TOÁN HỌC CƠ SỞ Các ứng dụng của Lý Thuyết Đàn Hồi đòi hỏi sự hiểu biết về nhiều lĩnh vực toán học khác nhau. Bản thân Lý Thuyết Đàn Hồi được xây dựng trên cơ sở ứng dụng nhiều đại lư
Trang 1x
o
y
dy
dx
z
x b
a
x b
a
mặt trung gian
sau biến dạng trước biến dạng
$8.1 KHÁI NIỆM CHUNG
Tấm là vật thể dạng hỡnh trụ hay lăng trụ cú chiều cao nhỏ hơn nhiều so với cỏc kớch thước ở đỏy (h << a, h << b) (Hỡnh 8.1)
Hỡnh 8.1 Tựy theo dạng của đỏy mà người ta phõn ra: tấm trũn, elip, vuụng, đa giỏc, tam giỏc, chữ nhật…
Mặt phẳng chia đụi chiều cao của tấm được gọi là mặt trung gian
Giao tuyến của mặt xung quanh với mặt trung gian gọi là chu tuyến của tấm
Khi nghiờn cứu tấm ta chọn mặt tọa độ Oxy trựng với mặt trung gian trục
z hướng xuống Khi đú chuyển vị w theo phương trục z sẽ là độ vừng của tấm Việc chọn gốc tọa độ tựy theo trường hợp cụ thể của dạng chu tuyến và đặc tớnh liờn kết biờn
(Hiện nay, người ta đó sử dụng nhiều cỏc tấm trong xõy dựng: Tấm lỏt, tấm panen, cỏc tấm bờ tụng và bờ tụng cốt thộp để làm mỏi cỏc nhà cụng nghiệp, làm múng cỏc nhà lớn…)
- Cỏc tấm được dựng trong cỏc kết cấu xõy dựng là tấm mỏng Tấm mỏng
là tấm cú tỷ số chiều dày h và kớch thước nhỏ nhất ở đỏy là:
100
1 ≤
b
h ≤
5
1
Hoặc
h
wmax
≤ 5 1
- Trường hợp
b
h
>
5
1
: Được tớnh theo lý thuyết tấm dày
- Cỏc tấm cú
b
h
≤ 100
1
được gọi là màng
h
w max
>
5 1
Tấm mỏng được tớnh theo lý thuyết gần đỳng, cũn gọi là lý thuyết kỹ thuật, dựa trờn những giả thiết của (Kirchhoff)
1. Giả thiết phỏp tuyến thẳng:
Hỡnh 8.2
Trang 2Một phân tố thẳng vuông góc với mặt phẳng trung gian của tấm vẫn thẳng
và vuông góc với mặt trung gian sau biến dạng, chiều dài của phân tố đó không thay đổi
Điều kiện pháp tuyến thẳng và vuông góc cho ta biết góc vuông giữa pháp tuyến và các trục x,y vẫn vuông góc Do đó:
Điều kiện chiều dài của phân tố không đổi:
2 Giả thiết về các lớp của tấm không chèn ép lên nhau:
3 Giả thiết về sự không co giãn của mặt trung gian:
Tức mặt trung gian chỉ có chuyển vị theo phương vuông góc với nó, chuyển vị theo các phương khác nhau rất nhỏ nên có thể bỏ qua:
≠
=
=
0 w
0 v
u0 0
(8.4)
Các kết quả tính toán dựa trên các giả thiết trên cho thấy chúng khá phù hợp với thực nghiệm
$8.2 CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG TRONG TẤM CHỊU UỐN
Giả sử tấm chịu tải trọng tác dụng vuông góc với mặt trung gian Khi đó trong tấm phát sinh các chuyển vị Ta sử dụng các giả thuyết để xác định chúng
Từ giả thuyết 1: εz = 0 hay εz =
z
w
∂
∂
= 0 ⇒ Chuyển vị w là hàm không
phụ thuộc z ⇒ w = w(x,y) Nghĩa là với mọi điểm nằm trên 1 đường vuông góc
với mặt trung gian có chuyển vị như nhau Vì vậy chỉ cần xác định độ võng của mặt trung gian là đủ
Từ (8.1) ta có:
=
∂
∂ +
∂
∂
=
=
∂
∂ +
∂
∂
=
0
0
z
u x w y
w z v
zx
yz
γ
γ
⇔
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
w z u y
w z
v
(8.5)
Lấy tích phân (8.5) theo z ta có:
u = -z
x
w
∂
∂
+f1(x,y)
v = -z∂∂w y +f2(x,y) Trong đó f1, f2 là các hàm của 2 biến (x,y) Để xác định f1(x,y), f2(x,y) Tại z = 0 ta có: u(0) = f1(x,y) ; v(0) = f2(x,y)
