i. Tập hợp 1. Một số khái niệm + Tập hợp A, chứa các phần tử x, y, ., A = {x, y, .}, x A, y A + Tập hợp A chứa các phần tử x thỏa mãn điều kiện P. A = {x\ x thỏa mãn điều kiện P} + gọi là tập rỗng (tập hợp không có phần tử). + A B thì A là tập con của tập B. + A = B thì tập A và tập B đều là tập con của nhau. 2. Các phép toán về tập hợp + Hợp A B = {x A hoặc x B} + A B = B A ; (A B) C = A (B C) A A = A ; A A B ; B A B A = A + Giao A B = {x A và x B} + A B = B A ; A B B ; A B A A A = A ; (A B) C = (A C) (B C) A = ; (A B) C = (A C) (B C) + (A B) C = A (B C) + Hiệu A \ B = {x | x A và x B} A \ A = (A \ B) C = (A C) \ B = (A C) \ (B C) A \ B = A \ (A B) A = (A B) (A \ B) + Phần bù C A S = A\ S (S A) 3. Tập hợp số + Tập hợp số tự nhiên N = {0, 1, 2, .} + Tập hợp số nguyên Z = { . -2, -1, 0, 1, 2, .} + Tập hợp số hữu tỉ = *, NnZm n m Q + Tập hợp số thực R = {a 0 , a 1 , a 2 , .| a 0 Z, a k {0, 1, 2, ., 9}} Nh vậy ta có : N Z Q R II. Biểu thức đại số 1. Tính chất các phép toán trên số + Tính chất giao hoán của phép cộng và nhân a + b = b + a ab = ba + Tính chất kết hợp của phép cộng và nhân (a + b) + c = a + (b + c) (a.b).c = a.(b.c) + Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (a + b)c = ac + bc + Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ (a - b)c = ac - bc 2. Biểu thức phân + Tính chất cơ bản của phân thức ( ) 0;0 = cb b a bc ac + Các phép toán của phân thức ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0;0: 0 0;0 0 = = = = + =+ dcb bc ad d c b a b b a b a b a db bd ac d c b a c c ba c b c a 3. Tỉ lệ thức + Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số ( ) 0;0 = db d c b a a, d là hai ngoại tỉ ; b, c là hai trung tỉ. + Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức : ad = bc + Một số tính chất khác Với a, b, c, d 0 và d c b a = thì : d dc b ba d dc b ba c d a b a c b d d b c a = + = + === ; ;; db ca d c b a dc dc ba ba c dc a ba c dc a ba == + = + = + = + ; ; III. luỹ thừa + Một số định nghĩa * Luỹ thừa số mũ nguyên 0)aN;(n 1 a 0)(a 1a 1)nN*;(n . n- 0 = = = n n n a aaaaa * Luỹ thừa số mũ hữu tỉ N*)nm,0;(a 11 a N*)nm,0;(a a N*)n0;(a y- y 1 >== >== >= n m y n m n m n n a a aa aa + Các tính chất cơ bản của luỹ thừa Giả sử a > 0, b > 0 x, y R ta có : ( ) ( ) xy y x x x x xx x yx y x yxyx aa b a b a aaab a a a aaa = = = = = + + Một số tính chất khác x, y R, x < y * Với a > 1 a x < a y * Với 0 < a < 1 a x > a y IV.căn bậc n + Định nghĩa : n N * , căn bậc n của số a là một số b sao cho b n = a, kí hiệu là n a * Mọi số a chỉ có một căn bậc lẻ * Số âm không có căn bậc chẵn * Số dơng có hai căn bậc chẵn, hai căn ấy có số trị đối nhau. Giá trị dơng của căn bậc chẵn n của số a > 0 kí hiệu là n a . + 0 n a với a > 0 gọi là căn số học )1*;( > nNn + ( ) aa n n = (a 0) 0)b0;(a b a 0)b0;(a n >= = n n nnn a a baab < == = 0)(a a- 0)(a a 0)(a 2 n k a a aa nk V. dãy số + Định nghĩa Gọi N * = {1, 2, 3, .} Một dãy số là một hàm số u từ N * tới R u : N * R n U(n) Kí hiệu U n = U(n), viết dãy số dới dạng U 1 , U 2 , U 3 , U n + Cách cho dãy số * Dãy số cho bởi công thức : U n = 2n + 1 * Dãy số cho bởi cách mô tả các số hạng liên tiếp của nó * Dãy số cho bởi công thức truy hồi chẳng hạn dãy số Phibonasi : U 1 = U 2 = 1, U n = U n - 2 + U n - 1 với n 3 Dễ dàng ta có dạng khai triển của dãy : 1, 1, 2, 3, 5, 8 . * Dãy số bằng quy nạp : - Cho số hạng thứ nhất U 1 - Với n > 1 cho công thức U n khi biết U n - 1 + Dãy số tăng, giảm * Dãy số (U n ) gọi là tăng nếu n N * , U n < U n + 1 * Dãy số (U n ) gọi là giảm nếu n N * , U n > U n + 1 + Dãy số bị chặn * Dãy số (U n ) bị chặn trên nếu M sao cho n N * , U n M * Dãy số (U n ) bị chặn dới nếu M sao cho n N * , U n m * U n gọi là bị chặn nếu M, m sao cho m U n M. + Các phép toán trên dãy số * (U n ) (V n ) = (U n V n ) * (U n ) = (U n ) * (U n ).