Giao An đại số tuyen tinh B

giáo án đại số 10 cơ bản 2 cotgiáo án đại số 10 cơ bản chương 6giáo án đại số 10 cơ bản 3 cộtgiáo án đại số 10 cơ bảngiáo án đại số 11 cơ bảngiáo án đại số 10 cơ bản cả nămgiáo trình đại số tuyến tính của ngô việt trunggiáo trình đại số tuyến tính pd

T i b c h c i h c, m t môn h c đ c chia ra làm các phân môn (hay còn

Tuy nhiên, ch ng trình gi ng d y Toán Cao C p t i Moon.vn v n thi t k bài t p t i cu i các bài h c lý thuy t (qua Video theo truy n th ng Moon.vn) và

cu i các ch ng (Ph n luy n t p chuyên đ ) C ng nh m đ làm quen v i cách h c

i h c, m t s video bài t p đ c đ a ra v i m c đích h ng d n các em cách làm bài t p và trình b y b c i h c

Th y thi t k ch ng trình v i l ch phát sóng s m đ các em có c h i ti p

c n s m v i ki n và k n ng làm bài t p t t Hy v ng v i s chu n b s m và t t, các em s thành đ t b i theo kinh nghi m: 95% thành công do vi c chu n b

các b n Sinh viên ti n theo dõi ch ng trình h c, Th y thi t k ch ng trình đào t o đ c đánh mã s chi ti t theo các phân đo n đ n v ki n th c tu n t

đ các em d dàng theo dõi Các em có th vào đ ng link sau đ bi t rõ v toàn b

ch ng trình: http://www.moon.vn/DaiHoc/TCC/

T i b c Ph thông, các em h c m t ch ng trình Toán duy nh t còn đ i v i Toán Cao C p thì s khác bi t r t l n đ c th hi n t ng Tr ng, thâm chí t ng

kh i ngành h c trong Tr ng

 i v i các kh i ngành K thu t, Khoa h c (S ph m, KHTN), Công ngh ,

ch ng trình Toán Cao C p đ c h c là Toán A g m có 4 h c ph n riêng

bi t v i đ ng link chính cho Toán A

 i v i các kh i ngành Nông – Lâm – Y – D c, ch ng trình Toán Cao

C p đ c h c là Toán B g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính cho Toán B (http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1011/7):

o Toán B1: i s tuy n tính

o Toán B2: Gi i tích

 i v i các kh i ngành Kinh t , Th ng m i, Tài chính, Ngân hàng, Lu t

ho c Qu n tr kinh doan ch ng trình Toán Cao C p đ c h c là Toán C

g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính cho Toán C (http://www.moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/1012/7):

o Toán C1: i s tuy n tính

o Toán C2: Gi i tích

T i Moon.vn, ki n th c lý thuy t đã đ c b trí v i các n i dung chi ti t cho

t ng kh i ngành thông qua h th ng video bài gi ng cùng giáo trình đ y đ c ng

nh các tóm t t lý thuy t v n d ng đ nhanh chóng có th gi i bài t p cho c Toán

A, Toán B và Toán C i kèm lý thuy t c b n là m t kho d li u kh ng bài t p

 Toán A1, A2, A3 và A4: h n 3500 bài t p

đ ng link sau: https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/

Các em c ng có th th c tr c ti p v i th y t i trang Facebook cá nhân v i

đ ng link sau: https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan

Chúc các em nhanh chóng thu l m đ c nh ng ki n th c, hoàn thi n k n ng

và v n d ng sáng t o !

