Giáo trình Đại số tuyến tính

Sau hơn 15 năm tồn tại, đến nay đã có nhiều thay đổi cả về chương trình giảng dạy toán ở các trường đại học lẫn phương pháp dạy và học toán, từ dạy và học theo niên chế nhiều trường đại

1

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ

BỘ MÔN TOÁN  KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGUYỄN XUÂN VIÊN

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

(Dùng cho sinh viên các trường Đại học Kỹ thuật)

HÀ NỘI  2013

2

3

Chương1 LOGIC – TẬP HỢP – ÁNH XẠ VÀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 11

1.1 Sơ lược về logic mệnh đề 11

4

2.3.3 Phương pháp biến đổi sơ cấp tìm hạng của ma trận 73

2.4 Tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp 76

2.4.2 Tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp 79

2.5.4 Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp giải hệ PTTT 90

3.1.1 Khái niệm không gian vectơ và không gian vectơ con 113

3.5 Không gian tổng, không gian giao Tổng trực tiếp 131

3.5.1 Định lý về chiều của không gian tổng, không gian giao 131

5

3.9.1 Khái niệm giá trị riêng, vectơ riêng của toán tử tuyến tính 150

3.9.2 Định lý về giá trị riêng, vectơ riêng 152

4.1 Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương trong không gian vectơ 175

4.1.1 Khái niệm song tuyến tính và dạng toàn phương 175

4.1.2 Ma trận dạng toàn phương khi đổi cơ sở 178

4.2.1 Khái niệm cơ sở chính tắc của dạng toàn phương 178

4.2.2 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 180

4.4.2 Các bất đẳng thức của tích vô hướng 192

4.4.4 Không gian con trực giao Định lý về chiếu trực giao 200

4.4.5 Định lý chéo hóa trực giao ma trận đối xứng 206

4.4.6 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp chéo hóa

6

7

LỜI NÓI ĐẦU

Giáo trình “ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH” này được viết và

hoàn thiện dựa trên cuốn “Đại số tuyến tính” của cùng tác giả xuất bản năm 1996 và

được dùng làm tài liệu giảng dạy tại Học viện Kỹ thuật Quân sự từ đó đến nay Sau hơn

15 năm tồn tại, đến nay đã có nhiều thay đổi cả về chương trình giảng dạy toán ở các

trường đại học lẫn phương pháp dạy và học toán, từ dạy và học theo niên chế nhiều

trường đại học, học viện đã chuyển sang đào tạo theo tín chỉ, từ việc lên lớp truyền đạt

cho sinh viên các kiến thức hàn lâm cần thiết chuyển sang giảng giải các kiến thức

chính trên lớp, gợi ý, hướng dẫn sinh viên tự đọc, tự học, từ học tập thụ động trên lớp

theo thầy, chuyển sang học tập tích cực, phát huy tính sáng tạo của sinh viên Những

thay đổi này đòi hỏi sự ra đời của một giáo trình môn Đại số tuyến tính và Hình học

giải tích mới, có đủ các kiến thức hàn lâm của môn học, lại chứa đựng cả những

phương pháp tư duy toán học vừa tương đối trừu tượng vừa cụ thể theo phương pháp tư

duy thuật toán, giúp cho sinh viên tuy có ít thời gian hơn lên lớp nghe giảng nhưng vẫn

có điều kiện tự đọc giáo trình, phát huy được tính sáng tạo tự học, tự nghiên cứu của

học viên Tác giả hy vọng, cuốn giáo trình này đáp ứng được phần nào những kỳ vọng

nêu trên

Có thời lượng lên lớp 3-4 tín chỉ, so với giáo trình đã xuất bản năm 1996, giáo trình

này đã lược bớt một số kiến thức không cần thiết, nhất là tìm các phương pháp trình

bày một số phần quan trọng theo cách mới mang rõ tính thuật toán hơn, ngắn gọn hơn

(LU-phân tích, định thức, hệ phương trình tuyến tính, ánh xạ tuyến tính, QR-phân tích,

hình học trong không gian Euclid, siêu mặt bậc hai) Các định lý mang tính nguyên tắc

về phát triển tư duy toán học được trình bày chặt chẽ, có nhiều ví dụ minh họa, giúp

cho người học, trong lần học qua đầu tiên cũng đã nắm được ý tưởng và có thể giải

được các bài tập cơ bản của chương trình Vì thời gian lên lớp theo học chế tín chỉ ít

hơn nên phần lớn các định lý, kể cả một số định lý quan trọng, sinh viên cũng phải tự

đọc ở nhà Giáo trình này cũng được viết với ý tưởng làm giảm nhẹ bớt công việc bắt

buộc này của sinh viên, giúp họ chủ động tích lũy kiến thức cần thiết và phát huy tính

sáng tạo khi học trên lớp cũng như tự học ở nhà

Trong giáo trình có trình bày một số phương pháp Gauss mang tính thuật toán như:

“Thuật toán” tìm hạng ma trận, phương pháp Gauss chứng minh định lý Cronecker –

Capelli, phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính, phương pháp Gauss tìm

cơ sở và chiều không gian sinh bởi hệ vectơ, phương pháp Jacobi đưa dạng toàn

phương về dạng chính tắc v.v Sau mỗi chương đều có bài tập đa dạng, phong phú

Giáo trình lý thuyết này cùng với cuốn “Bài tập ĐSTT và HHGT – Hà Nội: Nxb QĐND – 2010”, của các tác giả Nguyễn Xuân Viên, Nguyễn Hoài Anh, Nguyễn Thị Thanh Hà – tạo thành một gắn kết thống nhất, giúp sinh viên tiếp thu tốt

8

môn học “Hình học giải tích và Đại số tuyến tính” trong các trường đại học kỹ thuật

Một số phần mở rộng kiến thức hoặc ứng dụng như các mục con 1.5.2, 2.4.3, mục

3.4, bổ đề 4.8, 4.9 dành để đọc thêm có thể bỏ qua hoặc cho sinh viên tự đọc ở nhà

Các định nghĩa, bổ đề, định lý, hệ quả, chú thích, ví dụ được đánh số theo từng

chương

Cuối cùng, tác giả muốn bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các đồng nghiệp Toán ở HV

KTQS đã động viên, góp ý và giúp đỡ tác giả hoàn thành công việc khó khăn này

Hà Nội 2-9-2013

[ ] tập tất cả các đa thức với hệ số trên trường

[ ] tập tất cả các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n với hệ số trên trường

− chuyển vị của liên hợp ma trận A, tức là = ( ̅)

= ( , , … , ) − là vectơ trong không gian vectơ được viết dưới dạng tọa độ

[ ] = … − ma trận cột (cỡ n), [ ] ∈ ( )

[ ] = [ … ] − ma trận hàng (cỡ n), [ ] ∈ ( )

= { = ( , , … , ): ∈ ( = 1,2, … , )} − không gian tọa độ n chiều

trên trường

E – không gian Euclid

〈 , 〉 − tích vô hướng của hai vectơ a,b

∆ bất đầu chứng minh, lời giải hoặc ví dụ

□ kết thúc chứng minh, lời giải, ví dụ hoặc chú thích, nhận xét

10

11

Chương1 LOGIC – TẬP HỢP – ÁNH XẠ VÀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

1.1.1 Mệnh đề và các phép toán trên mệnh đề

a) Mệnh đề

Mệnh đề là một khẳng định mà ta có thể biết nó đúng hoặc sai Ví dụ “hôm nay ở

Hà Nội có tuyết rơi” – đây là một khẳng định sai, còn “2 > 1” là một khẳng định đúng

Các mệnh đề thường được ký hiệu bằng các chữ Latin in hoa: A, B, C, … Khi mệnh

đề A đúng ta sẽ nói A nhận giá trị đúng và viết − hoặc : Khi mệnh đề B sai thì

ta nói B nhận giá trị sai và viết − hoặc : tùy theo các trường hợp thuận lợi khác

nhau

Trong logic toán, mệnh đề chỉ nhận một trong hai giá trị: hoặc đúng (T) hoặc sai

(F), không có mệnh đề vừa đúng vừa sai

b) Các phép toán trên mệnh đề

Từ các mệnh đề nào đó ta sẽ xây dựng các mệnh đề mới bằng năm phép toán logic

sau đây

b1 Phép tuyển

Dấu của phép toán: ⋁ (đọc là “tuyển” )