(V n ) = (U n. V n ) * ( ) 0;Nn )( )( * = n n n n n V V U V U VI. Cấp số cộng + Định nghĩa Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trớc nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai. n N * , U n + 1 = U n + d + Tính chất của cấp số cộng * U n + 1 U n = U n + 2 U n + 1 * 2 2 1 + + + = nn n UU U + Số hạng tổng quát U n = U 1 + d(n 1) + Tổng n số hạng đầu ( ) ( ) n nda S naa S n n n 2 12 2 1 1 + = + = VII. Cấp số nhân + Định nghĩa Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu khác không và kể từ số hạng thứ hai đều bằng tích của số hạng đứng ngay trớc nó với một số không đổi khác 0 và khác 1 gọi là công bội. n N * , U n + 1 = U n .q + Tính chất : ( ) 0* ::* 21 121 >= = ++ +++ nnnn nnnn UUUU UUUU + Số hạng tổng quát : U n = U 1 .q n - 1 + Tổng n số hạng đầu tiên ( ) 1 1 1 1321 =++++= q q q UUUUUS n nn + Tổng của cấp số nhân vô hạn Với |q| < 1 q U UUUUUS nn =++++= 1 1 1321 VIII. Một số công thức khác của dãy số ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 3 2 1 2 1 1 2 3 6 n n n n n n n + + + +ììì+ = + + + + +ììì+ = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 4 1 3 5 2 1 4 1 1 3 5 2 1 3 n n n n n n n n + + + +ììì+ = + + +ììì+ = + + +ììì+ = ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) 321 4 1 21432321 1137241 3 21 13221 2 +++=+++++ +=++++ ++ =++++ nnnnnnn nnnn nnn nn IX. Hoán vị + Định nghĩa Một hoán vị của n phần tử là một bộ gồm n phần tử đó, đợc sắp xếp theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần. Số tất cả các hoán vị khác nhau của n phần tử ký hiệu là P n + Công thức : P n =1.2.3 .n = n ! X. Chỉnh hợp + Định nghĩa Một chỉnh hợp chập k của n phần tử (0 < k n) là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử lấy ra từ n phần tử đã cho. Số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử ký hiệu là . Công thức : ( ) ( ) ( ) ( ) n n k k 0 k 1 k n n k n n n n n 1 n n n n! A ; A n n 1 n k 1 n k ! A 1 ;A n k A ; A P n! A A n! + = = ììì + = = = = = = (Qui ớc 0! = 1) XI. Tổ hợp + Định nghĩa Cho một tập hợp A gồm n phần tử (n nguyên dơng). Một tổ hợp chập k của n phần tử (0 k n) là một tập con của A gồm k phần tử. Số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử ký hiệu là k n C + Công thức ( ) ( ) ( ) ! 11 !! ! k knnn C knk n C k n k n + = = + Tính chất ( ) ( ) nkCCC CCCC CC nkCC k n k n k n n n nnnn n nn kn n k n <=+ =++++ == = + + + 0 2 1 0 1 1 1 210 0 XII. Tam giác pascal n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 n = 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 n = 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 XIII. công thức newtơn T k là số hạng thứ k + 1 của khai triển nhị thức : kknk nk baCT = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n mmnm n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba babbababaaba babbabaaba cabbaaba bababa baba 0222110 54322345 5 332234 4 3223 3 22 2 1 510105 464 33 2 ++++++=+ +++++=+ ++++=+ +++=+ ++=+ +=+ Hoc (a +b ) n = a n + n 1 a n-1 b + n(n 1) 1.2 a n-2 b 2 + n(n 1)(n 2) 1.2.3 a n-3 b 3 + .+b n XIV. Phơng trình 1. Một số khai triển + Đẳng thức f(x) = g(x) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x, đợc gọi là phơng trình một ẩn số, x là ẩn số. + Giải phơng trình (1) là tìm giá trị x = x 0 để có đẳng thức đúng f(x 0 ) = g(x 0 ). + Tơng tự f(x 1 , x 2 , x 3 , , x n ) = g(x 1 , x 2 , x 3 , , x n ) đợc gọi là phơng trình n ẩn, (n N * ) + Tập hợp các giá trị x 0 gọi là tập hợp các nghiệm của phơng trình kí hiệu là M, nếu phơng trình không có nghiệm thì tập hợp các nghiệm là tập . 2. Phơng trình tơng đơng - phép biến đổi tơng đơng + phơng trình f(x) = 0 (1) có tập hợp nghiệm là M 1 . phơng trình g(x) = 0 (2) có tập hợp nghiệm là M 2 . Nếu M 1 = M 2 (1) và (2) tơng đơng + Nếu M 1 M 2 (2) là phơng trình hệ quả của phơng trình (1). + Hai phơng trình f(x) = 0 (1) và f(x) + h(x) = h(x) (2) là tơng đơng nếu h(x) có miền xác định chứa tập nghiệm (1). + Hai phơng trình f(x) = 0 (1) và f(x).h(x) = 0 (2) tơng đơng h(x) 0 và miền xác định h(x) chứa miềm xác định của f(x). 3. Phơng trình bậc nhất + Dạng ax + b = 0 (x là ẩn a, b R miền xác định là R). + Nghiệm : * a 0 : có nghiệm duy nhất : a b x = * a = 0, b 0 : Vô nghiệm * a = 0, b = 0 : Vô số nghiệm trên R 4. Phơng trình bậc hai + ax 2 + bx + c = 0. = b 2 - 4ac * Nếu > 0 thì M = {x 1 , x 2 } a b x 2 2,1 = khi b = 2b', '' = b' 2 - ac thì : a b x '' 2,1 = * Nếu = 0, thì M = {x 1 } a b x 2 2,1 = * Nếu < 0, thì M = . + Một số trờng hợp thờng gặp * qpqpxx 4;0 22 ==++ Nếu > 0, M = {x 1 , x 2 } { } 2 ,,0 2 22 11 2 2 2,1 p xxMq p q pp x === = = < 0, M = . * ax 2 + bx + c = 0 có a + b + c = 0 a c xxcba a c xx ===+ == 21 21 ;10 ;1 + Định lí Viét Nếu phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có { } == =+= = a c xxP a b xxS xxM 21 21 21 ; + Xét dấu nghiệm (quy ớc x 1 > x 2 ) 0 0 0 0 * 0 0 0 0 * 00* 21 21 21 << < > > << > > > <<< xx S P xx S P xxP 5. Phơng trình quy về bậc hai + ax 4 + bx 2 + c = 0 (1) (a 0) (phơng trình trùng phơng) Đặt : ( ) 42 2 0 xy yxy = = Phơng trình (1) đã về ay 2 + by + c = 0 (2). Giải phơng trình (2) tìm nghiệm y 0, sau đó tìm x bằng công thức : yx = + (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0 với a + b = c + d. Đặt y = (x + a)(x + b) + ( ) ( ) kbxax =+++ 44 Đặt : 2 ba xy + += + ( ) 00 234 =+++ aabxcxbxax Chia hai vế của phơng trình cho x 2 (vì x = 0 không phải nghiệm của phơng trình). 6. Phơng trình bậc ba + Dạng x 3 + px + q = 0 (1) Công thức nghiệm của phơng trình (1) (công thức Cacđanô) 3 32 3 32 27422742 pqqpqq x ++++= + Dạng y 3 + ay 2 + by + c = 0 Đặt 3 a xy = ta có phơng trình dạng x 3 + px + q = 0 và có công thức giải nh trên. 7. Phơng trình chứa căn bậc hai > = = 0 2 B BA BA 8. Phơng trình tuyệt đối = = )()( 0)( )()( 22 xgxf xg xgxf 9. Phơng trình mũ ( ) 1,0 >= aaNa x * N 0 phơng trình vô nghiệm * N > 0 phơng trình có nghiệm duy nhất : N a log 10. Phơng trình logarit log a x = N (a > 0, a 1) có nghiệm duy nhất x = a N XV. hệ PhƯơng trình 1. Hệ phơng trình bậc nhất ( ) caac ca ca bc bc baab ba ba D cybxa cbyax '' '' D bcb'-c' '' D '' '' 1 ''' yx ====== =+ =+ * Nếu D 0 hệ phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất : = = D D y D D x y x * Nếu D = 0 và (Dx 0) hoặc (Dy 0) hệ phơng trình (1) vô nghiệm. * Nếu D = Dx = Dy = 0 - Trờng hợp a = a' = b = b' = 0, c 0, c' 0 hệ phơng trình (1) vô nghiệm. - Các trờng hợp khác hệ (1) vô số nghiệm. 2. Hệ phơng trình bậc hai + Hệ phơng trình bậc hai hai ẩn số có dạng =+++++ =+++++ 0'''''' 0 22 22 fyexdycxybxa feydxcybxyax Ta chỉ xét hai hệ sau : * Hệ phơng trình đối xứng đối với x và y (khi thay x bởi y hoặc y bởi x thì hệ phơng trình không đổi) Chẳng hạn : . 332234 4 3223 3 22 2 1 510105 464 33 2 ++++++=+ +++++=+ ++++=+ +++=+ ++=+ +=+ Hoc (a +b ) n = a n + n 1 a n-1 b + n(n 1) 1.2 a n-2 b 2 + n(n 1)(n 2) 1.2.3