Chặn sai số cho hệ đa thức trong không gian hữu hạn chiều (

TRẦN ĐÌNH THẮNG CHẶN SAI SỐ CHO HỆ ĐA THỨC TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017... Lý do chọn đề tài: Chặn sai số cho một tập hợp trong không gian Eu

TRẦN ĐÌNH THẮNG

CHẶN SAI SỐ CHO HỆ ĐA THỨC

TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017

TRẦN ĐÌNH THẮNG

CHẶN SAI SỐ CHO HỆ ĐA THỨC

TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà

Nội 2 dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Hoàng Ngọc Tuấn Qua đây, tác

giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học

của mình, TS Hoàng Ngọc Tuấn, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn

trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn tới toàn thể quý thầy cô trong Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình truyền đạt kiến thức cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu và cho đến khi hoàn thành luận văn

Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến toàn thể quý thầy cô trong trường THPT Quế Võ số 1 – Bắc Ninh đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song kiến thức và kinh nghiệm bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn học viên

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 12 năm 2017

Học viên

Trần Đình Thắng

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này

là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Học viên

Trần Đình Thắng

Chương 1 Chặn sai số cho hệ đa thức tổng quát 1

1.2.2 Chặn sai số cho hệ bất đẳng thức lồi bậc hai 5

2.1 Một số tính chất của đa thức lồi 13

2.1.2 Một số tính chất của đa thức lồi 17

2.2.2 Chặn sai số cho đa thức lồi trong miền đa diện 31

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài:

Chặn sai số cho một tập hợp trong không gian Euclid là một bất đẳng thức giới hạn khoảng cách từ các véctơ trong một tập thử nghiệm đến một tập cho trước thông qua hàm thặng dư

Gần đây, lý thuyết về chặn sai số đã có những ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của quy hoạch toán học, như phân tích độ nhạy, phân tích sự hội tụ của thuật toán và giải tích tiệm cận

Với mong muốn tìm hiểu kỹ hơn về lý thuyết chặn sai số, dưới sự hướng

dẫn của TS Hoàng Ngọc Tuấn tôi đã chọn đề tài “Chặn sai số cho hệ đa thức

trong không gian hữu hạn chiều” để thực hiện luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu:

- Luận văn nghiên cứu về chặn sai số cho hệ đa thức tổng quát

- Luận văn nghiên cứu về chặn sai số cho đa thức lồi

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu về chặn sai số cho đa thức tổng quát và đa thức lồi

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu: Chặn sai số cho đa thức

- Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu chặn sai số cho đa thức tổng quát và

đa thức lồi

5 Những đóng góp mới của đề tài:

- Trình bày một cách có hệ thống về chặn sai số cho hệ đa thức tổng quát

và chặn sai số cho đa thức lồi

6 Phương pháp nghiên cứu:

- Vận dụng các kiến thức, phương pháp của giải tích hàm, giải tích không trơn, lý thuyết tối ưu

- Phân tích và tổng hợp, hệ thống các kiến thức, phương pháp liên quan đến chặn sai số cho đa thức

Chương 1

Chặn sai số cho hệ đa thức tổng quát

Trong chương này chúng ta nêu khái niệm cơ bản về chặn sai số, và trình bày các tính chất chặn sai số cho đa thức tổng quát và chặn sai số cho hệ bất đẳng thức lồi bậc hai Những kiến thức trình bày ở đây lấy chủ yếu từ trong bài báo [5]

1.1 Khái niệm Chặn sai số

Cho hàm số : n  , tập mức dưới của  được định nghĩa là

Xét hệ bất đẳng thức:

f x1( )0, f x2( ) 0, , f m( )x 0, ( )g x1 0,g x2( )0, ,g x k( )0, (1.1)trong đó x n và f g là hàm khả vi của i, j x Kí hiệu P là tập nghiệm của