Giả sử , là các mệnh đề, khi đó ⋁ (đọc là “ hoặc ” ) cũng là một mệnh

đề, nó nhận giá trị sai chỉ trong một trường hợp khi mà cả lẫn đều sai

Để xác định các giá trị của một mệnh đề mới xây dựng, người ta thường cho các giá

trị của nó dưới dạng bảng giá trị chân lý

Mỗi mệnh đề A, B có 2 giá trị T, F nên ( , ) có 4 cặp giá trị được viết trên 4 hàng

ngang của bảng giá trị chân lý

Dấu của phép toán: ⇒ (đọc là “suy ra”)

Giả sử , là các mệnh đề, khi đó ⇒ (đọc là “ suy ra ”) cũng là một mệnh đề,

nó nhận giá trị sai chỉ trong một trường hợp khi mà đúng còn sai

Trong phép suy diễn ⇒ , A được gọi là giả thuyết, B – kết luận Như vậy, theo

định nghĩa, phép suy diễn ⇒ chỉ được coi là sai nếu từ giả thuyết đúng suy ra kết luận sai

b4 Phép tương đương

Dấu của phép toán: ⇔ (đọc là “tương đương”)

Giả sử , là các mệnh đề, khi đó ⇔ (đọc là “ tương đương với ”) cũng là một mệnh đề, nó nhận giá trị đúng nếu A và B nhận các giá trị giống nhau

Dấu của phép toán: ¬ (hoặc ) (đọc là “phủ định”)

Giả sử A là mệnh đề Khi đó ¬ (hoặc ̅) ( đọc là “không A”) cũng là mệnh đề, nó nhận các giá trị ngược với các giá trị của A

được gọi là công thức Khi viêt các công thức, như thường lệ, ta có sử dụng các dấu

ngoặc () Ví dụ như: (¬ ) ⇒ ⋀ , ( ⋁ ) ⇔ là các công thức Trong đó công thức thứ nhất được xây dựng từ ba mệnh đề sơ cấp , , ; còn công thức thứ hai được xây dựng từ hai mệnh đề sơ cấp , Giống như trong số học, để tránh rườm rà, khi sử dụng các dấu ngoặc người ta qui ước thứ tự ưu tiên các phép toán như sau: phép phủ định được thực hiện trước tiên, sau đó đến phép hội, kế tiếp đến phép tuyển rồi mới đến các phép suy diễn và tương đương Theo qui ước này, các công thức trên có thể được viết lại cho gọn như sau: (¬ ⇒ )⋀ , ⋁ ⇔

Công thức luôn nhận giá trị đúng với mọi giá trị khác nhau của các mệnh đề sơ cấp

được gọi là công thức hằng đúng hay còn gọi là định lý, định luật

Ví dụ 1.1 Ta hãy chứng tỏ công thức ⋀ ⇒ ⋁ là một công thức hằng đúng Thật vậy, theo định nghĩa công thức này chỉ có thể sai khi giả thuyết ⋀ − T, còn kết luận ⋁ − F Nhưng khi ⋀ − T thì cả A lẫn B đều đúng, cho ta ⋁ − T

Điều này chứng tỏ công thức đã cho là công thức hằng đúng □

Có một cách khác đơn giản hơn để chứng tỏ một công thức nào đó hằng đúng là thành lập bảng giá trị chân lý của nó và chứng tỏ với mọi giá trị khác nhau của các mệnh đề sơ cấp công thức đã cho là công thức luôn nhận giá trị đúng

14

Công thức nhận được từ một công thức nào đó bằng cách thay đồng thời các phép

toán hội thành tuyển, tuyển thành hội được gọi là công thức đối ngẫu của công thức đã

cho Ví dụ công thức ⋁ ⇒ ⋀ là công thức đối ngẫu của ⋀ ⇒ ⋁ Sau đây chúng ta nêu ra các định luật quan trọng nhất của logic mệnh đề và các định luật đối ngẫu của chúng

d1 Các định luật giao hoán

Chứng minh Tất cả các định luật trên đây đều có thể chứng minh được bằng

phương pháp lập các bảng giá trị chân lý tương ứng Ví dụ như đối với định luật chứng minh bằng phản chứng ta có

Tập hợp là khái niệm cơ sở đầu tiên của toán học, người ta không định nghĩa tập

hợp là gì mà chỉ mô tả tập hợp Người ta ký hiệu các tập hợp bằng các chữ Latin in

hoa: A, B, C, …; các phần tử bằng các chữ Latin thường: a, b, c,… Khi a là phần tử

của tập A thì ta viết ∈ (đọc là “a nhỏ thuộc A lớn”) Khi b không phải là phần tử

của tập B thì có thể viết tắt ∉ (đọc là “b nhỏ không thuộc B lớn”) Như vậy

∉ ⇔ ¬( ∈ )

Lượng tử chung ∀ − đọc là “với mọi”

Lượng tử riêng ∃ − đọc là “tồn tại”

Vị từ là mệnh đề có chứa các lượng tử Các vị từ được xác định như sau:

Giả sử ( ) là hàm mệnh đề xác định trên tập A khi đó ∀ ( ) (đọc là “với mọi

( )”) là một mệnh đề, nó nhận giá trị đúng nếu với mọi ∈ ( ( ) − ); ∃ ( )

(đọc là “tồn tại ( )”) là một mệnh đề, nó nhận giá trị đúng nếu tồn tại

∈ ( ( ) − ) Như vậy mệnh đề ∀ ( ) chỉ sai khi mà ta tìm thấy một ∈ để

( ) − ; còn mệnh đề ∃ ( ) chỉ sai khi mà với mọi ∈ ta đều có ( ) −

Tương tự xác định vị từ đối với hàm mệnh đề nhiều biến, ví dụ như ∀ ∀ ( , ),

∃ ∃ ( , ), ∀ ∃ ( , ), …

Dễ dàng nhận thấy các lượng tử cùng loại trong một vị từ thì giao hoán, còn các

lượng tử khác loại không giao hoán Thật vậy, xét hàm mệnh đề hai ngôi xác định trên

tập số nguyên ( , ) là ( ≤ ); khi đó mệnh đề ∀ ∃ ( ≤ ) − đúng; trong khi

đó nếu đổi chỗ hai lượng tử trong vị từ cho nhau ta lại được mệnh đề ∃ ∀ ( ≤ ) −

sai vì trong tập số nguyên ℤ không tồn tại số nguyên lớn nhất Như vậy do các lượng tử

khác loại trong vị từ không giao hoán nên không được tùy tiện đổi chỗ chúng

Ví dụ 1.2 Ta hãy viết dưới dạng vị từ định nghĩa dãy ( ) có giới hạn bằng a khi

→ ∞

Ví dụ 1.3 Hãy viết dưới dạng vị từ khẳng định dãy ( ) không có giới hạn bằng a

Theo định luật chứng minh bằng phản chứng và qui tắc phủ định của vị từ ta có ngay

Như đã nói trong mục 1.1.2.b) tập hợp là khái niệm cơ sở của toán học, người ta

không định nghĩa mà chỉ mô tả tập hợp Muốn cho một tập hợp ta phải chỉ ra được cách xác định tất cả các phần tử của tập hợp ấy Nếu tập hợp có ít phần tử thì ta có thể liệt kê tất cả các phần tử của nó Nếu tập hợp có nhiều phần tử thì có thể phân nhỏ ra các tập con rồi liệt kê các phần tử của các tập con này Ví dụ để xác định một lớp lớp học nào

đó trong trường ta chỉ cần chỉ ra danh sách các học sinh của lớp đó Để xác định dân cư của một xã, phường ta sẽ lập danh sách dân cư của các thôn trong xã, v v Để xác định

tập hợp ta có thể chỉ ra các qui luật xác định phần tử của tập ấy Chẳng hạn như A là tập

tất cả các nghiệm thực của đa thức + − + 1 hay ℕ = {0,1,2, … } là tập tất cả các số tự nhiên

Tập không có phần tử nào gọi là tập rỗng Tập rỗng được ký hiệu là ∅ Như vậy, theo định nghĩa, ∅ là tập thỏa mãn điều kiện ∀ ( ∉ ∅)

