Ma trận và hệ phương trình tuyến tính

đây là bài tập chương 4 của môn PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRONG LẬP TRÌNH ở các trường đại học, cao đẳng thường dùng, bài tập chương 3 khá đầy đủ và rõ ràng cho các bạn xem và sẽ hiểu cực kì sâu sắc về các vấn đề khai triển hàm qua chuỗi taylor . các bạn nhớ xem cả chương 2,3,5,6,7,8 nữa nhé, chúc các bạn học tập thật tốt

Trang 1

Chương 4 Ma trận và hệ phương trình

tuyến tính

Trang 2

4.5 Hệ phương trình đại số tuyến tính

n

b b b

n

x x

Trang 3

Chuẩn vector và chuẩn ma trận

• Không gian tuyến tính thực Rⁿ

• Chuẩn của vector x  Rⁿ là một số thực ║x║ thỏa

 x  Rⁿ, ║x║  0; ║x║ = 0  x = 0

 x  Rⁿ, λ  R, ║λ x║= │λ│║x║

 x, y  Rⁿ, ║x + y║ ≤ ║x║ + ║y║ (bất đẳng thức tam giác)

• Giả sử x là một vector, xét chủ yếu chuẩn thường dùng sau:

1

2

n

x x x

Trang 4

235

x x

Trang 5

Max của “tổng cột”

Max của “tổng hàng”

Trang 6

| 1 | | 0 | |1 | | 4 | | 2 | | 1 | | 2 | | 2 | | 5 |

A A A

Trang 7

Sự hội tụ của dãy vector

Dãy các véctơ     với x(k)  Rn hội tụ về véctơ khi k  + 

Trang 8

Giải hệ phương trình bằng phương pháp lặp Jacobi

(I)

Với giả thiết ma trận A có tính chéo trội, khi đó các hệ số aii ≠ 0, i = 1,2, ,n nên ta có thể chia phương trình thứ i của hệ (I) cho aii và nhận được hệ phương trình tương tương.

Trang 9

Giải hệ phương trình bằng phương pháp lặp Jacobi

Trang 10

4.5.1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp lặp (Jacobi)

Trang 11

4.5.1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp lặp (Jacobi)

Điều kiện hội tụ:

Trang 12

Ví dụ 4.5.1

Giải gần đúng hệ phương trình sau:

Trang 13

Ví dụ 4.5.1

Trang 14

Ví dụ 4.5.1

Trang 15

Ví dụ 4.5.1

Trang 16

Ví dụ 4.5.1

Trang 17

Với vectơ x(0) = (0, 0, 0)T , tìm nghiệm xấp xỉ x (k) bằng

phép lặp Jacobi của hệ phương trình sau và đánh giá sai số

với sai số cho phép 10-2 Nghiệm chính xác x = (0.5, 1, 1) T

Trang 18

Bước 2: Tìm nghiệm và đánh giá sai số

Biến đổi hệ phương trình về dạng:

Đặt:

1 2 3

Trang 19

0.7 0 0.5

Trang 20

    

Trang 21

Trang 22

00.5

Trang 23

Trang 24

x x x

Trang 25

4.5.2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp lặp Gauss - Seidel

(I)

Với giả thiết ma trận A có tính chéo trội Phương pháp Gauss-Seidel cải tiến phươngpháp Jacobi bằng cách dùng ngay những kết quả vừa tính được cho các thành phần củanghiệm tại bước k để tính các thành phần khác của bước k, chỉ có những thành phầnnào chưa được tính thì mới lấy ở bước k-1

Trang 26

Giả sử chúng ta có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4 Tại các bước 1, 2,…, các nghiệm này đượctính như sau:

Bước 1:

Giá trị x1(1) được tính thông qua x2(0), x3(0), x4(0)Giá trị x2(1) được tính thông qua x1(1), x3(0), x4(0)Giá trị x3(1) được tính thông qua x1(1), x2(1), x4(0)Giá trị x4(1) được tính thông qua x1(1), x2(1), x3(1)

