TOÁN HỌC CƠ SỞ Các ứng dụng của Lý Thuyết Đàn Hồi đòi hỏi sự hiểu biết về nhiều lĩnh vực toán học khác nhau. Bản thân Lý Thuyết Đàn Hồi được xây dựng trên cơ sở ứng dụng nhiều đại lư
Trang 1M(x,y,z)
x
y
a b
b
a Phần tử loại 1
Phần tử loại 2
CHƯƠNG 2 : LÝ THUYẾT TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT
§2.1 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG
2.1.1 Đặt vấn đề :
Trong hệ tọa độ Decartes cho 1 vật thể chịu tác dụng của ngoại lực, bao gồm:
* Lực thể tích: Là lực phân bố trong không gian của vật thể, được đặc trưng bởi cường độ f và là lực trong một đơn vị thể tích, có hình chiếu lên 3 trục tọa độ x, y, z là: fx , fy , fz
* Lực diện tích (lực bề mặt): Là lực tác dụng trên một phần hay trên toàn
bộ bề mặt giới hạn của vật thể, được đặc trưng bởi cường độ f* và là lực trên một đơn vị diện tích, có hình chiếu lên ba trục tọa độ x, y, z là f*
x , f*
y, f*
z Dưới những tác dụng này, vật thể nằm ở trạng thái cân bằng tĩnh hoặc động nên những phần tử vật chất của vật thể cũng nằm ở trạng thái cân bằng tương ứng Tưởng tượng dùng họ những mặt phẳng vuông góc với các trục toạ
độ và cách nhau những đoạn vi phân dx, dy, dz cắt qua vật thể (hình vẽ 2.1) ta sẽ nhận được :
(Hình 2.1)
* Những phần tử hình hộp có sáu mặt cắt ở bên trong vật thể gọi là phần
tử loại 1
* Những phần tử có ít nhất một mặt là bề mặt ngoài của vật thể gọi là phần
tử loại 2, trong trường hợp tổng quát, phần tử loại 2 là một khối tứ diện
Điều kiện cân bằng của vật thể được đảm bảo thông qua điều kiện cân bằng của tất cả các phần tử loại 1 và loại 2
2.1.2 Phương trình vi phân cân bằng :
Trước tiên ta khảo sát sự cân bằng của các phần tử loại 1 lấy tại điểm M(x,y,z)
1 Lực tác dụng lên phần tử :
Trang 2- Ngoại lực là lực thể tích f có hình chiếu lên các trục toạ độ : fx , fy , fz
- Nội lực là các ứng suất trên các mặt của phần tử, các ứng suất này là các hàm số liên tục của tọa độ điểm M(x,y,z)
(Hình 2.2)
Hai mặt vuông góc với trục x:
+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có các thành phần ứng suất : x , xy , xz
+ Mặt đi qua điểm N(x+dx,y,z): khai triển theo Taylor và bỏ qua các số hạng vô cùng bé bậc cao có các thành phần ứng suất :
dx x
; dx x
; dx x
xz xz xy
xy x
x
Tương tự:
Hai mặt vuông góc với trục y:
+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có ứng suất : y , yx , yz
+ Mặt đi qua điểm P(x,y+dy,z) có các ứng suất :
dy y
; dy y
; dy y
yz yz yx
yx y
y
Hai mặt vuông góc với trục z:
+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có các ứng suất z , zx , zy
+ Mặt đi qua điểm Q(x,y,z+dz) có các ứng suất :
dz z
; dz z
; dz z
zy zy zx
zx z
z
2 Phương trình cân bằng:
Dưới tác dụng của ngoại lực, giả sử phần tử đang xét nằm ở trạng thái cân bằng, các phương trình cân bằng được thỏa mãn :
7
z
x
y
dx
P(x,y+dy,z)
N(x+dx,y,z) Q(x,y,z+dz)
dx x
x x
dx x
xy xy
dx x
xz xz
xy
x
xz
Trang 3y
x
M
Zo
Zo
dy
y
yx yx
dx
x
xy xy
yx
xy
0 dxdydz f
dxdy ) dz z (
dxdz ) dy y (
dydz ) dx x (
0
X
x zx
zx zx
yx yx yx x
x x
Sau khi rút gọn và cũng thực hiện tương tự cho các phương trình ∑Y = 0 ; ∑Z=0,
ta sẽ nhận được 3 phương trình vi phân cân bằng như sau :
) t
w (
0 f z y
x
; ) t
v (
; 0 f z y
x
; ) t
u (
; 0 f z y
x
2 2 z
z yz
xz
2 2 y
zy y
xy
2 2 x
zx yx
x
(2.1)
Với : mật độ khối lượng của vật thể
+ Trong trường hợp cân bằng tĩnh: vế phải của hệ (2.1) sẽ bằng 0
+ Trong trường hợp cân bằng động: vế phải của hệ (2.1) sẽ bằng các lượng trong dấu ngoặc; u, v, w là các thành phần chuyển vị của phần tử vật chất tại điểm M theo 3 phương x,y,z Lượng trong dấu ngoặc nếu đổi dấu thì chính là các lực quán tính của một đơn vị thể tích chiếu lên ba phương của các trục tọa độ
Hệ phương trình (2.1) được gọi là phương trình cân bằng tĩnh học NAVIER-CAUCHY
2.1.3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp :
* Từ phương trình cân bằng môment của phân tử đối với các trục tọa độ ta sẽ được định luật đối ứng của các ứng suất tiếp
(Hình.2.3)
Xét phương trình cân bằng ∑Mz = 0
Để đơn giản ta đặt tọa độ ban đầu ở tâm hình lập phương
Tìm moment tại tâm phần tử đối với trục zozo, ta có:
0 2
dy dxdz ) dy y
( 2
dx dydz ) dx x (
yx yx xy
xy xy
y
và 2
dx dxdydz x
yx xy
so với các vô
Trang 4y
x
f* x
f* y z
f*
y
z
x
xy
xz
zx
yx
yz
zy
cùng bé bậc 3, rút gọn và chia 2 vế của phương trình cho dxdydz, ta có :
; 0
M
; 0
M
;
zx xz y
zy yz x
yx xy
Phát biểu định luật: Ứng suất tiếp trên 2 mặt vuông góc về trị số bằng nhau nhưng ngược chiều
(Hình.2.4)
2.1.4 Phương trình điều kiện biên theo ứng suất :
Đây chính là điều kiện cân bằng của các phân tử loại 2.Trong trường hợp tổng quát, phân tử này là khối tứ diện, có ba mặt vuông góc với các trục tọa độ
và nằm ở bên trong vật thể, có diện tích lần lượt là dSx, dSy, dSz Mặt còn lại là mặt ngoài của vật thể có diện tích dS có pháp tuyến n với cosin chỉ phương l,m,n
(Hình 2.5)
l = cos (n,x) =
dS dSx
có n to
Véc m = cos (n,y) =
dS
dSy
(a)
n = cos (n,z) =
dS dSz
a Lực tác dụng lên phân tử:
- Ngoại lực : + Lực thể tích f(fx, fy,fz) của thể tích dV
+ Lực bề mặt f*(f*
x, f*
y,f*
z) trên diện tích dS
- Nội lực :
+ Mặt vuông góc trục x, ký hiệu dSx có các ứng suất : x , xy , xz.
+ Mặt vuông góc trục y, ký hiệu dSy có các ứng suất : y , yx , yz.
9
a
a
a
a
Trang 5
z
x
xy
xz
zx
yz
zy
y
x f*
f* Pny z
f*
+ Mặt vuông góc trục z, ký hiệu dSz có các ứng suất : z , zx , zy.
