BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN

Bài 34: Tính diện tích của hình gới hạn bởi đường cong có phương trình xy2 và đường thẳngA B E C... Thể tích khối tròn xoay do H sinh ra khi quay quanh trục Oxlà: 9.. Cho H quay quanh t

CHƯƠNG 3.

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.

CHỦ ĐỀ 1.

CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM

Đầu tiên xin nhắc lại các khái niệm và định lí căn bản để quý bạn đọc có kiến thức nền tảng trướckhi đi vào các bài toán cụ thể

G x F x C cũng là một nguyên hàm của hàm số f x trên K. 

Định lí 2 Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số   f x trên K thì mọi nguyên hàm của   f x 

trên K đều có dạng G x  F x C với C là hằng số

Định lí 3 Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 

11

tancos u du u C



2

1

cotsin x dx x C

1

cotsin u du  u C



Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu một số bài toán Nguyên Hàm ở mức độ vận dụng sau đây:

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Biết  2 2 5 cos 27

cos x sin x sin 4xdx x C



 là: ln sinx cosx C CHọn A

Bài 3: Tìm một nguyên hàm của:

2

2 2

tan2

1 4

2

x x

sin x C tanx  2 D cotx  2

Giải:

 

2 2

2 2

Bài 4: F x   x ln 2sinx cosx là nguyên hàm của:

Ta chỉ cần đạo hàm của F(x), rồi sau đó quan sát kết quả đúng

Ta có: '  1 2sin cos ' 1 2sin cos 3sin cos

3 2

Điều sau đây mới đúng:      

4 2

sin 2 cos 2 2 1 sin 4  1 4

dựa trên công thức hạ bậc:

2 1 cos 2cos

Bài 11: Cho f x   1 x Một nguyên hàm F x của   f x thỏa   F 1  là:1

2

2 2

1 khi 0

2 2

khi 02

2

khi 02

khi 02

khi 0 khi 02

khi 02

khi 02

1 khi 0

2 2

khi 02

Bài 12: Biết ( )F x là nguyên hàm của  

2

2 2

F  

  Giá trị nhỏnhất của ( )F x là:

11

11



C

.2



D

2 3 6

.2

Chú ý: Bài toán này hoàn toàn có thể dùng MTCT để chọn kết quả, Ta có:

0

3 4

1

3 4

+ Liên tục trên đoạn a b ; 

+ F x là nguyên hàm của   f x trên đoạn   a b ; 

Lúc đó hiệu số F b  F a  được gọi là tích phân từ a đến b và kí hiệu

b a

Một lần nữa xin nhắc lại rằng đây là cuốn sách đề cập đến các bài toán vận dụng và vận dụng caonên trước khi sử dụng sách này quý bạn đọc cần có kiến thwucs cơ bản tốt Bây giờ chúng ta cùngnghiên cứu các bài toán tích phân khá khó:

Bài 1: Nếu a là một số thỏa mãn các điều kiện sau:

2

22cos sin 2sin cos 1

Vì k   nên (1) không thỏa mãn với mọi

Bài 2: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện 1

1cos2



D

16.15

Giải:

Chú ý: tích phân không phụ thuộc vào biến số

I   a

D I  1 a.Giải:

Chọn C.

Bài 7: Đặt

2 0

sinn n

x k 



,    x *Suy ra số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa mãn ycbt là k=1

A Đúng hoàn toàn B Sai từ (1).

Do đó f x liên tục trên [a;b] nên tồn tại   x0a b;  sao cho:

Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là x1;x 2

Xét x2 3x 2 và vẽ Bảng xét dấu để xem trên đoạn nào thì f x  x2 và g x  3x 2hàm có Giá trị lớn hơn

(sử dụng MTCT để tính

2cos x dx

dx I

m 

8m4. D m  0Giải:

Tính tích phân theo tham số m bằng cách đặt t  2x m , sau đó tìm m từ Bắt phương trình I  1

( )( )

(Trong đó f x f x liên tục trên đoạn [a;b]), 1( ), ( )2

thì diện tích S được tính theo công thức 1 2

( ) ( )

b a

(Trong đó f x liên tục trên đoạn [a;b]), quay quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay. 

