Tài liệu Phương pháp phân tích hệ thống và lời giải số trực tiếp pdf

ABSTRACT This article develops the state-space representation using in analyzing and examining the performance of engineering systems, also includes the solution using direct numerical m

Trang 1

Phương pháp phân tích hệ thống và lời giải số trực tiếp

The method of analyzing engineering systems and its direct numerical solution

Bùi Trương Vĩ

Đại học kỹ thuật Đà Nẵng

TÓM TẮT

Nội dung bài báo trình bày phương pháp không

gian-trạng thái dùng trong kỹ thuật phân tích và

đánh giá chất lượng các hệ thống động lực cũng

như lời giải số trực tiếp có thể dễ dàng thực hiện

trên các máy tính số Các ví dụ ứng dụng bao gồm

khảo sát và giải cho2 hệ thống 1.Hệ thống cơ học :

Khảo sát ảnh hưởng độ đàn hồi của chiều dài vít

me hộp chạy dao máy CNC đến độ chính xác gia

công trên máy 2.Hệ thống cơ-điện tử :Khảo sát đặc

tính động lực của động cơ điện 1 chiều điều khiển

tốc độ bằng dòng điện phần ứng cho cả 2 trường

hợp : trục cứng vững tuyệt đối và trục có tính đến

độ đàn hồi

ABSTRACT

This article develops the state-space representation using in analyzing and examining the performance of engineering systems, also includes the solution using direct numerical method One of the most advantages of this approach is the ease to solve numerically by computer Two applications are introduced as illustrating examples, one is the solution of a mechanical system in which the performance of the system can be investigated and examined, the other

is the solution of an electromechanical system : a system with an armature-controlled DC motor,both rigid and flexible shaft

ĐẶT VẤN ĐỀ:

Sau khi đã nhận được các phương trình đặc trưng

mô tả mô hình các hệ thống động lực dùng làm hệ

thống chấp hành máy, các mô hình toán học nầy

cần được biểu diễn sao cho lời giải của chúng có

thể mô tả được trạng thái hoạt động của hệ thống

chấp hành ở một thời điểm bất kỳ t nào đó (t≥to ,với

to là thời điểm bắt đầu)

Một phương pháp tổng quát cho phép xác định

trạng thái chuyển động của một hệ thống là phương

pháp không gian - trạng thái, dựa trên tập hợp các

biến trạng thái Các biến trạng thái nói chung là các

đại lượng toán học dùng để mô tả 1 hệ thống ở dạng

tường minh

NỘI DUNG:

Phương pháp không gian - trạng thái mô tả lại các

phương trình chuyển động của hệ thống qua các

biến trạng thái :

• Số biến trạng thái bằng số điều kiện

đầu để giải được phương trình chuyển

động

• Các biến trạng thái chính là các biến

mà điều kiện đầu đòi hỏi

+ DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG

TRÌNH KHÔNG GIAN-TRẠNG THÁI :





 +

=

+

= Du Cx y

Bu Ax x&

với :

A,B,C,D là các ma trận không

gian-trạng thái ; x,u là các véctơ

Ma trận A có kích thước n × n , là ma

trận hệ thống

Ma trận B có kích thước n × m , là ma

trận biến vào

Ma trận C có kích thước p × n , là ma

trận biến ra

Ma trận D có kích thước p × m , là ma

trận truyền

x là véctơ trạng thái có kích thước n × 1

(véc tơ cột)

u là véctơ biến vào có kích thước m × 1

y là véctơ biến ra , có kích thước p × 1 Để phân tích và khảo sát đặc tính chất lượng của các hệ thống động lực dùng trong hệ chấp hành máy công cụ ĐKS, ta phải tìm lời giải cho dạng tổng quát của phương trình không gian-trạng thái Bài toán quy về việc giải các phương trình biến trạng thái, bởi vì phương trình biến ra y dễ dàng tính được một khi chúng ta đã tìm được x

+ LỜI GIẢI SỐ TRỰC TIẾP CỦA PHƯƠNG TRÌNH BIẾN TRẠNG THÁI :

