2

Bài 4: F x   x ln 2sinxcosx là nguyên hàm của:

Ta chỉ cần đạo hàm của F(x), rồi sau đó quan sát kết quả đúng

Ta có: '  1 2sin cos ' 1 2sin cos 3sin cos

2sin cos 2sin cos 2sin cos

3 2

3 2

Ta phải khai triển  2

sin 2xcos 2x để xem thử

dựa trên công thức hạ bậc:

2 1 cos 2cos

Bài 11: Cho f x   1 x Một nguyên hàm F x của   f x thỏa   F 1 1 là:

A x2  x 1 B

2

2 2

1 khi 0

2 2

khi 02

2

khi 02

khi 02

khi 0 khi 02

khi 02

khi 02

1 khi 0

2 2

khi 02

F � �� �

� � Giá trị nhỏnhất của ( )F x là:

11

11

Bài 13: Khi tính nguyên hàm    3

người ta đặt t g x  (một hàm biểu diễn theo

biến x) thì nguyên hàm trở thành �2dt Biết g 4  35



C

.2



D

2 3 6

.2

3 4

1

3 4

+ Liên tục trên đoạn  a b ;

+ F x là nguyên hàm của   f x trên đoạn    a b ;

Lúc đó hiệu số F b  F a  được gọi là tích phân từ a đến b và kí hiệu b      

Bài 1: Nếu a là một số thỏa mãn các điều kiện sau:

2

22cos sin 2sin cos 1

Vì k �� nên (1) không thỏa mãn với mọi

Bài 2: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện 1

1cos2



D

16.15

Giải:

Chú ý: tích phân không phụ thuộc vào biến số

I  a

D I   1 a.Giải:

Chọn C.

Bài 7: Đặt

2 0

sinn n

2

x x� nên suy ra với mọi n ta có I n �J n  2n1 1

 Vậy: (1) và (3) cùng đúng

Chọn D

Bài 9: Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất, thỏa mãn

1 0

02

02

(1) Ta có bất đẳng thức

A Đúng hoàn toàn B Sai từ (1).

Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là x1;x 2

Xét x23x2 và vẽ Bảng xét dấu để xem trên đoạn nào thì f x  x2 và g x  3x2hàm có Giá trị lớn hơn

,2

dx I

Tính tích phân theo tham số m bằng cách đặt t  2x m , sau đó tìm m từ Bắt phương trình 1I � Chọn A.

Bài 16: Cho m là một số dương và  

( )( )

(Trong đó f x f x liên tục trên đoạn [a;b]), 1( ), ( )2

thì diện tích S được tính theo công thức 1 2

( ) ( )

b a

(Trong đó f x liên tục trên đoạn [a;b]), quay quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay. 

Thể tích V của khối tròn xoay được tính theo công thức x  2

( )

b x a

V �f x dx

Quay quanh trục Oy: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

 

x f y Oy

Thể tích V của khối tròn xoay được tính theo công thức y  2

(y)

b y a

V �f dx

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1:

(1) Cho y f x( ) là một hàm liên lục trên đoạn [a;b] thì diện tích S H của hình thang cong 

H giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và các đường thẳng x a y b ,  được cho bởi công thức

bởi đồ thị hàm số y f x( ), trục hoành và các đường x a y b ,  được tính theo công thức

a

S K  �f x dx

.Trong hai khẳng định trên:

Ta thấy f x  0 trên [0; 1] và f x  0 trên [1; 2] Đồ thị f x gồm hai phần: phần nằm 

dưới trục hoành  L và phần nằm trên trục hoành 1  L , do đó 2 S L  S L 1 S L 2 Ta có:

   

1

3 1

0 2 3 2

1

31

4111

Bài 3: Diện tích miền giới hạn bởi hai đường yx2 và 1 y là:3

Bài 4: Gọi H là hình tạo bởi đồ thị hàm số y  , đường thẳng 4 x2 x , trục tung và trục hoành.3Khi đó, diện tích của H là:

Bài 5: Gọi N là hình phẳng xác định bởi đồ thị hàm số ysin2x với 0 x � � và trục Ox Diện tíchhình N là:

Bài 6:

1) cho y1 f x1( ) và y2  f x2( ) là hai hàm số liên tục trên đoạn [a;b] Giả sử:  và  , với

a�  � , là các nghiệm của phương trình b f x1( ) f x2( ) 0 Khi đó diện tích của hình phẳnggiới hạn bởi 2 đường thẳng và đồ thi của hàm số được cho bởi công thức

1( ) 2( ) 1( ) 2( ) 1( ) 2( )

b a

A (1) đúng nhưng (2) sai B (2) đúng nhưng (1) sai

C Cả (1) và (2) đều đúng D Cả (1) và (2) đều sai

Giải:

Chú ý rằng với mọi x� ; , ( )f x1  f x2( ) 0� và f x và 1( ) f x đều liên tục trên khoảng2( )

 ;  , nên f x1( ) f x2( ) giữ nguyên dấu.