M C L C

M C L C 5

Ch ng 1: Ma tr n, đ nh th c và h ph ng trình tuy n tính 8

1.1.Ma tr n 8

1.1.1 nh ngh a: 8

1.1.2.Các khái ni m khác: 8

1.1.3.Các phép toán trên ma tr n .10

1.1.4 Ma tr n đ i x ng và ma tr n ph n x ng .13

1.1.5.H ng c a ma tr n .13

1.1.6.Ma tr n ngh ch đ o .14

1.1.7 a th c ma tr n .17

1.2 nh th c .17

1.2.1 nh th c c p 2 .17

1.2.2 nh th c c p 3 .17

1.2.3 nh th c c p n .18

1.2.4.Các tính ch t c a đ nh th c .19

1.3.H ph ng trình tuy n tính .19

1.3.1.Ph ng pháp Cramer: 19

1.3.2.Ph ng pháp Gauss .21

Ch ng 2 Không gian vecto .22

2.1 Không gian vect , không gian con, không gian con sinh b i m t t p h p 22

2.1.1.Không gian vecto .22

2.1.2 Không gian vecto con .23

2.2.1.T h p tuy n tính .23

2.2.2 c l p tuy n tính .24

2.2.3.Ph thu c tuy n tính .24

2.2.4.Các tính ch t .24

2.2.5 nh lý .24

2.3.C s , s chi u c a m t không gian vecto .25

2.3.1.C s , s chi u c a không gian vecto .25

2.3.2 nh lý .26

2.4.T a đ và ma tr n chuy n c s 26

2.4.1.T a đ c a vecto trong c s 26

2.4.2.Ma tr n chuy n c s 27

2.4.3 nh lý ma tr n chuy n c s 27

2.4.4.Công th c đ i t a đ 27

Ch ng 3: Ánh x tuy n tính .29

3.1.Ánh x tuy n tính .29

3.1.1 nh ngh a .29

3.1.2.Các tính ch t c b n c a ánh x tuy n tính .29

3.2.Nhân và nh c a ánh x tuy n tính .29

3.2.1.Các đ nh ngh a .29

3.2.2.Tìm c s cho Imf và Kerf .30

3.2.3.M i liên h gi a s chi u c a h t nhân và nh .31

3.3.Ma tr n c a ánh x tuy n tính .32

3.4.Toán t tuy n tính .33

3.4.1 nh ngh a: 33

3.4.2.C ng và nhân các toán t tuy n tính .34

Ch ng 4: Giá tr riêng và vecto riêng .35

4.2.Giá tr riêng, vecto riêng .35

4.3.Chéo hóa ma tr n .36

Ch ng 5: D ng song tuy n tính, d ng toàn ph ng, tích vô h ng và không gian Euclid .38

5.1.Ánh x song tuy n tính, d ng song tuy n tính .38

5.2.D ng toàn ph ng .38

5.2.1 nh ngh a .38

5.2.2.Phân lo i d ng toàn ph ng .39

5.2.3.D ng chính t c c a d ng toàn ph ng .39

5.2.4 a d ng toàn ph ng v d ng chính t c .39

5.3.Tích vô h ng và không gian Euclid .42

5.3.1 nh ngh a .42

5.3.2.Tr c giao, tr c chu n .43

5.3.3.Thu t toán tr c giao hóa m t h vecto đ c l p tuy n tính .44

Ch ng 6: B sung v s ph c .45

6.1.D ng đ i s c a s ph c .45

6.2.D ng l ng giác c a s ph c .46

6.3.D ng m c a s ph c .47

6.4.Nâng s ph c lên l y th a .47

6.5 nh lý c b n c a đ i s 47

6.6 M t s ví d .47

7 Ma tr n b c thang:

Ma tr n b c thang là ma tr n b c thang có ph n t khác 0 đ u tiên c a dòng trên

n m v bên trái so v i ph n t khác 0 đ u tiên c a dòng d i

(ii) A  B B A (tính giao hoán)

(iii) A   0 0 A A (iv) A    A  A  A 0

1(iv) cA A

Ng i ta ch ng minh đ c k t qu sau: Cho A là ma tr n kh ngh ch, khi đó

nh ng phép bi n đ i s c p trên dòng nào bi n A thành I n thì chúng c ng bi n I (theo n

A g i là m t nghi m ma tr n c u đa th c p x  n u đa th c ma tr n p A 0

(ma tr n không cùng c p v i A)

det A det A'.

3) T m t dòng (m t c t) ta c ng vào m t dòng khác (c t khác) sau khi nhân m t

s c0 thì đ nh th c không đ i, t c là d i d cd i j

A  A' khi đó det A'=detA.

4) Ta có th đ a thùa s chung c0 ra ngoài đ nh th c, t c là d i cd i

A A'

khi đó det A'cdet A.

5) Cho hai ma tr n vuông A, B khi đó det(AB)det A.det B.

H (3.1) có nghi m khi và ch khi r(A)r(A | B) H n n a:

(i) r(A)r(A | B)n : h có nghi m duy nh t

(ii) r(A)r(A | B)n : h có vô s nghi m

(iii) r(A)r(A | B) : h vô nghi m

Ch ng 2 Không gian vecto

2.1 Không gian vect , không gian con, không gian con sinh b i m t t p h p

2.1.1.Không gian vecto

- nh ngh a: T p h p V  đ c g i là m t không gian vecto trên n u ta

đ nh ngh a hai phép toán c ng (+) và nhân vô h ng (.) trên V th a 10 tiên đ sau:

2.1.2 Không gian vecto con

nh ngh a: Cho V là không gian vecto trên R và  WV W đ c g i là không gian con c a V n u W c ng là không gian vecto trên R v i các phép toán c ng và nhân nh trên V

Kí hi u: WV.

