Chương 8 tối ưu hóa

đây là bài tập chương 8 của môn PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRONG LẬP TRÌNH ở các trường đại học, cao đẳng thường dùng, bài tập chương 3 khá đầy đủ và rõ ràng cho các bạn xem và sẽ hiểu cực kì sâu sắc về các vấn đề khai triển hàm qua chuỗi taylor . các bạn nhớ xem cả chương 2,3,5,6, nữa nhé, chúc các bạn học tập thật tốt

Chương 8 Tối ưu hóa

8.1 Bài toán tối ưu hóa

Tối ưu hoá là thuật ngữ thường được dùng để cực tiểu hoá hay cực đại hoá một hàm ==> Tìm cực trị

Chỉ cần tìm cực tiểu của hàm f(x) Việc tìm cực đại được xem là tìm cực tiểu của hàm –f(x).

Các thuật toán cực tiểu hoá đòi hỏi một giá trị ban đầu của biến x Nếu f(x) có nhiều cực tiểu địa phương, việc chọn giá trị đầu sẽ xác định cực tiểu nào được tính Ta không có cách nào bảo đảm là tìm được cực tiểu toàn cục

8.3 Phương pháp Newton

8.3.1 Đặt vấn đề

Việc tìm điểm cực tiểu của hàm f(x) tương đương với việc xác định x để cho đạo hàm g(x) của hàm f(x) bằng 0 Nghiệm của g(x) = 0 có thể tìm được bằng cách dùng phương pháp Newton cho hệ phương trình phi tuyến

8.3.2 Phương pháp Newton

Khi tính nghiệm của phương trình f(x) = 0 ta dùng công thức lặp Newton (dựa trên phương trình tiếp tuyến):

1

( ) '( )

i

i

f x

f x

  

8.3 Phương pháp Newton

8.3.2 Phương pháp Newton (tiếp)

Một cách tương tự,để tìm giá trị cực trị của hàm f(x) ta đặt g(x)=f’(x) Như vậy, ta cần tìm giá trị của x để g(x) = 0 Như vậy công thức lặp Newton sẽ là:

1

'( ) ''( )

i i i

    

Các đạo hàm f’(xi) và f”(xi) được xác định theo các công thức:

'( )

2

i i i

f x h f x h

f x

h



2

( ) 2 ( ) ( ) ''( )i f x i h f x i f x i h

h

   



Tại giá trị f’(x) = 0 hàm đạt giá trị cực đại nếu f”(x) < 0 và cực tiểu nếu f”(x) > 0.

8.3 Phương pháp Newton

8.3.3 Thuật toán

Vào:

• Cận trái của khoảng chứa cực trị: a

• Sai số ԑ

Ra:

• xopt: giá trị tại đó đạt cực trị

• y: giá trị của hàm số tại xopt

8.3 Phương pháp Newton

8.3.3 Thuật toán

Bước 1: Cho x1 = a;

Bước 2: Lặp:

Đến khi t <= ԑ

Bước 3:

Nếu f’’(x1) > 0

==> Hàm số đạt cực tiểu tại x1, y = f(x1) Ngược lại

==> Hàm số đạt cực đại tại x1, y = f(x1) Hết nếu

8.3 Phương pháp Newton

Ví dụ 8.3.1:

f’(x) = 3x2 – 3 f’’(x) = 6x

Cho x1 = a = -1.5;

Bước 2: Lặp lần 1:

x2 = x1 – f’(x1)/f’’(x1) = -1.5 – (3*(-1.5)^2 – 3)/(6*(-1.5)) = -1.08333;

t = |x2-x1| = 0.416666667 > 0.001; x1 = x2 = -1.08333;

Tìm cực trị của hàm số f(x) = x3 – 3x + 2 tại khoảng [-1.5, 0] bằng phương pháp Newton với ԑ = 0.001

8.3 Phương pháp Newton

Ví dụ 8.3.1:

x2 = x1 – f’(x1)/f’’(x1) =

= -1.08333 – (3*(-1.08333 )^2 – 3)/(6*(-1.08333 )) = -1.0032 ;

t = |x2-x1| = 0.08013 > 0.001 ; x1 = x2 = -1.0032 ;

Lặp lần 3:

x2 = x1 – f’(x1)/f’’(x1) =

= -1.0032 – (3*(-1.0032 )^2 – 3)/(6*(-1.0032)) = -1.00001 ;

t = |x2-x1| = 0.00319 > 0.001; x1 = x2 = -1.00001;

8.3 Phương pháp Newton

Ví dụ 8.3.1:

x2 = x1 – f’(x1)/f’’(x1) =

= -1.00001– (3*(-1.00001)^2 – 3)/(6*(-1.00001)) = -1 ;

t = |x2-x1| = 0.00000999995 < 0.001; x1 = x2 = -1;

Dừng

Bước 3:

Tính f’’(x1) = 6*(-1) = -6 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = -1 f(-1) = 4

Bài tập

Tìm cực trị của hàm số f(x) = x4 – 2x2 + 2 tại khoảng [-1.5, -0.5] và [-0.5, 0.5] bằng phương pháp Newton