các dạng bài ôn thi casio THCS

8. SỬ DỤNG CHỨC NĂNG CALC Chức năng CALC cho phép ta nhập biểu thức với biến, sau đó nhập giá trị biến để tính. Chức năng CALC sử dụng được trong mode COMP (MODE 1) và mode CMPLX (MODE 2) 9. CHỨC NĂNG SOLVE (COMP) Chức năng SOLVE dùng phương pháp Newton để tìm nghiệm gần đúng của phương trình. Chức năng SOLVE chỉ dùng ở mode COMP ( ) • Chức năng SLOVE không dùng được với các phương trình chứa tích phân, đạo hàm, chức năng Σ (, Pol(, Rec( hay tính liên tiếp. • Có thông báo khi phương trình không có biến. Cách thực hiện: Nhập vào phương trình ta có thể dùng phím dấu = màu đỏ hoặc không cần thì máy sẽ tự hiểu là bằng 0 . Ví dụ1: Giải phương trình: 2X3=0

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

Mở đầu: 4

1 Bật, tắt máy 4

3 Phím chức năng: 4

4 Hàm, tính toán, và chuyển đổi: 4

5 Sử dụng MODE: 4

6 Cài đặt cho máy 4

MÀN HÌNH 1: 6

Xác định dạng nhập / xuất 6

Xác định đơn vị đo góc 6

Xác định dạng số hiển thị 6

MÀN HÌNH 2: 6

Xác định hiển thị phân số và hỗn số 6

Xác định dạng hiển thị số phức 6

Xác định dạng hiển thị bảng thống kê 6

Xác định dạng hiển thị dấu cách phần lẻ số thập phân 6

Cài đặt ban đầu 6

7 GHI CHÚ QUAN TRỌNG KHI NHẬP DỮ LIỆU: 7

a Bỏ qua dấu nhân 7

b.Dấu đóng ngoặc cuối cùng của biểu thức 7

c.Thêm kí hiệu vào biểu thức 7

8 SỬ DỤNG CHỨC NĂNG CALC 7

9 CHỨC NĂNG SOLVE (COMP) 7

10 TÍNH TỔNG , TÍCH 7

11 SỬ DỤNG CÁC Ô NHỚ 7

b Bộ nhớ độc lập (M) 7

Chuyên đề 1: 8

I LÝ THUYẾT: 8

1 Tính giá trị của biểu thức – Tìm x – Tính % 8

2 Đổi số thập phân Vô hạn tuần hoàn ra phân số 8

3 Căn thức 8

II VÍ DỤ 8

III BÀI TẬP 10

Chuyên đề 2: 12

I LÝ THUYẾT 12

1 Sử dụng máy 12

2 Tìm số đo góc khi biết tỉ số lượng giác 12

II VÍ DỤ 12

III BÀI TẬP 13

Chuyên đề 3: 14

I LÝ THUYẾT 14

II VÍ DỤ 14

III BÀI TẬP 16

(Casio 570VN PLUS)

