Lý thuyết đàn hồi - Chương 4

TOÁN HỌC CƠ SỞ Các ứng dụng của Lý Thuyết Đàn Hồi đòi hỏi sự hiểu biết về nhiều lĩnh vực toán học khác nhau. Bản thân Lý Thuyết Đàn Hồi được xây dựng trên cơ sở ứng dụng nhiều đại lư

CHƯƠNG 4 : QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

Trong hai chương trên ta đã nghiên cứu hai mặt riêng biệt của môi trường liên tục đó là mặt tĩnh học (trường ứng suất) và mặt hình học (trường biến dạng), giữa hai mặt này có quan hệ với nhau Sự phân bố ứng suất và biến dạng của môi trường phụ thuộc vào quan hệ đó Xét quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tức là xét về mặt vật lý của môi trường Sự khác nhau về mặt vật lý đã dẫn đến những nội dung khác nhau trong lý thuyết cơ học vật rắn biến dạng như lý thuyết đàn hồi tuyến tính, lý thuyết đàn hồi phi tuyến

và lý thuyết đàn hồi dẻo

Trong lý thuyết đàn hồi nói chung ứng suất là hàm của biến dạng :

x = f1(x, y, z, xy, yz, zx);

y = f2(x, y, );

z = f3(x, y, );

Tyz= f5(x, y, );

Tzx= f6(x, y, );

Trong môn học này ta giả thiết vật liệu làm việc đàn hồi tuyến tính tức quan hệ ứng suất và biến dạng là các quan hệ tuyến tính Do đó (4.1) viết thành :

x = a11x + a12y + a13z + a14xy + a15yz + a16zx;

y = a21x + a22y + a23z + a24xy + a25yz + a26zx; (4.2)

Tzx = a61x + a62y + a63z + a64xy + a65yz + a66zx

Trong đó :

Các hệ số aij : Là các hằng số đàn hồi của vật liệu

Trong (4.2) : Có tất cả là 36 hằng số đàn hồi Ta sẽ chứng minh rằng

đối với vật liệu hoàn toàn đàn hồi và đẳng hướng chỉ có 2 hằng số độc lập

với nhau

§4.1 CÔNG VÀ THẾ CỦA LỰC ĐÀN HỒI

Xét 1 phần tử hình hộp có các cạnh dx, dy, dz tại điểm M(x,y,z) Các mặt của phân tử có các ứng suất như hình vẽ (H,4.1) Ứng với các ứng suất

ấy phần tử có chuyển vị đường và chuyển vị góc

Khi phần tử bị biến dạng các nội lực sinh ra một công

24

x

y

dx

P(x,y+dy,z)

N(x+dx,y,z) Q(x,y,z+dz)

dx x

x x





 



dx x

xy xy





 



dx x

xz xz





 





xy



x



xy

Hình 4.1

4.1.1 Số gia của công do ứng suất pháp sinh ra:

Ứng suất pháp trên 2 mặt vuông góc trục x là : x và x +

x

x



 .dx,

có độ dài tương đối x, độ dãn dài tuyệt đối : x.dx

Sau thời gian vô cùng bé t, phân tố có độ dài tương đối thêm số gia:

x Số gia của độ dãn dài tuyệt đối của cạnh dx : x dx

Tương tự số gia của công y và z sinh ra : (y.dxdz)( y dy) (a)

(z.dxdy)( y dz)

4.1.2 Số gia của công do ứng suất tiếp sinh ra:

Xét thành phần Txy ở tại thời điểm t, góc trượt tỷ đối là xy Sau thời gian t, góc trượt đó có số gia xy

Lực do Txy : Txy.dy.dz

Moment do Txy tác dụng trên 2 mặt phẳng đối diện vuông góc ox : (Txy.dydz).dx

Số gia của công do Txy sinh ra : (Txy.dydz.dx) xy

Tương tự số gia của công do các ứng suất tiếp Tyz và Tzx sinh ra là :

(Tyz.dzdx.dy) xz (b)

