Chương 5 nội suy và xấp xỉ hàm

đây là bài tập chương 5 của môn PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRONG LẬP TRÌNH ở các trường đại học, cao đẳng thường dùng, bài tập chương 5 khá đầy đủ và rõ ràng cho các bạn xem và sẽ hiểu cực kì sâu sắc về các vấn đề khai triển hàm qua chuỗi taylor . các bạn nhớ xem cả chương 2,3,4,6,7,8 nữa nhé, chúc các bạn học tập thật tốt

Chương 5 Nội suy và xấp xỉ hàm

Chương 5 Nội suy và xấp xỉ hàm

5.1 Nội suy đa thức 5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline 5.3 Xấp xỉ hàm bằng phương pháp bình phương cực tiểu Bài tập

5.1 Nội suy đa thức

5.1.1 Đa thức nội suy

Trong thực hành, ta có thể gặp các hàm số y = f(x) mà ta không biết biểu thức giải tích cụ thể f của chúng Thông thương, ta chỉ biết các giá trị y 0 ,

y 1 , …, y n của hàm số tại các điểm x 0 , x 1 , …, x n của đoạn [a, b] (đa thức) Khi sử dụng hàm số trên, làm thế nào để biết giá trị của hàm tại các điểm không trùng với x i (i = 1, 2, …, n)? Muốn thực hiện được điều này, ta cần xây dựng một đa thức có dạng:

(5.1) thỏa mãn:

𝑃𝑛(𝑥) = 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛−1+ +𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛

𝑃𝑛(𝑥𝑖) = 𝑓(𝑥𝑖) = 𝑦𝑖, 𝑖 = 0,1,2, , 𝑛 (5.2)

P n (x) gọi là đa thức nội suy của hàm f(x).

5.1 Nội suy đa thức

5.1.1 Đa thức nội suy

Lý do chọn đa thức

• Đa thức Pn(x) là hàm số dễ tính toán nhất.

• Có thể xấp xỉ hàm liên tục với sai số tùy ý

• Có thể lấy đạo hàm và tích phân bao nhiêu lần tùy ý

• Tính giá trị đa thức và đạo hàm dễ dàng

Chúng ta đa thức Pn(x) thay thế cho hàm số f(x) nếu f(x) được tính phức tạp.

5.1 Nội suy đa thức

5.1.1 Đa thức nội suy

5.1 Nội suy đa thức

5.1.1 Đa thức nội suy

Về hình học, ta tìm đường cong (đa thức) P n (x) thay cho hàm f(x) để tính gần đúng giá trị của hàm số f(x).

5.1 Nội suy đa thức

5.1.1 Đa thức nội suy

Mốc nội suy x0 x1 … x =   x k  … x n-1 x n

Giá trị nội suy y0 y1 … y = ? … y n-1 y n

• Bảng chứa (n+1) cặp dữ liệu

{ (x k , y k ) }, k = 0  n

• Chúng ta có 1 điểm x = α  x k  , x ∈ [x0, xn] và chúng ta cần biết giá trị y => phải

nội suy từ các điểm đã biết.

x k : mốc nội suy, y k : giá trị (hàm) nội suy

• Chúng ta có 1 điểm x = α  [x0, xn] và chúng ta cần biết giá trị y => ngoại suy từ các điểm đã biết.

5.1 Nội suy đa thức

5.1.2 Đa thức nội suy Lagrange

Trong đó P (k) là các đa thức phụ có bậc n và thỏa

5.1 Nội suy đa thức

5.1.2 Đa thức nội suy Lagrange

Do các đa thức phụ có bậc n và có n nghiệm x0, x1, …x k-1 , x k+1 , x n, nên

5.1 Nội suy đa thức

5.1.2 Đa thức nội suy Lagrange

5.1 Nội suy đa thức

Ví dụ 5.1.2

Cho hàm f(x) = 2x với các giá trị của hàm tại 3 mốc

Tìm đa thức nội suy của hàm trên Tính giá trị tại x1 = -0.5 và x2 = 0.7

Chú ý:

Thông thường thì chúng ta không biết hàm f(x) mà thông qua thực nghiệm ta biết giá trị của hàm tại một số điểm.

5.1 Nội suy đa thức

5.1 Nội suy đa thức

Ví dụ 5.1.3

x – 1 0 1 2

y 0.5 1 2 4 Cho hàm f(x) = 2x với các giá trị của hàm tại 4 mốc

Tìm đa thức nội suy của hàm trên Tính giá trị tại x1 = -0.5 và x2 = 0.7

5.1 Nội suy đa thức

Ví dụ 5.1.3

Theo CT (5.6) ta có:

(0) 3

5.1 Nội suy đa thức

5.1 Nội suy đa thức

Ví dụ 5.1.4

Cho bảng giá trị tại 3 mốc

Tìm đa thức nội suy L2(x)

      

1 2

5.1 Nội suy đa thức

5.1.3 Sai số nội suy Lagrange

0

max ( ) ( )

Trong đó c phụ thuộc x và ϵ [a, b].