Thể tích V của khối tròn xoay được tính theo công thức x  

2( )

b x a

Thể tích V của khối tròn xoay được tính theo công thức y  

2(y)

b y a

V f dx

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1:

(1) Cho yf x( ) là một hàm liên lục trên đoạn [a;b] thì diện tích S H của hình thang cong 

H giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và các đường thẳng x a y b ,  được cho bởi công thức

bởi đồ thị hàm số yf x( ), trục hoành và các đường x a y b ,  được tính theo công thức

Ta thấy f x  trên [0; 1] và   0 f x  trên [1; 2] Đồ thị   0 f x gồm hai phần: phần nằm 

dưới trục hoành  L và phần nằm trên trục hoành 1  L , do đó 2 S L  S L 1 S L 2 Ta có:

1

3 1

0 2 3 2

1

31

4111

Bài 3: Diện tích miền giới hạn bởi hai đường yx2 và 1 y  là:3

Diện tích miền cần tính là:

 

2 2

Bài 4: Gọi H là hình tạo bởi đồ thị hàm số y 4 x2, đường thẳng x  , trục tung và trục hoành.3

Khi đó, diện tích của H là:

Bài 5: Gọi N là hình phẳng xác định bởi đồ thị hàm số ysin2x với 0 x   và trục Ox Diện tíchhình N là:

x y

3π

π 2

π 4

Bài 6:

1) cho y1f x1( ) và y2 f x2( ) là hai hàm số liên tục trên đoạn [a;b] Giả sử:  và  , với

a    , là các nghiệm của phương trình b f x1( ) f x2( ) 0 Khi đó diện tích của hình phẳnggiới hạn bởi 2 đường thẳng và đồ thi của hàm số được cho bởi công thức

1( ) 2( ) 1( ) 2( ) 1( ) 2( )

b a

A (1) đúng nhưng (2) sai B (2) đúng nhưng (1) sai

C Cả (1) và (2) đều đúng D Cả (1) và (2) đều sai

Giải:

Chú ý rằng với mọi x ; , ( )f x1  f x2( ) 0 và f x và 1( ) f x đều liên tục trên khoảng2( )

 ; , nên f x1( ) f x2( ) giữ nguyên dấu

2;2

A y

22

a

a

Giải:

e e

 

11

e e

 

.Giải:

Ta có: x  là hoành độ giao điểm của hai đường cong Diện tích cần tìm là:0

0 0

12

Bài 11: Ở hình bên dưới, ta có parabol yx24x 3 và các tiếp tuyến của nó tại các điểm

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M10; 3  là: y 3 4x 0  y4x 3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M23;0 là: y2x 3 2x6

Gia điểm của hai tiếp tuyến trên có hoành độ thỏa mãn phương trình:

3

2

x  x  x

3 0

2 3

3 2

3 0

Bài 13: Gọi M là hình phẳng giới hạn bởi các đường yx21, x y  Diện tích hình N là3

Bài 14: : Gọi M là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số ysinx trên đoạn 0;2 và trụchoành Diện tích hình M là

Bài 15: Xét hai phát biểu:

(1) Cho hai hàm yf x  và y g x   có đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B Giả sử a, btương ứng là hoành độ các giao điểm A, B (với a<b) Khi đó diện tích hình phẳng nằm giwuax hai

đồ thị ấy bằng

b a

S M f x  g x dx

.(2) Giả sử S x là diện tích thiết diện của vaath thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục 

Ox tại điểm có hoành độ x Khi đó, thể tích V B của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng 

vuông góc với Ox tại các điểm a và b là

b a

V B S x dx

.Trong hai phát biểu trên

A Chỉ có (1) đúng B Chỉ có (2) đúng

C Cả hai phát biểu đều đúng D Cả hai phát biểu đều sai

Giải:

Cả hai đều sai vì giả thiết

Bài (1), phải giả thiết thêm: f x   g x  với mọi xa b; 

Bài (2), phải giả thiết thêm: S x là một hàm liên tục trên đoạn [a;b]. 

Trước hết ta tìm hoành độ các giao điểm bằng cách giải phương trình 2 x 2  Suyx

ra x  và 1 x  , trên đoạn [-1;2] đồ thị hàm số 2 f x   2 x2 nằm trên đồ thị hàm số

1

4

5 Giải:

Bài 20: Gọi Q là hình phẳng giới hạn bởi đường y4x x 2 và trục hoành Diện tích hình Q là:

4

32

3 Giải: Tương tự bài 16 Chọn D

Bài 21: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yx2 và đường thẳng y2x là:

12

5

3 Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

42

Bài 23: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x 2; x ; y 0; y cosx





Ta đượckết quả:

Bài 24: Gọi H là hình phẳng nằm giữa hai đồ thị các hàm số f x  x3 3x và g x   Khi đó Hx

Bài 25: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol yx2 2x và 2 yx2 x là: 3

Bài 27: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y  và đường cong 6 y2x3 x2 8x1là:

Bài 29: Một miền được giới hạn bởi parabol y  3 x x2 và đường thẳng y2x Diện tích của1miền đó là:

b x

M

O

2 2

Bài 33: Gọi K là hình phẳng giới hạn bởi đường cong yx3 3x và tiếp tuyến với đường cong này

tại điểm có hoành độ

12

9

27

64 Giải:

Tiếp tuyến của đường cong tại điểm

12

x 

có phương trình:

Bài 34: Tính diện tích của hình gới hạn bởi đường cong có phương trình xy2 và đường thẳng

A B

E

C

a

b O

-b

Bài 37: Hình phẳng gới hạn bởi các đường f f x x a x b y( ),  ,  ,  , quay xung quanh trục Ox tạo0thành một vật thể tròn xoay T Thể tích của T là:

2

y x  x

và các tiếp tuyến với đường

cong xuất phát từ điểm

5

; 13

9

27.64Giải:

Phương trình đường thẳng đi qua điểm

5

; 12

M   

  là:

512

y kx  k

Đường thẳng này tiếpxúc với parabol khi và chỉ khi k  hoặc 1 k  2

Với k  Tiếp điểm có hoành độ 1 x  ; với 0 1 k  , tiếp điểm có hoành độ 2 x  1 4

Phương trình tiếp tuyến tại 0

11;

2

M  

  là

32

y x

.Phương trình tiếp tuyến tại M14;2 là: y2x 6.

Vậy diện tích hình phẳng là:

5

4 2

5 1

Bài 39: Gọi Q là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đường parabol y5x x 2 Cho Q quayquanh trục Ox, ta nhận được hình tròn xoay có thể tích bằng:

10

3

4Giải:

Bài 41: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình y 4 x2 và



C

33

Ta có:

0 3

Bài 42: Gọi H là phần mặt phẳng hữu hạn được giới hạn bởi hai trục tọa độ, đường thẳng x  và1

đường cong có phương trình y 1 x3 Thể tích khối tròn xoay do H sinh ra khi quay quanh trục Oxlà:

9

231

14

V  x dx 

(sử dụng MTCT)Chọn B

Bài 43: Gọi M là hình phẳng giới hạn bởi các đường

Bài 45: Diện tích của hình phẳng giwois hạn bởi đường thẳng y x  và parabol 4 yx2 2x4là:

2

0

93

25

3 

x

y

y = 1 H

4

2

3 2

Bài 47: Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung, đường thẳng x=1 và đường cong

3 1

yx  Cho H quay quanh trục Ox ta nhận được hình tròn xoay có thể tích bằng:

A 5  B 6  C

23

1

2Giải:

 

1

2 3

0

231



228



238



.Giải:

 2 2 2 0

3sin

Bài 49: Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép

quay xung quanh trục Ox của hình giới hạn bởi trục

Ox và đường ysin , 0x   x  Ta được kết quả:



Giải:

Ta có:

2 2

π 2

π

1

O

Bài 50: Cho đường cong có phương trình, trong đó g y là hàm số liên tục trê đoạn   e d Xét hình; 

giới hạn bởi đường cong x g y  , đường cong y e y d ,  và x  Quay hình đó xung quanh0

trục tung x  ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng:0

g y dy

Giải:

Bài 52: Cho hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và các đường x1;y xe 2 Thể tích củavật thể tròn xoay khi cho hình này quay xung quanh trọc Ox là:

V xe dx  e

Chọn A

Bài 53: Gọi K là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đường parabol y3x23x Cho Q6quay xung quanh trục Oy, ta nhận được hình tròn xoay có thể tích bằng:

A 10,5 B 66 C 68,9  D 72,9 

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

Bài 54: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Oy của hình giới hạn bởi

đường hypebol

2

x y

, đường thẳng y1,y và 4 x  Kết quả tình được là:0

Giải:

2 4

Bài 55: cho hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và các đường y 4,y sinx



Thể tíchcủa vật thể tròn xoay khi cho hình này quay xung quanh trục Ox là:

Bài 56: Cho hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và các đường y cos ,x x 4



Thể tíchcủa vaath thể tròn xoay khi cho hình này quay xung quanh trục Ox là:

và x  quay xung quanh trục Oy thì thể0

tích V của vật thể tròn xoay sinh ra được

2

b a

V x dy

.Chọn D.

