BÀI THAM GIA CUỘC THI “ GIẢI TOÁN SƠ CẤP THEO CHUYÊN ĐỀ”KHỐI 10: BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI VÀ ỨNG DỤNG I/ Tóm tắt kiến thức: Định nghĩa: Bất đẳng thức là hai biểu
Trang 1BÀI THAM GIA CUỘC THI “ GIẢI TOÁN SƠ CẤP THEO CHUYÊN ĐỀ”
KHỐI 10: BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI VÀ ỨNG DỤNG
I/ Tóm tắt kiến thức:
Định nghĩa: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi mọt trong các dấu >(lớn hơn), < (nhỏ
hơn),(lớn hơn hoặc bằng), (nhỏ hơn hoặc bằng)
Ta có: A > B A – B > 0 ; A B A – B 0
Trong bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B, A B, A B), A được gọi là vế trái, B là vế phải của bất đẳng thức
Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là bất đẳng thức cùng chiều Các bất đẳng thức A > B và E < F gọi là bất đẳng thức trái chiều
Nếu ta có A > B C > D, ta nói bất đẳng thức C >D là hệ quả của bất đẳng thức A > B Nếu ta có A > B E > F , ta nói hai bất đẳng thức A > B và E > F là hai bất đẳng thức tương đương
A > B(hoặc A < B) là bất đẳng thức ngặt, AB ( hoặc A B) là bất đẳng thức không ngặt
A B là A > B hoặc A = B
A B cũng là bất đẳng thức
Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép
Ví dụ: A < B < C
Bất đẳng thức Cô – si( bất đẳng thức trung bình cộng với trung bình nhân)
Đối với 2 số không âm: a,b 0, ta có:
2
a b
ab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
Tổng quát: a1, a2, a3, ,an 0(với n số) a1a2 a n
n
a a a
Đấu đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = = an
Ứng dụng:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất:
+ Nếu a + b = k( k là hằng số) thì ab( )2
2
a b
ab
2 4
k => Max(ab) = 2
4
k khi a = b=
2
k
+ Nếu ab = p (p là hằng số) thì a + b 2 p => Min (a + b) =2 p khi a = b = p
- Giải phương trình, hệ phương trình
II/ Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c CMR:
c b
a
2
+
c a
b
2
+
a b
c
2
2
c b
a
Với a, b, c > 0 ta có:
c b
a
2
+ b 4c a (áp dụng bất đẳng thức Cô si) Tương tự ta có:
c a
b
2
+ a 4c b; và
a b
c
2
+ a 4b c
=>
c
b
a
2
+
c a
b
2
+
a b
c
2
+ a2bc a + b + c =>
c b
a
2
+
c a
b
2
+
a b
c
2
2
c b
a
(đpcm)
Bài 2: Cho3 số dương a, b, c CMR:
3 b
a
+
3 b
c +
3 c
a a ac + b ba + c ab
Ta có: 3
b
a + b3
c +
3 c
a =
3 b
a + bc + b3
c + ca +
3 c
a + ab – (ac + cb + ab) =
3 b
a + bc + b3
c + ca +
3 c
a + ab– ( ab
2 +bc2 +ab2 +ac2 +bc2 +ac2 )2
3
a bc
4
4
ab ac - 2
4
bc ac =
= 2a ac +2b ba + 2c ab - a ac -b ba - c ab = a ac + b ba + c ab (đpcm)
Trang 2Vậy 3
b
a + b3
c +
3 c
a a ac + b ba + c ab a, b, c > 0
Bài 3: CMR: a, b, c > 0 ta có: a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2bab bc ca
a b c 6
Aùp dụng bất đẳng thức: (1a b c1 1
)(a + b + c) 33 1
abc 33 abc= 9
1
a b c
1
9(1a b c1
1
)
a 3b 2c = ab
a c b c 2b
ab
1
a c b c 2b
1
Tương tự: b 3c 2abc
bc
9 (
b a a c 2c
1
) và c 3a 2bca
ca
9 (
1
b a
VT ab
9 (a c b c 2b1 1
1
9 (b a a c 2c1 1
1
1
b a
9 +bc9 )a c1 + (ab
9 +ca9 )b c1 + (bc
9 +ca9 )b a1 + a
18+18b +18c =
b(a c) 9(a c) +a(b c)
9(b c) +c(b a)
9(b a) + a
18+18b +18c =
= a
9+b9+9c+18a +18b +18c = 6a+b6+6c=a b c = VP6
Bài 4:Cho a, b, c > 0 CMR: c(c a)ab
+ bc a(a b) +b(b c)ca
a c + b
a b +b cc
(1) Bất đẳng thức đã cho tương dương: b a.
