bài tập lớn toán ứng dụng đề số 10

Trình bày ý nghĩa hình học của các đạo hàm riêng và vẽ đồ thị minh họa.. - Cơ sở lý thuyết: khi đạo hàm theo biến nào thì biến còn lại ta xem là hằng số... Không xét tại các điểm dừng mà

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH

KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG

-* -BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

ĐỀ TÀI SỐ: 10

GVHD: Đặng Văn Vinh

Khoa: Cơ Khí

Lớp : CK12CK04+05

Nhóm: 10

Nhóm sinh viên thực hiện:

Tp HCM, tháng 5_năm_2013

1 Tìm các đạo hàm riêng của hàm f x y ,  tại M x y 0, 0 Trình bày ý nghĩa hình học của các đạo hàm riêng và vẽ đồ thị minh họa.

- Cơ sở lý thuyết: khi đạo hàm theo biến nào thì biến còn lại ta xem là hằng số

- Ý nghĩa đạo hàm riêng: là hệ số góc của các tiếp tuyến đối với mặt cong tại điểm

 0, 0

M x y

, lần lượt nằm trong các mặt phẳng x=x0 và y=y0 Nội dung code:

function cau1

syms x y real

f=input('nhap ham f(x,y)= ');

disp('nhap lan luot cac toa do cua M0:')

x0=input('x0= ');

y0=input('y0= ');

f=eval(f); %thay u(x,y) vao f(u)

c=subs(f,[x y],[x0 y0]); %tinh f tai M0

c=double(c);

%tinh dao ham

x=x0;y=y0;

fx=diff(f,'x');a=eval(fx);

fy=diff(f,'y');b=eval(fy);

%xuat f'x va f'y

disp(['f`x= ' num2str(a)])

disp(['f`y= ' num2str(b)])

%ve do thi

[x,y]=meshgrid(x0-2:.1:x0+2,y0-2:.1:y0+2);

f=char(f);f=strrep(f,'^','.^');f=strrep(f,'*','.*');

f=eval(f);

[x y f]=khu(x,y,f);

set(surf(x,y,f),'facecolor','b','edgecolor','non','facealpha',.3) hold on

t=linspace(-2,2,20);

x=x0+t;

y=y0+0*t;

z=c+a*t;

plot3(x,y,z,'r','linewidth',2)

x=x0+0*t;

y=y0+t;

z=c+b*t;

plot3(x,y,z,'r','linewidth',2)

text(x0,y0,c+.2,['M0 (' num2str(x0) ',' num2str(y0) ','

num2str(a) ')'])

hold off

rotate3d on

end

function [x y f]=khu(x,y,f) % chuong trinh loai bo cac diem khong ton tai cua ham f

f=double(f);

for i=1:length(x)

for j=1:length(y)

if ~isreal(f(i,j))

f(i,j)=NaN;x(i,j)=NaN;y(i,j)=NaN;

end

end

end

end

- Kết quả chạy thử:

nhap ham f(x,y)= x^2+y

nhap lan luot cac toa do cua M0:

x0= 1

y0= 2

f`x= 2

f`y= 1

- Đồ thị:

2 Tìm cực trị tự do hàm f x y z , ,  trong hình cầu

2

2

x y z

R

a b c  ( Không xét

tại các điểm dừng mà tại đó dạng toàn phương d 2 f nửa xác định)

- Cơ sở lý thuyết: Lập hàm Lagrange, lập ma trận giải tìm nghiệm

- Code chương trình:

clear all

clc

syms x y z

f = input('Nhap ham f(x,y,z) = ');

a = input('a = ');

b = input('b = ');

c = input('c = ');

R = input('R = ');

check = x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 - R^2;

fx = diff(f,x);

fy = diff(f,y);

fz = diff(f,z);

s = solve(1i*fx,1i*fy,1i*fz);

ctieu = [];

cdai = [];

if ~isempty(s)

A = diff(fx,x);

B = diff(fy,y);

C = diff(fz,z);

D = diff(fx,y);

E = diff(fy,z);

F = diff(fz,x);

G3 = [A D F; D B E; F E C];

G2 = [A D; D B];

H3 = det(G3);

