Phân giác ·ABC cắt AC tại D, phân giác ·ACB cắt AB tại E.. BD cắt CE tại I.. a Tính số đo góc BIC.. Chứng minh DCID = DCIF.. Chứng minh DBCM là tam giác đều.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 -2017m¤N: TOÁN 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (5 điểm)
a) Thực hiện phép tính:
2 3 4 9 5 7 25 49 A
125.7 5 14
2 3 8 3
-+ +
b) Tính giá trị biểu thức: B = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ 17.18.19 c) Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu tăng chữ số hàng trăm thêm n đơn
vị đồng thời giảm chữ số hàng chục và giảm chữ số hàng đơn vị đi n đơn vị thì được một số
có 3 chữ số gấp n lần số có 3 chữ số ban đầu
Bài 2 (3 điểm)
a) Tìm các số x, y, z biết rằng: 3x = 4y, 5y = 6z và xyz = 30
Bài 3 (3 điểm)
1) Cho hàm số y = f(x) = (m – 1)x
a) Tìm m biết: f(2) – f(–1) = 7 b) Cho m = 5 Tìm x biết f(3 – 2x) = 20 2) Cho các đơn thức A = 1
2
- x2yz2, B = 3
4
- xy2z2, C = x3y Chứng minh rằng các đơn thức A, B, C không thể cùng nhận giá trị âm
Bài 4 (7 điểm)
Cho DABC nhọn có góc A bằng 600
Phân giác ·ABC cắt AC tại D, phân giác ·ACB cắt AB tại E BD cắt CE tại I
a) Tính số đo góc BIC
b) Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BF = BE Chứng minh DCID = DCIF
c) Trên tia IF lấy điểm M sao cho IM = IB + IC Chứng minh DBCM là tam giác đều
Bài 5 (2 điểm)
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: 2.22 + 3.23 + 4.24 + … + n.2n = 2n+11
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh: Phòng
Trang 2HƯỚNG DẪN
1
(5đ)
a
+ +
2 3 4 9 5 7 25 49 2 3 2 3 5 7 5 7 A
2 3 2 3 5 7 5 2 7 125.7 5 14
2 3 3 1 5 7 1 7 A
-= 2 - 5.( 6) A
-= -1 10=7 A
b
4B=1.2.3.4+2.3.4.(5 – 1)+3.4.5.(6 – 2)+…+17.18.19.(20 – 16) 0.5 4B=1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5 + 17.18.19.20 – 16.17.18.19 0.5
c
Gọi số có 3 chữ số cầìm tìm là abc (a, b, c là STN có 1 chữ số, a 0)
Theo bài ra ta có: (a+n)(b n)(c n)- - =n.abc 0.25
Þ 100(a + n) + 10(b – n) + (c – n) = n(100a + 10b + c)
Þ 100a + 100n + 10b – 10n + c – n = 100an + 10bn + cn
Þ 100(n – 1)a + 10(n – 1)b + (n – 1)c = 89n 0.25
Þ 89n M n – 1 mà (89; n – 1) = 1 nên n M n – 1 0.25 Tìm được n = 2
Số có 3 chữ số cần tìm là 178 0.25
2
(3đ)
a
Þ x = 8k, y = 6k, z = 5k 0.25 xyz = 30 Þ 8k.6k.5k = 30 Þ 240k3 = 30 Þ k = ½ 0.5
Þ x = 4, y = 3, z = 5
b
x
x hoac x
3
(3đ) 1.a
Vì f(2) – f(–1) =7 Þ (m – 2).2 – (m – 1).(–1) = 7 0.25
1.b Với m = 5 ta có hàm số y = f(x) = 4x 0.25
Vì f(3 – 2x) = 20 Þ 4(3 – 2x) = 20 0.25
Trang 3Giả sử cả 3 đơn thức A, B, C cùng có giá trị âm
Þ A.B.C có giá trị âm (1) 0.25 Mặt khác: A.B.C = (– ½ x2yz2).(– ¾ xy2z2) x3y = 3
8 x
Vì 3
8 x
6y4z4 0 x, y Þ A.B.C 0 x; y (2) 0.25
Ta thấy (1) mâu thuẫn với (2) Þ điều giả sử sai
Vậy ba đơn thức A = – ½ x2yz2, B = – ¾ xy2z2, C = x3y không thể cùng có
giá trị âm
0.25
4
(7đ)
Vẽ hình đúng, ghi đúng giả thiết, kết luận
43
2 1 2
N
M
C F
E
D I
B
A
0.5
a
BD là phân giác của góc ABC nên B1=B2= ½ ABC
CE là phân giác của góc ACB nên C1=C2= ½ ACB 0.5
Mà tam giác ABC có A+B+C = 1800 suy ra 600 + ABC+ACB = 1800 0.5
Þ ABC+ACB = 1200 Þ B2+C1= 600 0.5
b
DBIE = DBIF (cgc) Þ BIE = BIF 0.5 BIC = 1200 Þ BIE = 600 Þ BIE = BIF = 600 0.5
Mà BIE + BIF + CIF = 1800 Þ CIF = 600 0.5 CID = BIE = 600 (đ.đ) Þ CIF = CID = 600 0.5
c
Trên đoạn IM lấy điểm N sao cho IB = IN Þ NM = IC 0.5
Þ DBIN đều Þ BN = BI và BNM = 1200 0.5
Þ BM = BC và B2 = B4 Þ DBCM đều 0.5
5
(2đ)
Đặt S = 2.22 + 3.23 + 4.24 + … + n.2n
S = 2S – S = (2.23 + 3.24 + 4.25 + …+ n.2n+1) – (2.22 + 3.23 + 4.24 + … + n.2n) 0.5
S = n.2n+1 – 23 – (23 + 24 + …+ 2n-1 + 2n) 0.5 Đặt T = 23 + 24 + …+ 2n-1 + 2n Tính được T = 2T – T = 2n-1 – 23 0.5
Þ S = n.2n+1 – 23 – 2n-1 + 23 = (n – 1).2n+1
Þ (n – 1).2n+1 = 2n+11 Þ n – 1 = 210 Þ n = 210 +1 = 1025 0.5