Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng: Cho 2 mp 11 1 1 ( ): α + + += Ax By Cz D 0 và 22 2 2 ( ): β Ax By Cz D + + += 0 ( )( ) α β ⇔ 111 1 222 2 ABCD ABCD = = ≠ () () α β ≡ ⇔ 111 1 222 2 ABCD ABCD = = = ( ) α cắt ( ) β ⇔ 1 11 11 1 2 22 22 2 ABBCAC ABBCAC ≠∨≠∨≠ Đặc biệt: () () α β ⊥ ⇔ 11 2 2 3 3 AB AB AB ++= 0 2. Vị trí tương đối của 2 hai đường thẳng: Cho 2 đường thẳng: 0 1 0 2 0 3 : x x at d y y at z z at = + = + = + qua
Trang 1TÁN ĐỔ TOÁN PLUS
CHỦ ĐỀ 30 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 V ị trí tương đối của 2 mặt phẳng:
Cho 2 mp ( ) : α A x1 +B y1 +C z1 +D1= 0 và ( ) :β A x2 +B y C z2 + 2 +D2 = 0
( )//( ) α β ⇔ 1 1 1 1
A = B =C = D
Đặc biệt: ( ) ( )α ⊥ β ⇔ A B1 1+A B2 2+A B3 3= 0
2 V ị trí tương đối của 2 hai đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng:
0 1
0 2
0 3
:
x x a t
d y y a t
z z a t
= +
= +
= +
qua M, có VTCP ad
0 1
0 2
0 3
' :
x x a t
d y y a t
z z a t
′ ′ ′
= +
= + ′ ′
= + ′ ′
qua N, có VTCP ad'
• Cách 1:
• Cách 2:
Xé hệ phương trình:
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
(*)
x a t x a t
y a t y a t
z a t z a t
′ ′ ′ + = +
+ = + ′ ′
+ = + ′ ′
[a a d, d'] [a a d, d']= 0 [a a d, d']≠ 0
,
d
a MN
' ,
a a MN
d
a MN
d
a MN
'
a a MN
'
a a MN
'
d ≡d d // 'd d caét 'd d cheùo 'd
VIP
Trang 2 Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ d và d' cắt nhau
Hệ vô nghiệm ⇔ d và d' song song hoặc chéo nhau
Hệ vô số nghiệm ⇔ d và d' trùng nhau
Chú ý:
d song song d ′ ⇔ a d ka d
M d
′
=
∉ ′
d trùng d ′ ⇔ a d ka d
M d
′
=
∈ ′
d cắt d ′ ⇔
a khoâng cuøng phöông a
a a MN
′
=
d chéo d ′ ⇔ [a a d, d′].MN≠0
3 V ị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
:
x x a t
d y y a t
z z a t
= +
= +
= +
và mp ( ) :α Ax+By Cz+ + = D 0
Xé hệ phương trình:
0 1
(1) (2) (*) (3)
0 (4)
x x a t
y y a t
z z a t
Ax By Cz D
= +
= +
= +
(*) có nghiệm duy nhất ⇔ d cắt ( ) α
(*) có vô nghiệm ⇔ d // ( )α
(*) vô số nghiệm ⇔ d ⊂ ( )α
4 V ị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:
( )P :Ax+By+Cz+ =D 0
• Nếu d I P( ,( ) )>R thì mp ( )P và mặt cầu ( )S không có điểm chung
• Nếu d I P( ,( ) )=R thì mặt phẳng ( )P và mặt cầu ( )S tiếp xúc nhau.Khi đó (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm
• Nếu d I( ,( )P )<R thì mặt phẳng ( )P và mặt cầu ( )S cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn có phương
0
Trang 35 V ị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu ( )S có tâm I , bán kính R và đường thẳng ∆
Để xét vị trí tương đối giữa ∆ và ( )S ta tính d I( ,∆) rồi so sánh với bán kính R
d I( ,∆ >) R: ∆ không cắt ( )S
d I( ,∆ =) R: ∆ tiếp xúc với ( )S
Tiếp điểm J là hình chiếu vuông góc của tâm I lên đường thẳng ∆
d I( ,∆ <) R: ∆ cắt ( )S t ại hai điểm phân biệt A, B và 2 2
4
AB
Trang 4BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Trong không gian Oxyz, Cho ba mặt phẳng ( ) :α x+ +y 2z+ =1 0; ( ) :β x+ − + =y z 2 0;
( ) :γ x− + =y 5 0 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