Định nghĩa 1.1 Hai tập hợp , được gọi là bằng nhau và viết = nếu chúng

có chứa các phần tử như nhau

Như vậy, theo định nghĩa

Dấu của phép toán: ∪ (đọc là “hợp”)

Định nghĩa 1.3 Giả sử , là hai tập hợp, khi đó hợp của chúng, được ký hiệu là

∪ , gồm tất cả các phần tử của và tất cả các phần tử của B

Như vậy, theo định nghĩa,

∈ ( ∪ ) ⇔ ( ∈ ) ∨ ( ∈ ) Với mọi tập , hiển nhiên ta có ∪ ∅ =

b2 Phép giao

Dấu của phép toán: ∩ (đọc là “giao”)

Định nghĩa 1.4 Giả sử , là hai tập hợp, khi đó giao của chúng, được ký hiệu là

∩ , gồm tất cả các phần tử chung của và của B

Như vậy, theo định nghĩa,

∈ ( ∩ ) ⇔ ( ∈ ) ∧ ( ∈ ) Với mọi tập , hiển nhiên ta có ∩ ∅ = ∅

b3 Phép hiệu

Dấu của phép toán: ∖ (đọc là “hiệu”)

Định nghĩa 1.5 Giả sử , là hai tập hợp, khi đó hiệu của chúng, được ký hiệu là

∖ , gồm tất cả các phần tử của nhưng không là của B

Như vậy, theo định nghĩa,

∈ ( ∖ ) ⇔ ( ∈ ) ∧ ¬( ∈ ) Với mọi tập , hiển nhiên ta có ∖ ∅ = , ∅ ∖ = ∅

b4 Phép hiệu đối xứng

Dấu của phép toán: ∆ (đọc là “hiệu đối xứng”)

Định nghĩa 1.6 Giả sử , là hai tập hợp, khi đó hiệu đối xứng của chúng, được

ký hiệu là ∆ , gồm tất cả các phần tử của nhưng không là của B và của B nhưng không là của A Nói một cách chính xác hơn, theo định nghĩa,

∆ = ( ∖ ) ∪ ( ∖ ) Với mọi tập , hiển nhiên ta có ∆∅ = ∅∆ =

18

b5 Phép lấy phần bù

Khi ⊆ thì hiệu ∖ được viết như phép trừ thông thường, tức là −

Định nghĩa 1.7 Ta coi các tập A, B, C, … đều là tập con của một tập U nào đó, khi

đó hiệu − được gọi là phần bù của A (trong U) và ký hiệu là ̅ Như vậy, theo định

19

biến đổi trong lý thuyết tập hợp mà có sử dụng đến các tính chất cơ bản nêu

trên của tập hợp mà không cần trở lại với logic mệnh đề Ví dụ, để chứng minh

công thức

∪ = ( ∆ ) ∪ ( ∩ ) trong đại số tập hợp, ta sử dụng các tính chất c1 - c7 và biến đổi vế phải của công

thức cần chứng minh ra vế trái như sau:

( ∆ ) ∪ ( ∩ ) = ( ∩ ) ∪ ( ̅ ∩ ) ∪ ( ∩ ) = ( ∩ ) ∪ ∩ ( ̅ ∪ )

= ( ∩ ) ∪ = ( ∪ ) ∩ ( ∪ ) = ∪ (đ.p.c.m.); trong đó sau dấu bằng

thứ nhất ta đã sử dụng định nghĩa của phép toán hiệu đối xứng, sau dấu bằng thứ hai

ta đã sử dụng tính phân phối ở hai số hạng cuối cùng, sau dấu bằng thứ ba và dấu

bằng thứ tư ta đã sử dụng hệ thức ̅∪ = ∪ = và ∩ = với tập C tùy

Định nghĩa 1.9 Tập con ⊆ được gọi là quan hệ trong tập

Khi ( , ) ∈ người ta thường viết cho dễ hiểu thành theo mẫu của quan hệ

thứ tự ≤ (nhỏ hơn hoặc bằng) thông thường trên tập số tự nhiên

Ví dụ 1.6 Ta lấy ⊆ ℝ bởi = {( , ): = } Dễ dàng thấy quan hệ R này

xác định mối quan hệ giữa hoành độ và tung độ các điểm trên mặt phẳng ℝ sao

cho các điểm ( , ) nằm trên parabol = □

a3 Quan hệ thứ tự và quan hệ tương đương

Định nghĩa 1.10 Quan hệ R trong tập A được gọi là quan hệ thứ tự (hay còn gọi là

quan hệ thứ tự từng phần) nếu nó thỏa mãn các tính chất sau đây với mọi , , ∈ :

20

Hai phần tử , ∈ được gọi là nằm trong quan hệ R, hay còn gọi là so sánh được

với nhau trong quan hệ R nếu hoặc

Quan hệ thứ tự trong tập A được gọi là quan hệ thứ tự tuyến tính nếu hai phần tử bất

kỳ trong A đều so sánh được với nhau trong quan hệ R Tập A mà trong đó có quan hệ

thứ tự tuyến tính R được gọi là tập có thứ tự tuyến tính (một số tác giả còn gọi A là tập

có thứ tự toàn phần)

Định nghĩa 1.11 Quan hệ R trong tập A được gọi là quan hệ tương đương nếu nó

thỏa mãn các tính chất sau đây với mọi , , ∈ :

i) – tính phản xạ

ii) và thì – tính bắc cầu

iii) thì – tính đối xứng

Ví dụ 1.7 Trong tập số nguyên ℤ ta đưa vào hai quan hệ , như sau:

- ⇔ ≤ ; trong đó ≤ là thứ tự “nhỏ hơn hoặc bằng” thông thường

- ⇔ | tức là m là thừa số của n ( hay n chia hết cho m, tức là tồn tại số

nguyên q để n = mq)

Dễ dàng kiểm tra được, rằng cả hai quan hệ , trong ℤ đều là các quan hệ thứ

tự Đối với hai số nguyên bất kỳ đều so sánh được với nhau, vì rằng ∀ , ∈ ℤ

ta có hoặc ≤ hoặc ≤ Tuy nhiên đối với thì lại khác, không phải hai số

nguyên nào cũng so sánh được với nhau, ví dụ như đối với 2 và 3 thì, 2 không phải

là thừa số của 3 mà 3 cũng không phải là thừa số của 2 Theo định nghĩa thì là

quan hệ thứ tự tuyến tính còn chỉ là quan hệ thứ tự (từng phần) trên tập số

Các tập con , ∈ , được gọi các lớp của phân hoạch

Ví dụ 1.8 Xét quan hệ trong tập số nguyên ℤ xác định theo qui tắc

⇔ 2/( − ) (khi đó trong lý thuyết số người ta viết ≡ (mod2), đọc là

“m đồng dư n theo modul 2” ) Dễ dàng kiểm tra được, quan hệ vừa xác định là

quan hệ tương đương, người ta thường gọi đó là quan hệ đồng dư theo modul 2

Quan hệ này chia tập số nguyên thành hai lớp: một lớp gồm tất cả các số nguyên

chia hết cho 2, lớp thứ hai gồm các số nguyên còn lại: chia cho 2 dư 1 □

Một cách tổng quát, nếu là một quan hệ tương đương trong tập A thì tồn tại một

phân hoạch A thành các tập con; trong đó các phần tử tương đương với nhau được cho

vào cùng một lớp Ngược lại, mỗi một phân hoạch A thành các lớp con cho ta một quan

hệ tương đương R Thật vậy khi đó ta chỉ việc xây dựng quan hệ R theo qui tắc:

21

⇔ a, b thuộc cùng một lớp của phân hoạch đã cho Như vậy là, việc cho một quan

hệ tương đương trong tập A tương đương với việc cho một phân hoạch nào đó của tập

A

Định nghĩa 1.13 Giả sử R là quan hệ thứ tự trong tập A, ⊆ ; phần tử ∈

được gọi là phần tử nhỏ nhất của nếu ∀ ∈ ta đều có

Định nghĩa 1.14 Tập A được gọi là tập có thứ tự hoàn toàn nếu mọi tập con của nó

đều có phần tử nhỏ nhất

Trong tập có thứ tự hoàn toàn có phép qui nạp siêu hạn Tập có thứ tự hoàn toàn đơn giản nhất là tập số tự nhiên ℕ với quan hệ thứ tự ≤ thông thường Trong tập ℕ có phép qui nạp toán học quan trọng, sẽ được trình bày ngay sau đây

b) Nguyên lý qui nạp toán học

Định lý 1.1 (Nguyên lý qui nạp toán học) Khẳng định ( ) đúng cho mọi số tự nhiên , ≥ ( ∈ ℕ) nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

