Tài liệu môn toán chuyên đề lượng giác

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LƯỢNG GIÁC I.. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt a.. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC II... Một số phương trình lượng giác thường gặp: II.2.1.. Định ngh

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LƯỢNG GIÁC

I CÔNG THỨC

I 1 Công thức lượng giác cơ bản

2

2

2

1

1

c a

a

I 2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a Cung đối:  à

b Cung bù:  à 

c Cung phụ: à

2

v 

c

c

d Cung hơn kém  : à   

Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém  tan và cot

I 3 Công thức cộng

sin sin cos cos sin

sin sin cos cos sin

os cos cos sin sin

os cos cos sin sin

tan tan tan

1 tan tan tan tan tan

1 tan tan

a b

a b









Chú ý: sin bằng sin.cos , cos.sin ; cos bằng cos.cos , sin.sin giữa trừ ; tan bằng tan tổng chia

1 trừ tích tan

I 4 Công thức nhân đôi

sin 2 2sin cos os2 os2 sin2 2 cos2 1 1 2sin2 tan 2 2 tan2

1 tan

a

a



I 5 Công thức hạ bậc



I 6 Công thức tính theo tan

2

t  

2

I 7 Công thức nhân ba

3

2

3 tan tan sin 3 3sin 4 sin os3 4 cos 3cos tan 3

1 3 tan

a





I 8 Công thức biến đổi tổng thành tích

I 9 Công thức biến đổi tích thành tổng

1

2 1

2 1

2

I 10 Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Cung 0 

0 0 300

6



 

 

 

0 45 4



 

 

 

0 60 3



 

 

 

0 90 2



 

 

 

0 2 120

3



0 3 135

4



 

 

 

0 5 150

6



180 

2

2 2

3

3 2

2 2

1

2

2 2

1

1 2

2

2

3

1 3

Chú ý:

2

n

0 ; 30 ; 45 ; 60 ; 90

 Công thức đổi từ độ sang radian và ngược lại: a00

180







I 11 Đường tròn lượng giác

7π 4 5π

4

3π

4

π 4

2π

3π 2

π 2

0 π

-1 -1

1

1 O

sin

cos

II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

II 1 Phương trình lượng giác cơ bản:

II.1.1 Phương trình sin x  a

 a 1: Phương trình vô nghiệm

 a 1

2



 



360 sin sin









x arc a k





Tổng quát:        

2

2

f x g x k







* Các trường hợp đặc biệt

2

2 sin 0



Ví dụ: Giải các phương trình sau:

) sin sin

12

) sin 2 sin 36

2

3

d x

Giải

) sin sin

11 12



) sin 2 sin 36 sin 2 sin 36

18 180

108 180

k





   



2

) sin 3 sin 3 sin



 

2 arcsin 2

) sin

2 3

arcsin 2 3







II.1.2 Phương trình cos x  a

 a 1: Phương trình vô nghiệm

 a 1

 c xos cos   x  k2k 

c xc    x  k k

 c xos    a x arcc aos k2k 

Tổng quát: c f xos  c g xos   f x  g x k2 k 

* Các trường hợp đặc biệt

os 0

2



Ví dụ: Giải các phương trình sau:

) cos os

4

) cos 45

2

2

c c x  ; ) cos 3

4

Giải

a xc     x  k  k

2

c c x  c xc   x   k    x  k k

d x   x k  k

II.1.3 Phương trình tan x  a

tan = arctan



Tổng quát: tan f x tang x  f x g x k k 

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

) tan tan

3

) tan 4

3

) tan 4 20 3

Giải

 

a x    x  k k

II.1.4 Phương trình cot x  a

cot cot x = + k

cot cot x = + k180

cot x = arc cot + k



Tổng quát: c f xot  c g xot   f x g x k k 

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

3 ) cot 3 cot

7

) cot 4 3

c  x 

Giải

1

c  x    x    x    k  x  k   x  k k

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) sin 2 x 1 sin 3 x1 2) cos cos 2

     