c c a + c
a
b
a b +a c
b b c a
a c + b
a b +b cc
b 1.
c
a
+c a
a b
1 1
+ ab.b11
c
1
c 1
a
+ a b
1 1
+ b 11
c Đặtab= x, bc= y,ca=z =>ab.bc ac= xyz = 1 và z, y, x > 0
BĐT:y 1
z 1 + z 1
x 1 + x 1
1
z 1 + 1
x 1 + 1
y 1
y(x+1)(y+1)+z( y + 1)(z + 1)+x(x + 1)(z + 1)(x + 1)(y + 1)+( y + 1)(z + 1)+(x + 1)(z + 1)
(y – 1)(x+1)(y+1)+(z – 1)( y + 1)(z + 1)+(x – 1)(x + 1)(z + 1)0
y2x + y2 – x – 1 + z2y + z2 – y – 1 + x2z + x2 – z – 10
( y2x+ x2z+ z2y) + ( y2+ z2+ x2) – (x + y + z) – 30 (*)
Aùp dụng bất đẳng thức cô si, ta có:
y2x+ x2z+ z2y3 y x.x z.z y = 3xyz =3; y3 2 2 2 2+ z2+ x2
3 y x z = 33 2 2 2 3 1 = 3;x + y + z 3 yxz 33
VT của (*) 3 + 3 – 3 – 3 =0 = VP => (*) đúng => (1) đúng
Vậy c(c a)ab
+ bc
a(a b) +b(b c)ca
a c + b
a b +b cc
Bài 5:Cho 3 số dương a, b, c CMR: a(11 b) b(11 c) c(11a)
Đặt P =VT.Aùp dụng bất đẳng thức:x, y, z là các số thực,ta có:(x + y + z)2
3(xy + yz + zx), suy
ab(1 b)(1 c) bc(1 c)(1 a) ca(1 a)(1 b) =3(c(1abca(1)a a)((11b b))(1b(1c)c)) =
= 3((1abca)((11a b)()(11b c)()1 abc c) 1) => P2
) 1 )(
1 )(
1 (
3 )
1 )(
1 )(
1
(
3 3
c b a abc c
b a
Đặt t = 3 abc.Theo bất đẳng thức Cô - si ta lại có:
Trang 3(1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + (a + b + c) + (ab + bc + ca) 1 + 3t + 3t2 + t3 = (1 + t)3 (2)
Từ (1)và (2) suy ra: P2
3 )
1 (
3 3
t t t
3 3
) 1 (
) 1 )
1 ((
3
t t
t t
= 2 ( 1 ) 2
9
t
P t (13t) = 3 abc (13 3 abc) ( do P > 0)
Bài 6: Cho a, b, c > 0 Chứng minh: b ca
+ c ab
+ a bc
> 2
Đặt a + b + c = t
b c
a
1 b c 1
a 2
= b c aa
2
=2at hay a
b c
t
a
2
Tương tự: b
c a 2b
t và
c
a b 2c
t
b c
+ b
c a
a b 2a
t + 2bt + 2ct = 2(a b c)t
= 2t
t = 2 Dấu bằng xảy ra khi: b ca = 1, a c = 1, b ab = 1c
a b c
b a c
c a b
a + b + c = 2(a + b + c) a + b + c = 0 (*)
Theo giả thiết thì a + b + c0 (*) không xảy ra Vậy dấu bằng không xảy ra
b c
+ b
c a
a b
> 2 (đpcm)
Bài 7: Cho x, y, z là các số không âm.CMR: 8(x3 + y3 + z3)2 9(x2 + yz)(y2 + xz)(z2 + xy)
Theo bất đẳng thức Cô – si, ta có: x y3 3 y z3 3 x z3 3
3
x2y2z2
x3y3 + x3z3 + y3z33x2y2z2 6x3y3 + 6x3z3 + 6y3z318x2y2z2 (*)
Lại có: (x3 – xyz)2 0 x6 + x2y2z2
2x4yz x6 + x y3 3 y z3 3 x z3 3
3
