Đây là các đề thi học sinh giỏi toán các cấp của các tỉnh, các thành phố trên cả nước. Các giáo viên có thể lấy làm đề bồi dưỡng HSG, các học sinh có thể lấy làm tài liệu luyện tập kỹ năng giải toán nâng cao. Tài liệu đã được chọn lọc bởi chính tác giả là tôi qua các năm sưu tầm. Tuy ngắn nhưng rất có ích vì tôi chọn toàn những đề có thể nói là rất sát với cấu trúc và kiến thức đề thi.
Trang 1MỘT SỐ ĐỀ THI HSG 9
ĐỀ 1
Bài 1 (2,5 điểm) Giải cỏc phương trỡnh sau:
1 3x2 + 4x + 10 = 2 14x27
2 44x2 4 x416 4x 1 x2y22y 3 5 y
3 x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - 5 = 0; (với x ; y nguyờn)
Bài 2: (2.5 điểm)
1 Tỡm số tự nhiờn n để n và 4118 n là hai số chớnh phương
2 Căn bậc hai của 64 cú thể viết dưới dạng như sau: 64 6 4
Hỏi cú tồn tại hay khụng cỏc số cú hai chữ số cú thể viết căn bậc hai của chỳng dưới dạng như trờn
và là một số nguyờn? Hóy chỉ ra toàn bộ cỏc số đú
Bài 3: (3,25 điểm)
Cho đường trũn (O; R) và đường thẳng d khụng đi qua O cắt đường trũn (O) tại hai điểm A và
B Từ một điểm M tựy ý trờn đường thẳng d và ở ngoài đường trũn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường trũn (O), (P, N là hai tiếp điểm)
1 Chứng minh rằng MN2 MP2 MA MB.
2 Dựng vị trớ điểm M trờn đường thẳng d sao cho tứ giỏc MNOP là hỡnh vuụng
3 Chứng minh rằng tõm của đường trũn đi qua 3 điểm M, N, P luụn chạy trờn đường thẳng cố định khi M di động trờn đường thẳng d
Bài 4: (1,5 điểm)
Trờn mặt phẳng tọa độ xOy lấy điểm P(0; 1), vẽ đường trũn (K) cú đường kớnh OP Trờn trục hoành lấy ba điểm M(a; 0); N(b; 0), Q(c; 0) Nối PM; PN; PQ lần lượt cắt đường trũn (K) tại A; B ; C Tớnh độ dài cỏc cạnh của tam giỏc ABC theo a; b; c
Bài 5: (0,75 điểm) Cho a, b, c > 0
Chứng minh rằng:
ĐỀ 2 Bài 1: Chứng minh rằng:
a Với mọi số tự nhiên n > 1 thì số A = n 6- n 4 + 2n 3 + 2n 2
không thể là số chính phơng
b Các số a và b đều là tổng của hai số chính phơng thì tích a.b cũng là tổng của hai số chính phơng
Bài 2: a Hãy xác định giá trị x;y để có đẳng thức:
5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2y – 2x + 2 = 0
b.Cho hai số thực x, y thoả mãn phơng trình:
2x + 3y = 1
19b - a +19c - b +19a - c 3(a+b+c) ab+5b cb+5c ac+5a �
Trang 2Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng S = 3x 2 + 2y 2.
Bài 3: Giải phơng trình:
2 = x2 +6x -1
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC) , kẻ đờng phân giác AD của góc BAC
và đờng trung tuyến AM ( D;M BC) Vẽ hai đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và tam giác ADM , hai đờng tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là I, đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt hai cạnh AB và AC theo thứ tự tại E và F Tia AD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại J
a Chứng minh: 3 điểm I, M,J thẳng hàng
b Gọi K là trung điểm của EF, tia MK cắt AC và tia BA theo thứ tự tại P và Q
Chứng minh tam giác PAQ cân
ĐỀ 3
Caõu 1: (4 ủieồm) Cho phửụng trỡnh : 2x2(6m3)x3m ( x laứ aồn soỏ)1 0
a) ẹũnh m ủeồ phửụng trỡnh treõn coự hai ngieọm phaõn bieọt ủeàu
aõm
b) Goùi x1 , x laứ hai nghieọm cuỷa phửụng trỡnh treõn 2
ẹũnh m ủeồ A= x12x22 ủaùt giaự trũ nhoỷ nhaỏt.