1 trong những ưu điểm chính của phương pháp không gian- trạng thái là thuận tiện giải trên các máy tính số đối với các phương trình mô tả hệ

thống

Phép tính xấp xỉ đạo hàm của 1 biến x:

t ) t ( x ) t t ( x x

∆

−

∆ +

=

& hay : x(t + ∆t) = x(t) + x&∆t

Đây có thể được coi là biểu thức xấp xỉ kế tiếp để

tính giá trị của x ở thời điểm (t +∆) khi biết giá

trị của x và x& ở thời điểm t Thay x& ở phương trình biến trạng thái vào biểu thức xấp xỉ kế tiếp , ta có:

x(t+∆t)=x(t)+[Ax(t)+Bu]∆t Chú ý rằng các hệ thống động lực dùng làm hệ

chấp hành máy công cụ được mô tả ở trên với giả

thiết có các số hạng A và B là tuyến tính và không đổi theo thời gian, nhưng biểu thức xấp xỉ kế tiếp ở

trên vẫn áp dụng được nếu các số hạng ( và do đó là

hệ thống ) phụ thuộc theo thời gian và/hay không tuyến tính

Như vậy, bắt đầu từ thời điểm t = 0 , cùng với các điều kiện đầu đã biết , ta có thể xác định được các

biến trạng thái ở các bước thời gian kế tiếp

ỨNG DỤNG :

VÍ DỤ 1 : Khảo sát ảnh hưởng độ đàn hồi của

chiều dài vít me hộp chạy dao máy CNC đến độ

chính xác gia công trên máy

Trang 2

Bài toán đặt ra là giả sử ta có 1 hệ thống cơ học

dùng làm hệ thống truyền động chạy dao cho máy

CNC, bao gồm động cơ truyền động cho trục vít me

qua hộp giảm tốc bánh răng Trục vít me dẫn động

bàn máy mang chi tiết gia công đến vị trí chính xác

càng nhanh càng tốt Do vít me có chiều dài nhất

định cũng như tính đàn hồi của các bánh răng trong

hộp giảm tốc, góc xoay của vít me tại vị trí làm việc

(vị trí ăn khớp với đai ốc bàn máy ) sẽ khác với góc

xoay tính toán, và dẫn đến không tiên đoán được vị

trí thực tế của bàn máy

Yêu cầu của bài toán nhằm tìm ra các ảnh hưởng

do tính đàn hồi của vít me tác dụng đến sự làm việc

của cơ cấu chấp hành (bàn máy) cũng như biện

pháp khắc phục để bàn máy mang chi tiết gia công

đến vị trí mong muốn với độ chính xác cao Yêu

cầu nầy là đặc biệt có ý nghĩa khi bàn máy mang

chi tiết gia công đang thực hiện chuyển động cắt

gọt , bởi vì dụng cụ cắt có thể cắt lẹm vào bề mặt

gia công

LỜI GIẢI

4

M1 θ1

J1

J3

3

θ

4

θ

J4

Mt

k N

H 1a) : Hệ thống truyền động

4

M1

Mt k

1

θ

J1

2

θ

J2

J3

J4

3

H 1b) : Mô hình hệ thống

4θ2

J2 I

II

Hình 1trình bày sơ đồ hệ thống truyền động chạy

dao theo 1trục toạ độ của máy công cụ ĐKS(CNC)

Các giả thiết ban đầu :

Trục I : trục động cơ, giả sử cứng vững tuyệt đối ,

khi đó rô to động cơ cùng với trục I và bánh răng 2

quay cùng tốc độ, hay nói một cách khác

θ1 = θ2 = θm ;

Trục II : trục vít me,có độ cứng

k

vm

4

l 32 d Gπ

= với G : mô đun đàn hồi chống xoắn của vật liệu;

d,lvm : đường kính trung bình của ren và chiều dài

vít me ;

N>1: tỉ số truyền giảm tốc ;

J1: mômen quán tính rô to động cơ

J4:mômen quán tính bàn mang tải quy về trục II;

Bỏ qua mômen quán tính các bánh răng J2 và J3 ;

b1,b2 : hệ số ma sát trên các trục I và II tương ứng Phương trình chuyển động của hệ thống truyền động cơ học :

M1-b1θ&m-M2 = J1θ&&m (1.1)









θ −θ & && (1.2) Ngoài ra, do trục I truyền chuyển động đến trục vít me qua cặp bánh răng trung gian được giả thiết bỏ qua mô men quán tính, nên ta có thể viết :