Theo giả thiết 3 ta có u(0) = f1(x,y) = 0 ; v(0) = f2(x,y) = 0
64
Trang 3σ
y
σ
yz
τ
yx
τ
y
x
dx dy
z
o
xy
τ
⇒
∂
∂∂
∂
y
w z
-
= v
x
w z
-
=
u
(8.6)
Thay (8.6) vào phương trình biến dạng Cauchy ta có:
εx =
x
u
∂
∂
=-z 22
x
w
∂
∂
εy =
y
u
∂
∂
2
y
w
∂
∂
(8.7)
γxy = ∂∂u y +
x
u
∂
∂
=-2z
y x
w
∂
∂
∂ 2
Từ (8.6) và (8.7) cho thấy các thành phần chuyển vị và biến dạng trong tấm chỉ biểu diễn qua một hàm độ võng của mặt trung gian của tấm
$8.3 CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC TRONG TẤM CHỊU UỐN
Xét một phân tố được tách ra từ 2 mặt phẳng vuông góc với trục x cách nhau 1 đoạn dx và 2 mặt phẳng vuông góc với trục y cách nhau 1 đoạn dy Chiều cao của phân tố bằng bề dày của tấm
Hình 8.3
+ Tại điểm có tọa độ z:
- Trên mặt vuông góc với trục x có các ứng suất: σx, Txy, Txz
- Trên mặt vuông góc với trục y có các ứng suất: σy, Tyx, Tyz
Theo giả thiết 1 => Txz = Tyz = 0
Trong thực tể các ứng suất này khác 0 vì nếu không có nó, sẽ không thõa mãn điều kiện cân bằng của phân tố được tách ra để khảo sát Nhưng các ứng suất này nhỏ so với các ứng suất σx, σy, Txy nên có thể bỏ qua
+ Khi đã biết biến dạng theo (8.7), dựa vào địng luật Hooke ta nhận được các ứng suất theo chuyển vị w:
Trang 4x
z o
dx
dy
y
x
z
o
Mx
My
Mxy Myx
o
z x
y
σx = 1 − µ 2
E
(ε x + με y ) = 1 2
µ
−
−E z
∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2
y
w x
w µ ;
σy = 1 − µ 2
E
(ε y + με x ) = 1 2
µ
−
−E z
∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2
x
w y
Txy = 2(1− µ)
E
γ xy = − µ
− 1
Ez
.
y x
w
∂
∂
∂ 2
Vì w không phụ thuộc vào z nên từ (8.8) ta thấy các ứng suất σx, σy, Txy là hàm bậc nhất của z Tức là ứng suất phân bố tỉ lệ bậc nhất với khoảng cách tính
từ mặt trung gian.(Góc tọa độ 0 nằm trên mặt trung gian)
Hình 8.4
- Đối với ứng suất qui luật phân bố này tương tự như dầm phẳng
- Đối với ứng suất tiếp qui luật phân bố này tương tự như thanh bị xoắn có mặt cắt hình chữ nhật Những ứng suất này hợp thành những moment uốn và những moment xoắn trên mặt cắt của bản
* Gọi Mx, My là các moment uốn tác dụng trên 1 đoạn mặt cắt ngang dài bằng 1 đơn vị và vuông góc với trục x, trục y
* Mxy và Myx là moment xoắn tác dụng trên 1 đoạn mặt cắt ngang dài bằng
1 đơn vị và vuông góc với trục x, trục y
Qui ước dấu:
Mx, My > 0 : Khi căng thớ ở phía (+) của trục z
Mxy, Myx > 0 : Khi ta nhìn theo chiều mặt cắt nó quay thuận chiều kim đồng hồ
Hình 8.5
66
Trang 5* Để xét sự cân bằng của phân tố ta phải tính các nội lực của phân tố: Moment uốn, moment xoắn và các lực cắt tác dụng lên phân tố
1 Tính moment uốn:
a Tính M x : (Hình 8.3)
Mx.dy = ∫
−
2
2
h
h
(σx.dy.dz)(z +
2
dz
) (*)
Bỏ qua thành phần VCB bậc cao σx.dy.dz.dz/2:
(*) ⇔Mx = ∫
−
2
2
h
h z.σ x dz
thay σx = 1 2
µ
−
−E z
∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2
y
w x
w
µ từ (8.8):
Ta có Mx = 1 2
µ
−
−E z
∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2
y
w x
−
2
2
h
h
z2dz.