Caõu 2 : (4 ủieồm)
a) Cho a, b, c, d laứ caực số dương Chứng minh:
b) Cho a�1 ; b�1 Chửựng minh : a b 1 b a �1 ab
Caõu 3 : (4 ủieồm)
Giaỷi caực phửụng trỡnh :
a)(x23 )x 26(x23 ) 7 0x
b) 8 x 3 5 x 3 5
c) x x 2 x x 2 x 1
Caõu 4 : (2 ủieồm)
Chửựng minh raống vụựi moùi soỏ tửù nhieõn n thỡ n2 n 1 khoõng chia heỏt cho 9
Caõu 5 : (4 ủieồm)
Cho tam giaực ABC coự ba goực nhoùn noọi tieỏp trong ủửụứng troứn (O) vaứ coự trửùc taõm laứ H
a) Xaực ủũnh vũ trớ cuỷa ủieồm M thuộc cung BC khụng chứa điểm A sao cho tửự giaực BHCM laứ moọt hỡnh bỡnh haứnh
b) Laỏy M laứ ủieồm baỏt kyứ treõn cung BC khoõng chửựa A Goùi N vaứ E laàn lửụùt laứ caực ủieồm ủoỏi xửựng cuỷa M qua AB vaứ AC Chửựng minh ba ủieồm N , H , E thaỳng haứng
Caõu 6 : (2 ủieồm)
Trang 3Cho tửự giaực ABCD coự O laứ giao ủieồm hai ủửụứng cheựo vaứ dieọn tớch tam giaực AOB baống 4, dieọn tớch tam giaực COD baống 9 Tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa dieọn tớch tửự giaực ABCD
ĐỀ 4
Bài 1:
1) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n thoả mãn: n2 + 2006 là số chính phơng
2) Giải phơng trình: =
Bài 2:
Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện sau:
+ + x 2 = + + y2
Chứng minh rằng: x = y
Bài 3:
Gọi a là tham số thực sao cho phơng trình x2 - 3ax - a = 0 có hai
nghiệm phân biệt là x 1 và x 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
Bài 4:
Gọi O là tâm đờng tròn tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD Qua A, B, C, D lần lợt vẽ các đờng thẳng dA, dB, dC, dD sao cho dA OA,
dB OB, dC OC, dD OD Các cặp đờng thẳng dA và dB, dB và dC, dC và dD,
dD và dA tơng ứng cắt nhau tại các điểm K, L, M, N
1) Chứng minh rằng ba điểm K, O, M thẳng hàng
2) Đặt OK = k, OL = l, OM = m Tính độ dài ON theo k, l, m
ĐỀ 5
Bài 1:
Giải phơng trình : + = 2
Bài 2:
Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện : + x 2 = + y2
Chứng minh rằng x = y
Bài 3:
Gọi a là tham số thực sao cho phơng trình x2 - 3ax - a = 0 có hai
nghiệm phân biệt là x 1 và x 2
1) Tính theo a giá trị biểu thức A =
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
Bài 4:
Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Qua A vẽ cát tuyến MAN với M thuộc (O) ; N thuộc (O') và M, N không trùng với A Tiếp tuyến tại M của đờng tròn (O) cắt tiếp tuyến tại N của đờng tròn (O') ở I
1) Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng MN là lớn nhất khi cát tuyến MAN song song với đờng thẳng OO'
Trang 42) Chứng minh rằng bốn điểm B, M, I, N nằm trên một đờng tròn
ĐỀ 6
Bài 1
Rút gọn các biểu thức sau :
a)A =++ ++
b) B = x3 - 3x + 2000 với x = +
Bài 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét ba đờng thẳng có phơng trình : (d1) : x - 5y + k = 0 ; (d2) : (2k - 3)x + k(y - 1) = 0 ; (d3) : (k + 1)x - y + 1 =
0 Tìm các giá trị của tham số k để ba đờng thẳng đó đồng quy
Bài 3.