θ −θ

4 m

N

k (1.3) Áp dụng kỹ thuật phân tích không gian-trạng thái với định nghĩa véc tơ biến trạng thái x như sau :

x1 = θm ; x3 = θ4 ; x2 = θ& ; xm 4 = θ& 4 Khi đó có thể viết :

2

x& = ; x&3 =x4 ; x&2= &&θm; x&4 = &&θ4 Từ các phương trình (1),(2),(3), ta có:

1

1 4 1 m 2 1 m 1

1 m

J

M N J

k N

J

k J

−

=

θ&& &

1

1 3 1 1 2 1 2 1

1

J

M x N J

k x N J

k x J

−

=

4

2 4 4 m 4

b J

k N J

=

4

2 3 4 1 4

x J

b x J

k x N J

=

Viết lại ở dạng phương trình biến trạng thái :

=













4 3 2 1

x x x x







−

N J k 0

4

2

0 0 J b 1

1 1

−

4

1

J k 0

N J k 0

−







− 4

2 J b 1 0 0













4 3 2 1

x x x x

+













0 0 J 1 0

1 M1

Thay các số liệu thành phần của A và B, trong đó

cho trước :

J1 = 0,0001Nms2/rad ;

J4 = 0,001Nms2/rad ;

b1 = b2 = 0,01Nms/rad;

k = 1Nm/rad ; N = 5 và giải bằng lời giải số trực tiếp phương trình biến trạng thái

Lời giảisố trực tiếp Kết quả :H1.c,d.

Trang 3

0 , 2

0 , 4

0 , 6

0 , 8

1

1 , 2

0 0 , 1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , 5 0 , 6 0 , 7 0 , 8 0 , 9 1

T h ơ ̀i g ia n t (s ) H1.c)Lời giải số trực tiếp hệ thống cơ học

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Thời gian t ( s )

H1.d)Lời giải số trực tiếp hệ thống cơ học

Thuật toán

• Xác định gia số thời gian và các giá trị

đầu

dt = 0,01 N=1000

x 1 (0) = 0 x 2 (0) = 0; u (0) = M 1 (0)= 1/100

• Thời điểm bắt đầu : t 1 = 0

• Thực hiện các phép tính với i=1











−

+

= +

+

= +

+

−

− +

= +

+

= +

∆t

* (t)]

10x (t) 1000x

(t) [200x (t) x

∆t) (t

x

∆t (t)*

x (t) x

∆t) (t

x

∆t

* ] 10000M

(t) 2000x (t) 100x

(t) 400x [ (t) x

∆t) (t

x

∆t (t)*

x (t) x

∆t) (t

x

4 3

1 4

4

4 3 3

1

3 2

1 2

2

2 1 1

• Cập nhật các giá trị của x và t tại điểm kế tiếp

• Tiếp tục cho đến i = N+1

Lời giải nhận được chỉ ra đặc tính động lực của hệ thống chấp hành cơ học

Trên đồ thị H1c,d là các đường đặc tính x2 và x4

biểu thị sự biến đổi tốc độ góc của trục I và trục II theo thời gian , qua đó ta có thể thấy rằng có thể coi đáp ứng đạt giá trị xác lập sau khoảng 1s, đây là khoảng thời gian khá dài khi gia công với tốc độ cao Mặt khác, bản chất dao động của đáp ứng có thể sản sinh ra các mấp mô trên bề mặt gia công Biện pháp khắc phục : Cần thiết lập hệ thống điều khiển có phản hồi cho hệ thống khảo sát

Σ

-Hệ thống chấphành

x

H1.e:Mô hình hệ thống có phản hồi dạng không gian-trạng thái

Σ +

+ B

A

y x&

G

+

C

Trong trường hợp tổng quát , đối với hệ thống có phản hồi mô tả ở dạng không gian - trạng thái (H 1.e), cần xác định véc tơ phản hồi G sao cho hệ thống được cung cấp 1 véc tơ điều khiển u đảm bảo đáp ứng hệ đúng theo mong muốn

Các trị riêng của hệ thống hở:

eig(A)= 0.0000 , -96.2922 , -6.8539 +32.1414i và -6.8539 -32.1414i

Trước hết kiểm tra tính điều khiển được của hệ thống ( có đặt các cực tuỳ ý được hay không ):