H2 = det(G2);

for i=1:size(s.x)

if (isreal(s.x(i))) && (isreal(s.y(i))) && (isreal(s.z(i)))

x = s.x(i); y = s.y(i); z = s.z(i);

if (double(subs(H2))>0)

if double(subs(check))<0

if (double(subs(A))>0) && (double(subs(H3))>0)

ctieu = [ctieu; [x y z]];

end

if (double(subs(A))<0) && (double(subs(H3))<0)

cdai = [cdai; [x y z]];

end

end

end

end

end

if isempty([cdai;ctieu])

disp('Khong co cuc tri');

else

if ~isempty(cdai)

disp('Cuc dai la '); disp(cdai);

end

if ~isempty(ctieu)

disp('Cuc tieu la ');disp(ctieu);

end

end

- Kết quả chạy thử:

Nhap ham f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2-1

a = 1

b = 1

c = 1

R = 2

Cuc tieu la

[ 0, 0, 0]

Nhap ham f(x,y,z) = x*y+y*z

a = 1

b = 2

c = 3

R = 4

Khong co cuc tri

3 Tính tích phân    

C

P x y dx Q x y dy



,trong đó  C là đường đi nối từ điểm

0,0

đến điểm 1,1 theo các đường đi sau:

a Đoạn thẳng.

b. x2 y2 2y, lấy ngược chiều kim đồng hồ.

- Cơ sở lý thuyết: tham số hóa đường cong rồi đưa về tích phân thường để giải

- Đoạn code chương trình:

clc

syms x y m n real

p=input('Nhap ham P(x,y)= ');

q=input('Nhap ham Q(x,y)= ');

m=int(subs(p,x,y)+subs(q,x,y),y,0,1);

n=int( subs(p,x,sqrt(2*y-y^2))+subs(q,x,sqrt(2*y-y^2)),y,0,1);

disp('Gia tri tich phan tinh theo doan thang noi 2 diem (0,0) va (1,1) la: ');

disp(m)

disp ('Gia tri tich phan tinh theo duong cong x^2+y^2=2y la: '); disp(n)

- Kết quả chạy thử:

Nhap ham P(x,y)= x*y

Nhap ham Q(x,y)= x^2+y^2

Gia tri tich phan tinh theo doan thang noi 2 diem (0,0) va (1,1) la:

1

Gia tri tich phan tinh theo duong cong x^2+y^2=2y la:

2/3 - (3*pi)/4

- Hạn chế của chương trình: Thuật giải chưa được tốt nên chương trình xử lý chậm khi nhập các hàm phức tạp

4 Tính

S

I f x y dxdy

với S là phần mặt z=x 2 +y 2 giới hạn bởi mặt x+z=2 lấy phía dưới theo hướng dương trục Oz Vẽ mặt S và pháp vectơ với S tại M(1,0,1).

- Cơ sở lý thuyết: theo phương pháp giải tích phân mặt loại 2

Đoạn code chương trình:

clear all

clc

syms x y r phi

f = input('Nhap ham f(x,y) = ');

x = -.5 + r*cos(phi);

y = r*sin(phi);

f = subs(f);

I = int(f*r,r,0,3/2);

I = int(I,phi,0,2*pi);

disp('Tich phan can tinh');

%Ve hinh

[r phi] = meshgrid(0:0.1:3/2,0:pi/20:2*pi);

x = -.5 + r.*cos(phi);

y = r.*sin(phi);

z = x.^2 + y.^2;

surf(x,y,z,'FaceColor','b'); hold on

surf(x,y,2-x,'FaceColor','y','FaceAlpha',.5,'EdgeColor','none');

%Ve vector phap tuyen

syms x y z

F = x^2 + y^2 -z;

g = [diff(F,x) diff(F,y) diff(F,z)];

x = 1; y = 0; z = 1;

g = subs(g);

n = -g/norm(g);

quiver3(1,0,1,n(1),n(2),n(3),'LineWidth',1,'Color','y');

axis vis3d equal

- Kết quả chạy thử:

Nhap ham f(x,y) = x*y+y^2

Tich phan can tinh

3.9761

Vẽ hình và vecto pháp tuyến tại điểm (1,0,1)