Bất đẳng thức cấp trung học cơ sở
Chuyên đ B i d ng ề ồ ưỡ H c sinh Gi i Toán THCSọ ỏ Bất đẳng thức Cauchy BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI (CAUCHY) Bất đẳng thức Côsi cho hai số: Cho hai số , 0a b ≥ . Ta có: + Dạng 1: 2 a b ab + ≥ + Dạng 2: 2a b ab+ ≥ + Dạng 3: 2 2 a b ab + ≥ ÷ Dấu “=” xảy ra khi a b= Bất đẳng thức Côsi cho ba số: Cho hai số , , 0a b c ≥ . Ta có: + Dạng 1: 3 3 a b c abc + + ≥ + Dạng 2: 3 3a b c abc+ + ≥ + Dạng 3: 3 3 a b c abc + + ≥ ÷ Dấu “=” xảy ra khi a b c= = Bất đẳng thức Côsi cho n số: Cho dãy số 1 2 3 , , , ., 0 n a a a a ≥ . Ta có: + Dạng 1: 1 2 1 2 . n n n a a a a a a n + + + ≥ + Dạng 2: 1 2 1 2 . n n n a a a n a a a+ + + ≥ + Dạng 3: 1 2 1 2 . n n n a a a a a a n + + + ≥ ÷ Dấu “=” xảy ra khi 1 2 . n a a a= = = MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG CMR: 2 2 a b a b ab ab + + ≥ ⇔ ≥ CMR: , . , 0a b c ab bc ca a b c+ + ≥ + + ∀ > CMR: 2 2 2 , , ,a b c ab bc ca a b c+ + ≥ + + ∀ CMR: ( ) 2 2 2 2 2 , , ,a b c a b c a b c+ + ≥ + ∀ CMR: 2, , 0 a b a b b a + ≥ ∀ > Cho , 0a b > . CMR: 1 1 2 a b ab + ≥ CMR: 1 1 4 , , 0a b a b a b + ≥ ∀ > + CMR: 2 2 1a b ab bc ca+ + ≥ + + Biên so n: Lê H u Lu tạ ữ ậ Trang -1- Chuyên đ B i d ng ề ồ ưỡ H c sinh Gi i Toán THCSọ ỏ Bất đẳng thức Cauchy CMR: 2 2 2 2 1a a+ ≥ + Cho , 0a b > . CMR: 4 1 ab a b ab + ≥ + Cho , 0a b > . CMR: 1 1 1 1 4a b a b ≤ + ÷ + Cho , 0a b ≥ . CMR: ( ) ( ) 1 4a b ab ab+ + ≥ Cho , , 0a b c > . CMR: ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1a b ab+ + ≥ + A. Dạng áp dụng Côsi trực tiếp: 1/. Cho , , 0x y z > .Chứng minh 2 xy yz y z x + ≥ 2/. Cho , , 0x y z ≥ .Chứng minh yz zx xy x y z x y z + + ≥ + + 3/. Cho ba số , ,x y z không âm. CMR: x y z xy yz zx+ + ≥ + + 4/. Cho , , , 0a b c d ≥ . CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 a b c d a c b d a d b c abcd + + + + + + + + ≥ 5/. Cho , , 0x y z ≥ . CMR: x y z xy yz zx+ + ≥ + + 6/. Cho , , 0a b c > . CMR: ( ) ( ) 2 3ab bc ca abc a b c+ + ≥ + + 7/. Cho , , 0a b c ≥ . CMR: 2 2 2 2 3 3 a b c a b c+ + + + ≥ ÷ 8/. CMR: ( ) 4 4 4 3a b c a b c abc+ + ≥ + + 9/. Cho ba số dương , ,a b c . CMR: ( ) 1 1 1 9a b c a b c + + + + ≥ ÷ (Bất đẳng thức Netsbit) 10/. Gọi , ,a b c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC∆ . CMR: bc ca ab a b c a b c + + ≥ + + 11/. Cho , , , 0x y z t ≥ . CMR: 4 4 x y z t xyzt + + + ≥ 12/. Cho , ,a b c là các số dương. Chứng minh 3 9 4 2 3 4 9a b c abc+ + ≥ 13/. Cho , , 0x y z ≥ . CMR: ( ) ( ) ( ) 8x y y z z x xyz+ + + ≥ B. Dạng áp dụng Côsi các tích: 14/. Cho , , 0x y z > . CMR: 4 x y z y y z y x + + ≥ ÷ ÷ 15/. CMR ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 1 1a b c abc+ + + ≥ + với , , 0a b c ≥ 16/. Cho bốn số , , ,a b c d không âm. CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) 16a b b c c d d a abcd+ + + + ≥ Biên so n: Lê H u Lu tạ ữ ậ Trang -2- Chuyên đ B i d ng ề ồ ưỡ H c sinh Gi i Toán THCSọ ỏ Bất đẳng thức Cauchy C. Dạng thỏa mãn điều kiện cho trước: 17/. CMR: 2 1 2 1x x x x+ + ≥ + với 1x ≥ − 18/. Với 0, 0x y≥ ≥ . CMR ( ) ( ) 2 2 2x y x y xy+ ≥ + 19/. Cho sáu số dương , , , , ,a b c d e f sao cho 1abcdef = : CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 64a b b c c d d e e f f a+ + + + + + ≥ 20/. Giả sử 0 i a ≥ với 1,2,3, .,10i = . CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) 10 1 2 3 10 1 1 1 1 2a a a a+ + + + ≥ D. Dạng Côsi tách hạng tử: 21/. Cho , ,x y z là ba số dương. CMR 3 2 4 3 5x y z xy yz zx+ + ≥ + + (Đề thi tuyển sinh Đai học Huế - Khối A- năm 1998) 22/. CMR với ,a b là hai số không âm bất kì, ta luôn có: 3 3 2 3 17 18a b ab+ ≥ (Đề thi tuyển sinh Đai học Kinh tế Hà Nội - Khối A- năm 1997) 23/. CMR 3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ca c ab+ + ≥ + + với mọi , , 0a b c > Biên so n: Lê H u Lu tạ ữ ậ Trang -3-