Tương tự: y6 + x y3 3 y z3 3 x z3 3
3
2y4xz (2) và z6 + x y3 3 y z3 3 x z3 3
3
2z4xy (3) Từ (1), (2), (3) ta có: x6 + y6 + z6 +x y3 3 y z3 3x z3 3 2x4yz + 2y4xz + 2z4xy (4)
Từ (4) và (*) ta có: x6 + y6 + z6 +7x y3 3 7y z3 37x z3 3 2x4yz + 2y4xz + 2z4xy + 18x2y2z2 (*’)
Ta có: x6 y6 z6
3
x2y2z2 Do đó: x6 +x6 y6 z6
3
Tương tự: y6 + x6 y36 z6 2y4xz ; z6 + x6 y36 z6 2z4xy
Cộng theo vế ta có: 2(x6 + y6 + z6) 2x4yz + 2y4xz + 2z4xy
7x6 + 7y6 + 7z6 7x4yz + 7y4xz + 7z4xy (5)
Cộng theo vế (*’) và(5) ta có: 8x6+8y6+8z6+7x y3 3 7y z3 3 7x z3 3 9x4y+9y4xz+9z4xy+ 18x2y2z2
8(x6 + y6 + z6 + 2x y3 3 2y z3 3 2x z3 3)9(x4y + y4xz + z4xy+ 2x2y2z2+x y3 3 y z3 3 x z3 3)
8(x3 + y3 + z3)2 9(x2(y2z2 + x2yz + xy3 + xz3)+ yz(x2yz + xy3 + y2z2+ xz3)
8(x3 + y3 + z3)2 9(x2 + yz)( y2z2 + x2yz + xy3 + xz3)
8(x3 + y3 + z3)2 9(x2 + yz)(y2(z2 + xy) + xz(z2 + xy)) = 9(x2 + yz)(y2 + xz)(z2 + xy)(đpcm)
Vậy 8(x3 + y3 + z3)2 9(x2 + yz)(y2 + xz)(z2 + xy)
Trang 4Bài 8: Cho xy = 1 và x > y Chứng minh: x xy y 2 2 Bài giải:
Do x > y => x – y > 0
Ta có: x x2y y2 =(x x y)2 y2xy=(xx y)2y2 = (x – y) + x 2 y 2 x y x y
).
(Aùp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương) Vậy x x y y
2
2 2 2 khi xy = 1 và x > y
Bài 9: Cho 4 số không âm a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 1 Chứng minh:
a b b c c d d a 2 2 Bài giải:
Bất đẳng thức đã cho tương đương:
( a b b c + )2 ( c d d a + 2 ( )2 a b b c ( ) c d d a ) 8
a + b + c + d + 2 (a b b c )( )+ a + b + c + d + 2 (c d d a )( )+ 2 (a b c d )( )+ 2 (a b d a )( )+ 2 (b c c d )( )+2 (b c d a )( ) 8
2(a + b + c + d)+ 2 (a b b c )( ) + 2 (c d d a )( )+ 2 (a b c d )( )+ 2 (a b d a )( )+ 2 (b c c d )( )+2 (b c d a )( ) 8
Aùp dụng bất đẳng thức Côsi:
2 (a b b c )( ) a + b + b+ c = a +2b + c; 2 (b c d a )( ) a + b + c + d
2 (c d d a )( ) c + d + d + a = c + 2d + a; 2 (a b c d )( ) a + b + c + d
2 (a b d a )( ) a + b + d + a = 2a + b + d;2 (b c c d )( ) b + c + c + d = b + 2c + d
Cộng theo vế:VT 2(a + b + c + d) + a +2b + c + c + 2d + a + a + b + c + d + 2a + b + d + b + 2c + d + a + b + c + d 8a + 8b + 8c + 8d = 8(a + b + c + d) = 8 = VP (vì a + b + c + d = 1.)