=
) 1 ( 12
2
3 µ
−
−E h
∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2
y
w x
Đặt: D =
) 1 ( 12
2
3 µ
−
h E
(8.9) D: Độ cứng của bản khi chịu uốn
Thay (8.9) vào Mx,ta có: Mx = -D ∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2
y
w x
b Tính M y : (Hình 8.3)
My.dx = ∫
−
2
2
h
h
(σy.dx.dz)(z +
2
dz
)
Tương tự ta có: My = -D ∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2
x
w y
w
2 Tính moment xoắn:
a Tính M xy :
Mxy.dy = ∫
−
2
2
h
h
(Txy.dy.dz)(z +
2
dz
), bỏ qua cô cùng bé bậc cao
2
dz
, ta có:
⇔ Mxy = ∫
−
2
2
h
h z.Txy.dz
Trang 6Thay Txy = − µ
− 1
Ez
.
y x
w
∂
∂
∂ 2
từ (8.8) ta có:
Mxy = − µ
− 1
Ez
.
y x
w
∂
∂
∂ 2
∫
−
2
2
h
h
z2dz =
) 1 ( 12
) 1 ( 2
3 µ
µ
−
−
−E h
.
y x
w
∂
∂
∂ 2
Mxy = -D(1-μ)
y x
w
∂
∂
∂ 2
(8.12)
b Tính M yx :
Myx.dx = ∫
−
2
2
h
h
(Txy.dy.dz)(z +
2
dz
)
Tương tự ta có:
Myx = + D(1-μ)
y x
w
∂
∂
∂ 2
(8.13)
Từ (8.12) và (8.13) ta thấy: Mxy = - Myx (8.14) Kết quả (8.14): Định luật đối ứng của moment xoắn trong tấm mỏng chịu uốn
3 Tính lực cắt:
=
=
∫
∫
−
−
2
2
2
2
.
.
h
h
h
h
dz dx Tyz dx
Qy
dz dy Txz dy
Qx
(8.15)
Quan hệ giữa moment uốn và ứng suất:
σx = 1 2
µ
−
−E z
∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2
y
w x
w
(8.8) ⇒
σy = 1 2
µ
−
−E z
∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2
x
w y
w
Từ (8.10) ⇒ Mx =
) 1 ( 12
2
3 µ
−
−E h
∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2
y
w x
w
(8.11) ⇒ My =
) 1 ( 12
2
3 µ
−
−E h
∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2
x
w y
w
Theo sức bền vật liệu ta có:
σx =
Jx
Mx
.z =
12 h3
b
Mx
.z = 3
1
12
h
Mx
.z
Từ (a) và (c) ta có:
68
Trang 7dx x
M
x
∂
∂ +
dx x
Q
x ∂
∂ +
dx x
M
M xy xy
∂
∂ +
dy y
Q
Q y y
∂
∂ +
dy y
M
y ∂
∂ +
dy y
M
M yx yx
∂
∂ +
y
o
z
Myx Qx
Mx Mxy
dx
dy
A
C B
σx =
12
3
h
Mx
.z = 1 − µ 2
−E
.z ∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2
y
w x
w
µ
Từ (b) và (d) ta có:
σy =
12
3
h
My
.z = 1 − µ 2
−E
.z ∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2
x
w y
w
µ
Các ứng suất đạt cực trị tại mặt có z =
2
h
±
Max |σx| =
12
|
| 3
h
Mx
.
2
h
= 6| 2 |
h
Mx
(Wx =
6
.