nh lý sau cho ta đi u ki n c n và đ đ t p W là không gian con c a V: Cho V

là không gian vecto trên R và  WV W là không gian con c a V khi và ch khi

2.1.3.T p sinh-không gian vecto sinh b i m t t p h p

Cho V là không gian vecto trên R và u , ,u1 nV. G i S là t p t t c các t

h p tuy n tính c a u , ,u 1 n Khi đó S là m t không gian con c a V, ta nói S là không gian con c a V sinh b i u , ,u 1 n Ký hi u là S u , ,u1 n

Quy c   0 N u S V thì ta nói S sinh ra V hay S là t p sinh c a V

2 2 c l p tuy n tính vƠ ph thu c tuy n tính

2.2.1.T h p tuy n tính

Cho V là không gian vecto trên và các vecto u, u , , u 1 n  V Ta nói u là t

h p tuy n tính c a h vecto u , ,u1 n khi và ch khi t n t i   1 , 2 , ,   sao cho n

Ta c ng nói u bi u th tuy n tính đ c qua h vecto u , ,u1 n

1) M i h ch a vecto 0 đ u ph thu c tuy n tính

2) M i h ch a m t h con ph thu c tuy n tính thì ph thu c tuy n tính

3) T p h p Su , ,u1 n là ph thu c tuy n tính khi   sao cho ui S u i là t h p tuy n tính c a các vecto cfon l i trong S

4) M i h con c a h đ c l p tuy n tính thì đ c l p tuy n tính

5) T p h p Su , ,u1 n là đ c l p tuy n tính n u m i u i không là t h p tuy n tính c a các vecto còn l i trong S

6) T p h p  S V ho c là t p đ c l p tuy n tính ho c ph thu c tuy n tính

2.2.5 nh lý

Khi đó u , ,u1 n là đ c l p tuy n tính khi và ch khi rank A m.

Khi m = n thì u , ,u1 n là đ c l p tuy n tính khi và ch khi rank A  n det A0.

Ví d : Cho các vecto u1   2,1, 1,1 , u  2   1, 1, 1,2 , u 3   1,0, 2,1   Khi đó ta

2.3 C s , s chi u c a m t không gian vecto

2.3.1.C s , s chi u c a không gian vecto

Cho V là không gian vecto V T p   B V đ c g i là c s c a V n u B đ c

l p tuy n tính và sinh ra V

Khi đó s vecto c a B đ c g i là s chi u c a V Kí hi u là dimV

Ví d : Trong không gian vecto 3

, h vecto B 1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1      đ c

l p tuy n tính đ ng th i B sinh ra V nên B 1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1     là c s c a 3

2.4.T a đ vƠ ma tr n chuy n c s

2.4.1.T a đ c a vecto trong c s

N u Bu ,u , ,u1 2 n là c s đ c s p c u không gian vecto V trên R và

uV Khi đó ta có m i vecto uV đ u đ c vi t duy nh t d i d ng

u   u   u    u

Kí hi u là  

1 2 B

Cho B là c s c a không gian vecto h u h n chi u trên R Khi đó:

, u, v V,

   ta có  u vB     u B  v B

2.4.2.Ma tr n chuy n c s

Gi s Bu , ,u1 n và B'u ', ,u '1 n  là hai c s đ c s p c a không gian

vecto V Ma tr n P    u '1 B u '2 B u ' n B đ c g i là ma tr n chuy n c s t B sang B’ và ta kí hi u là P B B'

Cho A, B, C là các c s đ c s p c a không gian vecto V có s chi u n Khi đó:

(i) Ma tr n chuy n c s t A sang B là duy nh t

(ii) P A AIn (iii)   1  

P AB  P BA (iv) P A B P B  C P AC

2.4.4.Công th c đ i t a đ

Cho Bu ,u , ,u1 2 n và B'u ', u ', ,u '1 2 n  là hai c s đ c s p c a không

gian vecto V, P B B' là ma tr n đ i c s t B sang B’, uV Khi đó:

 u P B B' u   hay     1 

u P BB'  u

Ví d : Trong 3 cho hai c s Bu11,1,1 , u 2 1,1,2 , u 3 1,2,3  và

Ch ng 3: Ễnh x tuy n tính

3 1.Ễnh x tuy n tính

3.1.1 nh ngh a

Cho V và U là hai không gian vecto trên tr ng K Ánh x f : VU đ c g i là

ánh x tuy n tính n u th a mãn hai đi u ki n:

3) Ánh x tuy n tính bi n h ph thu c tuy n tính thành h ph thu c tuy n tính T c là

n u  1, 2, ,  n là h ph thu c tuy n tính trong V thì f   1 , f 2 , ,f n là h

ph thu c tuy n tính trong U

4) Ánh x tuy n tính không làm t ng h ng c a m t h vecto, ngh a là v i m i

    ta luôn có rank f    1 , f 2 , ,f n rank 1, 2, ,n

3 2.Nhơn vƠ nh c a ánh x tuy n tính

3.2.1.Các đ nh ngh a

Cho V, U là các không gian vecto, f : VU là ánh x tuy n tính

3.2.3.M i liên h gi a s chi u c a h t nhân và nh

Cho ánh x tuy n tsinh f : VU Khi đó dimKerf dimImf dimV.