Vậy a b b c c d d a 2 2 Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c = d = 1/4
Bài 10: Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 2.CMR: 2 2 2 2
( )
Ta có: 2 2
(x y ) - 2xy = 22 - 2xy = 4 – 2xy Mặt khác: áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có: x + y 2 xy 2 2 xy xy 1
x2 y2 4 – 2 = 2 và 2 2
x y 1 x y x2 2( 2 y2) 2.1 = 2 (đpcm)
Bài 11:Cho 3 số dương a, b, c thoả a + b + c = 1.CMR: a 31 b c + b31 c a +c31 a b 1 Aùp dụng bất đẳng thức cô si: a31 b c a1 1 1 b c
3
= 3a ba ca
3
Tương tự: b31 c a 3b bc ba
3
và c31 a b 3c ac bc
3
Cộng theo vế: a 31 b c + b31 c a +c31 a b 3a ba ca
3
+ 3b bc ba
3
+ 3c ac bc
3
=
= 3a ab ca 3b cb ab 3c ca cb
3
= 3a 3b 3c
3
= 3(a b c)
3
= 3
3= 1 (dpcm) Vậy a31 b c + b31 c a +c 31 a b 1 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Bài 12: Cho 3 số dương a,b,c thoả a2+b2+c2 =1.CMR: b2 2
1 c
3 3 3
2abc
+ 3
Ta có: VT = 2 2 2 2 2
b
c
a
b
b
a c
+1 + 2 2 2
c
b a
+ 1 + 2 2 2
a
c b
+ 1 =
= 2 2 2
b
a
c
c
b a
a
c b
2 a 2bc+
2
2c
b
a+
2
2a
c
b+ 3 =
3 b3 c3
a 2abc
+ 3 = VP
Trang 5Vậy 2 1 2
3 3 3
2abc
+ 3 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
3
Bài 13: Cho3 số dương a, b, c thoả a + b + c =3
2 CMR: B = (1+ 13
a )(1+b3
1 )(1+
3 c
1 )
729
Ta có: B = 1 + 13
a +b3
1 + 3 c
1 + 3 31
a b + 3 3c
1
a +b c3 3
1 + 3 3 31
a b c
B 1 +33
3 3 3
1
a b c + 33 3 3 3 3 3 3
1
a b c a b c + 3 3 3
1
a b c = 1 + 3abc1 + 3 2 2 2
1
a b c + 3 3 3
1
a b c = ( 1 +abc1 )3
Mặt khác: abc (a b c
3
)3 = (32
3)
3= 1
8 B (1+ 1: 18)3 = 93 =729
Vậy B = (1+ 13
a )(1+b3
1 )(1+
3 c
1 )
729 Dấu bằng xảy ra khi a = b =c =3
2: 3 = 1
2
Vậy: 2 2 2 2
( )
x y x y 2 Dấu bằng xảy ra khi x = y = 2
2= 1
Bài 14: Cho a,b, c >0 thoả ab+bc+acabc CMR: 8
a b + b c8
+a c8
b c
a + 2
a b c
+ 2
c a b
+ 2
Ta có: (a + b)2( 2
1
1
b ) 4ab ab2 =8 2
1
1
8 (a b)
8
a b (a + b)( 2
1
1
a b + 8
b c + 8
a c (a + b)( 12
1
b ) + (b + c)( 2
1
b +c2
1 )+ (a + c)(
2
1
a +c2
1 ) =
= 2
a b
a
+ 2
a b
b
+ 2
b c
b + 2
b c
c + 2
c a a
+ 2
c a
c = 2
a b c a a
a b b c b
b c c a c
=
=b ca + 2 2aa2 + a bc2 + 2cc2 + c ab2 + 2bb2 = b ca + 2 a bc2
+ c ab2 + 2a + 2b + 2c =
= 2
b c
a + 2
a b
c
+ 2
c a b
+2(ab bc ca)abc b c2
a + 2
a b c
+ 2
c a
b + 2 (vì ab + bc + ac abc) (đpcm) Vậy 8
a b + b c8
+a c8
b c
a + a bc2
+ c ab + 22