Bài 58: Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình elip

7

Giải:

Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y x y,  2 x là x  Ta có:0 1

D B C  , trong đó B là miền kín giới hạn bởi các đường y x x, 1,y và C là miền0kín giới hạn bởi các đường y 2 x x, 1,y 0

Diện tích miền B

1

0

2(dvdt)3

xdx

Diện tích miền C

1(dvdt)2



.Vậy diện tích miền D là

7

6 (đvdt)

Chọn C

Bài 59: b)

Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường y x y,  2 x và y  Thể tích vaath thể tạo thành0.

khi ta quay D quanh trục Oy là:



C

53



9.4



Giải:

Đặt M0;1 , N 1;1 ,P2;0 , Gọi V là thể tích của vật thể sinh ra khi quay hình thang1

OMNP quanh trục Oy (xem hình ở đề bài), V là thể tích của vật thể sinh ra khi quay phần2mặt phẳng giới hạn bởi các đường y x x; 0;y0;y và V là thể tích cần tìm, Ta có:1

1 2

V V V 

1

73

V  

(đvtt)

1 2 2

Chọn B

Bài 61: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường

S 

Giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng Ta có:

2 0

Bài 62: thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi các hình phẳng giới hạn bởi các đường1

V  x e  dxe



Chọn D

Bài 63: Gọi M là hình phẳng tạo bởi trục hoành và các đường yln ,x x1,x2,y0 Khi chohình M quay xung quanh trục Ox Ta được khối tròn xoay có thể tích là:

V  x dxe

Chọn A

Bài 64: Gọi M là hình được sinh ra bởi phép

quay xung quanh Oy của hình giới hạn bởi

các đường

22

x

y 

, y  ; 2 y  và 4; x  0Thể tích của hình M là:

V  ydy y  

Chọn B

Bài 65:

Gọi M là phần mặt phẳng hữu hạn

được giới hạn bởi hai trục tọa độ,

đường thẳng x  và đường cong1

có phương trình 2

11

y

x



 Thểtích khối tròn xoay sinh ra khi M

D ln 2

Giải:

Phương trình 2

11



Giải:

RI

2 2 04

R I T

2 02

RI T

Giải:

1 2

Bài 68: Đường cong trong hình vẽ bên có phương trình y2 x3 Cho A1;1 và B0;1 Gọi H là

phần gạch chéo

Hình:

x y

Bài 69: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường yx x2; y2 quay quanhtrục Ox là:



313



310

do đó thể tích cần tìm là:

   

2 2

V  x dx x dx

Chọn D

Bài 70: Tính (bằng cm2) diện tích phần giới hạn bởi parabol có phương trình yx2 và đường thẳng1

3 cm C

24

21

3cm Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm x2  1 x1, do đó diện tích cần tính là:1

2

1

413



Chọn C

Bài 71: Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường biểu diễn của các hàm số y1 x2 4

Bài 72: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

Bài 73: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường

Áp dụng CT tính thể tích khi quay hình phẳng quanh trục Ox, Ta có:

2 1

11

a

dx V

Bài 74: Diện tích phần mặt phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng x1;x , trục Ox và đường2

cong  3

11

y



 là:

1 7ln

1 16ln

4 9 Giải:

Bài 76: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường 2





516



 Giải:

Chọn A

Bài 77: Gọi S là diện tích của mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng 1 y mx với m < 2 và parabol (P)

có phương trình y x 2 x Gọi S là diện tích giới hạn bởi (P) và Ox Với trị số nào của m thì2

Ta tính S trước, phương trình hoành độ giao điểm:2

0

42

(Chú ý: muốn đường thẳng cắt parabol tại 2 điểm phân biệt thì trong tinhd huống này parabol

phải có phần chứa đỉnh nằm trên đường thẳng)

k 

D k ln 3

x y

Bài 79: Ở hình bên, ta có đường parabol y2 4x và đường thẳng y x Cho phần gạch chéo quayquanh trục Ox, ta nhận được hình tròn xoay có thể tích bằng:

Bài 80: Ông An có một mảnh vườn hình elip

có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé

bằng 10m Ông muốn trồng hoa trên một dải

đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục

đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng

hoa là 100.000 đồng/m2 Hỏi ông An cần bao

nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (số

tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng

C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng

Giải:

Chọn Hệ trục tọa độ Oxy, gốc tọa độ là tâm của elip

Khi đó elip này có phương trình:

2

5 1641

64 25

5 164

x y

x y

x y

Bài 82: Đường cong được cho bởi phương trình x g y   , với đạo hàm g y  là hàm liên tục, gọi

Bài 83: Đường cong được cho bởi phương trình x g y   , với đạo hàm g y 

g y dx





Tìm độ dài của đường cong y4x3 từ điểm

0;0 đến điểm  2;4 2 Tích phân cần tính để giải bài này là:

Cung cần tính là phần của đường cong nằm trong góc vuông thứ nhất Ta có:

3 2

2

y x nên

1 2

Bài 84: Tính độ dài đường cong

3 2

4 2

13