Vì CT (5.11) đúng với mọi điểm thuộc [a, b], kể cả các điểm nội suy nên sai số sẽ được tính theo CT (5.12)

(5.11)

(5.12)

5.1 Nội suy đa thức

5.1.3 Sai số nội suy Lagrange

Nhận xét vế sai số:

• Số mốc nội suy càng lớn thì sai

số càng nhỏ, tuy nhiên khối

lượng tính toán sẽ lớn.

• Sai số phụ thuộc vào đạo hàm f (n+1)

nhưng thực tế hàm f có thể chưa biết.

5.1 Nội suy đa thức

5.1.3 Sai số nội suy Lagrange

4 𝜋4 − 𝜋2

0.707 +

𝜋

3 𝜋3 − 𝜋4 𝜋

5.1 Nội suy đa thức

5.1.4 Khái niệm về tỷ số sai phân

k

p k k

k p

k k

k p

k k

k

x x

x x

x f x

x x

f x

x x

2 1

1

, , ,

, ,

, , ,

5.1 Nội suy đa thức

5.1.4 Khái niệm về tỷ số sai phân

Đặc điểm:

x k x k  f x k x k 

f , 1  1,

 Tỷ sai phân cấp n của đa thức bậc n là hằng số

 Tỷ sai phân cấp lớn hơn n của đa thức bậc n bằng 0

5.1 Nội suy đa thức

5.1.4 Khái niệm về tỷ số sai phân

5.1 Nội suy đa thức

5.1.5 Đa thức nội suy Newton: TH các nút nội suy không cách đều

0

0 0

,

x x

y x

f x

x f

0 1

0

,

, ,

,

x x

x x

f x

x

f x

x x f

5.1 Nội suy đa thức

5.1.5 Đa thức nội suy Newton: TH các nút nội suy không cách đều

x x

x x

x x

x f

x x

x x

x x

x f x

x x

x f y

x f

,

, , ,

, ,

,

1 0

1 0

1 1

0 1

0

1 0

2 1

0 0

1 0

5.1 Nội suy đa thức

5.1.5 Đa thức nội suy Newton: TH các nút nội suy không cách đều

Chúng ta có 2 quá trình nội suy Nội suy Newton tiến và lùi.

 Nội suy Newton tiến sẽ xuất phát từ nút x0 của hàm số f(x) và Nn(x) có

5.1 Nội suy đa thức

5.1.5 Đa thức nội suy Newton: TH các nút nội suy không cách đều

 Nội suy Newton lùi sẽ xuất phát từ nút xn của hàm số f(x) và Nn(x) có

5.1 Nội suy đa thức

5.1.5 Đa thức nội suy Newton: TH các nút nội suy không cách đều

5.1 Nội suy đa thức

5.1.5 Đa thức nội suy Newton: TH các nút nội suy không cách đều

5.1 Nội suy đa thức

5.1.5 Đa thức nội suy Newton: TH các nút nội suy không cách đều

5.1 Nội suy đa thức

5.1.6 Đa thức nội suy Newton: TH các nút nội suy cách đều

Sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm tại điểm x k

5.1 Nội suy đa thức

5.1.6 Đa thức nội suy Newton: TH các nút nội suy cách đều

Khi đó ta có mối quan hệ giữa tỷ sai phân và sai phân hữu hạn:

(5.27)

5.1 Nội suy đa thức

5.1 Nội suy đa thức

5.1.6 Đa thức nội suy Newton: TH các nút nội suy cách đều

Sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm tại điểm x k

5.1 Nội suy đa thức

5.1 Nội suy đa thức

5.1.6 Đa thức nội suy Newton: Cách lập bảng

Bảng {(x k ,y k )} , k = 0  n, mốc nội suy cách đều: x 0 , x 1 = x 0 + h, x 2 = x 1 + h …

5.1 Nội suy đa thức

Ví dụ 5.1.7

5.1.6 Đa thức nội suy Newton: TH các nút nội suy cách đều

Xây dựng đa thức nội suy Newton và xấp xỉ giá trị tại x*

0 3

3

75 2

25 0

5.1 Nội suy đa thức

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

5.2.1 Nội suy spline

Khi số mốc lớn, nội suy bằng Lagrange có sự tính toán phức tạp Việc

giảm bậc đa thức bằng cách nội suy từng đoạn sẽ giải quyết được yêu cầu đơn giản hóa tính toán và đảm bảo sai số xấp xỉ.