Bài 15:Cho3 số dương a, b, c thoả a + b + c =1.CMR: a bc
b c +b cac a
+c aba b
2
b c
+ b(a b c) ca c a
+ c(a b c) ab a b
b c
+ b(a b) c(a b) c a
+ c(b c) a(b c) a b
= (a c)(a b)
b c
+ (a b)(b c)c a
+ (b c)(c a)a b
Đặt a + b = x, b + c = y, c + a = z VT bất đẳng thức tương đương:
zx
y + xyz +yzx 2 2y 2zzx xy +2 xy zy2z 2x+2 2x 2yyz zx = 2x + 2y + 2z = 2(x+y+z) = 2(BDTCô si)
Vậya bc
b c +b cac a
+c aba b
2 a a, b, c >0 thoả a + b + c =1
Bài 16:Cho a, b, c dương, abc = 1 Chứng minh rằng: 3 3
1
a b 1+ 3 3
1
b c 1 + 3 3
1
c a 1 1
Vì abc = 1, nên từ: (*) <=> : a3 + b3 + abc ab(a + b) + abc <=> a3 + b3 + 1 ab(a + b + c)
Trang 6<=> 3 13
1
1 ( )
ab a b c Tương tự, : 3 13
1
1 ( )
1 1
1 ( )
3 13
1
1
1
1 ( )
( )
( )
a b c abc a b c
= abc1 = 1
Vậy a3 1b3 1
+ b3 1c 13
+ c3 1a 13
1 Ứng dụng vào chứng minh hình học:
Bài 17: Cho tam giác ABC vuông tại C BC = a, AC = b, AB = c Gọi hc là đường cao của tam giác kẻ tại C CMR:
c
a b c
h 2(1 + 2 ) Bài giải:
Vì tam giác ABC vuông tại C, áp dụng định lý Pytago c2= 2 2
Và ab = chc hc = ab
c ( hệ thức lượng trong tam giác vuông)
c
a b c
a b c ab c
=(a b c c )
ab =(a b c c ) 2
ab = (a b a ) 2 b2 a2 b2
2 ab 2ab2ab
= 2 2 +2 = 2(1 + 2 )
Vậy
c
a b c
h 2(1 + 2 ) Dấu bằng xảy ra khi a = b hay tam giác ABC vuông cân tại C
Bài 18: ChoABC, trên tia đối AC, BA, CB lấy ba điểm A1,B1, C1 sao cho AA1 = BC, BB1= AC, CC1
= AB CMR: SABC1+SACB1+SBCA1 6SABC
Bài giải:
Đặt AB = c, BC = a, AC = b
Ta có: ABC1
ABC
S
BC
BC =
a c a
= 1 + ca; 1
BCA
ABC
S
CA
CA =
b a b
= 1+ ab; ACB1
ABC
S
AB
AB =
c b c
= 1+bc
ABC1
ABC
S
1 BCA
ABC
S
S + ACB1ABC
S
S = 1 + ca+1+ ab+1+ bc
ABC1 CBA1 ACB1
ABC
S
= 3 + c
a+ ab+ bc
3 + 3 a b c
b c a = 3 + 3 = 6 SABC1+SACB1+SBCA1 6SABC (đpcm)
Bài 19: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác thoả điều kiện: (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc CMR:a, b,
c là ba cạnh của tam giác đều Bài giải:
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có:
a + b 2 ab ; b + c 2 bc ; c + a 2 bc ( áp dụng bất đẳng thức cô - si)
(a + b)(b + c)(c + a) 8 a b c = 8abc Dấu bằng xảy ra khi a = b = c 2 2 2
Vậy a, b, c là ba cạnh của tam giác đều
A
B1
A1
C
Trang 7Bài 20: Cho tam giác ABC Ơû miền trong tam giác có điểm m sao cho các đường thẳng AM, BM, CM