3.3.Ma tr n c a ánh x tuy n tính

Cho V và U là các không gian vecto, 1, ,n là c s c a V, 1, ,m là c

s c a U và f : VU là ánh x tuy n tính Do f  i U nên f i bi u thi tuy n

tính đ c qua c s   nên ta có h sau:

Gi i:

Gi s : f       1 a1 1 a2 2 a3 3  1 và f       2 b1 1 b2 2 b3 3  2

3.4.2.C ng và nhân các toán t tuy n tính

-Phép c ng: T ng c a hai toán t tuy n tính A và B là toán t tuy n tính C, mà nó

thi t l p cho m i vecto x m t vecto t ng ng Ax+Bx Nói cách khác:

.

C    A B Cx  Ax Bx 

-Phép nhân: Tích c a hai toán t tuy n tính A và B là toán t C, th hi n s hoàn

thành liên ti p, đ u tiên là toán t B và sau đó là toán t A Nói cách khác:

C h ng 4: Giá tr riêng vƠ vecto riêng

4.2 Giá tr riêng, vecto riêng

Các nghi m th c c a đa th c đ c tr ng pA x g i là giá tr riêng c a ma tr n A

N u  0 là m t giá tr riêng c a A thì det x I 0 n A0 Do đó, h ph ng trình thu n

Ph ng pháp tìm giá tr riêng vecto riêng

B1: Tìm đa th c đ c tr ng pA x det A x.In

B2: Gi i ph ng trình đa th c c p n theo bi n x: pA x 0 đ tìm các giá tr riêng  i B3: i v i m i tr riêng  tìm các vecto riêng t ng ng b ng cách gi i h ph ng i, trình tuy n tính thu n nh t A iI X 0.

4 3.Chéo hóa ma tr n

- nh ngh a: Ta nói ma tr n A chéo hóa đ c n u A đ ng d ng v i m t ma tr n

chéo D, ngh a là t n t i m t ma tr n P không suy bi n sao cho 1

P AP  D Khi đó ta nói

ma tr n P là chéo hóa A và D là d ng chéo c a A

-Ki m tra m t ma tr n có chéo hóa đ c hay không:

+ N u A có n tr riêng khác bi t thì A chéo hóa đ c

+ G i  1, 2, , k là t t c nh ng tr riêng khác nhau c a A, E  i là không gian

-Thu t toán:

B1: Tìm đa th c đ c tr ng r i vi t v d ng   n 1 n k

      B2: Tìm các tr riêng  i cùng các s b i n i t ng ng

B3: V i m i i, tìm c s , s chi u dim V  i c a các không gian riêng

N u dim V   i n i thì A không chéo hóa đ c

B2: Tr riêng p A     0 1 5 boi 2 ,    2 1 boi 1 

B3: Không gian riêng v i    1 2 dim V   1 2, c s e 1    1,1, 0 ; 0, 0,1   

V i   2 1 dimV  2 1c s e2  1,1,0  B4: L p

Ch ng 5: D ng song tuy n tính, d ng toƠn ph ng, tích vô

h ng vƠ không gian Euclid

5 1.Ễnh x song tuy n tính, d ng song tuy n tính

Gi s L, M, N là các không gian vecto trên tr ng s K

(iii) x L, y , y M : f x, y y f x, y f x, y ;(iv) x L, y M, K : f x, y f x, y

*Nh n xét: M t d ng toàn ph ng có th có nhi u d ng chính t c Tuy nhiên các

d ng chính t c này đ u có đi m chúng là s các h s d ng và âm là b t bi n

5 3.Tích vô h ng vƠ không gian Euclid

(v) u,u   0, u V u,u    0 u 0 V

5.3.3.Thu t toán tr c giao hóa m t h vecto đ c l p tuy n tính

r a b

b bsin

a

  v i 0   2

D ng l ng giác c a s ph c z a bi là zr cos  isin

Nhân hai s ph c d ng l ng giác: modun nhân v i nhau và argument c ng l i Chia hai s ph c d ng l ng giác: modun chia cho nhau và argument tr ra

z ib

z zz

z  z z

2 2

a bi i a b i a b iu

iz

ii