(Tzx.dxdy.dz) zx

Số gia công của phần tử hình hộp bằng tổng số gia của công do các ứng suất sinh ra (a+b):

T = (x x +y y +z z +Txyxy + Tyzyz + Tzxzx )dxdydz

(4.3)

Ta có: dV = dxdydz : Thể tích của phần tử trước biến dạng

*Số gia của công của một đơn vị thể tích (công riêng) A sẽ là :

A =

V

T





= x x +y y +z z +Txyxy + Tyzyz + Tzxzx (4.4)

* Đối với vật thể hoàn toàn đàn hồi năng lượng sinh ra do biến dạng được bảo toàn Nếu gọi W là thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy khi vật thể biến dạng thì độ lớn của thế năng biến dạng đàn hồi bằng công ngoại lực A

Lực đàn hồi thỏa mãn điều kiện (4.5) gọi là có thế

Thế năng sinh ra do biến dạng và chỉ do biến dạng mà có, vì vậy thế năng biến dạng đàn hồi là hàm số của các thành phần biến dạng :

W = f(x, y, z, xy, yz, zx)

Trong miền đàn hồi quá trình biến dạng là thuận nghịch nên W là 1

vi phân toàn phần Nếu bỏ qua các vô cùng bé bậc cao khi khai triển số gia của thế năng biến dạng đàn hồi theo biến dạng ta được :

W =

x

w







.x +

y

w







.y +

z

w







.z +

xy

w





xy +

yz

w





yz +

zx

w





zx (4.7)

So sánh (4.4) và (4.7) : A = W : ta có :

x =

x

w







xy

w







;

y =

y

w







yz

w







z =

z

w







zx

w







;

Từ (4.8) cho phép phát biểu kết luận định lý Green: Các phần tử ứng suất là các đạo hàm riêng của thế năng biến dạng đàn hồi đối với các biến dạng tương ứng

§4.2 ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT-

CÁC HẰNG SỐ ĐÀN HỒI CỦA VẬT LIỆU

4.2.1 Dựa vào định lý Green :

Từ (4.2) ta có : x = a11x + a12y + a13z + a14xy + a15yz + a16zx

(4.8) ta có : x =

x

w









yz x

w



 





Từ (4.2) ta có: Tyz = a51x + a52y + a53z + a54xy + a55yz + a56zx

Từ (4.8) ta có: Tyz =

yz

w









yz x

w



 



2

Vì giá trị đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, so sánh (a) và (b) ta có : a15 = a51

Tổng quát đối với các hằng số đàn hồi của (4.2) ta có:

Vậy các hằng số của hệ phương trình (4.2) đối xứng qua đường chéo chính

Do đó các hằng số cần xác định chỉ còn 36 - 15 = 21 hệ số

4.2.2 Dựa vào tính chất vật liệu đẳng hướng :

Vật thể đẳng hướng là vật thể có tính chất đối xứng hoàn toàn, bất kỳ mặt phẳng nào đi qua phần tử cũng là mặt phẳng đối xứng Tính chất cơ, lý của vật liệu theo mọi phương là như nhau

Do đó các phương trình (4.2) không thay đổi khi ta thay đổi hệ tọa độ :

+Giả sử đổi chiều trục y thì ứng suất pháp x của phương trình thứ nhất trong

hệ (4.2) không thay đổi:

x = a11x + a12y + a13z + a14xy + a15yz + a16zx (c) Nhưng các biến dạng góc xy

và yz đổi dấu vì khi đổi chiều

trục y thì góc trượt trước đây

làm góc vuông nhỏ lại nay làm

cho góc vuông lớn lên

 x = a11x + a12y + a13z - a14xy - a15yz + a16zx (d) Đồng nhất (c) và (d) ta có :

0

15 14 15

15

14 14



















a a a

a

a a

Tương tự nếu đổi chiều trục z ta có a16 = 0

Bằng cách chứng minh tương tự ta đi đến kết luận ba hằng số cuối của

ba phương trình đầu trong hệ phương trình (4.2) đều bằng 0

Do aij = aji nên ba hằng số đầu của ba phương trình cuối trong hệ phương trình (4.2) cũng bằng 0