1) ( ) đúng

2) Từ ( ) đúng cho tùy ý, ≥ suy ra ( + 1) đúng

Chứng minh Bằng phản chứng, giả sử cả hai điều kiện trong định lý 1 đều được

thỏa mãn nhưng vẫn tồn tại ∈ ℕ, ≥ mà ( )− sai Khi đó gọi P là tập tất

cả các số tự nhiên như vậy P có phần tử nhỏ nhất là , ( ) −sai Mặt khác theo giả thiết 1) ta phải có > , khi đó thì do ≤ − 1 < nên ( − 1) − đúng Nhưng mà theo giả thiết 2) của định lý thì từ ( − 1) − đúng phải suy ra ( ) − đúng; điều này trái với ( ) −sai theo xây dựng số ở trên Định lý đã được chứng minh

Chú thích 1.2 Nguyên lý qui nạp toán học trên tập số tự nhiên còn có thể được

phát biểu dưới dạng sau đây:

Khẳng định ( ) đúng cho mọi số tự nhiên , ≥ ( ∈ ℕ) nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

1) ( ) đúng

2) Từ ( ) đúng cho các số ≤ ≤ suy ra ( + 1) đúng

Như vậy, để chứng minh một tính chất nào đó ( ) đúng cho mọi số tự nhiên ∈ ℕ

ta cần thực hiện hai bước: bước thứ nhất kiểm tra (0) đúng, bước này được gọi là

bước cơ sở qui nạp Bước thứ hai chứng minh từ ( ) đúng cho ≥ 0 tùy ý suy

ra ( + 1) đúng hay là tương đương, từ ( ) đúng cho các số 0 ≤ ≤ suy ra ( + 1) đúng □

Giả thuyết ( ) đúng được gọi là giả thuyết qui nạp

Ví dụ 1.9 Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên ∈ ℕ∗ ta đều có

1 (1!) + 2 (2!) + ⋯ + ( !) = ( + 1)! − 1

22

Ta chứng minh hệ thức này bằng phương pháp qui nạp toán học

Cơ sở qui nạp: với = 1 ta có 1 (1!) = (2!) − 1 = 1 − đúng

Giả sử hệ thức đã cho đúng cho số tự nhiên ∈ ℕ∗, tức là

Ta chứng minh hệ thức này bằng phương pháp qui nạp toán học

Cơ sở qui nạp: với = 0 ta có 6 7 − 2 3 = 4 chia hết cho 4 – đúng

Giả sử hệ thức đã cho đúng cho các số tự nhiên 0 ≤ ≤ , ta sẽ chứng minh nó

đúng cho + 1, tức là phải chứng minh số (6 7 − 2 3 ) chia hết cho 4

Thật vậy, theo giả thuyết qui nạp, vì

6 7 − 2 3 = (6 7 − 2 3 ) (7 + 3) − (6 7 − 2 3 ) 7.3

là hiệu của hai nguyên cùng chia hết cho 4 nên nó chia hết cho 4 □

1.2.3 Ánh xạ

a) Các khái niệm chung

Định nghĩa 1.15 Giả sử , là hai tập hợp Người ta nói là một ánh xạ từ A vào

B và viết : → nếu mỗi phần tử ∈ đặt tương ứng với một phần tử duy nhất

∈ , khi đó viết = ( ) và nói b là ảnh của a, còn a gọi là đảo ảnh của b qua ánh

xạ

Giả sử : → là một ánh xạ Khi đó tập A được gọi là tập xác định (miền xác

định), − tập tới của f Tập ( ) = { ( ); ∈ } hay là cũng như thế, tập tất cả các

∈ sao cho tồn tại ∈ để ( ) = được gọi là tập ảnh (hay miền giá trị) của ánh

xạ f Với mỗi ∈ tập ( ) = { ∈ | ( ) = } tất cả các phần tử a của tập A sao

cho ( ) = được gọi là đảo ảnh toàn phần của b Hiển nhiên ta có ( ) = = ( ) Hai ánh xạ : → và : → được gọi là bằng nhau

nếu chúng có chung miền xác định, sao cho ∀ ∈ ( ( ) = ( ))

Như vậy, để một phép tương ứng giữa các phần tử của tập với các phần tử của

tập B là ánh xạ từ vào B điều kiện là phép tương ứng này phải thỏa mãn hai điều

kiện: thứ nhất là, mỗi phần tử a của đều phải có ảnh ( ); thứ hai là, mỗi phần tử a

của chỉ có một ảnh; không một phần tử nào của lại có nhiều hơn một ảnh Tính

Ví dụ 1.11 Nếu , là các tập con của tập số thực thì ánh xạ : → được gọi là

hàm số Hàm số ( ) = + 1 có miền xác định ℝ và có miền giá trị là ℝ, còn hàm

số = : ℝ → ℝ là hàm có miền xác định ℝ và có miền giá trị là đoạn [−1,1]

Ví dụ 1.12 Gọi = { , , }, = { , } Ta xác định các phép tương ứng

giữa các phần tử của tập A với các phần tử của tập B bắng cách viết tất cả các bộ hai

tương ứng , ; trong đó ( )= Xét ba phép tương ứng sau

= {( , ), ( , )}; = {( , ), ( , ), ( , ), ( , )};

= {( , ), ( , ), ( , )}

Ta thấy không phải ánh xạ vì phần tử của tập A không có ảnh; cũng

không phải ánh xạ vì phần tử có hai ảnh , , là ánh xạ vì nó thỏa mãn cả hai

điều kiện xác định ánh xạ: mọi phần tử của A đều có ảnh và mỗi phần tử chỉ có một

ảnh

Định nghĩa 1.16 Ánh xạ : → được gọi là đơn ánh nếu các phần tử khác nhau

thì có ảnh khác nhau Nói một cách chính xác, ánh xạ : → được gọi là đơn ánh

nếu ∀ , ∈ ( ≠ ) ⇒ ( ) ≠ ( ) hay tương đương với nó

Định nghĩa 1.17 Ánh xạ : → được gọi là toàn ánh nếu mọi phần tử của B đều

có đảo ảnh Nói một cách chính xác, ánh xạ : → được gọi là toàn ánh nếu

∀ ∈ ( ( ) ≠ ∅)

Định nghĩa 1.18 Ánh xạ : → được gọi là song ánh nếu nó đồng thời là đơn

ánh, toàn ánh

Định nghĩa 1.19 Hai tập hợp A và B được gọi là tương đương hay có cùng lực

lượng và viết ~ hay | | = | | nếu tồn tại song ánh : → Tập tương đương với

tập số tự nhiên ℕ gọi là tập đếm được

24

thì đây lại là hàm song ánh, thật vậy trên − , hàm sinx là hàm đơn điệu tăng

thực sự nên nó là hàm đơn ánh Ngoài ra nó cũng là hàm toàn ánh vì với mọi số

∈ [−1,1] luôn tồn tại ∈ − , để = □

Ví dụ 1.14 Ta có thể chứng minh được tập số nguyên là tập đếm được bằng cách

thiết lập song ánh : ℕ → ℤ như sau:

Cho (0) = 0, (2 ) = , (2 − 1) = − ( = 1,2, … ) Đây là một song ánh Thật vậy, rõ ràng đây là một ánh xạ: mọi số tự nhiên đều có ảnh, mỗi số tự nhiên chỉ có một ảnh; đây là đơn ánh vì hai số tự nhiên khác nhau có hai ảnh khác nhau và đây là toàn ánh vì số nguyên nào cũng có đảo ảnh.□

Định nghĩa 1.21 Giả sử : → là các ánh xạ Ánh xạ : → được gọi là ánh

xạ ngược của nếu thỏa mãn điều kiện ∘ = và ∘ = Ánh xạ ngược của ánh xạ thường được ký hiệu là