Rk CT = Rk [ B][AB][A2B][A3B] = 4 = bậc của hệ thống : Hệ có tính điều khiển được

Đặt cực: Để có cản tới hạn ( ξ = 1), ta đặt tất cả 4 cực tại s = -20 và sau đó tìm véctơ hệ số phản hồi thích hợp

Véctơ cực vòng kín mong muốn :

dp = [-20 -20 -20 -20]

Véctơ hệ số phản hồi :

k = acker(A,B,dp) cho kết quả :

k =[ 0.0300 -0.0030 -0.0700 -0.0225 ] Các mô tả hệ thống có phản hồi trở thành :

AC = A-B*k ; BC = B; CC=C ;DC=0 trong đó: AC= [0 1 0 0;-700 -70 2700 225;0 0 0 1;

200 0 -1000 -10]

Kiểm tra các trị riêng của AC: eig(AC) = -20.0050 , -19.9950 , -20.0000 + 0.0050i và -20.0000 - 0.0050i Kết quả là phù hợp

Đáp ứng nấc hệ thống có phản hồi nhận được như

Trang 4

(H 1.f)

Đường x3 mô tả đặc tính chuyển vị góc tại vị trí

mang tải trên trục II của hệ thống chấp hành theo

yêu cầu thiết kế ξ = 1 ( đáp ứng không dao động

nhanh nhất ); tương ứng với sự biến đổi tốc độ góc

trên các trục I và II sau thời gian xác lập sẽ bằng 0

(các đường x2 và x4 ở H1 c,d )

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

Thời gian t(s)

x3

H1.f): Đáp ứng nấc của hệ thống có phản hồi

Kết quả của phương pháp trên là rõ ràng , tuy vậy

có 1 số nhược điểm , ví dụ việc đặt cực tuỳ ý có thể

vượt quá khả năng thực tế của hệ điều khiển hệ

thống truyền động, cũng như tất cả các biến trạng

thái phải được phản hồi (trường hợp đang khảo sát,

cần 2 chuyển vị kế và 2 tốc kế ), dẫn đến hệ phức

tạp, tăng giá thành

VÍ DỤ 2: Khảo sát đặc tính động

lực của động cơ điện 1 chiều điều khiển tốc độ

bằng dòng điện phần ứng

Các giả thiết ban đầu :

Trục tuyệt đối cứng ( k→∞) và là thành phần

đàn hồi , do vậy có thể coi rô to, trục và điã mang

tải là 1 vật thể rắn duy nhất quay cùng tốc độ ω

Momen quán tính khối lượng tổng là : J= Jr+Jđ

ia : dòng điện phần ứng

Ra,La: điện trở , cuộn cảm trong mạch điện

Vi : thế hiệu đặt vào (biến vào)

LỜI GIẢI

Hệ thống có thể được mô tả bởi 2 phương trình vi

phân

Đối với mạch điện, ứng dụng định luật Kirchoff

phân tích mạch vòng, ta có :

ΣVđiện áp rơi = 0

VRa + VLa +Eb - Vi = 0

trong đó : Eb là sức phản điện sinh ra trong động cơ

khi cuộn dây rô to bắt đầu quay

Eb = Keω =Keθ&

với Ke : hệ số phản điện, là hằng số Ke







 s

1 rad Volt

Đối với hệ thống cơ học, dựa vào sơ đồ H2b, ta có : + 4→ΣMc = Ic→4+

hay

M1+Mt - bθ&=Jθ&& (2.1)

+

-Vi

+

-k

ia

4 θ

= ω

θ, &

Mt

H2 a) Hệ thống động lực với động cơ điện 1 chiều điều khiển tốc độ bằng dòng điện phần ứng

H2 b) Sơ đồ phân tích

Hệ có 1biến vào Vivà 2biến ra, iavàθ ,là các biến độc lập

θ&

b

M1+Mt

4 θ

Momen sinh ra bởi động cơ tỉ lệ với dòng phần ứng ia :

M1= kmia

trong đó

km : hằng số ngẫu của động cơ Km







 A

Nm Viết lại :

J&& b+ θ& - kmia = Mt (2.2)