(1.1), giả sử P  Cho f : n  m là hàm véc tơ, hàm thành phần thứ i của

f kí hiệu là f Cho g được xác định tương tự Trong trường hợp đặc biệt khi i

,

f g là ánh xạ tuyến tính afin, nghĩa là f x( ) Ax a g x , ( )Bx b với A B,

là ma trận và a, b là véc tơ có số chiều phù hợp Hoffman [4] chỉ ra một kết quả

cơ bản: tồn tại  0 phụ thuộc vào A và B sao cho

dist x P( , ) Axa  Bxb  x n, (1.2)

ở đó dist ., là hàm khoảng cách Euclide giữa hai tập, là chuẩn Euclide thông thường trong n và    là phần dương của một vec tơ Nói cách khác,

khoảng cách từ véc tơ x bất kỳ thuộc n

P x f x  chứa một điểm cô lập là gốc Cho x bất kỳ thuộc với x 0,

ta có dist x P( , ) x Tuy nhiên, lượng vi phạm của ràng buộc x2 0 là

( )

f x  x Vậy, chặn sai số (1.2) không đúng với x gần gốc (x0).Thay vào đó, ta có dist x P( , ) f x( ) 12

Ví dụ 1.1 chỉ ra rằng kết quả của Hoffman (1.2) không đúng với ánh xạ

đa thức nói chung Nghĩa là, tính liên tục Lipschitz của tập nghiệm bị mất khi

ta xét hàm không tuyến tính Điều này gợi ý ta thay thế (1.2) bởi công thức tổng quát sau:

( , ) ( ) ( ) ,

dist x P  f x   g x  (1.3) với mọi x n, trong đó  , là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào hệ số và bậc của đa thức f1, , f m, , ,g1 g Nói cách khác tập nghiệm của hệ đa thức phi k

tuyến là Holder liên tục phải Thật vậy, Hormander là người đầu tiên thiết lập (1.3) với trường hợp f x( ) là đơn thức, mặc dù thêm một thừa số   '

1 x  là cần thiết trong vế phải ('  0 là hằng số)

1.2 Chặn sai số cho đa thức tổng quát

1.2.1 Chặn sai số cho hệ đa thức

Trong phần này, ta chỉ ra rằng chặn sai số (1.3) là đúng, nếu không kể tới thừa số   '

1 x  ( ' 0  là hằng số) đã được giới thiệu Kết quả sau dựa vào

kết quả chặn sai số của Hormander, với f là đơn thức

Định lý 1.2.1 Cho f x( ) là một đa thức thực với các biến x1, ,x Kí hiệu P n

là tập các nghiệm thực của , f nghĩa là,

 | ( ) 0, ( , ,1 n,

P x f x  x x x

và giả sử P khác rỗng Khi đó tồn tại các hằng số dương ,   và hằng số  '

(có thể âm) sao cho

dist x P   x  f x   x (1.4) Sau đây ta sẽ mở rộng Định lý 1.2.1 với hệ phương trình của đa thức và bất đẳng thức Ý tưởng là ta thêm một biến yếu vào (1.1), chuyển đổi thành hệ tương đương với một phương trình đơn thức, sau đó áp dụng Định lý 1.2.1 với

hệ số mới này

Định lý 1.2.2 Cho P là tập các n

x thỏa mãn f x1( )0, , f m( )x 0,g x 1( )0, ,g x k( ) 0,

  ở đó f và i g là đa thức với hệ số thực Giả sử j P khác rỗng Khi đó tồn tại hằng số   0,   0, và  '0 sao cho

P  là tập các ( , )x z sao cho h x z( , ) 0. Dễ thấy rằng

( , )

x P x z P với z i   f x i( ) ,  i1, , m (1.7)

i m với mọi hằng số c L, dương Cho  , ' đủ lớn, đặt   2 ta suy ra điều phải chứng minh

Chặn sai số được cho bởi Định lí 1.2.2 yếu hơn chặn sai số Hoffman (1.2) Đầu tiên, nó có thêm thừa số   '

1 x  Ta có thể khử thừa số này bằng cách hạn chế chặn sai số trên một miền bị chặn