b Phương trình cân bằng :
Phương trình tổng hình chiếu của các lực theo phương X là:
) b ( 0
dV f dS f dS dS
dS 0
x z zx y yx x
bậc ba fx.dV so với các vô cùng bé bậc hai và chia (b) cho dS ta có:
) c ( 0
f dS
dS dS
dS
dS
x z zx y yx
x
Thay (a) vào (c) ta có:
Tương tự:
* z z yz xz
* y zy y xy
* x zx yx x
f n m l 0 Z
) 3 2 ( f
n m l 0 Y
f n m l
Hệ phương trình (2.3) là điều kiện cân bằng của phần tử loại hai, được gọi là hệ phương trình điều kiện biên theo ứng suất
2.1.5 Kết luận:
1 Về mặt cơ học: Hệ phương trình (2.1) và (2.3) biểu diễn mối quan hệ giữa nội lực và ngoại lực là điều kiện cân bằng của toàn bộ vật thể
2 Về mặt toán học:
Hệ phương trình (2.1) là hệ phương trình vi phân đối với các ẩn số ứng suất, khi tích phân sẽ có các hằng số tích phân
Còn hệ phương trình (2.3) là điều kiện để xác định các hằng số tích phân ấy
§2.2 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG –
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT - TENXƠ ỨNG SUẤT
2.2.1 Đặt vấn đề :
Giả sử đã biết các ứng suất trên 3 mặt vuông góc với hệ trục tọa độ đi qua M(x,y,z), tính ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ có pháp tuyến n với các cosin chỉ phương là (l, m, n) đi qua điểm M(x,y,z) đó
2.2.2 Ứng suất toàn phần :
Để tìm ứng suất tại điểm M(x,y,z) trên mặt cắt nghiêng có pháp tuyến n
với các côsin chỉ phương l,m,n Ta xét cân bằng của phần tử tứ diện lấy tại điểm M(x,y,z), phần tử có ba mặt vuông góc với các trục tọa độ, trên đó có các ứng suất , (như H.2.6) Mặt thứ tư của phân tử là mặt nghiêng có ứng suất toàn phần P n, các hình chiếu của nó lên 3 trục tọa độ x,y,z là Pnx, Pny, Pnz
10
Trang 6Hình 2.6
Ba hình chiếu này giữ vai trò tương tự như lực bề mặt *
z
* y
*
điều kiện biên (2.3), nên có thể có kết quả tương tự như sau:
) 4 2 ( n
m
l x P
P
P
n m l P
n m l P
n m l P
z yz xz zy y xy zx yx x
nz
ny
nx
z yz xz nz
zy y xy ny
zx yx x nx
Giá trị của ứng suất toàn phần Pn được tính theo công thức sau :
) 5 2 ( P
P P
nz 2 ny 2 nx
2.2.3 Ứng suất pháp và ứng suất tiếp :
Ứng suất toàn phần P n có thể biểu diễn qua ứng suất pháp và ứng suất tiếp
1.Ứng suất pháp: là hình chiếu của ứng suất toàn phần P n trên pháp tuyến
n, được ký hiệu n
3 nz 2 ny 1 nx
) e P e P e P ( ch P
n n
n P m P l
Thay (2.4) vào (2.6) ta có:
) 7 2 ( ) nl mn lm ( 2 n m
z 2 y 2 x
2 Ứng suất tiếp :
Trị số ứng suất tiếp Tnt trên mặt cắt nghiêng được tính theo công thức :
2 n 2 2 2 2
n 2 n
2.2.4 Trạng thái ứng suất - Tenxơ ứng suất :
* Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp các ứng suất trên mọi mặt cắt có thể đi qua điểm đó
* Nếu ứng suất thành phần là khái niệm phụ thuộc điểm và pháp tuyến của mặt cắt [Pn(M,n)] thì trạng thái ứng suất là khái niệm rộng hơn, chỉ phụ thuộc vào điểm Điều đó cho phép ta phân biệt, so sánh được trạng thái nội lực tại các điểm khác nhau trong vật thể
Các biểu thức (2.7) và (2.8) cho phép xác định ứng suất pháp và ứng suất
11
Trang 7tiếp trên mặt cắt nghiêng bất kỳ đi qua điểm đang xét, điều đó chứng tỏ rằng chín thành phần ứng suất trên các mặt cắt vuông góc với các trục tọa độ là đủ để xác định trạng thái ứng suất tại điểm đó