Cuối cùng , phương trình mô tả hê thống :











= θ + +

=

− θ + θ

i e a a a a

t a m

V k i R dt

di L

M i k b J

&

&&

Sắp xếp lại ở dạng ma trận bậc 2, phương trình vi phân mô tả mô hình hệ thống trên (H2 a) có thể

được biểu diễn :



 0

J



 0

0











θ

a

i&&

&& +





e

k

b





a

L

0











θ

a

i&

&

+ 



 0





−

a

m

R

k











θ

a













i

t

V

M

Do hệ phương trình không chứa số hạng độ cứng , nên có thể thay ω = θ&

Khi đó các phương trình hệ trở thành :









= ω + +

=

− ω + ω

i e a a a a

t a m

V k i R dt

di L

M i k b

J &

và ở dạng ma trận :

Trang 5







0

J 





a

L

0











ω

a

i&& + 





e

k

b







−

a

m

R

k











ω

a

i = 









i

t

V

M

Áp dụng lời giải số trực tiếp cho hệ thống cơ-điện

tử trình bày ở H2 với phương trình vi phân mô tả ở

dạng ma trận như trên

Các số liệu ban đầu cho trước

Điều kiện đầu

ia(0) = 0 ;

)

0

(

ia

& =0

La = 1H ;

Ra = 1Ω

ke = 1 Vs

J = 1kgm2

b = 2Nms

km = 1Nm/A

Mt = 0

Thay các giá trị bằng số, ta có:







0

1 





1

0











ω

a

i&& + 





1

2







− 1

1











ω

a

i = 









10 H2.c) là lời giải nhận được đối với hệ thống cơ -

điện tử H2 khi chịu tác động của biến vào là hàm

dòng nấc đơn vị theo các số liệu và điều kiện đầu

cho trước như trên

Giá trị xác lập của dòng và tốc độ đạt được là

0,67A và 0,33 rad/s tương ứng , được tìm thấy qua

đồ thị

Lời giải số trực tiếp

Kết quả :H2.c

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

Thời gian t(s)

) t ( ω

i(t)

H2.c) :Lời giải số trực tiếp hệ thống cơ-điện tử

Nếu giả thiết trục có độ cứng hữu hạn k , hệ

thống điện ở (H2a) không thay đổi, nhưng sơ đồ

phân tích hệ thống cơ học ở (H2b) được thay đổi

như sau:

Mô tả hệ thống cơ học (H2b) theo mô hình hệ

thống có 2 bậc tự do, với

1

θ ,θ là các toạ độ vị trí 2 góc

Jt 4 4

4

M1=kmia

θ1

θ2

Mt

H2 d) :Sơ đồ phân tích hệ thống cơ học khi trục có độ cứng hữu hạn

Phương trình vi phân mô tả hệ thống điện :

La + Raia+ ke = Vi (3.1) dt

dia

1

θ&

Đối với hệ thống cơ học,các phương trình momen :

) 2 3 ( i k M ) ( k ) ( b

Jrθ&&1+ θ&1−θ&2 + θ1−θ2 = 1= ma

) 3 3 ( M ) ( k ) ( b

Jtθ&&2+ θ&2−θ&1 − θ1−θ2 = t Viết lại ở dạng phương trình biến traṇg thái với các biến traṇg thái được chọn :

x1= 1

θ ;

x2= θ& =1 x&1 ;

x3 = θ ; 2

x4 = θ& =2 x&3;

x5 = ia ;

x6 = i& = a x&5 Khi đó đối với toàn hệ thống điện và cơ :













6 5 4 3 2 1

x x x x x x

&

=







−

0 0 J k 0 J k 0

t r

0 L k J b 0 J b 1

a e t r

−

0 0 J k 0 J k 0

t

r

− 0 0 J b 1 J b 0

t

r

−

0 L R 0 0 J k 0

a a

r m

−







0 0 0 0 0 0













6 5 4 3 2 1

x x x x x x

+

i a

V

0

L / 1 0 0 0 0













+

t t

M

0 0

J / 1 0 0 0













Áp dụng lời giải số trực tiếp cho hệ thống cơ-điện tử trình bày ở H2 với phương trình vi phân mô tả ở dạng ma trận như trên