Trang 27

Bước 2:

Giá trị x1(2) được tính thông qua x2(1), x3(1), x4(1)Giá trị x2(2) được tính thông qua x1(2), x3(1), x4(1)Giá trị x3(2) được tính thông qua x1(12), x2(2), x4(1)Giá trị x4(2) được tính thông qua x1(2), x2(2), x3(2)Bước 3:

Giá trị x1(3) được tính thông qua x2(2), x3(2), x4(2)Giá trị x2(3) được tính thông qua x1(3), x3(2), x4(2)Giá trị x3(3) được tính thông qua x1(3), x2(3), x4(2)Giá trị x4(3) được tính thông qua x1(3), x2(3), x3(3)

Trang 28

(I)

Nghiệm của phương trình (I) có dạng:

Lặp theo công thức dưới đây:

Trang 29

Giải hệ phương trình bằng phương pháp lặp Gauss - Seidel

Lặp theo công thức dưới đây:

Trang 30

Trường hợp ma trận α được thực hiện như phương pháp 4.5.2 thì công thức như dưới đây:

n

j j j

n

j j j

Trang 31

Trang 32

Trang 33

Trang 34

Trang 35

Trang 36

Tìm nghiệm xấp xỉ x (k) bằng phép lặp Gauss - Seidel của

hệ phương trình sau với sai số bé hơn 10-2

Trang 37

Ví dụ 4.5.3

Sử dụng phép lặp Gauss - Seidel ta có:

(1) 1 (1) 2 (1) 3 (2) 1 (2) 2 (2) 3

0.7 - 0.1 0 - 0.1 0 0.71- 0.2 0.7 0.1 0 0.861.1- 0.4 0.7 0.1 0.86 0.906

0.7 - 0.1 0.86 - 0.1 0.906 0.52341- 0.2 0.5234 0.1 0.906 0.985921.1- 0.4 0.5234 0.1 0.98592 0.989232

x x x x x x

0.5234 0.7 0.17660.98592 0.86 0.12592 0.1766 100.989232 0.906 0.083232

Trang 38

Ví dụ 4.5.3

(1) 1 (1) 2 (1) 3

(2) 1 (2) 2 (2) 3

0.7 - 0.1 0 - 0.1 0 0.7 1- 0.2 0.7 0.1 0 0.86 1.1- 0.4 0.7 0.1 0.86 0.906

0.7 - 0.1 0.86 - 0.1 0.906 0.5234 1- 0.2 0.5234 0.1 0.906 0.98592 1.1- 0.4 0.5234 0.1 0.98592 0.989232

x x x x x x

0.7 - 0.1 0.98592 - 0.1 0.989232 0.502485 1- 0.2 0.502485 0.1 0.989232 0.998426 1.1- 0.4 0.502485 0.1 0.998426 0.998849

x x x

0.998426 0.98592 0.012506 0.02092 10 0.998849 0.989232 0.009617

Trang 39

Ví dụ 4.5.3 (3)

1 (3) 2 (3) 3

0.7 - 0.1 0.98592 - 0.1 0.989232 0.502485 1- 0.2 0.502485 0.1 0.989232 0.998426 1.1- 0.4 0.502485 0.1 0.998426 0.998849

x x x

0.7 - 0.1 0.998426 - 0.1 0.998849 0.5002725

x x x

Trang 40

x x x

Trang 41

Trang 42

Trang 43

Ví dụ 4.5.4

Giải:

Chọn x(0) = (2, 3, 5)T

(1) 1 (1) 2 (1) 3

2 0.06 3 0.02 5 1.92

3 0.03 1.92 0.05 5

5 0.01 1.92 0

3.1924 5

.02 3.1924 044648

x x x

Trang 44

1 0.08

3.1924 3 0.1924 5.04

Trang 45

Luyện tập

Giải hệ phương trình bằng 2 phương pháp lặp Jacobi và Gauss – Seidel với sai số 10-2

Định dạng
Số trang	45
Dung lượng	1,2 MB