3

4)  0  3

cot 45

3

x

2

cos 2 25

2

x

7) sin3xsinx 8) cot 4 x2  3 9)   0 3

tan 15

3

x

10)  0

sin 8x60 sin 2x0 11)  0

cos cos 2 30 2

x

x

   12) sinxcos 2x0

13)tan cot 2

4

x   x



2

3

16) sin4x cosx 17) sin5x sin2x 18) 2  2

sin 2x sin 3x 19) tan 3 x2cot 2x0 20) sin4xcos5x0 21) 2sinx 2 sin2x0

22) 2  2 

sin 2x cos 3x 1 23) sin5 cos3x xsin6 cos2x x

24)  2 

2

x

2

27)  



2 sin cos



2 2

x  

  sao cho:tan 3 x2 3

     

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Giải các phương trình sau:

22)

23) sin5 cos3 sin6 cos2 1sin2 sin8  1 sin4 sin8 sin2 sin4

24)  2       1

x

2

2

x hoặc cot 5 x0 không là nghiệm của pt (25) nên ta có:



1

x

26) tan5 tan3x x1 26 

Vì tan5x0 hoặc tan3x0 không là nghiệm của pt (26) nên ta có:



1

x

II.2 Một số phương trình lượng giác thường gặp:

II.2.1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:

II.2.1.1 Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

0

at b t trong đó a,b là các hằng số a0và t là một trong các hàm số lượng giác

Ví dụ: 2sin 1 0; os2 1 0; 3 tan 1 0; 3 cot 1 0

2

II.2.1.2 Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản

Giải

5

2 6



  





b c x  c x  c x   x   k  k    x  k k

3

II.2.1.3 Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:

Ví dụ: Giải phương trình sau: 2cosxsin 2x0

Giải

cos sin 2 0 cos 2 sin cos 0 cos 1 2 sin 0

2 cos 0

cos 0

, 1

2

5 6

x x

  











Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:

II.2.2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

II.2.2.1 Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

2

0

at   bt c , trong đó a, b, c là các hằng số a0 và t là một trong các hàm số lượng giác

Ví dụ:

a) 2sin2 xsinx 3 0 là phương trình bậc hai đối với sin x

b) cos x2 3cosx 1 0 là phương trình bậc hai đối với os2c x

c) 2 tan2xtanx 3 0 là phương trình bậc hai đối với tan x

d) 3cot 32 x2 3 cot 3x 3 0 là phương trình bậc hai đối với cot 3x

II.2.2.2 Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về phương trình bậc hai

theo t giải tìm t, đưa về phương trình lượng giác cơ bản (chú ý điều kiện 1  t 1 nếu đặt t bằng sin hoặc cos)

Giải

2 ) 2sin sin 3 0(1)

Đặt tsinx, điều kiện t 1 Phương trình (1) trở thành:

2

1 ân

2

t t

t loai







     



Với t=1, ta được sinx  1 x k2k 

  2

b cos x cosx 

Đặt tc xos , điều kiện t 1 Phương trình (2) trở thành:

2

3 13

â 2

3 1 0

3 13 2

  







   

  







2

t  

c x     x   k  k

Các câu còn lại giải tương tự

II.2.2.3 Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

2 )3sin 2 7 cos 2 3 0

Giải

2

)3sin 2 7 cos 2 3 0 3 1 cos 2 7 cos 2 3 0 3cos 2 7 cos 2 0 cos 2 3cos 2 7 0 cos 2 0

3cos 2 7 0

x x







x  x  k   x  k k

*) Giải phương trình: 3cos 2 7 0 cos 2 7

3

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là , 

x  k k

  )7 tan 4 cot 12 1

Điều kiện: sinx0và cosx0 Khi đó:

tan

x

Đặt ttanx, ta giải phương trình bậc hai theo t: 2

7t  4t 120

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:

31) 2   

2cos x 3cosx 1 0 32) 2   

cos x sinx 1 0 33) 2cos2x4cosx1

34) 2sin2x5sin – 3 0x  35) 2cos2x 2cosx - 2 0 36) 6cos2x5sinx20

37) 3 tan2x (1 3) tan =0x 38) 24 sin2 x14cos 21 0x 

39) sin 2 2cos 1

     

2 4cos 2( 3 1)cosx  x 3 0 

II.2.3 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx:

II.2.3.1 Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng

a x b x x c c xd a b c

II.2.3.2 Phương pháp:

 Kiểm tra cosx0có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này

 cosx0chia cả hai vế cho 2

cos x đưa về phương trình bậc hai theo tan x:   2

ad x b x c d  

Ví dụ: Giải phương trình sau

Bài tập đề nghị:

41) 3sin2x4sin cos +5cosx x 2x2 42) 2 cos2x3 3 sin 2x4sin2x 4

43) 25sin2x15sin 2x9cos2x25 44) 4sin2x5sin cosx x6cos2x0

45) 4sin2x5sin cosx x0 46) 4sin2x6cos2x0

II.2.4 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x :

II.2.4.1 Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có dạng

a x b xc trong đó , ,a b c và a2b2 0

Ví dụ: sinxcosx1; 3cos 2x4sin 2x1;

II.2.4.2 Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho a2b2 ta được:

2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

2c 2 1



 : Phương trình vô nghiệm

2c 2 1



(hoặc

Đưa phương trình về dạng: sinx  2c 2



 (hoặc cosx  2c 2

a b



 ) sau đó giải phương trình

lượng giác cơ bản

Chú ý: Phương trình sin a x b cosxc trong đó , ,a b c và 2 2

0

a b  có nghiệm khi 2 2 2

c a b

Giải

Ví dụ: giải các phương trình sau:

a) sinxcosx1; b) 3cos 2x4sin 2x1;

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:

47) 2sinx2cosx 2 48) 3sinx4cosx5 49) 3sinx 1 4cosx 1 5

50) 3cosx4sinx 5 51) 2 sin 2x2 cos 2x 2 52) 5sin 2x6 cos2x13;(*)

sin cos

III BÀI TẬP

Bài 1 Giải các phương trình sau:

55 sin 2 1

2

x 56 os2 3

2

c x  57  0 1

tan 30

3

x  

58 cot 5 1



  

  59 sin 2x sin x 4



  60 cot 2x 3 cot 4 5x

   

61  0  0 

os 2 20 sin 60

c x  x 62 tan cot 2

      

    63

tan 5

3

x

Bài 2 Giải các phương trình sau:

64 2sin 3 3 0

6

x 

  65

2 cos 2x c os2x=0 66 tanx1 cos x0

67 2

2sin xsinx 3 0 68 2

4sin x4cosx 1 0 69 tanx2cotx 3 0

70 4 2

2cot x6cot x 4 0 71 4 4

sin x c os xcosx2

1cos4x sin 4x 2 sin 2x (*) 73 3sin2 x2sin cosx x c os2x0

74 2 2

cos xsin x 3 sin 2x1 75 2 2 1

sin 2 sin 4 2 cos 2

2

Bài 3 Giải các phương trình sau:

76 3sinx4cosx5 77 2 sin 2x2 cos 2x  2 78 3cosxsinx 2

79 sin 2 sin2 1

2

x x 80 cos 2x9cosx 5 0

Bài 4 Giải các phương trình sau:

82) cos2xsinx 1 0

83) 3sinx 3 cosx1

84) 5cos 2x12sin 2x13

85) sin2 sin 2 1

2

x x

86) cos2xsinx2

4sin x3 3sin 2 2cosx x4

24sin x14cosx21 0

89) tan 2 cot 2 3 0

      

     

3sin x8sin cosx x 8 3 9 cos x0

92) 2sin 3x 2 sin 6x0

93) 3 cos2x5 sin2 x 1

4cos x 2 3 1 cos x 3 0 

96) sin2 x–10sin cosx x21cos2x0

cos xsin x 2sin 2x1

98) cos 4 sin3 cosx x x sin cos 3x x

99) sin cos 1

sin

x

Dành cho HS khá – giỏi 100) cosx 3 sinx2 os3c x

101) tanxtan 2 tan 3 x x

HD:

cos cos 2 cos 3 cos cos 2 cos 3

Giải phương trình

 

3 2

0 cos cos 2 cos 3

cos 3 cos cos 2 0

4 cos 3cos cos 2 cos 1 0

2 cos 2 cos 0

2sinxcosx 1 cosx sin x

103) (1 cos 2 )sin 2 x xsin2 x

Hướng dẫn:

2 (1 cos 2 )sin 2 x xsin x

104) cos 1 tanx  xsinxcosxsinx

105) cotxtanxsinxcosx

Hướng dẫn

cotxtanxsinxcosx, (điều kiện sinx0và cosx0)

 

 

cos sin

sin cos sin cos

cos sin

sin cos sin cos

cos sin cos sin sin cos sin cos 0 cos sin cos sin sin cos 0

cos sin 0 91 cos sin sin cos 0 91



 



HD giải pt 91b):

cosxsinxsin cosx x0

2

t

Thay vào phương trình, ta được:

2

2 1

2

t

Ta giải 2 phương trình: cosxsinx  1 2; cosxsinx 1 2

106) sin 22 2 cos2 3 0

4

Giải phương trình bậc hai đối với hàm số cos 2x

107) 2sin 17x 3cos 5xsin 5x0

HD:

2sin17 3cos 5 sin 5 0

sin17 cos 5 sin 5 0

3

108) cos 7xsin 5x 3 cos 5 xsin 7x

tan 2 45 tan 180 1

2

x

200) 1 cos 2 sin 2

cos 1 cos 2

 ) cos 2 sin cos 0

HƯỚNG DẪN GIẢI 52) 5sin 2x6 cos2x13;(*)

5sin 2 3 1 cos 2 13

sin 2 3cos 2 16

53)





2 2

1 cos 2

2

sin cos

x x

1 2cos2 cos 2 1 2sin2 sin 2 1

1 cos2 sin2 0

cos2 sin2 1

sin cos2 cos sin2 sin

x

1cos4x sin 4x 2 sin 2x

1cos4x sin 4x 2 sin 2x



85) sin2 sin 2 1

2

x x

1 cos 2 sin 2

sin 2 cos 2 0

87) cosx 3 sinxcos3x

cosx 3 sinxcos 3x

BÀI TẬP BỔ SUNG:

Giải các phương trình sau:

201) cos5 sin4x xcos3 sin2x x

202) 2  2 1

cos cos 2

2

203) sinxsin2xsin3xcosxcos2xcos3x

204) sin3xsin5xsin7x0

205) 2  2  2 

cos x cos 2x cos 3x 1(*)

206)     

3

x

x (*) (hay)

x

207)      

3

III ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG QUA CÁC NĂM

2 1) cos 3 cos 2x xcos 2x0 (Khối A - 2005)

2) 1sinxcosxsin 2x c os2x0 (Khối B - 2005)

c x x x   x  

    (Khối D - 2005)

 6 6 

2 2sin

x



5) cot sin 1 tan tan 4

2

x

x x  x 

  (Khối B - 2006)

6) os3c x c os2xcosx 1 0 (Khối D - 2006)

7) 2   2 

1 sin x cosx 1 cos x sinx 1 sin 2x (Khối A – 2007)

8)2sin 22 xsin 7x 1 sinx (Khối B – 2007)

9)

2 sin x cosx 3 cosx 2

10) 1 1 4sin 7

3

sin

2

x x

x



(Khối A – 2008)

11)sin3x 3 cos3xsinxcos2x 3 sin2xc xos (Khối B – 2008)

12)2sinx1cos2xsin 2x 1 2 cosx (Khối D – 2008)

13)

1 2 sin1 2 sin cos1 sin  3





sinxcos sin 2x x 3 cos 3x2 cos 4xsin x (Khối B – 2009)

15) 3 cos 5x2sin 3 cos 2x xsinx0 (Khối D – 2009)

16)

1 sin os2 sin

1 4

cos

x x



17) sin 2xcos 2xcosx2 cos 2xsinx0 (Khối B – 2010)

18) sin 2x c os2x3sinxcosx 1 0 (Khối D – 2010)

19)1 sin 2 2 os2 2 sin sin 2

1 cot

x



20) sin 2 cosx xsin cosx xcos2xsinxcosx (Khối B - 2011)

21)sin 2 2 cos sin 1 0

x

22) 3 sin 2x c os2x2 cosx1 (Khối A và A1 - 2012)

23) 2 cos x 3 sinxcosxcosx 3 sinx1 (Khối B - 2012)

24) sin 3xcos3xsinxcosx 2 cos 2x (Khối D - 2012)