25

( ∘ )( ) = ( ∘ )( ) ⇔ ( ) = ( ) ⇔ = − chứng minh xong

là đơn ánh

Do : → là ánh xạ, với ∈ tùy ý ta có ( ) = ∈ ; tác động lên hai vế

của hệ thức cuối cùng, ta có theo định nghĩa của ánh xạ ngược ( ) = ( ) ⇔ ( ∘ )( ) = ( ) ⇔ ( ) = ( ) ⇔ = ( ) chứng minh

xong là toàn ánh

Điều kiện đủ Giả sử : → là song ánh Khi đó mỗi ∈ có một và chỉ một

∈ sao cho ( ) = cho nên ta có thể xây dựng một phép tương ứng mới

: → theo qui tắc ( ) = ⇔ ( ) = Do là song ánh, ( ) = nên

( ) = { }, từ đó : → là ánh xạ: mỗi ∈ đều có ảnh ( ) = và mỗi

chỉ có một ảnh Ngoài ra từ cách xây dựng dễ dàng thấy ∘ = và ∘ =

nên ánh xạ : → được xây dựng như trên là ánh xạ ngược của □

Trong ví dụ 1.16, do ( ): ℝ → ℝ; ( ) = 2 + 1 là hàm đơn điệu tăng thực sự

trên ℝ nên nó là đơn ánh Mặt khác dễ thấy nó cũng là toàn ánh, vì với mọi ∈ ℝ

ta luôn tìm được ∈ ℝ để có = 2 + 1, đó chính là = ( − 1) Như vậy

( ) = 2 + 1: ℝ → ℝ là song ánh nên theo định lý tồn tại ánh xạ ngược, tồn tại

Định nghĩa 1.22 Giả sử là một tập hợp Ánh xạ : × → được gọi là phép

toán (phép toán trong hay luật hợp thành) xác định trên tập

Theo truyền thống người ta ký hiệu dấu của phép toán tổng quát là “dấu tròn”: ∘,

như dấu của phép hợp thành ánh xạ; thay vì viết = ( , ) ta sẽ viết = ∘ Như

vậy với hai phần tử tùy ý , ∈ xác định một phần tử duy nhất = ∘ , gọi là kết

quả của phép toán “dấu tròn” tác động lên ,

26

- có tính kết hợp nếu với mọi , , nằm trong ta đều có ( ∘ ) ∘ = ∘ ( ∘ )

- có tính giao hoán nếu với mọi , nằm trong ta đều có ∘ = ∘

- có phần tử trung hòa e nếu tồn tại ∈ sao cho ∘ = ∘ = với mọi

∈

Khi là tập hợp với phép toán ∘ có phần tử trung hòa ta sẽ viết gọn lại là 〈 ;∘, 〉

Định nghĩa 1.24 Tập mà trên đó xác định phép toán có tính kết hợp được gọi là

nửa nhóm

Định nghĩa 1.25 Giả sử 〈 ;∘, 〉 Ta nói phần tử ∈ , có nghịch đảo ∈ nếu

∘ = ∘ = Nghịch đảo của ∈ được ký hiệu là ;

Ta nói phần tử ∈ có nghịch đảo trái ∈ nếu ∘ =

Ta nói phần tử ∈ có nghịch đảo phải ∈ nếu ∘ =

Người ta thường hay dùng hai ký hiệu phổ biến để chỉ phép toán trên một tập hợp

đó là phép cộng (+) và phép nhân (.) tùy theo tính tương tự của chúng so với các phép

toán số học thông thường Khi sử dụng dấu phép toán cộng (+) thì phần tử trung hòa

được ký hiệu tương ứng là 0 và gọi là phần tử không, phần tử nghịch đảo của được

ký hiệu là – và gọi là phần tử ngược của ; Khi sử dụng dấu phép toán nhân (.) thì

phần tử trung hòa được ký hiệu tương ứng là 1 (hay ) và gọi là phần tử đơn vị, phần tử

nghịch đảo của (nếu tồn tại) được ký hiệu là và gọi là phần tử nghịch đảo của

như trong trường hợp tổng quát

Ví dụ 1.18 Xét 〈ℤ; +,0〉 tập tất các các số nguyên với phép cộng số nguyên thông

thường Rõ ràng phép cộng các số nguyên có tính kết hợp, tính giao hoán và phần tử

trung hòa của phép cộng là số nguyên 0 vì + 0 = với mọi ∈ ℤ Phần tử

ngược của là –

〈ℤ; ,1〉 − tập tất các các số nguyên với phép nhân số nguyên thông thường Phép

nhân các số nguyên có tính kết hợp, tính giao hoán và phần tử trung hòa của phép

nhân là số nguyên 1 vì 1 = với mọi ∈ℤ Các số nguyên ≠ ±1 đều

không có nghịch đảo □

Ví dụ 1.19 Xét 〈 ;∘, 〉 tập tất cả các ánh xạ : → với phép toán hợp thành

ánh xạ ∘ Dễ dàng chỉ ra được phép hợp thành ánh xạ có tính kết hợp nhưng không

có tính giao hoán và phần tử trung hòa của nó là ánh xạ đồng nhất trên tập A

Như vậy 〈 ;∘, 〉 là nửa nhóm không giao hoán, có phần tử trung hòa Cần nhấn

mạnh rằng, ở đây ta hoàn toàn có thể viết 〈 ;∘, 〉 thành 〈 ; ,1〉 và giải thích

là tập tất cả các ánh xạ : → , phép toán nhân (.) ở đây là phép hợp thành ánh xạ

(∘) và phần tử trung hòa 1 = là ánh xạ đồng nhất trên tập A Theo định lý tồn tại

27

ánh xạ ngược, ánh xạ ∈ có phần tử nghịch đảo (chính là ánh xạ ngược) khi và chỉ khi là song ánh □

Bổ đề 1.1

1) Phép toán trên tập mà có phần tử trung hòa thì chỉ có một phần tử này

2) Trong nửa nhóm có phần tử trung hòa mà phần tử có nghịch đảo thì chỉ có một phần tử nghịch đảo của

Chứng minh

1) Giả sử , là hai phần tử trung hòa của phép toán ∘ trong tập Theo

định nghĩa phần tử trung hòa , ta có ∘ = =

2) Giả sử 〈 ;∘, 〉 là nửa nhóm với phần tử trung hòa và phần tử ∈ có hai phần tử nghịch đảo , tức là ∘ = ∘ = , ∘ = ∘ = , từ đó theo tính kết hợp của phép toán, ta có

( ∘ ) ∘ = ∘ = ; mặt khác ta lại có

( ∘ ) ∘ = ∘ ( ∘ ) = ∘ = , cho ta = □

1.3.2 Sơ lược về nhóm, vành, trường

Định nghĩa 1.26 Tập mà trên đó xác định phép toán gọi là nhóm nếu thỏa mãn

các điều kiện sau:

1) Phép toán có tính kết hợp, tức là ( ) = ( ) với mọi , , ∈

2) Tồn tại phần tử đơn vị, tức là phần tử ∈ sao cho = = với mọi

Nếu thêm vào ba tiên đề về nhóm nêu trên tiên đề thứ tư sau:

4) Phép toán có tính giao hoán, tức là = với mọi , ∈ thì ta được định nghĩa nhóm giao hoán hay còn gọi là nhóm Abel Như vậy tập mà trên đó xác

định phép toán , thỏa mãn các tiên đề 1 – 4 nêu trên được gọi là nhóm Abel Thông

thường khi nói về nhóm Abel người ta hình dung đó là nhóm cộng 〈 ; +,0〉 (dấu phép

toán là cộng +) giao hoán

Chú thích 1.3 Thực ra trong định nghĩa nhóm có thể thay hai tiên đề 2, 3 thành các

tiên đề “tiết kiệm” hơn ([9]) sau đây:

2’) Tồn tại phần tử đơn vị trái, tức là phần tử ∈ sao cho = với mọi ∈ ;

3’) Mọi phần tử trong G đều có nghịch đảo trái, tức là với mọi ∈ , tồn tại ∈ sao cho =

Thật vậy, giả sử là đơn vị trái trong , là nghịch đảo trái của a, tức là . = khi đó ta có = = ; nhân về bên trái hai vế hệ thức = với phần

28

tử nghịch đảo trái của ta được = tức là đồng thời là nghịch đảo phải của

, vậy là nghịch đảo của a, tức là = Tương tự, từ là đơn vị trái ta có thể chứng minh nó cũng là đơn vị phải của Thật vậy, theo chứng minh trên, thay