A ( ) / /( )α γ B ( )α ⊥( )β C ( )γ ⊥( )β D ( )α ⊥( )γ
Câu 2 Trong không gian Oxyz , mặt phẳng song song với hai đường thẳng 1
2 1
2 3 4
x− y+ z
∆ = =
−
2
2
1
= +
= −
có một vec tơ pháp tuyến là
A .n=(5; 6; 7)−
B .n =(5; 6; 7)− −
C n= −( 2; 6; 7)
D n = − −( 5; 6; 7)
Câu 3 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : 5P x+my+ − =z 5 0và ( ) :Q nx−3y−2z+ =7 0
.Tìm m n, để ( ) ( )P / / Q
2
m= n= − B 3; 10
2
m= − n= C m= −5;n=3 D m=5;n= −3
( ) : (Q m+3)x+ +y (5m+1)z− =7 0 Tìm mđể ( )P ≡( )Q
5
( ) : 6Q x− − −y z 10=0.Tìm m để ( )P ⊥( )Q
Câu 6 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) :P y− =9 0 Xét các mệnh đề sau:
(I) ( ) (P / / Oxz)
(II) ( )P ⊥Oy
Khẳng định nào sau đây đúng:
Câu 7 Trong không gian Oxyz, cho điểm I(2; 6; 3)− và các mặt phẳng : ( ) :α x− =2 0;( ) :β y− =6 0;
( ) :γ z− =3 0
Câu 8 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :3x+5y− − =z 2 0 và đường thẳng d :
12 9 1
4 3 1
A d ⊂ ( )P B d //( )P C dcắt ( )P D.d ⊥( )P
Câu 9 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :3x−3y+2z− =5 0và đường thẳng d :
1 2
Trang 5A d / / ( )P B d ⊂ ( )P C dcắt ( )P D d ⊥( )P
Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+ + − =y z 4 0 và đường thẳng d :
1
1 2
2 3
= +
= +
= −
Số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( )P là:
và mặt phẳng ( )P : 3x+ 5 – – 2y z =0 là
A (0; 2;3) B (0; 0; 2− ) C (0; 0; 2) D .(0; 2; 3− − )
Câu 12 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x+my−3z+ − =m 2 0 và đường thẳng d :
2 4 1
1 3
= +
= −
= +
Với giá trị nào của m thì d cắt ( )P
2
2
2
1
= −
= − +
= +
và mặt phẳng
2
( ) :P m x−2my+ −(6 3 )m z− = 5 0
Tìm m để d/ /( )P
6
m m
=
= −
1 6
m m
= −
=
1 6
m m
= −
=
2 1 4
d − = − = −
và
6 1 2 ' :
3 2 1
d − = + = +
A song song B trùng nhau C cắt nhau D chéo nhau
Câu 15 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
1 2
= +
= −
và
2
4
= −
= − +
Trong các mệnh
đề sau, mệnh đề nào đúng?
A song song B trùng nhau C chéo nhau D cắt nhau
4 6 8
d − = = +
− − và
7 2 ' :
6 9 12
d − = − =
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng khi nói về vị trí tương đối của hai đường thẳng trên?
A song song B trùng nhau C chéo nhau D cắt nhau
Trang 6Câu 17 Hai đường thẳng
1 12
3 3
= − +
và
7 8
5 2
= +
= +
có vị trí tương đối là:
A trùng nhau B song song C chéo nhau D cắt nhau
2 1 3
= =
1 ' :
2 3
= − +
= − +
có vị trí
tương đối là:
A trùng nhau B song song C chéo nhau D cắt nhau
2 1 3
d − = + = −
1 ' :
2 3
= − +
= − +
cắt nhau Tọa độ giao điểm I của d và ' d là
A I(1; 2; 4)− B I(1; 2; 4) C I( 1; 0; 2)− − D I(6;9;1)
( ) :S x +y +z −4x+6y+6z+17=0; và mặt phẳng
( ) :P x−2y+2z+ =1 0
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A Mặt cầu ( )S có tâm I(2; 3; 3− − ) bán kính R= 5
B ( )P cắt ( )S theo giao tuyến là đường tròn
C Mặt phẳng ( )P không cắt mặt cầu ( )S
D Khoảng cách từ tâm của ( )S đến ( )P bằng 1
Câu 21 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )S có tâm I(2;1; 1− ) tiếp xúc với mặt phẳng