Các số liệu ban đầu cho trước : Điều kiện đầu :

ia(0) = 0 ; ) 0 (

ia

& =0 ;

1

θ (0 ) = 0;

0 ) 0 (

θ&

Trang 6

)

0

(

0

)

0

(

θ&

Lời giải số trực tiếp

Kết quả :H2.e

H2e): Lời giải số trực tiếp hệ thống cơ-điện tử

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

Thời gian t(s)

x2 x4 x5

Điện áp đặt vào là hàm nấc đơn vị :

Vi(t) =1;

Mt = 0

La = 1H

Ra = 1Ω;

k = 1Nm/rad;

b = 2Nms ;

ke=1Vs

km =1Nm/A ;

Jr = 0,1kgm2;

Jt = 1 kgm2 ;

Thay vào các giá trị bằng số , ta có:













6

5

4

3

2

1

x

&

=







−

0

1

0

10

0

1 2

0

20 1

−

0 0 1 0 10 0

−

0 0 2 1 20 0

−

0 1 0 0 10 0

−







0 0 0 0 0 0













6 5 4 3 2 1

x x x x x x

+

i

V

0

1

0













+

t

M

0

1

0













H2.e) là lời giải nhận được đối với hệ thống cơ -

điện tử H2 khi chịu tác động của biến vào là hàm

nấc đơn vị theo các số liệu và điều kiện đầu cho trước như trên

Trên đồ thị ,các đường đặc tính x2 và x4 biểu thị sự biến đổi tốc độ góc tại vị trí rô to và tại vị trí đĩa mang tải theo thời gian Rõ ràng là do ảnh hưởng bởi độ đàn hồi của trục gây ra 1 lượng chuyển vị vượt quá trong giai đoạn quá độ của hệ thống chấp hành Lượng vượt quá nầy lên đến hơn 10% theo đồ thị sau thời gian 4,71 s

KẾT LUẬN Trên đây là phương pháp mô tả không gian -trạng thái trong phân tích thiết kế các hệ thống kỹ thuật và cách dùng lởi giải số trực tiếp để nhận được kết quả tính toán

Độ chính xác kết quả nhận được ngoài việc phụ thuộc vào mô hình thiết lập còn phụ thuộc vào thuật toán tìm lời giải

Đối với thuật toán của lời giải số trực tiếp, độ chính xác kết quả nhận được chỉ phụ thuộc vào số phép lặp, và độ dài thời gian thực hiện, và tùy theo tính chất hệ thống khảo sát cũng như tùy thuộc vào chỉ tiêu cụ thể khi phân tích , đánh giá chất lượng hệ thống để lựa chọn số phép lặp N và gia số thời gian ∆t thích hợp

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn đắc Lộc,Tăng Huy : Điều khiển số và công nghệ trên máy điều khiển số CNC,Nhà xuất bản Khoa học-Kỹ thuật,Hà Nội 1996

[2] Hung V.Vu,Ramin S.Esfandiari : Dynamic Systems,Mc Graw Hill Inc 1998

[3] Đỗ Sanh : Cơ học Tập 2 , Nhà xuất bản Giáo Dục , Hà Nội 1996

[4] Đặng văn Đào, Lê văn Doanh: Kỹ thuật điện,Nhà xuất bản Khoa học-Kỹ thuật, Hà Nội

1997 [5] Morris Driels : Linear Control Systems Engineering ,Mc Graw Hill International Editions , Mechanical Engineering Series , 1995

[6]Trần văn Minh : Phương pháp số và chương trình bằng Turbo Pascal (Tài liệu dùng cho cán bộ và sinh viên các ngành kỹ thuật),Nhà xuất bản Khoa học-Kỹ thuật,Hà Nội 1998

[7]Elliot B.Koffman : Turbo Pascal, Problem Solving and Program Design, Addison-Wesley Publishing Company, Inc,1991

[8] MatLab 6p5 ,The MathWorks Inc,2002

Tiêu đề	Phương pháp phân tích hệ thống và lời giải số trực tiếp
Tác giả	Bùi Trương Vĩ Đại
Trường học	Đại học Kỹ thuật Đà Nẵng
Chuyên ngành	Kỹ thuật
Thể loại	bài báo
Thành phố	Đà Nẵng

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	257,64 KB