2;2

A y

22

a

a

Giải:

Chọn A.

Bài 10: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y e y e x,  x,x là:1

12

e e

 

11

e e

 

.Giải:

Ta có: x là hoành độ giao điểm của hai đường cong Diện tích cần tìm là:0

0 0

12

Bài 11: Ở hình bên dưới, ta có parabol y  x2 4x và các tiếp tuyến của nó tại các điểm3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M10; 3  là: y 3 4x0 � y4x3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M2 3;0 là: y 2x   3 2x 6

Gia điểm của hai tiếp tuyến trên có hoành độ thỏa mãn phương trình:

       

3

3 2

3 0

2 3

3 2

3 0

Bài 13: Gọi M là hình phẳng giới hạn bởi các đường yx2 1, x y  Diện tích hình N là3

Bài 15: Xét hai phát biểu:

(1) Cho hai hàm y f x  và y g x   có đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B Giả sử a, b

tương ứng là hoành độ các giao điểm A, B (với a<b) Khi đó diện tích hình phẳng nằm giwuax hai đồ

thị ấy bằng    ( ) ( )

b a

S M �f x g x dx

.(2) Giả sử S x là diện tích thiết diện của vaath thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục 

Ox tại điểm có hoành độ x Khi đó, thể tích V B của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng 

vuông góc với Ox tại các điểm a và b là   b  

a

V B �S x dx

.Trong hai phát biểu trên

A Chỉ có (1) đúng B Chỉ có (2) đúng

C Cả hai phát biểu đều đúng D Cả hai phát biểu đều sai

Giải:

Cả hai đều sai vì giả thiết

Bài (1), phải giả thiết thêm: f x  g x  với mọi x� a b; .

Bài (2), phải giả thiết thêm: S x là một hàm liên tục trên đoạn [a;b]. 

Trước hết ta tìm hoành độ các giao điểm bằng cách giải phương trình 2 x 2   Suyx

ra x  và 1 x , trên đoạn [-1;2] đồ thị hàm số 2 f x   2 x2 nằm trên đồ thị hàm số

1

4

5 Giải:

4

32

3 Giải: Tương tự bài 16 Chọn D

Bài 21: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y và đường thẳng x2 y2x là:

5

3 Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

42

ln x dx x

�

C 1 

01

x dx

�

01

Bài 23: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x 2; x ; y 0; y cosx

Ta đượckết quả:

Bài 24: Gọi H là hình phẳng nằm giữa hai đồ thị các hàm số f x   x3 3x và g x  x Khi đó H

Bài 25: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol y x22x và 2 y    là: x2 x 3

 

5

2

3 2 1

4

x x

1 4

2 0

b x

2 2

Bài 33: Gọi K là hình phẳng giới hạn bởi đường cong yx3 và tiếp tuyến với đường cong này3x

tại điểm có hoành độ

12

9

27

64 Giải:

Tiếp tuyến của đường cong tại điểm

12

Bài 34: Tính diện tích của hình gới hạn bởi đường cong có phương trình x và đường thẳngy2

2

y x  Kết quả là:

Giải:

B ab .

C a b2 2

D

2 22

Bài 38: Gọi G là hình phẳng giới hạn bởi đường cong

21

2

y x  x

và các tiếp tuyến với đường

cong xuất phát từ điểm

5

; 13

9

27.64Giải:

Phương trình đường thẳng đi qua điểm

5

; 12

M ��  ��

� � là:

512

y kx  k

Đường thẳng này tiếpxúc với parabol khi và chỉ khi k   hoặc 1 k  2

Với k   Tiếp điểm có hoành độ 1 x0  ; với 21 k  , tiếp điểm có hoành độ x1 4

Phương trình tiếp tuyến tại 0

11;

2

M � �� �

� � là

32

y  x

.Phương trình tiếp tuyến tại M1 4;2 là: y2x 6

Vậy diện tích hình phẳng là:

5

4 2

5 1

15

C

10

21

D

3

4

Bài 41: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình y  4x2 và



C

33

Ta có:

0 3

14

C

9

14

D 2 Giải:

1

3 0

231

14

V �x dx 

(sử dụng MTCT)Chọn B

Bài 43: Gọi M là hình phẳng giới hạn bởi các đường

5 

C 12  D

25

3 

D

1

0

231



228



238



.Giải:

 2 2 20

3sin