( )α : 2x−2y− + =z 3 0 Mặt cầu ( )S có bán kính R bằng:
3
9
R=
Câu 22 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x−2y− − =z 3 0và điểm I(1; 0; 2) Phương trình
mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P là:
A ( )2 2 ( )2
x− +y + −z = B ( )2 2 ( )2
x+ +y + +z =
C ( )2 2 ( )2
x+ +y + z+ = D ( )2 2 ( )2
x− +y + z− =
( ) :S x +y +z +2x−4y+4z− =5 0 Phương trình mặt phẳng ( )P tiếp xúc với ( )S tại điểm M(1;1;1) là:
D x− +y 3z− =3 0
( ) :S x +y +z −2x−2z− =7 0, mặt phẳng
Trang 7Câu 25 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x+3y+ − =z 11 0 Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;1)−
và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P tại điểm H, khi đóHcó tọa độ là:
A H( 3; 1; 2)− − − B H( 1; 5; 0)− − C H(1;5; 0) D H(3;1; 2)
( )P : 2x+ +y 2z=1 Giá trị của a để ( )P cắt mặt cầu ( )S theo đường tròn ( )C
2 a 2
− ≤ ≤ B 17 1
2 a 2
− < < C − < < 8 a 1 D − ≤ ≤ 8 a 1
2 1 1
x y− z−
∆ = =
− và và mặt cầu ( )S :
2 2 2
x +y +z − x+ z+ = Số điểm chung của ∆ và ( )S là:
1 1 1
x+ y z−
∆ = =
2 2 2
Câu 29 Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 2;3− ) Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục
Oy là:
A ( ) (2 ) (2 )2
1 2 3 9
x− + y+ z− = B ( ) (2 ) (2 )2
1 2 3 10
x− + y+ z− =
C ( ) (2 ) (2 )2
1 2 3 10
x+ + y− z+ = D ( ) (2 ) (2 )2
1 2 3 10
x− + y+ z− =
Câu 30 Trong không gian Oxyz , Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I(1; 2;3− ) và đường
2 1 1
x+ = y− = z+
− Phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d là:
A ( ) (2 ) (2 )2
1 2 3 50
x− + y+ + −z = B ( ) (2 ) (2 )2
1 2 3 5 2
x− + y+ + −z =
C ( ) (2 ) (2 )2
1 2 3 5 2
x+ + y− + +z = D ( ) (2 ) (2 )2
1 2 3 50
x+ + y− + +z =
( )Q : 2x+my+2z+ = và 3 0 ( )R :− +x 2y+nz=0 Tính tổng m+2n, biết rằng ( ) ( )P ⊥ R và
( ) ( )P / / Q
Câu 32 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : x−2y+3z+ − =4 0và đường thẳng d :
2
1 3 2
x−m = y+ m = z Với giá trị nào của m thì giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng( )P
thuộc mặt phẳng(Oyz )
5
17
m=
2 1 3
d − = + = −
1 ' :
2 3
= − +
= − +
cắt
nhau Phương trình mặt phẳng chứa d và ' d là
Trang 8A 6x+9y+ − =z 8 0 B 6x+9y+ + =z 8 0
C − + +2x y 3z− =8 0 D 6x−9y− − =z 8 0
3 1 4
d + = − = −
− và
4 18 ' :
3 1 4
d = + = +
−
Phương trình mặt phẳng chứa d và ' d là
A 63x+109y+20z+76=0 B 63x−109y+20z+76=0
C 63x+109y−20z+76=0 D 63x−109y−20z−76=0
Câu 35 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )Q song song với mặt phẳng ( )P : 2x−2y+ + =z 7 0
( 2) 1 25
Khi đó mặt phẳng ( )Q có phương trình là:
A x− +y 2z− =7 0 B 2x−2y+ +z 17=0
C 2x−2y+ + =z 7 0 D 2x−2y+ −z 17=0
2 2 2
( ) :S x +y +z −2x+4y+2z− =3 0theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3 có phương trình là:
A y−2z=0 B y+2z=0 C y+3z=0 D y−3z=0
Câu 37 Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) sao cho mặt cầu cắt đường thẳng
( )d có phương trình: ( )
11 2
25 2
= +