= = vào tích ,

ta có = = với mọi ∈ □

Tương tự như thế có thể thay các tiên đề 2,3 bằng các tiên đề yếu hơn là tồn tại đơn

vị phải của và nghịch đảo phải của mỗi phần tử của Nói một cách khác để kiểm tra các tiên đề 2, 3 của nhóm ta chỉ cần kiểm tra một nửa của chúng: bên trái hoặc bên phải mà không cần kiểm tra cả hai phía như trong định nghĩa 1.26

Ví dụ 1.20 Như trong ví dụ 1.18, dễ dàng thấy, các tập hợp số ℤ,ℚ,ℝ,ℂ tạo thành các nhóm Abel (đối với phép cộng thông thường) Các tập các số khác không

ℚ∗,ℝ∗,ℂ∗ tạo thành nhóm nhân giao hoán □

Ví dụ 1.21 Xét tập 〈ℤ ; +, 0〉; trong đó ℤ = {0, 1, 2, … , − 1} tập các lớp đồng

dư theo modul m; (0 ≤ < ) là tập các số nguyên mà khi chia cho m còn dư

n Ta xác định phép cộng trong ℤ như sau: + ̅ = ⇔ ( + ) ≡ ( ) tức là + − chia hết cho m hay viết như trong ví dụ 1.20 là |( + − ) Dễ

dàng kiểm tra được phép cộng được định nghĩa như thế đúng đắn về mặt toán học,

tức là không phụ thuộc vào cách chọn đại biểu từ các lớp đồng dư theo modul m Dễ

dàng thấy + ̅ = ̅ + , 0 + = với mọi 0 ≤ , < Ngoài ra ̅ + − =

0 tức là phần tử ngược của ̅ là − ; trong đó 0 ≤ < Như vậy ta đã chỉ ra

〈ℤ ; +, 0〉 là nhóm Abel □

Ví dụ 1.22 Xét 〈ℤ ∗; , 1〉; trong đó ℤ ∗ = {1, 2, … , − 1} với phép nhân (.) được định nghĩa tương tự như trong ví dụ 1.21: ̅ = ⇔ ( ) ≡ ( ) Dễ dàng thấy 〈ℤ ∗; , 1〉 là nửa nhóm giao hoán có đơn vị 1 Ngoài ra nếu m là hợp số, tức

= , 1 ≤ , < thì không có nghịch đảo, vì nếu không thì phải tồn tại các

số nguyên k, q để = + 1 hay là ( ( − ) = 1 Vế trái của đẳng thức cuối

cùng này là số nguyên chia hết cho n nên vế phải là số nguyên chia hết cho n tức là

1 phải chia hết cho n: vô lý Như vậy khi m là hợp số thì 〈ℤ ∗; , 1〉 là nửa nhóm giao hoán có đơn vị 1 nhưng không phải nhóm Có thể chỉ ra 〈ℤ ∗; , 1〉 tạo thành nhóm nhân giao hoán khi và chỉ khi = − là số nguyên tố (số nguyên tố p là số nguyên dương mà ngoài hai thừa số tầm thường là 1 và p thì không có thừa số nào

khác)

Định nghĩa 1.27 Tập mà trên đó xác định hai phép toán: cộng (ký hiệu là +) và

nhân (ký hiệu là ) được gọi là vành, và viết 〈 ; +,0; 〉, nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 1) Đối với phép cộng, 〈 ; +,0〉 là một nhóm Abel;

2) Đối với phép nhân, 〈 ; 〉 là nửa nhóm tức là phép nhân có tính kết hợp;

Ví dụ 1.23 Dễ dàng thấy, các phép nhân trong các ví dụ 1.20, 1.21, 1.22 đều có

tính phân phối đối với phép cộng, nên 〈ℤ; +,0; 〉, 〈ℚ; +,0; 〉, 〈ℝ; +,0; 〉, 〈ℂ; +,0; 〉

là các vành nguyên, chúng đều là các vành có đơn vị là số 1

Theo các ví dụ 1.21, 1.22 thì 〈ℤ ; +, 0; 〉 − là vành giao hoán có thừa số không nếu

m là hợp số □

Định nghĩa 1.28 Tập mà trên đó xác định hai phép toán: cộng (ký hiệu là +) và

nhân (ký hiệu là ) được gọi là trường, và viết 〈 ; +,0; , 〉 hay chỉ đơn giản là trường

P, nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

1) 〈 ; +,0; 〉 là một vành giao hoán có đơn vị e

2) Đối với phép nhân, 〈 ∗; , 〉 là nhóm nhân giao hoán

Tập con ⊆ trong trường P mà bản thân tạo thành trường, được gọi là trường con của P, còn P – trường mở rộng của k; phép toán + (− ) được viết thành −

và nói trong P có phép trừ các phần tử Tương tự như thế, khi ≠ 0, phép toán

được viết thành và nói trong P có phép chia cho các phần tử khác không Như vậy trong trường P có cả bốn phép toán: cộng, trừ, nhân, chia cho các phần tử khác không

Từ các ví dụ 1.20 – 1.23 ta có các trường số quan trọng thường gặp sau đây:

ℚ, ℝ, ℂ, ℤ (trường các lớp đồng dư theo modul ( − là số nguyên tố))

Trong đại số tuyến tính ta chỉ xét trường cố định, là một trong hai trường = ℝhoặc = ℂ

Trường số phức sẽ được nghiên cứu kỹ hơn trong mục 1.4, vành đa thức trên trường

sẽ được nghiên cứu kỹ trong mục 1.5

1.4 SỐ PHỨC

1.4.1 Trường số phức

Định nghĩa 1.29 Gọi ℂ = {( , )| ∈ ℝ, ∈ ℝ} − là tập tất cả các bộ hai thứ tự

( , ) các số thực , , mà ta gọi = ( , ) là số phức; trong đó = được gọi là

phần thực của z, còn = được gọi là phần ảo của z Hai số phức được gọi là bằng

nhau nếu phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo hay nói một cách chính xác hơn là, nếu = ( , ), = ( , ) thì theo định nghĩa, = nếu = và

= tức là

30

| | = √ + được gọi là modun của số phức = ( , )

Số phức ̅ = ( , − ) được gọi là số phức liên hợp của = ( , )

Sau đây ta sẽ đưa vào tập ℂ các số phức hai phép toán cộng và nhân số phức

Định nghĩa 1.30 Tổng của hai số phức = ( , ), = ( , ) là số phức

Ta gọi số phức (0,1) là số ảo và ký hiệu là Như vậy (0,1) = Dễ dàng thấy

= ( , ) = + Thật vậy, theo định nghĩa của các phép toán và các qui ước vừa

nêu trên thì + = ( , 0) + (0,1) ( , 0) = ( , 0) + (0, ) = ( , ) Như vậy mọi

số phức ∈ ℂ đều viết được dưới dạng = + ; trong đó = , =

Giống như trong ℝ, thông thường người ta không viết dấu nhân trong cách viết của z,

tức là đáng lẽ phải viết đầy đủ là = + , người ta viết thành = + Như vậy

( + ) đó chính là số phức nhận được bằng cách nhân thông thường hai biểu

thức số học ( + ) và ( + ) và ước lược các số hạng đồng dạng; trong đó chú

ý là = −1 Ta biết cộng và nhân thông thường các biểu thức số học được đưa về

cộng và nhân các số thực mà cộng và nhân các số thực có tính kết hợp, giao hoán, phép

nhân có tính phân phối đối với phép cộng nên các phép cộng và nhân số phức tính kết

hợp, giao hoán, phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng Từ đó ta nhận được

Định lý 1.3 〈ℂ; +, 0; , 1〉 là một trường

Chứng minh

Dễ dàng thấy:

- phần tử trung hòa của phép cộng là 0,

- phần tử trung hòa của phép nhân là 1,

- phần tử ngược của = + là − = − − ,

cùng với nhận xét về các tính chất của các phép toán số phức, định lý 1.3 đã được

chứng minh hoàn toàn.□

1.4.2 Dạng lượng giác của số phức Công thức Mauvra

Mặt phẳng mà trên đó có hệ trục tọa độ Decac và tại mỗi điểm ( , ) gắn

cho một số phức = + được gọi là mặt phẳng phức

Xét mặt phẳng phức và điểm ( , ) Giả sử = + Độ dài

= = + = | | − chính là modun của Góc lượng giác = ∠( )

(chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ) được gọi là argument của số phức và viết

Dạng (1.3) được gọi là dạng lượng giác của số phức = +

Bằng phương pháp qui nạp toán học dễ dàng chứng minh được công thức Mauvra

Theo định nghĩa thì căn bậc n của 0 là 0, do đó khi nói tới căn bậc n của số phức z,

người ta luôn coi là ≠ 0

Như ta đã biết từ trung học phổ thông, căn bậc lẻ của số thực có đúng một giá trị;

căn bậc chẵn của số thực dương có hai giá trị Đối với số phức, bức tranh về căn bậc n

của số phức hoàn toàn khác: căn bậc n của số phức có đúng n giá trị, như chúng ta sẽ có

được trong định lý dưới đây

Định lý 1.4 Căn bậc n của số phức = ( + ) có đúng n giá trị, cho

Hay là = + , ( ∈ ℤ) Như vậy ta đã chứng minh

được các căn bậc n của z có dạng (1.5) với ∈ ℤ Để kết thúc chứng minh định lý ta

phải chỉ ra, trong số các số phức dạng (1.5) có đúng n số khác nhau

{ , , … , } Thật vậy nếu ∈ ℤ, | | ≥ , ta chia s cho n lấy phần dư, tồn tại

∈ ℤ để = + , 0 ≤ < Khi đó dễ thấy rằng = Trường hợp

∈ ℤ, − < < 0 thì rõ ràng là = , với 0 < + = < Như vậy ta đã chứng minh được { , ∈ ℤ} = { , , … , } Cuối cùng ta chỉ cần chỉ ra tất

cả các , , … , đều khác nhau là xong

Thật vậy nếu , là hai số nguyên, 0 ≤ , < mà có = thì lập luận như phần đầu chứng minh định lý, ta có

Do k, s là hai số nguyên, 0 ≤ , < có hiệu − chia hết cho n nên điều này

xảy ra khi và chỉ khi − = 0, tức là = − đó chính là điều phải chứng minh.□

Nhận xét 1.1

1 Từ chứng minh định lý ta thấy tập đầy đủ n căn số của z có thể lấy tất cả các

; trong đó r thuộc một lớp đầy đủ các phần dư theo modul n, ví dụ như

{ , , … , } với ∈ ℤ, m tùy ý

2 Các căn bậc n của số phức z là { , , … , } tương ứng với n điểm là n đỉnh của n – giác đều nằm trên đường tròn tâm O bán kính = | | với một đỉnh ứng với có argument =

33

√−1 = √ ± √ , √ ± √ có 4 giá trị tương ứng với 4 đỉnh của hình vuông

hay đồng nhất với các số phức tương ứng là □

1.5 ĐA THỨC

1.5.1 Vành đa thức trên trường

Gọi [ ] là tập tất cả các đa thức hệ số trên trường , tức là

Nếu ≠ 0 thì nói, đa thức

Đa thức bậc 0 là hằng số , ∈ , ≠ 0 Số 0 cũng được coi là đa thức, và gọi là

đa thức không, đây là đa thức duy nhất có bậc không xác định.

Để thuận tiện khi làm việc với đa thức, ngoài cách viết đa thức theo số mũ giảm dần

của x như trên ta còn sử dụng cách viết đa thức theo số mũ tăng dần của x là

Trong toàn bộ mục 1.5 này ta chỉ xét các đa thức trong [ ]

Hai đa thức thức ( ), ( ) được gọi là bằng nhau nếu chúng có bậc bằng nhau:

= = và các hệ số của cùng một lũy thừa x bằng nhau: = ,

= 0,1,2, … ,

Trước mắt ta cố định hai đa thức ( ) = ∑ và ( )= ∑

Cộng đa thức: Đa thức ℎ( ) = ∑ ; = ( , ) được gọi là tổng của các đa thức ( ), ( ) và viết ℎ( ) = ( ) + ( ), nếu

trong (1.6) ta phải hiểu những hệ số , nào của đa thức với k lớn hơn bậc của đa

thức của nó thì bằng 0 Vì phép cộng các đa thức được đưa về cộng các số hạng và ước

lược số hạng đồng dạng trong trường nên phép cộng đa thức có tính kết hợp, tính

giao hoán Ta coi 0 + ( ) = ( ) + 0 = ( ) với mọi ( )∈ [ ], và như thế, đa thức 0 là trung hòa của phép cộng, ngoài ra, − ( ) = ∑ (− ) là đa thức ngược của ( ) Như vậy ta đã chỉ ra, 〈 [ ]; +,0〉 là nhóm Abel

Nhân hai đa thức Đa thức ℎ( ) = ∑ ; được gọi là tích của các đa thức (khác 0) ( ), ( ) và viết ℎ( ) = ( ) ( ) hay ℎ( ) = ( ) ( ), nếu

và như đối với phép cộng đa thức, ta coi 0 ( ) = ( ) 0 = 0 với mọi ( )∈ [ ]

Dễ thấy qui tắc (1.7) xác định hệ số của đa thức tích là qui tắc nhân đa thức thông thường như nhân hai biểu thức số rồi ước lược số hạng đồng dạng theo cùng các lũy

34

thừa của x Từ đó ta có, nhân các đa thức có tính kết hợp, tính giao hoán, nhân đa thức

có tính phân phối đối với phép cộng Dễ thấy, đa thức 1 là đơn vị của phép nhân Ngoài

ra, từ định nghĩa ta cũng có

Nói một cách khác, ta đã chứng minh được 〈 [ ]; +,0; 〉 − là một vành giao

hoán có đơn vị Vành [ ] được gọi là vành đa thức trên trường Từ (1.8) suy ra, đa

thức ( )≠ 0 có nghịch đảo khi và chỉ khi ( ) = ≠ 0

Ngoài hai phép toán cộng và nhân đa thức đã xác định ở trên, trong tập [ ] còn có

phép nhân đa thức với một số trong trường , được xác định như sau: Nếu

∈ , ( ) ∈ [ ] thì ( ) − là một đa thức, được xác định theo công thức

( ) = ∑ ( ) Dễ dàng thấy, phép nhân đa thức với một số có các tính chất

sau với mọi , ∈ , ( ), ( ) ∈ [ ]:

Định nghĩa 1.33 Giả sử ( ), ( ) là các đa thức khác 0 Ta nói ( ) chia hết cho

( ) và viết ( )| ( ) (đọc là ( ) chia hết ( ) hay ( ) là thừa số của ( )) nếu

tồn tại đa thức ( ) sao cho ( ) = ( ) ( ) Rõ ràng là mọi đa thức đều chia hết

cho ∈ , ≠ 0 và chính nó Đa thức ( ) bậc lớn hơn 0 mà chỉ chia hết cho

∈ , ≠ 0 và chính nó được gọi là đa thức bất khả qui Ví dụ, trên trường số thực

đa thức + 1 là đa thức bất khả qui, nhưng trên trường số phức thì không, vì

+ 1 = ( + )( − )

Dễ dàng chứng minh các tính chất chia hết sau đây của đa thức:

1) ( )| ( ) và ( )|ℎ( ) thì ( )|ℎ( )

2) ( )| ( ) và ( )| ( ) khi và chỉ khi ( ) = ( ); ∈ , ≠ 0

3) Nếu các đa thức ( ), ( ) đều chia hết cho ( ) thì với mọi đa thức

( ), ( ), đa thức ( ) ( ) + ( ) ( ) cũng chia hết cho ( )

Thật vậy, ví dụ như ta chứng minh tính chất thứ hai Theo giả thiết, tồn tại các đa

thức ( ), ( ))) ∈ [ ] để ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ), theo (1.8)

ta phải có ( ) ( ) = 0, cho ta ( ) ( ) ∈ , nên ( ) = , ( ) = ∈ ; , ≠ 0 □

35

Chúng ta phát biểu và chứng minh định lý chia Euclid nổi tiếng sau đây:

Định lý 1.5 Với mọi đa thức ( ) , ( ) tồn tại duy nhất các đa thức ( ), ( ) sao cho

sự tồn tại các đa thức ( ), ( ) đã được chứng minh xong

Chứng minh duy nhất của bộ hai ( ), ( ) − theo thứ tự là thương số và số dư của phép chia ( ) cho ( ): Bằng phản chứng, giả sử có hai biểu diễn dưới dạng (4), tức là ( ) = ( ) ( ) + ( ) và ( ) = ( ) ( ) + ( ) sao cho