1h2 )
Max |σy| = 6| 2 |
h
My
= |My My |
$8.4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA MẶT TRUNG GIAN KHI UỐN TẤM
Xét một phân tố có cạnh là dx, dy của mặt trung gian, chịu tác động của ngoại lực phân bố q(x,y) vuông góc với mặt tấm
- Nội lực của phân tố được biễu diễn trên hình (Hình 8.6)
Hình 8.6
- Nội lực trên các cạnh bao gồm:
Các cạnh vuông góc với Ox:
Cạnh OB: Qx, Mx, Mxy
Cạnh AC: Qx +
x
Qx
∂
∂
.dx, Mx +
x
Mx
∂
∂
.dx, Mxy +
x
Mxy
∂
∂
.dx
Các cạnh vuông góc với Oy:
Cạnh OA: Qy, My, Myx
Cạnh BC: Qy + ∂∂Qy y dy, My + ∂∂My y dy, Myx + ∂Myx∂y dy
Trang 8* Phân tố ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực và nội lực.
Từ điều kiện cân bằng có tổng hình chiếu của các lực lên trục z:
Σz = 0 ⇔- Qx.dy +(Qx +
x
Qx
∂
∂
.dx).dy – Qy.dx + (Qy + ∂∂Qy y dy).dx + qdxdy = 0
⇔
x
Qx
∂
∂
Viết phương trình moment của các lực đối với trục y:
ΣMy = 0 ⇔[- Mx +( Mx +
x
Mx
∂
∂
.dx)].dy + [Myx - (Myx + ∂Myx∂y dy)].dx
– (Qy + ∂∂Qy y dy).dx.
2
dx
+ Qy.dx
2
dx
- (Qx +
x
Qx
∂
∂
.dx).dydx - qdxdy
2
dx
=0
Bỏ qua các đại lượng vô cùng bé bậc cao và chia cho dxdy ta có:
x
Mx
∂
∂
- ∂Myx∂y - Qx = 0 (8.17)
x
Mx
Qx
∂
∂
=
y
Myx
∂
∂
Thay Mx từ (8.10) và Myx từ (8.13) vào Qx ta có:
Qx = - D
x
∂
∂
∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2
y
w x
w
µ - D(1-μ)
y
∂
∂
y x
w
∂
∂
∂ 2
= - D
x
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2 2
2 2
2
y
w y
w y
w x
⇔ Qx = - D
x
∂
∂
∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2
y
w x
w
(8.18) Tương tự:
Qy = - D∂∂y ∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2
y
w x
w
(8.19) Thay Qx và Qy từ (8.18) và (8.19) vào (8.16) ta có:
- D 22
x
∂
∂
∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2
y
w x
w
- D 2
2
y
∂
∂
∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2
y
w x
w
= -q
⇔
=
∂
∂ +
∂
∂
∂ +
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂ +
∂
∂
D
q y
w y
x
w w
x
D
q w y x y x
4
4 2 2
4 4
4
2
2 2
2 2
2 2 2
2
Hay viết dưới dạng toán tử vi phần Laplace:
D
q ) w ( 2
Phương trình (8.20) là phương trình vi phân của mặt trung gian của tấm khi chịu uốn được gọi là phương trình Sophie-Germain
Khi tích phân (8.20) sẽ xuất hiện các hằng số tích phân, chúng được xác định từ các điều kiện biên
70
Trang 9x
o
a A' A
q
$8.5 CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN
1 Biên ngàm:
Tại ngàm độ võng và góc xoay bằng 0:
=
∂
∂
=
=
=
0 y
w
0 w
b y
b y
(8.21)
2 Biên gối khớp:
Tại khớp độ võng và moment uốn My = 0
w y= b = 0
My y= b = 0 ⇔- D
∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2