Hệ quả 1.2.3 Cho f1, , f m, , g1 g và P như trong Định lý 1.2.2 Cho k,  là

số dương sao cho x , xP. Khi đó ta có

Rõ ràng, tập nghiệm của hệ là P(0,x2) |x2 1  Xét điểm ( ,0)t trên trục x 1

với t0 Thế thì phần dư đánh giá tại ( ,0)t bằng 1 Tuy nhiên khoảng cách từ ( ,0)t đến P ít nhất bằng t, nghĩa là nó không bị chặn khi t  Vậy chặn sai

số (1.5) không đúng với  x n nếu thừa số   '

1 x  bị khử

1.2.2 Chặn sai số cho hệ bất đẳng thức lồi bậc hai

Xét hệ bất đẳng thức lồi bậc hai được cho bởi

f x1( )0, , f m( )x 0, (1.10) trong đó f x i( ) x,Q ( ) / 2i x  b x i, c i i, 1, 2, , ,m với mỗi Qi là ma trận xác định dương cấp n n , i

b là n véc tơ, và c là một số thực Kí hiệu N là tập i chỉ số i sao cho f phi tuyến và L là tập chỉ số i sao cho i f tuyến tính P là tập i

nghiệm của (1.10) Ta đưa ra giả thiết sau về hệ bất đẳng thức bậc hai (1.10)

Giả thiết 1.10: Tồn tại x*P sao cho f x i( )* 0 với mọi iN. Nói cách khác, x* thỏa mãn điều kiện phi tuyến của (1.10) với bất đẳng thức chặt

Dưới Giả thiết (1.10) ta sẽ chứng minh rằng chặn sai số của Hoffman đúng với hệ bất đẳng thức bậc hai lồi (1.10) Đặc biệt, ta có kết quả sau

Định lý 1.2.4 Giả sử rằng Giả thiết 1.10 đúng Khi đó tồn tại số dương  phụ thuộc vào dữ kiện bài toán sao cho

dist x P( , ) f x( )  x n, (1.11)

trong đó f x( ) f x f x1( ), 2( ), ,f m( )x T

Như đã lưu ý, chặn sai số (1.11) được xây dựng bởi Mangasarian cho hệ bất đẳng thức lồi khả vi, dưới giả thiết tương tự Giả thiết 1.10 cộng thêm ràng buộc tiệm cận

Định lý 1.2.5 (Mangasarian, [7]) Cho f là hàm lồi khả vi từ n  m. Cho

NL là một phân hoạch của 1, ,m sao cho  f phi tuyến và N f tuyến tính, L

và cho Px f x| ( )0  Giả sử tồn tại x*P sao cho f N( )x* 0 và hằng số

 xác định bởi

, ,sup x I I , I 0, I( ) 0, i I i i( ) 1,

Bổ đề 1.2.6 Với Q là ma trận đối xứng xác định dương cấp n n , tồn tại hai hằng số u và v sao cho

u Qx  x Qx v Qx

với mọi x n

Bổ đề 1.2.7 Giả sử Q1, ,Q là các ma trận đối xứng xác định dương cấp k n n

Cho  là hằng số dương Khi đó, với mọi 1, ,k với i 0, i  1, , ,k ta có

ở đó  là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào  và Q Q1, 2, ,Q k

Chứng minh Cố định x n Lấy y n sao cho

Q Q (Sự tồn tại của y và M được

đảm bảo bởi chặn sai số Hoffman (1.2)) Theo Bổ đề 1.2.6, tồn tại u0 chỉ phụ thuộc vào Q1, ,Q sao cho k Q y i 2  y Q y, i / ,u với mọi i Vậy, ta có

2

1 1

ở đó bước chứng minh thứ hai được suy ra từ  i  và Q i 0 (Q xác định i

dương)  i 1, k, và bước chứng minh cuối được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy- Schwarz và (1.14) Lấy tổng các bất đẳng thức trên với mọi i và sử

dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz một lần nữa ta được

1 1

Bổ đề dưới đây là cần thiết để chứng minh Định lý 1.2.4

Bổ đề 1.2.8 Giả sử Giả thiết 1.10 đúng Khi đó tồn tại hằng số  0 (chỉ phụ thuộc vào dữ kiện bài toán) sao cho

Giả sử khẳng định là đúng với N k; ta chứng minh khẳng định đúng với N  k 1 Giả sử ngược lại, tồn tại dãy  r

i



hội tụ đến giới hạn i 0 Cho N1N là tập các chỉ số i sao cho i 0, và

b x cũng bị chặn, với mọi i Vậy bằng cách lược bỏ phần của x r mà 0

i r

Q x  và b x i r 0, ta có thể giả sử  r

x bị chặn Cho x là điểm tụ của

 x r Khi đó (f x i )0 với mọi i

f x lồi Do đó, ( ) f x đạt được cực tiểu toàn cục (trong n), là 0, tại x.Tuy nhiên, vì i 0 với mọi iN, nên Giả thiết 1.10 suy ra f x( )* 0, mâu thuẫn Vậy, N phải là tập con thực sự của N 1

Ta khẳng định rằng

i r Q x i r ,  r r0, iN1, (1.18)với hằng số dương  và chỉ số r nào đó Nếu 0 (1.18) không đúng, thì tồn tại chỉ số jN1 và dãy con R sao cho  r j r 

Hai mối quan hệ trên cùng với ( )f x i r 0, i r 0 suy ra (1.15) không đúng với

 

\

N j mà có lực lượng là k Mâu thuẫn với giả thiết quy nạp Vậy (1.18) đúng

Với mỗi rr0, xét hệ tuyến tính theo y

trong đó các đẳng thức được suy ra từ Q x i r Q y i r và bất đẳng thức thứ hai là

do (1.18) Vì y r thỏa mãn (1.19), nên (f y i r) f x i( r)0, với mọi iN1L.Vậy, ta có

r

r i r i

Sử dụng (1.21) - (1.22) và (1.16) ta rút ra mâu thuẫn Đặc biệt từ (1.16)

Vì Q nửa xác định dương, nên mọi số hạng của tổng đầu tiên không âm, và i

theo (1.22) và c i 0, nên số hạng trong hai tổng sau không âm Vậy ta có

i N

c y





 (1.24)

Ta thấy (1.23)-(1.24) mâu thuẫn với (1.21), suy ra điều phải chứng minh

Rõ ràng, Bổ đề 1.2.8 suy ra điều kiện (1.12) Vậy chặn sai số (1.13) đúng với hệ bậc hai lồi thỏa mãn Giả thiết 1.10 Điều này chứng minh định lý 1.2.4

So sánh với chặn sai số Hoffman (1.2) cho hệ tuyến tính, thì chặn sai số (1.11) có điểm yếu; cụ thể, nó chỉ áp dụng cho hệ bất đẳng thức bậc hai lồi Nhìn chung, chặn sai số không đúng nếu có ràng buộc đẳng thức vì có thể mất tính lồi Tuy nhiên, nếu ràng buộc đẳng thức là tuyến tính thì chặn sai số (1.11)vẫn đúng Đặc biệt, xét hệ bậc hai lồi

, ( ) 0, ( ) 0, , m( ) 0

Cho P là tập nghiệm Sử dụng Định lý 1.2.4, ta có thể chứng minh điều sau

Hệ quả 1.2.9 Giả sử tồn tại x*P sao cho f y i( )0 với mọi iN. Khi đó tồn tại hằng số  0 (chỉ phụ thuộc vào dữ kiện bài toán) sao cho

dist x P( , ) f x( )  Axa   x n, (1.25) trong đó f x( )f x1( ), , f m( )x T

Chương 2

Chặn sai số cho đa thức lồi

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày về một số tính chất của đa thức lồi, chặn sai số cho đa thức lồi Nội dung trong chương này chủ yếu được trích dẫn trong [10]

2.1 Một số tính chất của đa thức lồi

xa của  Giả sử E S ( S). Thế thì E là không gian con và được gọi là

không gian hằng [9, p 69] của 

Bổ đề 2.1.1 ([9, p 69]) Không gian hằng E là không gian con lớn nhất chứa

trong S mà thỏa mãn

 n: ( ) ( ), n, 

E  z  xz  x  x  

Cho  : n  là một hàm lồi Dưới vi phân của  tại x0 n là tập hợp được kí hiệu là ( ),x tức là:

1 n

n

x x  với mỗi x n đã cho Thế thì, với mỗi

đa thức f có bậc m trên n, ta có thể viết nó ở dạng sau

   Trong luận văn này, ta dùng f l, 0 l m, để kí hiệu đa thức thuần nhất bậc l tương ứng với f, nghĩa là ( ) l ,



 (2.2) Lưu ý f là số hạng không đổi của 0 f Nếu f x( )0 ( ( )f x 0)  x n

(x0), ta nói rằng f là đa thức nửa xác định dương (xác định dương) Dễ dàng thấy là nếu f là đa thức lồi và m2, thì m là số nguyên chẵn

Chuỗi Taylor của mỗi đa thức bậc m của f có thể viết như sau

, ( ) : ( )

n

n n

Cho h là một đa thức thuần nhất bậc k (k1). Ta định nghĩa hạch của h

là



( ) : n: ( ) 0 n

Ker h  x D h x     thỏa mãn   k 1 

Dễ thấy rằng là nếu x K er( ),h thì D h x ( )0 với mỗi  n thỏa mãn

0   k 1 Đặc biệt, x K er (h) suy ra h x( ) 0. Hơn nữa, Ker h( ) là không

gian tuyến tính Nếu h là hàm toàn phương thuần nhất, nghĩa là, ( ) h x x Ax T

với ma trận A nào đó, thì Ker h( )Ker( ).A

Ta có một số kết quả quan trọng sau, được phát biểu dưới dạng bổ đề

f x   x thì a 0 với mỗi  n thỏa mãn 0  m

Bổ đề 2.1.3 Cho f là một đa thức lồi Cho , , x y d n. Nếu ( )t  f x td(  )

là đa thức lồi bậc p xác định trong , thì v t( ) f y td(  ), t cũng là đa thức lồi bậc p Hơn nữa, nếu p1 thì hệ số tương ứng với số hạng t p trong

Chú ý là đa thức nửa xác định dương thuần nhất không nhất thiết là đa thức lồi Giả sử g: 2  được xác định bởi g x x( ,1 2)(x12 x22 2) Dễ thấy

rằng là g nửa xác định dương nhưng không lồi

Bổ đề 2.1.5 Cho h là một đa thức thuần nhất bậc k k ( 1), và giả sử n

Bổ đề 2.1.6 Cho h là đa thức lồi thuần nhất bậc k Thế thì Ker h( )

x h x: ( )0 , và h xác định dương trên Ker( )h 

Chứng minh Giả sử H x h x: ( )0  Ta chỉ cần chứng minh rằng er( )

H K h Với yH, ta có g ty( ) 0 g(0)  t Bởi Bổ đề 2.1.3 suy

ra (g xty) g x( )  x n và t Bởi Bổ đề 2.1.5, ta có yKer( ),h dẫn tới HKer( ).h Bởi Hệ quả 2.1.1, h là không âm trên n. Giả sử h x( ) 0 với

 ( )

x Ker h  nào đó Thế thì H Ker( )h dẫn tới x K er( ),h và vì vậy x0

Bổ đề cho thấy nếu đa thức f là hằng trên không gian con, thì nó có thể

biến thành đa thức với số biến ít hơn bằng thay đổi cơ sở

Bổ đề 2.1.7 Cho ( ) f x là một đa thức bậc m trên n, và cho n

L là không gian con với số chiều p Nếu ( f x y) f x( )  x n và yL, thì tồn tại ma trận trực giao U sao cho

1( ) ( , , p) n,

f Ux g x x  x (2.4)