cắt các cạnh lần lượt tại các điểm thoả điều kiện:
1
AM
A M + 1
BM
B M + 1
CM
C M = 6 CMR: M là trọng tâm
tam giác ABC Bài giải:
Gọi s,s1, s2, s3 lần lượt là diện tích các tam giác ABC, MBC, MCA, MAB
1
1
AA
A M =
ABC
MBC
S
S =
1
s s s s
1
AM
A M = 21
s
s + 31
s s
Tương tự:
1
BM
B M = 12
s
s + 32
s
s ; 1
CM
C M = 23
s
s +
1 3
s s
1
AM
A M + 1
BM
B M + 1
CM
C M = 21
s
s + 31
s
s +
1 2
s
s + 23
s
s +
2 3
s
s +
1 3
s
s 12 21
s s
s s + 13 31
s s
s s + 23 23
s s
s s = 2+2+2 = 6 Aùp dụng bất đẳng thức Cô – si
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: s1 = s2 = s3 = 3s
1
AM
A M = 1
BM
B M = 1
CM
C M = 13 Vậy M là trọng tâm tam giác ABC
Bài 21:Cho 3 số dương a, b, c thoả abc = 1 Tìm Min của P = a6
b c +c ab6
+a bc6
Ta có: a6
b c +b c4 2 a6 .b c
b c 4
= a3 => a6
b c a3 -b c4 Tương tự: c ab6
b3 -c a ; 4 c6
a b c3 -a b4
P a3 +b3 + c3-b c4 - c a4 - a b4
= a3 +b3 + c3-b c c a a b 4 = a3 +b3 + c3-b c a 2
3 y x z - 3 3 3 3 3 abc3
2 = 3 -
3
2=
3 2 Vậy MinP = 32 khi a6
b c =b c4 vàc ab6
= c a4 vàa bc6
= a b4 <=> a = b = c = 1
Bài 22:Tìm Min P =a2(b c) b (a c)2
abc
trong đó a, b, c là ba cạnh của tam giác vuông(c là cạnh huyền)
Aùp dụng bất đẳng thức Cô si:a + b 2ab
Vì a, b, c là ba cạnh của tam giác vuông => c2 = a2 + b2
2ab => c 2 ab
P = a2b a c b a b c2 2 2
abc
=ab(a b) c(a2 b )2
abc
=a b cc ab2
2 ab 2 ab.c
ab
2 ab 2.c
ab
= 2 ab c ( 2 1)c
c
2 2 + ( 2 1) 2ab
ab
= 2 2 + ( 2 1) 2 =2 2 + 2 - 2 = 2 + 2 Vậy Min P = 2 + 2 khi đó a = b => tam giác vuông cân
Bài 23:Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện:x + xy +3 xyz = 34 Tìm giá trị nhỏ
nhất của x + y + z Bài giải:
Aùp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương ta có:
.M
A
B
Trang 8xy = x2y
y
x
2 2 2
1
; (1) 3 xyz = 3 4
4 y z
x
y z
x
4 4
3
1
; (2) Từ (1) và (2)
3
4
= x + xy +3 xyz
y
x
2 2 2
1
y z
x
4 4
3
1
= 34 (x + y + z)=> x + y + z 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời trở thành đẳng thức
4
x
= y = 4z; kết hợp với giả thiết x + xy + 3 xyz = 34 ta suy ra x = 1621; y = 214 ; z = 211 Vậy x + y + z đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1
Bài 24: Cho x, y > 0; thoả x + y = 1 Tìm Min A = 2 1 2
x y +xy Bài giải:1 Aùp dụng bất đẳng thức (a + b)2 4ab => a bab 4
a b
1 1
a b
4
a b (a, b > 0) Mặt khác: x + y 2 xy => xy