x
w y
w
b y= = 0 Theo phương trục x biên đều thẳng vì vậy độ cong 22
x
w
∂
⇒ 2
2
x
w
∂
∂
b y= = 0
⇒Điều kiện gối khớp:
=
∂
∂
=
=
=
0
0 2
2
b y
b y
y w
w
(8.22)
2. Biên tự do:
Tại biên moment, lực cắt, moment xoắn đều bằng 0
→
=
=
=
=
=
=
0 Myx
0 Qy
0 My
b y
b y
b y
(8.23)
$8.6 TÍNH BẢN MỎNG HÌNH E-LIP NGÀM CHU TUYẾN CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN BỐ ĐỀU
Xét bản mỏng hình ellip ngàm chu tuyến chị tải trọng phân bố đều q
71
y
y = b
x
Trang 10Phương trình Ellip: 2 1 0
2 2
2
=
− +
b
y a x
Tìm hàm độ võng của bản dưới dạng:
w(x,y) = C
2 2
2 2
2
1
− +
b
y a
x
(8.24) Trong đó C là hằng số cần xác định sao cho (8.25) thõa mãn phương trình Sophia-Germain
D
q
w =
∇
D
q y
w y
x
w x
∂
∂ +
∂
∂
∂ +
∂
∂
4
4 2 2
4 4
4
Tính các đạo hàm:
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
− +
=
∂
∂
=
∂
∂
4 4
4
4 4
3
3
4
2 2
2 2
2 2 2
2
2
2 2
2 2
24
16 8
8 1 4
1 4
a
C x
w
a
Cx a
Cx x
w
a
Cx b
y a
x a
C x
w
b
y a
x a
Cx x
w
2 2 2 2 4
2 2 2
3
b a
C 8 y
x w
b a
Cy 8 y x w
=
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
⇒
Tương tự: 4 4
b
C y
w =
∂
∂
(*)⇔
D
q b
C b
a
C a
C + 2 2 + 4 = 4
24 8
2 24
⇒ C =
4 2 2 4
24 16 24
b b a a D
q
(8.25) Phương trình độ võng w(x,y) phải thõa mãn các điều kiện biên sau:
Khi x, y thõa mãn phương trình chu tuyến 2 1 0
2 2
2
=
− +
b
y a x
Thì độ võng w = 0 (1) Các góc xoay = 0
∂
∂
=
∂
∂
y
w x
w
(2)
Kiểm tra điều kiện biên:
Từ (8.25) cho thấy khi x,y thỏa mãn phương trình chu tuyến thì w = 0 Điều kiện 2: ta có:
0 1
4
2
2 2
2
− +
=
∂
∂
b
y a
x a
Cx x
w
khi x, y thỏa mãn phương trình chu tuyến
0 1
4
2
2 2
2
− +
=
∂
∂
b
y a
x b
Cy y
w
khi x, y thỏa mãn phương trình chu tuyến
Vậy các điều kiện biên (1) & (2) đều được thỏa mãn
Phương trình độ võng:
72
Trang 11w(x,y) =
2 2
2 2 2
4 2 2 4
1 24
16
y a x b b a a D
q
(8.26) Nhận thấy wmax của tấm ở tâm O tức là khi x=y=0
4 2 2 4
24 16 24
b b a a D
q
(8.27)
Tính moment uốn trong tấm:
Mx= - D
∂
∂ µ +
∂
∂
2
2 2
2
y
w x
w
+ µ
+
b
y a
x b
c 4 b
cy 8 1
b
y a
x a
c 4 a
cx
8
2
2 2
2 2 4
2 2
2 2
2 2 4
2
My= - D
∂
∂ µ +
∂
∂
2
2 2
2
x
w y
w
+ µ
+
b
y a
x a
c 4 a
cx 8 1
b
y a
x b
c 4 b
cy
8
2
2 2
2 2 4
2 2
2 2
2 2 4
2
Giá trị Mx tại tâm và 2 đầu trục ngắn:
−
=
=
±
=
=
=
2 a
xy 0
2 2
0
x
y
a
DC 8 Mx
b
1 a
1 DC 4 Mx
(a)
Giá trị My tại tâm và 2 đầu trục dài:
−
=
=
±
=
=
=
2 b
y 0
x
2 2
0
x
y
b
DC 8 Mx
a
1 b
1 DC 4 My
(b)
So sánh (a) & (b) ⇒
Max | M | = 8 2
a
DC
(Tại A & A’)
Max | σ | =
Wx
| M
| Max
= 2
h
| M
| max 6
(h: bề dày bản)
⇒ Điều kiện: Max | σ | = [ ]
h
| M
| max 6