Kết luận: Trạng thái ứng suất tại một điểm đặc trưng bởi chín thành phần ứng suất trên các mặt cắt vuông góc với các trục tọa đô đi qua điểm đó Chín thành phần này lập thành một đại lượng gọi là tenxơ ứng suất
Ký hiệu : T
Và được biểu diễn:
z yz
zx
xz y
xy
zx yx
x
T
Tenxơ ứng suất là một tenxơ hạng 2 đối xứng vì theo định luật đối ứng của ứng suất tiếp ta có xy yx ; yz zy ; xz zx, vậy tenxơ ứng suất có 6 thành phần độc lập
2.2.5 Tenxơ lệch ứng suất và Tenxơ cầu ứng suất :
Tenxơ ứng suất có thể chia thành Tenxơ lệnh ứng suất D và Tenxơ cầu ứng suất To
o tb yz tb tb tb z yz zx
xz tb y xy
zx yx tb x
z
yz
zx
xz
y
xy
zx
yx
x
T D
T
0 0 0 0 0 a ) ( ) ( ) (
3
1
z y x
D: Tenxơ lệch ứng suất, gây ra biến dạng hình dạng của phân tử
To : Tenxơ cầu ứng suất, gây ra biến dạng thể tích của phân tử
§2.3 MẶT CHÍNH - PHƯƠNG CHÍNH - ỨNG SUẤT CHÍNH
2.3.1.Khái niệm:
* Mặt chính là mặt trên đó có ứng suất tiếp bằng không;
* Phương chính là phương pháp tuyến của mặt chính
* Ứng suất chính là ứng suất pháp trên mặt chính Ký hiệun
Giả sử có phương chính n với l = cos (n, x)
m = cos (n , y)
n = cos (n , z) Trên mặt chính ứng suất toàn phần P n sẽ có phương vuông góc với mặt chính và có giá trị P n n
Do đó hình chiếu Pnx, Pny, Pnz của Pn lên các trục x, y, z là :
Pnx = n.l
Pny = n.m (2.9)
Pnz = n.n Thay (2.4) và (2.9) ta có hệ phương trình:
) 10 2 ( 0
n ) (
m l
0 n m
) (
l
0 n m
l ) (
tb z
yz zx
x z tb
y xy
zx yx
n x
Hệ (2.10) có nghiệm tầm thường của là l = m = n =0 không thỏa mãn
Trang 8điều kiện l2 + m2 + n2 = 1 (2.11).
Để hệ (2.10) có nghiệm không tầm thường thì định thức của các hệ số phải bằng không:
) 12 2 ( 0
) (
) (
) (
Det
n z yz zx
xz n y xy
zx yx
n x
Khai triển (2.12) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính n:
0 I I
I 2 2 n 3 n
1 3
n
) (
2 I
) (
I
2 xy z 2
z x y 2
yz x
z x yz xy z
y x 3
zx yz
xy x
z z y y x 2
z y x 1
(2.14) Các hệ số I1, I2 , I3 trong phương trình tìm ứng suất chính là những giá trị không đổi khi ta xoay trục Chúng được gọi lần lượt là bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai và bất biến thứ ba của trạng thái ứng suất tại một điểm
- Giải phương trình bậc 3 (2.13) ta nhận được ba giá trị ứng suất chính, các giá trị này đều là thực, kí hiệu lần lượt là 1 ; 2 ; 3và theo qui ước
3
2
1
- Phương chính : sau khi đã có các ứng suất chính 1 ; 2 ; 3 ứng với mỗi
i
sử dụng hệ phương trình (2.10) và phương trình (2.11) để tìm cosin chỉ phương li, mi, ni của ứng suất chính iđó
Kết quả ta có ba phương chính tương ứng với ba ứng suất chính 1 ; 2 ; 3
Ba phương này trực giao với nhau và lập thành một hệ trục tọa độ, ký hiệu các trục là 1,2,3
Tenxơ ứng suất này được viết là :
3 2 1
0 0
0 0
0 0 T
Các bất biến của trạng thái ứng suất chính :
3 2 1 3
1 3 3 2 2 1 2
3 2 1 1
I I
Tùy theo giá trị của các ứng suất chính, ta phân loại trạng thái ứng suất thành trạng thái ứng suất đơn; trạng thái ứng suất phẳng và trạng thái ứng suất khối
13