=
= − −
tại hai điểm A, B sao cho AB=16 là:
A ( ) (2 ) (2 )2
2 3 1 280
x− + y− + +z = B ( ) (2 ) (2 )2
2 3 1 289
x+ + y+ + z− =
C ( ) (2 ) (2 )2
2 3 1 17
x− + y− + z+ = D. ( ) (2 ) (2 )2
2 3 1 289
x− + y− + z+ =
2 2 1
d + = − =
d cắt mặt cầu ( )S có tâm M , tại hai điểm A, B sao cho AB=6 Phương trình của mặt cầu ( )S là:
A ( ) (2 ) (2 )2
4 1 6 9
x− + y− + −z = B ( ) (2 ) (2 )2
4 1 6 18
x+ + y+ + +z =
C. ( ) (2 ) (2 )2
4 1 6 18
x− + y− + z− = D ( ) (2 ) (2 )2
4 1 6 16
x− + y− + z− =
2 2 2
x +y +z − x+ y− z− = và mặt phẳng ( )P có phương trình 2x+2y− − =z 7 0 Phương trình mặt phẳng ( )Q song song với ( )P và cắt ( )S theo giao tuyến là đường tròn có chu
vi bằng 6π
A 2x+2y− +z 17=0 B 2x+2y− − =z 7 0 C 2x+2y− + =z 7 0 D 2x+2y− −z 19=0
2
2
= +
= −
và mặt cầu
( ) : (S x−1) +(y+3) + −(z 2) =1Giá trị của m để đường thẳng ∆ không cắt mặt cầu ( )S là:
Trang 9C 5 15
2< <m 2 D.m∈
( ) : (S x−1) +(y+3) + −(z 2) = 1 và đường thằng 2
2
= +
= −
Giá trị của m để đường thẳng ∆ tiếp xúc mặt cầu ( )S là:
2
2
2
2
m=
2< <m 2 D.m∈
(x−1) +(y+3) + −(z 2) =1và đường thẳng 2
2
= +
= −
Giá trị của m để đường thẳng ∆ cắt mặt cầu ( )S tại hai điểm phân biệt là:
2
2
m<
2
2
2 < <m 2
Câu 43 Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có điểm A trùng với gốc của
hệ trục tọa độ, B a( ; 0; 0), D(0; ; 0)a , A′(0; 0; )b (a>0,b>0) Gọi M là trung điểm của cạnh
CC′ Giá trị của tỉ số a
b để hai mặt phẳng (A BD′ ) và (MBD ) vuông góc với nhau là:
A.1
3 B.
1
2 2 2
( ) :S x +y +z −2x−2y−2z− =1 0.Giá trị của điểm M trên ( )S sao cho d M( ,( )P ) đạt GTNN là:
3 3 3
C
1 1 1
; ;
3 3 3
− −
( ) : (S x−3) +(y+2) + −(z 1) =100 Tọa độ điểm M nằm trên mặt cầu ( )S sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( )P đạt giá trị nhỏ nhất là:
A 11 14 13; ;
3 3 3
B
29 26 7
; ;
3 3 3
M − −
29 26 7
; ;
3 3 3
M− −
11 14 13
; ;
3 3 3
Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:
1
3
x+ +y +z = B ( )2 2 2 20
1
3
x− +y +z =
1
4
x− +y +z = D ( )2 2 2 5
1
3
x− +y +z =
Trang 10Câu 47 Trong không gian Oxyz, cho
2 :
1
x
=
= −
( ) :S x +y +z −2x−4y+2z+ = Tọa 5 0
độ điểm M trên ( )S sao cho d M d ( , ) đạt GTLN là:
Câu 48 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−3;3; 3− )thuộc mặt phẳng ( )α :2 – 2x y+ +z 15=0và mặt
( )S tại A, B Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng ∆ là:
1 4 6
x+ = y− = z +
16 11 10
x+ = y− = z +
−
C
3 5 3
3 8
y
= − +
=
= − +
1 1 3
x+ = y− = z +
Câu 49 rong không gian Oxyz, cho điểm A(−3;3; 3− )thuộc mặt phẳng ( )α :2 – 2x y+ +z 15=0và mặt
( )S tại A, B Để độ dài AB nhỏ nhất thì phương trình đường thẳng ∆ là:
16 11 10
x+ = y− = z +
− B
3 3 3
1 4 6
x+ = y− = z +
C
3 5 3
3 8
y
= − +
=
= − +
16 11 10
x+ = y− = z +
−
x + y+ + −z = Phương trình mặt phẳng ( )α đi qua hai điểm A, B và cắt mặt cầu
( )S theo một đường tròn bán kính nhỏ nhất là:
A 4x− y−5z+17=0 B 3x−2y+ − =z 7 0
C 4x− y+5z−13=0 D 3x+2y+z– 11=0
ĐÁP ÁN
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50