Giải hệ phơng trình :
Bài 4
Cho đờng tròn (O;R) có hai đờng kính AC và BD vuông góc với nhau
Điểm M thay đổi trên cung nhỏ BC (M khác B và C) và điểm N thay đổi trên cung nhỏ CD sao cho góc MAN = góc MAB + góc NAD Dây AM cắt dây BC tại
E, dây AN cắt dây CD tại F
1) Chứng minh rằng ta luôn có :
- Góc AEB = góc AEF
- Đờng thẳng EF luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định
2) Đặt góc MAB = , tính diện tích tam giác AEF theo R và
Bài 5 Chứng minh rằng: + 80 với a 3, b 3
Dấu bằng xảy ra khi nào ?
Bài 6 Tớnh B = -
ĐỀ 7
Câu 1 (2,0 điểm )
1)Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (a b c )3 a3 b3 c3
2)Rút gọn biểu thức sau :A 4 10 2 5 4 10 2 5 5
Câu 2 ( 2,0 điểm )
1)Chứng minh rằng nếu phơng trình :x4 ax3bx2ax 1 0 có nghiệm thì : a2 (b 2)2 3 0
2)Tìm giá trị của m để hệ phơng trình :
2
2 2
1 1
x y
�
�
Câu 3 ( 2,0 điểm )
1)Tìm các số nguyên dơng a,b,c thoả mãn đồng thời các điều kiện :
Trang 5a b c a b c và
1 1 1
1
a b c 2)Trên tờ giấy kẻ vô hạn các ô vuông và đợc tô bởi các màu đỏ hoặc xanh thoả mãn bất cứ hình chữ nhật nào kích thớc 2x3 thì có đúng hai ô màu đỏ.Hỏi hình chữ nhật có kích thớc 2010x2011 có bao nhiêu ô màu đỏ
Câu4 ( 3,0 điểm )
1)Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R và r lần lợt là các bán kính các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC
R r a
3 3
2 2 2
8
ABCD
R r S
R r
; ( Kí hiệu S ABCD là diện tích tứ giác ABCD ) 2) Cho tam giác ABC cân tại A có BAC� 1080.Chứng minh :
BC
AC là số vô tỉ
Câu 5 ( 1,0 điểm )
Cho f x( )ax2 thoả mãn với mọi x sao cho 1bx c � � và ( )x 1 f x �p
Tìm số q nhỏ nhất sao cho a �b c p q.
ĐỀ 8
Bài 1: (4,0 điểm)
1 Rút gọn biểu thức:
10 2
2 Giải phơng trình: x2 x 6 x2 x 18 0
Bài 2: (3,0 điểm)
Cho phơng trình m1x33m1x2 x 4m 1 0 (1) ( m là tham số).
1 Biến đổi phơng trình (1) về dạng phơng trình tích
2 Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt,
trong đó có 2 nghiệm âm
Bài 3: (4,0 điểm)
1 Chứng minh rằng với hai số thực bất kì a b, ta luôn có:
2
2
a b
ab
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
2 Cho ba số thực a b c, , không âm sao cho a b c 1
Chứng minh: b c � 16 abc Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
3 Với giá trị nào của góc nhọn thì biểu thức Psin6 cos6 có giá trị
bé nhất ? Cho biết giá trị bé nhất đó
Bài 4: (6,0 điểm)
1 Cho tam giác ABC vuông tại A Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA và AB lần lợt tại D, E và F Đặt x DB y DC z , , AE
a Tìm hệ thức giữa x y, và z
Trang 6b Chứng minh rằng: AB AC� 2DB DC�
2 Cho tam giác ABC cân tại A, BC a Hai điểm M và N lần lợt trên AC và
AB sao cho: AM 2MC AN, 2NBvà hai đoạn BM và CN vuông góc với nhau.