* Hệ phương trình (4.2) trở thành :

x = a11x + a12y + a13z

y = a21x + a22y + a23z

Tyx = a44xy + a45yz + a46zx

Tyz = a54xy + a55yz + a56zx

Tzx = a64xy + a65yz + a66zx

Hệ phương trình (4.9) cho ta kết luận :

- Các ứng suất pháp không có quan hệ với các biến dạng góc

- Các ứng suất tiếp không có quan hệ với các biến dạng dài tương đối Xét phương trình thứ (4) của hệ phương trình ( 4.9) :

Nếu ta đổi chiều trục z thì Txy không đổi nhưng yz và zx sẽ đổi dấu:

Tyx = a44xy - a45yz - a46zx

(f)

46 46

45 45



















a a a

a

a a

Do aij = aji  a54 = a64 = 0

Tương tự ta có : a56 = a65 = 0

Hệ phương trình (4.9) có thể rút gọn như sau:

x = a11x + a12y + a13z

y = a21x + a22y + a23z

z = a31x + a32y + a33z

Tyz = a55xy

Tzx = a66xy

Bằng cách hoán vị vòng phương trình (3) của hệ phương trình (4.10), ta có:

x

z = a31x + a32y + a33z

Hoán vị vòng ta có: x = a31y + a32z + a33x (4.14)

Phương trình (1) của hệ phương trình (4.10) : x = a12y + a13z + a11x

Đồng nhất (4.14) và (1) ta có : a31 = a12

a32 = a13

a33 = a11

a31 = a13

a32 = a23

* Đặt a = a11 = a22 = a33

b = a12 = a21 = a13 = a31 = a23

Bằng phép hoán vị vòng các phương trình (4,5,6) của hệ (4.10) ta có : (4.15)

c = a44 = a55 = a66

Do đó (4.10) có dạng :

x = ax + b(y + z)

y = ay + b(x + z)

Txy = cxy

Tyz = cyz

Tzx = czx

*Ta có:  = x + y + z: là biến dạng thể tích tương đối

nên x = b + (a - b) x

z = b + (a - b) z

*Đặt b = 

a -b = 2  (4.12)  x =  +2x

z =  +2z

2

1

b

a 

 c = 

Tzx = zx

Các hệ phương trình (4.18) và (4.19) là quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của vật thể đàn hồi và đẳng hướng được gọi là định luật Hooke tổng quát viết dưới dạng ứng suất theo biến dạng Đối với loại vật liệu này chỉ có hai hằng số vật lý là  và  Hai hằng số này được gọi là hằng số LaMê

$4.3 MỘT DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT

Từ (4.18) ta có : x + y + z = 3 + 2

Trong đó :  = x + y + z : Độ biến dạng thể tích tương đối

  = 312 (x + y + z) (a)



















































2 2

2 y z y z z

z

y y

(b)

Mặt khác x =  - (y + z) (c)

Thay (a) và (b) vào(c) ta có :





























) 2 3 ( 2

) (

2

3

1

z y x z

x z

y

















=











2 )

( ) 2 3 (

y x z

y

x   

























) (

) (

) 2 3



















(4.15) Đặt E = (32)

E     ;

E     ; (4.17)

Từ (4.21) ta có :

















































































  = 2(E1)

Lúc này (4.19) có dạng :

xy =

G

1

Txy

yz =

G

1

zx =

G

1

Tzx

Các hệ phương trình (4.22) và (4.23) được gọi là định luật Hooke tổng quát viết dưới dạng biến dạng theo ứng suất

*Định luật Hooke khối

Từ (4.17) ta có :

E(x + y + z) = (x + y + z) - 2(x + y + z) (*)

E .

2

1  

(4.19)

Với:  = x + y + z : Biến dạng thể tích tương đối

S =x + y + z: Hàm ứng suất tổng

Phương trình (4.19) được gọi là Định luật Hooke khối