< , < Trừ vế với vế hai hệ thức này ta được ( ) − ( ) = ( ) ( ) − ( ) Nhưng vế trái của hệ thức nhận được là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của ( ) còn vế phải là đa thức có bậc lơn hơn hoặc bằng bậc của ( ) cho nên cả hai vế đều là 0, tức là ( ) = ( ) và ( ) = ( ) □

Ví dụ 1.25 Bằng phương pháp chia đa thức lấy phần dư thông thường, ta dễ dàng

nhận được

36

2 + 5 + 4

Nhận xét 1.2 Từ chứng minh định lý 1.5 ta thấy ngay, nếu ( ), ( ) ∈ [ ];

trong đó là trường con của thì các đa thức thương số ( ) và phần dư ( ) đều

nằm trong [ ] Trường hợp đặc biệt khi ( ), ( ) ∈ ℚ[ ] thì ( ), ( ) ∈ ℚ[ ]

b) Ước chung lớn nhất

Đa thức ( ) được gọi là ước chung lớn nhất của các đa thức ( ), ( ) và ký hiệu

( ) = ( ( ), ( )) hay đơn giản hơn, ( ) = ( ), ( ) , nếu ( ) là ước

chung của các đa thức đã cho và nó chia hết cho mọi ước chung khác của các đa thức

ấy Nói một cách cụ thể ( )= ( ), ( ) nếu thỏa mãn hai điều kiện

1) ( )| ( ), ( )| ( )

2) Nếu ( )| ( ) và ( )| ( ) thì ( )| ( )

Khi nói về tính chia hết của các đa thức trong [ ] người ta thường bỏ qua những

thừa số trong trường

Hai đa thức ( ), ( ) được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu

( ), ( ) = 1

Định lý 1.6 Tồn tại ước số chung lớn nhất của các đa thức ( ) , ( )và nếu không

tính đến thừa số từ trường thì ước số chung lớn nhất này duy nhất

Dễ dàng thấy, phần dư trước cuối cùng, ( )= ( ) = ( ), ( ) Thật

vậy, ngược từ dưới lên trên trong loạt các hệ thức vừa nhận được ở trên ta có:

( )| ( ), … , ( )| ( ), ( )| ( ), ( )| ( ), ( )| ( );

Hơn thế nữa, nếu ( )| ( ), ( )| ( ) thì từ trên xuống dưới trong loạt các hệ

thức nói trên ta lại được ( )| ( ) Sự tồn tại đã được chứng minh Tính

duy nhất của dễ dàng suy ra từ định nghĩa, nếu ( ) cũng là của

số hữu tỷ hệ số của các đa thức có mặt ta sẽ nhận được tất cả các đa thức có mặt trong thuật toán đều có hệ số nguyên

( ) = 2 + 3 + 3 + 1 chia cho ( ) = 8 + 8 + 2 ta sẽ lấy

4 ( ) = 8 + 12 + 12 + 4 chia cho ( ) = 8 + 8 + 2 được dư

( )= 6 + 3 Cuối cùng ta thấy ( ) = 8 + 8 + 2 chia hết cho

( ) = 2 + 1 nên ( )= 2 + 1 − là cần tìm □

c) Bội chung nhỏ nhất

Đa thức ( ) được gọi là bội chung nhỏ nhất của các đa thức ( ), ( ) và ký hiệu

( ) = ( ( ), ( )) hay đơn giản hơn, ( ) = [ ( ), ( )], nếu ( ) là bội chung của các đa thức đã cho và nó chia hết mọi bội chung khác của các đa thức ấy Nói một cách cụ thể ( )= [ ( ), ( )], nếu thỏa mãn hai điều kiện

1) ( )| ( ), ( )| ( )

2) Nếu ( )|ℎ( ) và ( )|ℎ( ) thì ( )|ℎ( )

Giống như trường hợp UCLN, BCNN của các đa thức cũng lấy chính xác đến thừa

số trong trường và cũng không phụ thuộc vào trường hay mở rộng của nó

38

( ) = ( ), ( ) = 2 + 1, ( ) = 2 − 3 + 2 − 1 = (2 + 1)( − 1)( − + 1),

( )= 2 + 3 + 3 + 1 = (2 + 1)( + + 1), nên

( ) = [ ( ), ( )] = (2 + 1)( − 1)( − + 1)( + + 1) □

1.5.3 Nghiệm của đa thức

Ta nói là nghiệm của đa thức ( ) nếu ∈ và ( ) = 0

Bổ đề 1.2 là nghiệm của đa thức ( ) khi và chỉ khi ( ) biểu diễn được dưới

dạng ( ) = ( − ) ( ); trong đó ( ) ∈ [ ]

Chứng minh Chia ( ) cho ( − ) ta được ( ) = ( − ) ( ) + , từ đây ta

có ( )= 0 ⇔ = 0 ⇔ ( ) = ( − ) ( ) □

Nếu tồn tại ∈ ℕ∗ sao cho ( )= ( − ) ( ); ( ) ∈ [ ] sao cho ( ) ≠ 0

thì người ta nói là nghiệm bội của đa thức ( )

Bổ đề 1.3 Để là nghiệm bội của đa thức ( ) điều kiện cần và đủ là nghiệm các đa thức ( ), ( ), ( ), … , ( )( ) nhưng không phải là nghiệm của đạo hàm cấp của ( )

( ) = ( − ) ( ); ( ) ∈ [ ] sao cho ( ) ≠ 0 Khi đó

( ) =

( )( )

( )( )( + 1)! ( − ) + ⋯ +

( )( )

( ) = ( ) = ( ) = ⋯ = ( )( ) = 0, ( )( ) ≠ 0 □

Định lý cơ bản của đại số Trên trường số phức ℂ mọi đa thức hệ số phức có đúng

n nghiệm phức, kể cả nghiệm bội

Như vậy trong trường số phức mọi đa thức đều phân tích thành tích các thừa số bậc một Trường mà trong đó mọi đa thức có hệ số trong đều phân tích thành tích các

thừa số bậc nhất được gọi là trường đại số kín Như vậy ℂ − là trường đại số kín Đối

với trường đại số kín không còn có nhu cầu mở rộng trên quan điểm nghiệm của đa thức nữa

b) ( ∨ ) ∧ ( ̅ ∨ ) ⇒ ∨ : Phương pháp giải (resolution)

4 Một cặp các phép toán logic được gọi là đủ nếu các phép toán logic khác có thể

biểu diễn qua cặp các phép toán này Chứng minh rằng các cặp phép toán logic sau là đủ

b) ∧: hội, ⇒: suy diễn

c) ∨: tuyển, ⇒: suy diễn

6 Viết các mệnh đề sau dưới dạng vị từ

7 Viết dưới dạng vị từ các mệnh đề toán học sau

a) Dãy số ( ) không có giới hạn bằng

b) Hàm số ( ) không có giới hạn bằng A khi →

c) Hàm số ( ) không liên tục tại ∈ = ( ; )

40

d) Hàm số ( ) không liên tục đều trên X

e) ( ) không phải là USCLN của hai đa thức ( ) và ( )

8 Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng, các hệ thức sau đây đều

đúng cho mọi số nguyên dương

a) 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2 − 1) =

b) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ⋯ + ( + 1) = ( + 1)( + 2)

3c) 1(1!) + 2(2!) + ⋯ + ( !) = ( + 1)! − 1

15.7+ ⋯ +

1(2 − 1)(2 + 1) =2 + 1

9 Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học các bất đẳng thức sau

1.3.5 … (2 − 1)2.4.6 … (2 ) ; với = 1, 2, … b) 1.3.5 … (2 − 1)

2.4.6 … (2 ) ≤

1

√ + 1 ; với = 1, 2, … c) 2 + 1 ≤ 2 ; với = 3, 4, …

b) Hàm số ( )= thỏa mãn phương trình truy hồi đã cho khi và chỉ khi

là nghiệm kép (bội hai) của ( )

c) Nếu ( ) có hai nghiệm phân biệt , thì mọi nghiệm của phương trình truy hồi có dạng ( )= + ; trong đó , tìm được duy nhất từ các điều kiện ban đầu