2 (x y) 4
= 14(áp dụng bất đẳng thức Cô si)
A = 2 1 2
x y +2xy +1 2xy 1 2 2
4
x y 2xy +2xy = 1 2
4 (x y) +2xy1 4 +
1 1 2
4
= 4 + 2 = 6
Vậy MinA = 6 khi x = y = 12
Bài 25:Với x, y, z là những số thực dương, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M = (xy)(y xyzz)(zx) B ài giải:
Aùp dụng bất đẳng thức Cosi với 2 số dương: x + y = 2 xy, y + z = 2 yz , x + z = 2 xz
(x + y)(y + z)(z + x) 8 (xyz) 2 = 8xyz M = (xy)(y xyzz)(zx) 8xyz xyz = 81
Vậy maxM = 81 khi x = y = z
Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
2
2001
x
x
x 2002
Bài giải:
Điều kiện: x 2002
Đặt a = x 2001; a > 0; b = x 2002; b 0
Thì: x = a2 + 2001; x + 2 = a2 + 2003; x = b2 + 2002, ta có:
A =
2002
2003 2
2
b a
a
=
a
a 2003
1
+
b
b 2002
1
Theo bất đẳng thức Cosi: 2003 2 2003
a
b
Do đó A
2002 2
1 2003
2
1
Dấu đẳng thức xảy ra khi: a = 2003a và b = 2002b <=> a2 = 2003 và b2 = 2002 <=> x = 4004
Vậy maxA =
2002 2
1 2003
2
1
khi x = 4004
Bài 27: Giả sử x, y, z là các số dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xy2z2 + x2z + y = 3z2 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 1 4( 4 4)
4
y x z
z
Do z > 0 nên từ: xy2+
z
x2
+ z2
y
= 3 Aùp dụng bất đẳng thức Cosi với 2 số dương:
Trang 9(x2y2 + y2) + (x2 + 22
z
x ) + ( 22
z
y + 12
z ) 2(xy2+
z
x2
+ 2
z
y
) = 6
P = 1 4( 4 4)
4
y x z
z
1 4 4
Đặt a = 2
1
z ; b = x2; c = y2 (a, b, c >0); ta có P = 2 2 2
1
c b
Do a2 2a – 1; b2 2b – 1; c2 2c – 1; a2 + b2 2ab; b2 + c2 2bc; a2 + c2 2ac
3(a2 + b2 + c2) 2(ab + ac + bc + a + b + c) – 3
Mà ab + ac + bc + a + b + c = x2y2 + y2 + x2 + 22
z
x + 22
z
y + 12
Do đó 3(a2 + b2 + c2) 9 <=> a2 + b2 + c2
3 Vậy P
3 1
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 <=> x = y = 1/z = 1 <=> x = y = z = 1
maxP =
3
1
khi x = y = z = 1
Ưùng dụng vào giải hệ phương trình và phương trình:
Bài 28: Nếu x0 là nghiệm của phương trình x2 + bx + c = 0 thì |x0| b2 c2 1
Bài giải:
Vì x0 là nghiệm của phương trình Thay vào ta có: x02 + bx0 + c = 0
- x02 = bx0 + c x04= (bx0 + c)2 (b2 + c2)(x02 + 1) mà x04 – 1< x04
x04 – 1(b2 + c2)(x02 + 1) 0
0
4 2
x
1
b2 + c2 x02 - 1 b2 + c2 x02 b2 + c2 +1
|x0| b2 c2 (đpcm)1
Bài 29: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2005 20044009 20042005
y y
x y
Bài giải:
Ta giải bài toán tổng quát: Với a, b, c, d dương ta có:
F =
b a
d a d
c d c
b
c
b
a
b a
d a d
c d
c
b c b
a
=a(d(b a c))(d c(b a)c) b(a(c b)d)(a d(c b)d)
2 2 2
2 2
) (
4
1 ) (
4
1
b a d c
cd ab d b a d c b
bc ad c a
(theoBĐT Cô –si)
2 2 2
2
) (
) (
4
d c b a
cd bc ad ab d c
b
a
(2) Mặt khác: 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ab + ad + bc + cd) – (a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 –2ac – 2bd =
= (a – c)2 + (b – d)2 0 (3)
Kết hợp (2) và (3) ta suy ra F 2 (4)Đẳng thức xảy ra <= > a = c; b = d
Aùp dụng với a = 2005, b = x; c = y; d = 2004 ta có: 2005 20044009 20042005
y y
x y
Đẳng thức xảy ra <= > y = 2005, x = 2004
Vậy phương trình (1) có nghiệm nguyên dương duy nhất là (2004; 2005)
Bài 30: Tìm tất cả các số thực dương x, y, z thoả mãn hệ phương trình:
xyz z
y x
z y x
4 2 1 1
Bài giải:
Dùng BĐT cosi cho 3 số thực dương ta có:6=x+y+z=3 xyz3 suy ra8xyz (1) và 3
3 1 1 1
xyz z
y
Trang 10Kết hợp (1) và (2) ta nhận được: (x + y + z) 3 3 3
3 1 1 1
xyz
xyz z
y
x
Suy ra x1 1y 1z x9yz
= 69 23(3) Từ (1) và (3) ta lại có:
xyz z y x
4 1 1 1
8
4 2
3
= 2 Vậy x; y; z là các số thực dương thoả mãn hệ phương trình đẳng thức xảy ra ở bất phương trình trên x = y = z =2
Do đó x = y = z =2 là bộ số thực dương duy nhất thoả mãn các điều kiện của bài toán
Bài 31: Giải hệ phương trình:
2005 2008
x
xy x
y y
x
((12))
Bài giải:
Từ (1) ta có x, y > 0 Aùp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương ta có: 2 2 4 xy
yx
xy x
y y
x
Kết hợp với (1) ta có xy 24 xy =>4 (xy) 3 2 => xy 16 (3)
Aùp dụng BĐT cho 2 số dương ta có: x2008 + y2008
2 (xy) 2008 = 2(xy)1004 Kết hợp với (2) ta có: 8 (xy) 2005 2(xy)1004 => 16(xy)2005
(xy)2008 => 3 16 xy (4)
Từ (3) và (4) ta thấy: (3) và (4) đồng thời trở thành đẳng thức
2008
2008 y x
x
y y
x
< => x = y
Khi đó 3 16 = xy nên x = y = 3 4 Thử vào hệ thoả mãn
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 3 4
Bài 32: Giải phương trình: 41 x 2 + 41 x +41 x = 3
Bài giải:
ĐK: -1 x1
Theo bất đẳng thức Cô – si:
41 x 2 = 4(1 x)(1 x) 1 x 1 x
2
;41 x 1 x 1
2
; 41 x 1 1 x
2
=>41 x 2 + 41 x +41 x 1 1 x
2
2
+ 1 x 1
2
= 1 + 1 x + 1 x 1 +1 x 1 2 + 1 x 1 = 3 2
Dấu bằng xảy ra khi 1 x = 1 x ; 1 x = 1; 1 x = 1 Giải các hệ này ta được x = 0
Vậy phương trình có một nghiệm x = 0