Tính diện tích tam giác ABC theo a
Bài 5: (3,0 điểm)
3 Một đoàn học sinh đi cắm trại bằng ô tô Nếu mỗi ô tô chở 22 ngời thì còn thừa một ngời Nếu bớt đi một ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô còn lại Hỏi có bao nhiêu học sinh đi cắm trại và có bao nhiêu ô tô ? Biết rằng mỗi ô tô chỉ chở không quá 30 ngời
4 Một tấm bìa hình chữ nhật có kích thớc 1 5� Hãy cắt tấm bìa thành các mảnh để ráp lại thành một hình vuông Giải thích
ĐỀ 9
Baứi 1) (3ủ):
2009 2008 Cho bieồu thửực A=2(9 9 9 1)
Chửựng minh raống A baống tớch cuỷa hai soỏ tửù nhieõn lieõn tieỏp
Baứi 2) (4ủ):
)Ruự t goùn 4 10 2 5 4 10 2 5
)Tỡm x ủeồ bieồ u thửự c sau coự giaự trũ nhoỷ nhaỏ t, tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏ t ủoự 2009
Baứi 3) (4ủ)
3 3 3
)Chửựng minh raống neỏu 0 thỡ 0
)AÙp duùng tớnh chaỏt treõn ủeồ tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực sau vụựi
0
1 1 1 neỏu bieỏt 0
b
x y z
xy xz yz
D
�
Baứi 4) (3ủ)
Cho a, b, c laứ ủoọ daứi caực caùnh cuỷa moọt tam giaực
Chửựng minh raống:
3
E
b c a a c b a b c
Baứi 5) (3ủ)
Cho tam giaực ủeàu ABC tửứ 1 ủieồm M thuoọc mieàn trong tam giaực keỷ MH, MK, ML vuoõng goực vụựi caùnh AB, BC , AC vaứ coự ủoọ daứi laàn lửụùt laứ x, y, z Goùi H laứ ủoọ daứi ủửụứng cao tam giaực ủeàu
Chửựng minh raống
2 2 2 1 2
3
x y �z h
Baứi 6) (3ủ)
Cho tam giaực ABC (AB < AC) M laứ 1 ủieồm treõn caùnh BC veừ BI AM,
CK AM
Xaực ủũnh vũ trớ cuỷa ủieồm M treõn caùnh BC ủeồ toồng BI + CK nhoỷ nhaỏt
Trang 7ĐỀ 10
Câu 1 (3 điểm): Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1
Chứng minh rằng:
Câu 2 (3 điểm): Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn phương trình:
x + y + z + 4 = 2 + 4 + 6
Câu 3 (4 điểm): Giải hệ phương trình sau:
Câu 4 (2 điểm): Cho
Tính giá trị của biểu thức:
A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2003
Câu 5 (4 điểm): Cho hình thoi ABCD có góc A = 1200, tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng
150 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N
Chứng minh:
Câu 6 (4 điểm): Cho tam giác ABD vuông tại D, lấy C là điểm thuộc cạnh AB Kẻ CH
vuông góc với AD (HAD) Đường phân giác của góc BAD cắt đường tròn đường kính AB tại E, cắt CH tại F; DF cắt đường tròn trên tại K
a) Chứng minh rằng tứ giác AFCK nội tiếp
b) Chứng minh ba điểm K, C, E thẳng hàng
c) Cho BC = AD, kẻ CI song song với AD (IDK) Chứng minh CI = CB và DF là đường trung tuyến của tam giác ADC
ĐỀ 11
Câu 1:(2 điểm)
1) Tính:
2) Tính:
3) Cho và
Không dùng máy tính hãy so sánh C và D
Câu 2: (2điểm)
1) Cho đa thức f x 1.2 2.3 3.4 x x. 1 Tìm x để f x 2010
2) Giải hệ phương trình:
Câu 3: (2điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ 1;1 và điểm A di động A m;0
1) Viết phương trình họ đường thẳng dm
vuông góc với AB tại A
2) Chứng minh rằng không có 3 đường thẳng nào của họ dm đồng qui
3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đường thẳng của họ dm đi qua
Trang 8Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đường thẳng PD
a) Tính số đo góc NEB
b) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất
b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định
Câu 5: (1điểm)
Cho các số a1, a , ,a2 2009 được xác định theo công thức sau:
với n = 1, 2, …, 2008
Chứng minh rằng:
ĐỀ 12
Câu 1:(2 điểm)
P
2) Tìm x, y là các số chính phương để P = 2
3) Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức: Q1.2.3 2.3.4 3.4.5 2008.2009.2010
Câu 2: (2điểm)
x x x 3x 2 x 5x 6 x 7x 12 x 9x 20 Tìm x để
5 4050150
A
2) Cho hệ phương trình
2 2 2 2
x y a b
�
�
�
Chứng minh rằng với với mọi số nguyên dương n ta có xn yn an bn
3) Cho x, y, z 0 và x + y + z 3�
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 1 2 1 2 1
x y z
Câu 3: (2điểm)
1) Chứng minh rằng số A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không thể là số chính phương với mọi n là số nguyên dương Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A là số chính phương
2)
Câu 4: (3 điểm)
Trang 9Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đường thẳng PD
1) Tính số đo góc NEB
2) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất
3) CMR: Khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định
Câu 5: (1điểm)
Cho số tự nhiên n > 1 và n + 2 số nguyên dương a1, a2, , an+2 thoả mãn điều kiện
1 a1< a2 < < an+2 3n
Chứng minh rằng luôn tồn tại hai số ai, aj 1 j i n + 2� � � sao cho n < ai – aj < 2n
ĐỀ 13
Câu 1:(2 điểm)
P
2) Tìm x, y là các số chính phương để P = 2
3) Cho và
Không dùng máy tính hãy so sánh C và D
Câu 2: (2điểm)
1) Cho đa thức f x 1.2 2.3 3.4 x x. 1 Tìm x để f x 8
2) Cho hệ phương trình
2 2 2 2
x y a b
�
�
�
Chứng minh rằng với với mọi số nguyên dương n ta có xn yn an bn
Câu 3: (2điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ 1;1
và điểm A di động A m;0 1) Viết phương trình họ đường thẳng dm
vuông góc với AB tại A
2) Chứng minh rằng không có 3 đường thẳng nào của họ dm
đồng qui
3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đường thẳng của họ dm đi qua
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đường thẳng PD
1) Tính số đo góc NEB
2) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất
3) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định
Trang 10Câu 5: (1điểm)
Cho đa giác đều (H) có 14 đỉnh Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bất kì của (H) luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của hình thang
ĐỀ 14
Bài 1: (1.5đ)
Cho x, y, z 0 và x + y + z ≤ 3
Tìm giá trị lớn nhất biểu thức 2 1 2 1 2 1
A
Bài 2: (1.5đ)
Giải phương trình: 2
2 2
x x
Bài 3: (2.5đ)
Cho hệ phương trình ẩn x, y sau:
2 1
mx y m
x my m
�
�
�
a Xác định giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất
b Giả sử (x,y) là nghiệm duy nhất của hệ Tìm hệ thức liờn hệ giữa x,y độc lập với m
c Tìm m Z để x, y Z
d Chứng tỏ (x,y) luụn nằm trờn một đường thẳng cố định.((x,y) là nghiệm của hệ pt.)
Bài 4: (3.5đ)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R) có hai đường chéo AC và BD vuụng góc với nhau tại I và I khác O
a Chứng minh: IA.IC = IB.ID
b Vẽ đường kính CE Chứng minh ABDE là hình thang cõn, suy ra :
AB2 + CD2 = 4R2 và AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 8R2
c Từ A và B vẽ đường thẳng vuông góc đến CD lần lượt cắt BD tại F, cắt AC tại K Chứng minh A,B,K,F là bốn đỉnh của một tứ giác đặc biệt
d Gọi M là trung điểm của CD Chứng minh AB = 2OM
Bài5: (1.0 đ)
Trong một tam giác có cạnh lớn nhất bằng 2 , người ta lấy 5 điểm phân biệt Chứng minh rằng trong 5 điểm đó luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá 1
ĐỀ 15
Bài 1(2điểm) Cho biểu thức
P
b) Tìm x, y là các số chính phương để P = 2