Chuyên đề 4: 18

I LÝ THUYẾT 18

II VÍ DỤ 18

III BÀI TẬP: 18

Chuyên đề 5: 19

I LÝ THUYẾT 19

1 Khi đề cho số bé hơn 10 chữ số: 19

2 Khi đề cho số lớn hơn 10 chữ số: 19

3 Tìm số dư trong phép chia của một lũy thừa cho một số 19

II VÍ DỤ 19

III BÀI TẬP 20

Chuyên đề 6: 21

I LÝ THUYẾT 21

II VÍ DỤ 21

III BÀI TẬP 21

Chuyên đề 7: 23

I LÝ THUYẾT 23

II VÍ DỤ 23

III BÀI TẬP 23

Chuyên đề 8: 24

I LÝ THUYẾT 24

b) Tìm 2 chữ số tận cùng của a^n 24

c) Tìm 3 chữ số tận cùng của a^n 24

d) Số có đuôi bất biến với mọi luỹ thừa: 24

II VÍ DỤ 24

III BÀI TẬP 25

Chuyên đề 9: 26

I LÝ THUYẾT 26

1 Dấu hiệu chia hết 26

2 Số nguyên tố: 26

3 Số chính phương 26

II VÍ DỤ 27

III BÀI TẬP 29

Chuyên đề 10: 30

I LÝ THUYẾT 30

1 Giải phương trình – Hệ phương trình dạng chính tắt 30

2 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình bậc cao 30

3 Phương trình có chứa phần nguyên 30

II VÍ DỤ 30

III BÀI TẬP 31

Chuyên đề 11: 32

I LÝ THUYẾT 32

1 Các định lí và hệ quả 32

2 Sơ đồ Hornơ 32

3 Lưu ý 32

II VÍ DỤ 33

Dạng 1 Tính giá trị của đa thức: 33

Dạng 2 Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b 33 Dạng 3 Xác định tham số m để đa thức P(x) + m 34

Dạng 4 Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức 35

III BÀI TẬP 37

Chuyên đề 12: 39

I LÝ THUYẾT 39

1 Quy trình tìm số hạng thứ n của dãy số cho bởi công thức tổng quát: 39

2 Dãy truy hồi 39

a Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng: Un+1=f(un) 39

b Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi với hệ số biến thiên dạng: 40

c Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng: 40

d Một số dạng đặc biệt (Dãy Lucas và dãy Fibonasi) 41

6 Công thức truy hồi và công thức tổng quát của dãy số 45

II VÍ DỤ 46

III BÀI TẬP 48

Chuyên đề 13: 50

I LÝ THUYẾT 50

1 Lãi suất đơn 50

2 Lãi suất kép 50

3 Lãi suất từ giá trị thêm vào vào theo quãng thời gian đều : ( lãi liên tục ) 51

4 Bài toán về dân số : 51

II VÍ DỤ 52

III BÀI TẬP 53

Chuyên đề 14: 54

I LÝ THUYẾT 54

1 Tam giác 54

a Tam giác vuông 54

b Tam giác thường 54

2 Tứ giác lồi ABCD: 56

3 Đa giác, hình tròn: 56

a Đa giác đều n cạnh, độ dài cạnh là a: 56

b Hình tròn và các phần hình tròn: 56

II VÍ DỤ 56

III BÀI TẬP 62

(Casio 570VN PLUS)

Mở đầu:

1 Bật, tắt máy

•ON: Mở máy

•Shift + OFF: Tắt máy

•AC: Xoá mang hình, thực hiện phép tính mới

•ENG: Chuyển dạng a.10^n với n giảm

• ENGuuuuur: Chuyển dạng a.10^n với n tăng

4 Hàm, tính toán, và chuyển đổi:

• SIN(, COS(, TAN(: hàm Sin, Cosin, tan

• Sin-1(, COS-1(, TAN-1(: Hàm ngược Sin,

Cosin, Tan

• Log(, Ln(: Logarit cơ số 10, cơ số e

• ex, 10x: Hàm mũ cơ số e, cơ số 10

• x2, xW: Bình phương, lũy thừa

• POL( : Chuyển toạ độ đề các sang tạo độ thực

• Rec( : Chuyển toạ độ cực sang toạ độ đề các

• RAN#: Hiện số ngẫu nhiên

•COSNT: Gọi hằng số

•MATRIX, VECTOR: Ma trận, véc tơ

•SOLVE: Giải phương trình

•GCD, LCM: Tìm ƯCLN, BCNN

• ÷R: Tìm thương và số dư của phép chia

• ( )W : Nhập chu kì cho số thập phân VHTH

• ANS: Gọi kết quả

• Abs: Giá trị tuyệt đối

6 Cài đặt cho máy

Ấn SHIFT SETUP để hiện menu cài đặt cho tính toán và hiển thị Màn hình gồm hai trang, chuyển qua nhau bằng ∆∇

1 : MthIO 2 : LineIO

3 : Deg 4 : Rad

5 : Gra 6 : Fix

7 : Sci 8 : Norm

∆∇ 1 : ab/c 2 : d/c3 : CMPLX 4 : STAT

5 : Disp 6 : < CONT >

(Casio 570VN PLUS)

MÀN HÌNH 1:

Xác định dạng nhập / xuất

Ấn SHIFT SETUP 1 (MthIO)

Ấn SHIFT SETUP 2 (LineIO)

– Ở dạng Math, phân số, số vô tỉ và các biểu thức được ghi giống sách giáo khoa

– Ở dạng Line, phân số và các biểu thức được ghi chung một dòng

Xác định đơn vị đo góc

Ấn SHIFT SETUP 3 chọn đơn vị đo góc là Độ (Deg)

Ấn SHIFT SETUP 4 chọn đơn vị đo góc là Radian (Rad)

Ấn SHIFT SETUP 5 chọn đơn vị đo góc là Grad (Gra)

Xác định dạng số hiển thị

Ấn SHIFT SETUP 6 (Fix) Dạng số hiển thị có ấn định số chữ thập phân có từ 0 – 9 số lẻ

Ấn SHIFT SETUP 7 (Sci) Dạng số hiển thị Có ấn định số chữ số hiển thị có từ 0 – 9 chữ số

Ấn SHIFT SETUP 8 (Norm) Có hai dạng (Norm1, Norm 2) ghi số × ở dạng thường trong giới hạn ấn

định, ngoài giới hạn thì ghi thành a ×10n

Ấn SHIFT SETUP ∇ 1 hiển thị số Dạng hỗn số (ab/c)

Ấn SHIFT SETUP ∇ 2 hiển thị số Dạng phân số (d/c)

Xác định dạng hiển thị số phức

Ấn SHIFT SETUP ∇ 3 1 hiển thị số phức dưới dạng đại số (a+bi)

Ấn SHIFT SETUP ∇ 3 2 hiển thị số phức dưới dạng toạ độ cực

Xác định dạng hiển thị bảng thống kê

Ấn SHIFT SETUP ∇ 4 1 (ON) Hiện cột tần số

Ấn SHIFT SETUP ∇ 4 2 (OFF) Ẩn cột tần số

Xác định dạng hiển thị dấu cách phần lẻ số thập phân

Dạng hiển thị Ấn

Ấn SHIFT SETUP ∇ 5 1 (Dot) ấn định dấu ngăn cách phần thập phân là dấu chấm

Ấn SHIFT SETUP ∇ 4 2 (Comma)ấn định dấu ngăn cách phần thập phân là dấu phẩy

Sự xác định này chỉ có tác dụng ở dòng kết quả Khi nhập vẫn phải dùng dấu chấm (.) để ngăn cách

phần nguyên và phần thập phân

Cài đặt ban đầu

Thực hiện thao tác sau để lập cài đặt ban đầu

Hiển thị thống kê OFF

Dấu cách phần lẻ thập phân Dot (.)

 Muốn bỏ qua cài đặt, ấn (Cancel)

7 GHI CHÚ QUAN TRỌNG KHI NHẬP DỮ LIỆU:

a Bỏ qua dấu nhân

Ta có thể bỏ qua (khỏi ấn) dấu nhân (×) trong các trường hợp sau

• Trước dấu mở ngoặc : 2×(5+4) chỉ ghi 2(5+4) …

• Trước hàm có mở ngoặc : 2×sin(30) chỉ ghi 2sin(30)…

• Trước kí hiệu mở đầu (gồm cả dấu số âm) : 2×h123 chỉ ghi 2h123

• Trước tên biến, hằng hay số ngẫu nhiên : 2×A, 2×π … chỉ ghi 2A, 2π …

Máy ES không dành ưu tiên cho phép nhân tắt nên nếu ghi 3÷2A thì máy hiểu là 3÷2×A và thực hiện

từ trái sang phải (khác với một số họ máy khác)

Ví dụ : Ghi 3÷2π thì máy ES hiểu: 3 : 2 x π = 4.71238898

b.Dấu đóng ngoặc cuối cùng của biểu thức

Một hay nhiều dấu đóng ngoặc cuối cùng có thể bỏ qua (khỏi ấn)

c.Thêm kí hiệu vào biểu thức

Trong dạng Math, có thể đưa một biểu thức đã nhập (kí hiệu, biểu thức có dấu ngoặc,hàm v v ) vào

trong biểu thức Ví dụ : Đưa (2 + 3) của biểu thức 1 + (2 + 3) + 4 vào trong căn bậc 2  Di chuyển con trỏ

đến đây 1 + │(2 + 3) + 4  SHIFT (INS) √ Xem hình dạng con trỏ thay đổi ở đây : 1 + (2 + 3) + 4

Nếu con trỏ đang ở bên trái của một giá trị thì giá trị đó được đưa vào căn

8 SỬ DỤNG CHỨC NĂNG CALC

Chức năng CALC cho phép ta nhập biểu thức với biến, sau đó nhập giá trị biến để tính

Chức năng CALC sử dụng được trong mode COMP (MODE 1) và mode CMPLX (MODE 2)

9 CHỨC NĂNG SOLVE (COMP)

Chức năng SOLVE dùng phương pháp Newton để tìm nghiệm gần đúng của phương trình Chức năng SOLVE chỉ dùng ở mode COMP ( )

• Chức năng SLOVE không dùng được với các phương trình chứa tích phân, đạo hàm, chức năng Σ (, Pol(, Rec( hay tính liên tiếp

• Có thông báo khi phương trình không có biến

Cách thực hiện: Nhập vào phương trình ta có thể dùng phím dấu = màu đỏ hoặc không cần thì máy sẽ tự

hiểu là bằng 0 Ví dụ1: Giải phương trình: 2X-3=0

Ta nhập: 2X-3=0 hoặc nhập: 2X-3 đều được rồi ấn SHIFT SOLVE , máy sẽ hỏi giá trị đầu cần nhập là bao nhiêu, sau khi nhập vào giá trị đầu, ta ấn = thì máy sẽ tìm nghiệm dựa vào số đầu đó

∏ = f(a).f(a + 1) …f(b) , f(x) : hàm số biến x (x chạy từ a đến b)

• a : giá trị bắt đầu, b : giá trị cuối

• a, b phải là số nguyên thoả: −1 × 1010 < a ≤ b < 1× 1010

• Bước nhảy của phép tính được xác định là 1

11 SỬ DỤNG CÁC Ô NHỚ

a Bộ nhớ Ans (Lưu lại kết quả phép tính cuối cùng)

• Nội dung bộ nhớ Ans được cập nhật bất cứ khi nào làm một phép tính sử dụng một trong các phím:

=, SHIFT =, M+, SHIFT M- , RCL, SHIFT STO Bộ nhớ có thể giữ tới 15 chữ số

• Nội dung bộ nhớ Ans không thay đổi nếu có lỗi trong việc vừa thực hiện phép tính

• Nội dung bộ nhớ Ans vẫn còn ngay cả khi ấn phím, thay đổi mode phép tính, hoặc tắt máy

b Bộ nhớ độc lập (M)

• Có thể làm phép tính cộng thêm hoặc trừ đi kết quả trong bộ nhớ độc lập Chữ “M” hiển thị khi bộnhớ độc lập có lưu một giá trị

• M+: Cộng thêm vào ô nhớ M M-: Trừ bớt ô nhớ M

c Các biến nhớ : Có 6 biến nhớ A, B, C, D, X và Y có thể dùng để lưu các giá riêng.

Nhập giá trị vào ô nhớ: nhấn < Giá trị > Shift Sto <tên ô nhớ>

Xoá nội dung của ô nhớ: -Xóa nội dung của bộ nhớ Ans, bộ nhớ độc lập và tất cả các biến nhớ  Ấn phím

9 (CLR) 2 (Memory) (Yes) Để huỷ hoạt động xóa ấn (Cancel) Xóa nội dung của một ô nhớ nhấn:

570VN PLUS)

0 Shift Sto <tên ô nhớ>

Chuyên đề 1:

I LÝ THUYẾT:

1 Tính giá trị của biểu thức – Tìm x – Tính %

Học sinh phải nắm kỹ các thao tác về các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, căn thức, cácphép toán về lượng giác, thời gian Có kỹ năng vận dụng hợp lý, chính xác các biến nhớ của máy tính, hạnchế đến mức tối thiểu sai số khi sử dụng biến nhớ

Lưu ý: Tránh viết đáp số gần đúng một cách tùy tiện., khi sử dụng biến nhớ cần chia các cụm phép tính

phù hợp để hạn chế số lần nhớ

 Trong dạng bài này thí sinh cần lưu ý: số thập phân vô hạn tuần hoàn (ví dụ: 0,(4); 0,1(24); … thísinh cần biết cách biến đổi các số này sang số thập phân đúng và làm việc với các số đúng đó

2 Đổi số thập phân Vô hạn tuần hoàn ra phân số

Công thức đổi STPVHTH (số thập phân vô hạn tuần hoàn) ra phân số:

- Mẫu số là các số 9 và các số 0 tiếp theo:

+ Số chữ số 9 bằng số chữ số trong cụm tuần hoàn

+ Số chữ số 0 bằng số chữ số không tuần hoàn đứng sau dấu phẩy

- Tử số bằng số đã cho với cụm tuần hoàn đầu tiên không ghi dấu phẩy trừ cho phần không tuần hoàn không ghi dấu phẩy

Ghi nhớ: 1 0,(1); 1 0,(01); 1 0,(001)

3 Căn thức

- Tìm quy luật của biểu thức

- Chọn giá trị ban đầu để gán vào biến sao cho hợp lí

- Dựa vào quy luật viết quy trình bấm phím

Bài 2 Nếu F = 0,4818181 là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kỳ là 81.

Khi F được viết lại dưới dạng phân số thì mẫu lớn hơn tử là bao nhiêu?

Giải: Ta có: F = 0,4818181 = 0, 4 81( ) 0, 4 81 53

990 110

Vậy khi đó mẫu số lớn hơn tử là: 110 - 53 = 57

Bài 3: Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn sau: 0,(123)

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta có 999000a = 315006 Vậy

16650

52501 999000

1998 =

Các bài tập sau đây học sinh tự thực hiện:

Bài 6: Tính giá trị của biểu thức sau: A = 5290627917848 : 565432

Bài 7: Tính (Kết quả thu được viết dưới dạng phân số và số thập phân): 3123 2581 4521

08,114030

29

129

28

1

2423

123

22

122

162:8

135

2288,1

2

1120

33,05

1:465,220

1

3

003,0:2

14x

=+

1 5 8 , 0 2 , 3

5

1 1 2

1 2 : 66

5 11

2 44 13

y

7 , 14 : 51 , 48 25 , 0

3 4 2

1 2 : 4

3 15 , 3 2 ,

15

2

1 3 7

4 : 8 , 1 25 , 1 x 5

4 7

3 1 5 ,

0

12 : 75 , 0 3 , 0 5 , 0 : 5

3 7

2 5 , 12

5

4 3

2 4

3 2 , 4 x : 35 , 0 15

Bài 15: a) Tính C biết 7,5% của nó bằng:

8

71:20

352

217

31110

17655

78

,60125,08

7)25,6:53,2(67

64,83,1:x:7

−

×

×+

Bài 13: x ≈6, 000 172 424

y = 25

Bài 14:

a) x ≈ -903, 4765135b) x ≈-1, 39360764

Bài 15:

a) C = 200 b) x = - 20,384

III BÀI TẬP

Bài 1.Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy khi chia:

a) 1 chia cho 49

b) 10 chia cho 23

Bài 2 Tìm phân số sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321).

Bài 3 Viết các số sau dưới dạng phân số tối giản

2232

1217

223

−++

++

3

21

182

1

542

126

+

++++

25

34

43

52

*) Kết quả:

Bài 5: A = 5 Bài 6: a) B = 0 b) C = 8

c) D = 1,911639216 d) E = 0,615121481

Bài 7: a) A = - 0,313231759 b) B = 1,319968633 c) C = 4,547219337

Lưu ý: Nếu hai góc có tổng số đo bằng 900 thì :

• Sin góc này bằng Cosin góc kia

• Tan góc này bằng Cotan góc kia.

II VÍ DỤ

Bài 1 Tính:

a) sin20.sin180.sin220.sin380.sin420.sin580.sin620.sin780.sin820

b) tan50 + tan100 + tan150 + … + tan800 + tan850

Bấm liên tục đến khi X + 5 = 800, ta sẽ được kết quả 34, 55620184

Bài 2 Cho sin x = 0,356 (0 < x < 900 )

Tính A = (5cos3x – 2sin3x + cos x) : (2cos x – sin3x + sin2x)

Hướng dẫn: Tìm x sau đó tính giá trị biểu thức với x tìm được, có hai cách tìm x

Hướng dẫn: cos2x = 0,26 => cosx = 0,26 (vì 0 < x < 900 ) Từ đó tìm x và giải tương tự bài tập 24

Bài 4 Cho biết sin x = 0,482 (0 < x < 900)

Nhập X = 0 và A = tan 330Bấm liên tục “=” đến khi X + 1 = 23 ta được tanx = 0,6494075932Nhập tiếp SHIFT, tan(ans), = ta được giá trị của x = 330

Từ đó ta nhập biểu thức và tính được kết quả 1,657680306

Bài 7: Cho cos x.sin (900 – x) = 0,4585 (0 < x < 900)

Thay sin (900 - x) = cosx => cos2x =0,4585 => cosx = 0,4585

Từ đó tìm được x và tính được giá trị biểu thức

sin15 2 cos50 2tan2 153 '

A

Bài 2 a)D=(tan25 15' tan15 27 ' cot35 25' cot 78 15'0 − 0 ) ( 0 − 2 0 )

b) Biếtt: cosA = 0,8516 ; tanB = 3,1725 ; sinC = 0,4351

570VN PLUS)

Chuyên đề 3:

I LÝ THUYẾT

Muốn tính giá trị của liên phân số ta có thể làm theo các cách sau:

Cách 1: Tính từ dưới lên Kết hợp việc sử dụng phím x− 1

Cách 2: Tính từng phần Sử dụng chức năng Ans

Bài toán: Cho a, b (a > b)là hai số tự nhiên Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b, phân số a

b có thể viết dướidạng:

n 1 n

1

a

1 a

a

−

++

+ về dạng

a

b Dạng toán này được gọi

là tính giá trị của liên phân số Với sự trợ giúp của máy tính ta có thể tính một cách nhanh chóng dạng biểudiễn của liên phân số đó

II VÍ DỤ

Bài 1: Tính:

a)

11

11

11

11

11

11

11

+++++++

b)

3

13

13

13

13

13

13

−+

−+

−+

17

16

15

14

13

12

11

+++++++

+

2

12

12

12

12

12

12

12

12

++++++++

*) Hướng dẫn:

Cách 1: Nhập toàn bộ liên phân số hoặc gán một phần của liên phân số nếu liên phân số ấy quá dài

mà máy tính không nhập được hết

Cách 2: Sử dụng nút nghịch đảo của một số x−1 và tính từ dưới lên

7 3

6 4

5 5

4 6

3 7

2 8

1 9

+ + + + + + + +

Bài 3: Lập quy trình bấm phím tính giá trị liên phân số sau:

13

17

115

11292

M = +

+++

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức và viết dưới dạng phân số:

a)

2012

13145

A=

+++ b)

215

16

178

B=+++ c)

200332

54

768

C=+++

Bài 5: Tìm các số tự nhiên a và b biết:

b

1 a

1 5

1 3

1 1051

329

+ + +

=

*) Hướng dẫn : Sử dụng nút nghịch đảo của một số x−1

Bài 6: Tính giá trị của biểu thức và viết kết quả dưới dạng phân số:

a)

53

42

52

42

523

A= +

++++

b)

17

13

13

134

B= +

+++

Bài 7: Tính và lập quy trình bấm phím của liên phân số sau:

1 1

1 1

1 2

1 1

1 2

2 1 1 2 1

M = +

+ + + + + +

Bài 8 Tìm giá trị của x, Viết dưới dạng phân số từ các phương trình sau:

570VN PLUS)

Hướng dẫn: Đặt A =

111

12

134

+++

, B =

114

13

122

+++

5 10 2003

1

111

o

n n

A a

a

a a

30 5 4001

= +

+ Tiếp tục tính như trên, cuối cùng ta được:

131

15

1133

12

11

12112

A= +

+

+++++

Bài 10: Tính giá trị của các biểu thức sau và biểu diễn kết quả dưới dạng phân số:

3112

1

45

A=

+

++ ;

1017

16

154

B=+++

;

200323

45879

C=+++

391 Nếu tiếp tục nhấn x 2003 = thì được số thập phân vìvượt quá 10 chữ số Vì vậy ta làm như sau: 391 x 2003 = (kết quả 783173) vậy C = 783173/1315

A = 4 +

235

547

+

16

11

11112

B= +

+++

53

15

++

+

5685

a b c d

= + + + + +

Tìm các số a, b, c, d

Bài 4 A = ( 3 2 2 3) : ( 1 3 2 2 2 3)

2

y xy y x x

xy y

x y

xy y x x

xy x

− +

−

−

− +

+ +

570VN PLUS)

Chuyên đề 4:

I LÝ THUYẾT

Máy chỉ hiển thị được tối đa một số có 10 chữ số, nếu ghi hoặc tính ra kết quả dài hơn 10 chữ số,

máy không hiểu hoặc hiển thị không như ta mong muốn Do đó cần tránh viết đáp số gần đúng một cách tùy

tiện Ta có thể sử dụng 2 cách sau để tính:

Cách 1: Kết hợp vừa tính bằng máy & vừa tính trên giấy (Vận dụng hợp lý , chính xác các biến nhớ

của máy Đồng thời kết hợp với kiến thức đã học trên lớp áp dụng vào bài toán để biến đổi cho bài toán đơn giản hơn)

Cách 2: Nếu máy hiển thị: a a a a a a a a a a x10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n (Với n≤14) thì các chữ số đầu của kết quảđược xác định là aa a a a a a a a (Không lấy 1 2 3 4 5 6 7 8 a vì nó đã được làm tròn) ta tìm các chữ còn lại bằng cách9lấy kết quả hiển thị trừ cho a a a a a a a a a x10 1 2 3 4 5 6 7 8 n Khi đó máy hiện n-8 chữ số từ a đến 9 a (Nếu không n

đủ n-8 thì ta thêm các số 0 phía trước cho đủ) Vậy kết quả chính xác là: aa a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8 9 a n

N = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XY

Tính XY, 2XY trên máy, rồi tính N trên giấy như câu a)

Chuyên đề 5:

I LÝ THUYẾT

1 Khi đề cho số bé hơn 10 chữ số:

Sử dụng chức năng R÷ trong máy Casio FX 570VN PLUS để tìm nhanh thương và số dư.

Tham khảo cách làm sau (Sử dụng cho máy 570ES PLUS):

Định lí: Với hai số nguyên bất kỳ a và b, b ≠ 0, luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q và r sao cho:

Bước 1: Bấm a÷b màn hình hiện kết quả là số thập phân {ghi nhớ phần nguyên q}

Bước 2: Đưa con trỏ lên biểu thức sửa lại a – b×q Sau đó ấn = (Kết quả chính là r)

2 Khi đề cho số lớn hơn 10 chữ số:

Phương pháp: Tìm số dư của phép chia a cho b (a là số có nhiều hơn 10 chữ số)

- Ta cắt a ra thành nhóm đầu có 9 chữ số (Tính từ bên trái) Tìm số dư phần đầu khi chia cho b

- Viết tiếp sau số dư phần còn lại (Được số tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số dư với b lần hai

- Nếu còn nữa tính liên tiếp như vậy

3 Tìm số dư trong phép chia của một lũy thừa cho một số

Phương pháp : Dùng kiến thức về đồng dư để tìm số dư.

Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo

modun c ký hiệu a b≡ (mod )c

Tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+

a a≡ (mod )m

a b≡ (mod )m ⇔ ≡b a(mod )m

a b≡ (mod );m b c≡ (mod )m ⇒ ≡a c(mod )m

a b≡ (mod );m c d≡ (mod )m ⇒ ± ≡ ±a c b d(mod )m

a b≡ (mod );m c d≡ (mod )m ⇒ac bd≡ (mod )m

a b≡ (mod )m ⇒ac bc≡ (mod )m

a b≡ (mod )m ⇔a n ≡b n(mod )m

II VÍ DỤ

Bài 1: Tìm số dư của phép chia 9124565217:123456

Hướng dẫn: Ghi vào màn hình: 9124565217 ÷R 123456 ấn = Kết quả r= 55713

Bài 2: Tìm số dư của phép chia 2 345 678 901 234 cho 4567

Hướng dẫn: Số bị chia 13 chữ số nên bị tràn màn hình ta có thể làm như sau :

Ghi vào màn hình: 234567890 ÷R 4567 ấn = Kết quả : Số dư: 2203

Thêm vào số dư các chữ số còn lại và làm tiếp 22031234 ÷R 4567 ấn = Kết quả : 26

Bài 3: Tìm số dư của phép chia 1 234 567 890 987 654 321 : 123456

Hướng dẫn Số bị chia 19 chữ số nên bị tràn màn hình ta có thể làm như sau :

Ghi vào màn hình: 123456789 ÷R 123456 ấn = Kết quả: Số dư 789

Ta làm tiếp 7890987654 ÷R 123456 ấn = Kết quả: số dư 50502

Ta làm tiếp 50502321 ÷R 123456 ấn = Kết quả cuối: số dư 8817

Bài 4: Tìm số dư trong phép chia: 815 cho 2004

8

8 1732 (mod 2004)≡

7

8 968 (mod 2004)≡

Vậy số dư của phép chia 126 cho 19 là 1

Bài 6: Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975

2 Cách 2 : Dùng chức năng của máy và thuật toán Ơ – clít

Bổ đề : Nếu a = bq + r thì ƯCLN(a, b) = ƯCLN (b, r)

B1: Tìm dư của phép chia A cho B là r=a b.−   a 

b , Với  

 ab là phần nguyên của A chia cho B

B2: Kết luận ƯCLN (a , b)= ƯCLN (b , r)

Lưu ý :

- ƯCLN (A ; B ; C) = ƯCLN (ƯCLN(A ; B) ; C)

- BCNN (A ; B ; C) = BCNN (BCNN (A ; B) ; C)

- Nếu tìm BCNN mà bị tràn màn hình học sinh tính trên máy tính kết hợp với tính trên giấy nháp

Sử dụng chức năng sau đây trong máy Casio FX 570VN PLUS để tìm ƯCLN và BCNN sẽ rất nhanh:

- GCD : Tìm ƯCLN

- LCM : Tìm BCNN

II VÍ DỤ

Bài 1: Tìm UCLN và BCNN của 2419580247 và 3802197531

Hướng dẫn: Ghi vào màn hình : 2419580247

3802197531 và ấn =, màn hình hiện

711UCLN: 2419580247 : 7 = 345654321

BCNN: 2419580247 11 = 2.661538272 1010 (tràn màn hình)Cách tính đúng:

BCNN: 2419580247 11 = (419580247+2 109).11

= 419580247 11+ 2.109 11

= 4615382717 + 22000000000 = 26615382717

Bài 2: Tìm UCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438

Hướng dẫn :Ấn 9474372

40096920  Ấn = ta được :

6987 29570UCLN (9474372; 40096920) = 9474372 : 6987 = 1356

Ta đã biết UCLN(a; b; c) = UCLN(UCLN(a ; b); c)

Do đó chỉ cần tìm UCLN(1356 ; 51135438)

Thực hiện như trên ta tìm được:

UCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438 là : 678 Bài 3.Tìm ƯCLN của a = 40096920 ; b = 9474372 và c= 51135438

570VN PLUS)

Bài 2: Tìm a) ