Tuyển tập các bài toán trong đề thi hsg 2016-2017

Bài 1: Bài toán 3 đường cao trong 1 tam giác Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H Yêu cầu bắt buộc : liệt kê đủ các tứ giác nội tiếp hiện diện trong hình vd: BCEF, A

Bài 1: Bài toán 3 đường cao trong 1 tam giác

Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H

Yêu cầu bắt buộc : liệt kê đủ các tứ giác nội tiếp hiện diện trong hình ( vd: BCEF, ADEB,BFDH…… )

Tính chất 1: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

Cminh : +) AEDB nội tiếp nên ̂ ̂ ̂ ̂ vậy nên ̂ ̂ vậy nên DH là

phân giác góc ̂ , tương tự FH là phân giác góc DFE

Tính chất 2: H và Q đối xứng nhau qua trục AB , tương tự H và L đối xứng nhau qua BC , và H và P

đối xứng nhau qua AC

Cminh :

+) H và Q đối xứng nhau qua AB ( 2 trường hợp kia tương tự )

̂ ̂( AQBC nt ) và ̂ ̂ ( ) ̂ ̂ BA là đường trung trực của QH

+) mở rộng tính chất 2 ta có tính chất sau : 3 cạnh tam giác DEF là 3 đường trung bình tam giác LPQ

Tính chất 3: BHCK là hình bình hành và AH =2OM ( M là trung điểm BC ), 1 số bài toán có thể đặt thêm

vấn đề H,K,M thẳng hàng

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Tính chất 5: Suy ra từ phương tích tính chất 4 ta có các tính chất mở rộng sau :

 ARDM tgnt

 ARFE tgnt 5 điểm A,R,F,H,E cùng thuộc đường tròn đường kính AH

 R,H,M,K thẳng hàng ( vì AR vuông góc RK và AR vuông RH )

 H là trực tâm tam giác ATM suy ra TH vuông góc AM

Tính chất 6: BLKC là hình thang cân

CM: LK //BC nên BLKC là hình thang mà BLKC lại là tứ giác nội tiếp nên BLKC là hình thang cân

Tính chất 7: Bán kính OA vuông góc đường nối chân 2 đường cao EF ( 2 đường cao từ B và C )

CM : Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) , cm Ax// EF ( ̂ ̂ ( ̂)

Một số tính chất nâng cao từ bài toán này :

Tính chất 8: HP=HQ với P, Q lần lượt là giao điểm của AB và AC với đường thẳng qua H vuong góc HK

( hoặc HM với M là trung điểm BC )

 HPBK là tgnt ̂ ̂ ̂ ̂

 BHCK là hbh ( đã cm ) nên góc HBK=góc HCK từ đó ̂ ̂

Tính chất 9: Từ C kẻ CN vuông góc AK khi đó có MD=MN

Chứng minh :

+) ADCN là tứ giác nội tiếp nên ̂ ̂

+) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂

+)Tam giác OAC cân ở O nên ̂ ̂ ̂ ̂ nên MD=MN ( đpcm )

Bài toán 2: 1 điểm ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến đến đường tròn ấy

Bài 3.1

MA,MB là các tiếp tuyến, MCD là cát tuyến ( C nằm giữa M và D )

Một số câu hỏi liên quan

1 MA2=MC.MD và MB2=MC.MD ( chứng minh thông qua tam giác đồng dạng )

2 CHOD là tứ giác nội tiếp ( chứng minh MH.MO = MC.MD =MA2)

3 HA là tia phân giác góc ̂ ( chứng minh: góc ̂ ̂ ( ) dẫn đến 2

góc bằng nhau vì cùng phụ 2 góc bằng nhau

4 Nếu gọi K là giao điểm OI và AB thì KC và KD là các tiếp tuyến của (O)( CM : có OI.OK=OH.OM ( tam giác đồng dạng OHK ) từ đó có đpcm

thông qua cặp đồng dạng tgOID và tgODK)

5 E và F lần lượt là giao diểm KC với MA và MB , N là giao điểm AB và OE Khi ấy FN vuông góc

OE

CM: ̂ ̂

̂ đường tròn đường kính OF nên ̂

6 AD.BC = AC.BD ( tích các cặp cạnh đối của tứ giác

( CM : MAC đồng dạng MDA nên MDB nên

( đpcm )

7 Kẻ dây cung QD // AB Khi đó C,H,Q thẳng hàng ( CM D:ùng pp góc đối đỉnh , vì OH là trung

trực của AB nên OH cũng là trung trực của QD nên Q đối xứng D qua trục OH nên ̂

̂ ̂ ( ) ̂ ̂

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

8 5 điểm A,B,O,M,I cùng thuộc 1 đường tròn và IM là tia phân giác góc ̂ ( tự cm )

Bài toán 3: Tính chất đường thẳng Sim Sơn và đường thẳng Steiner

Đường thẳng Sim sơn

Tính chất : ABC nội tiếp đường tròn, M thuộc đường tròn , P,Q,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của

M lên 3 cạnh AB,BC,CA Khi đó P,Q,K thẳng hàng ( đường thẳng qua P,Q,K gọi là đường thẳng Sim Sơn của tam giác ABC)

Chứng minh BQMP nội tiếp và MCKQ nội tiếp nên ̂ = ̂ ̂ ̂ ̂

̂ ( ) ̂ ̂ vậy nên P,Q,K thẳng

Tính chất : M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , gọi N, P, Q lần lượt đối xứng với M qua

AB,BC,CA và gọi H là trực tâm tam giác ABC Khi đó 4 điểm N,P,H,Q thẳng hàng ( cùng nằm trên

đường thẳng Steiner của tam giác ABC )

Chứng minh : dựa vào tính chất thẳng hàng của bài toán định lý Sim sơn nên N,P,Q thẳng hàng ,

+) Chứng minh AHBN là tứ giác nội tiếp

CM: Vì M và N đối xứng nhau qua AB nên ta có ̂ ̂ và ̂ ̂ ̂ ̂

̂

+) Tương tự các tứ giác AHCQ nội tiếp và BPHC nội tiếp ( chứng minh tương tự )

 Để ý các tứ giác AHBN nội tiếp và AHCQ nội tiếp từ đó ̂ ̂ ̂ ̂ ̂

̂ vậy nên N,H,Q thẳng hàng cuối cùng N,P,H,Q thẳng hàng

Bài toán 4: Bài toán về tam giác vuông nội tiếp 1 đường tròn

Trích đề tuyển sinh 2012 TPHCM

H O

A E

P

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài toán : Cho đường tròn (O,R) đường kính BC Lấy điểm A trên đường tròn sao cho AB>AC Từ A kẻ

AH vuông góc BC và từ H kẻ HE và HF lần lượt vuông góc với AB và AC

Tính chất : 1) AEHF là hình chữ nhật ( tự chứng minh )

2)BECF là tứ giác nội tiếp ( AE.AB = AF.AC =AH2) 3) OA vuông góc EF

Chứng minh : ( phương pháp cộng góc)

 tam giác OAB cân tại O nên ̂ ̂ và BEFC nội tiếp nên ̂= ̂ ̂ ̂

4)Chứng minh ; AP =AQ và AP2=AE.AB và AP=AQ=AH

 OA vuông EF hay OA vuông PQ mà OP=OQ nên AP=AQ

 APE ( ) AP2=AE.AB và AE.AB =AH2 nên AP=AQ=AH

 5) EF cắt BC tại D, AD cắt (O) tại K chứng minh : AK vuông góc KH

CM : DK.AD = DB.DC ( phương tích ) và DE.DF =DB.DC( phương tích ) nên DK.DA=DE.DF suy ra EFKA là tứ giác nội tiếp , kết hợp thêm AEHF nt thì 5 điểm A,E,H,F,K cùng thuộc 1 đương tròn đường kính AH suy ra đpcm

 6) Cminh : IH2=IF.IK ̂ ̂ ̂ 2=IF.IK

 7) CM : KFCD là tứ giác nội tiếp ( ̂ ̂ ̂ )

 8) IH2=IC.ID (IC.ID =IF.IK theo phương tích và IH2=IF.IK đã cm ) Bài 5: Đường tròn đường kính BC cắt 2 cạnh AB, AC tạo thành 2 đường cao của tam giác ABC

K

H

A E

P

I

1) Tính chất EFDO nội tiếp ( tính chất đường tròn Euler đã chứng minh )

2) KF.KE = KB.KC = KD.KO = KO2-R2 ( R: bán kính đường tròn đường kính BC )( chứng minh bằng phương tích )

3) ANOD là tứ giác nội tiếp và AN2=AH.AD( vì AN2= AE.AC =AH.AD )

4) OA vuông góc HN

Chứng minh : ANH đồng dạng AND( c.g.c) ̂ ̂ ̂ ̂ ( ONAD nt )

Nên ta có ̂ ̂ ̂ ̂

5) KD.DO= R2-OD2=DB.DC =DH.DA ( chú ý DB.DC = R2-OD2 và DB.DC =DH.DA )

Chứng minh : ta có KD.DO+DO2=DO ( KD+DO)= DO.KO =KO(KO – KD)= KO2 -KO.KD = R2 (

theo tính chất 2)

6) K,H, N thẳng hàng ( gợi ý : chứng minh H là trực tâm tam giác OKA bằng hệ thức DH.DA =

KD.DO

H F

E

A

N

R I

H F

E

A

N

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

9) R là trực tâm tam giác BIC

Chứng minh : DR.DI = DI2- IR.ID =DI2- IE2= DI2- IA2= (DI-IH) ( DI+IA)= DH.DA = DB.DC vậy nên tam giác DBR đồng dạng DIC từ đó có đpcm

10) Chứng minh :

CM : DH.DA = DR.DI và DH+DA =2DI

Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng

- H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

- H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội

II Lớp Học Ảo VCLASS

- Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con

- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên

- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn

- Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập Các chương trình VCLASS:

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho

học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

- Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9

III Uber Toán Học

- Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

- Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất

- Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Online như Học ở lớp Offline

Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online