Thay đa thức nội suy bậc n bằng đa thức nội suy bậc thấp (bậc m = 1, 2, 3 … và m < n) trên từng đoạn [x k , x k+1 ], k = 0 … n – 1 Sau đó dán các đa thức này với nhau để nhận

được hàm thay thế thì tính khả vi phải được bảo đảm Những hàm thay thế như vậy gọi

là Spline bậc m (đường nối trơn) Spline thông dụng nhất là bậc 3.

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

5.2.2 Nội suy spline bậc 3

Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x) dưới dạng bảng Một Spline bậc ba g(x) nội suy hàm f(x) trên [a,b] là hàm thỏa mãn các điều kiện sau:

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

5.2.2 Nội suy spline bậc 3

0

1 1 1

0

1 1 1

0

x S x

S

x S x

S

x S x

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

5.2.2 Nội suy spline bậc 3

x x d x

x c x

x b a

S

x x x

x x d x

x c x

x b a

S S

, ,

, ,

, ,

1

2 1 1

1 1

1 1

2 1

3 1 1

2 1 1

1 1

1 1

1 0

3 0 0

2 0 0

0 0

0 0







2/ Điều kiện nội suy: S(x k ) = y k , k = 0, 1,…, n

3/ Điều kiện ghép trơn:

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

(5.42)

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

5.2.3 Xây dựng spline bậc 3

Từ CT (5.47) và (5.48) ta có:

2 1

1

3

k k k

k

c c d

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

, 3

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

5.2.3 Xây dựng spline bậc 3

Phương trình (***) được dùng để tính ck, tuy nhiên nó còn thiếu Để giải

được ta cần bổ sung 1 số điều kiện.

1

3

k k k

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

5.2.4 Spline bậc 3 tự nhiên

❖ Thuật toán spline bậc 3 tự nhiên

Điều kiện g”(a) = g”(b) = 0 suy ra c0 = cn = 0

Bước 1

Tính hk =xk+1 - xk, k = 0, n-1.

ak = yk, k = 0, n Bước 2

Giải hệ Ac = b tìm c = (c0, c1, …, cn)t

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

Ví dụ 5.2.1:

Bước 2:

Giải hệ Ac = b với c = (c0, c1, c2)t

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

Ví dụ 5.2.1:

Bước 2:

Bước 3: Tính các hệ số bk, dk:

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

Ví dụ 5.2.1:

Kết luận : spline tự nhiên

Tính x* = 3

g1(3)=1 + 2/5+3/10-1/30 = (30 + 12 + 9 -1)/30 = 5/3

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

Ví dụ 5.2.2:

Bước 2:

Giải hệ Ac = b với c = (c0, c1, c2, c3)t

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

Ví dụ 5.2.2:

Bước 2:

c0 = c3 = 0,

c1 = 2/5, c2 = 7/5

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

Ví dụ 5.2.2:

Bước 3: Tính các hệ số bk, dk:

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

Ví dụ 5.2.2:

Kết luận : spline tự nhiên

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

Giải hệ Ac = b tìm c = (c0, c1, …, cn)t

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

y y y y

h h b

y y y y

y y h

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

5.2.5 Spline bậc 3 ràng buộc

Bước 2:

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

5.2.5 Spline bậc 3 ràng buộc

Bước 3: Tính các hệ số bk, dk:

5.2 Khớp đường cong bằng nội suy spline

5.2.5 Spline bậc 3 ràng buộc

Kết luận : spline ràng buộc

Bài tập phần nội suy spline

Bài 1 Xây dựng spline tự nhiên nội suy hàm theo bảng số

5.3 Phương pháp bình phương cực tiểu

Trong thực tế, các giá trị yk được xác định thông qua thực nghiệm hay

đo đạc nên có thể thiếu chính xác Khi đó việc xây dựng một đa thức nội suy đi qua tất cả các điểm Mk(xk, yk) cũng không còn chính xác.

tập hợp điểm, không nhất thiết đi qua các điểm đó.

Đây chính là tìm hàm f(x) xấp xỉ bảng {(xk,yk)} theo phương pháp

5.3 Phương pháp bình phương cực tiểu

Hàm f tổng quát rất đa dạng Để đơn giản, ta tìm hàm f theo dạng:

2

))

5.3 Phương pháp bình phương cực tiểu

n

k k k k

5.3 Phương pháp bình phương cực tiểu

5.3 Phương pháp bình phương cực tiểu

5.3 Phương pháp bình phương cực tiểu

5.3 Phương pháp bình phương cực tiểu

Trường hợp tuyến tính f(x) = acos x + bsin x

5.3 Phương pháp bình phương cực tiểu

Trường hợp tuyến tính f(x) = acos x + bsin x

Bài tập: Phương pháp bình phương cực tiểu

Bài tập: Phương pháp bình phương cực tiểu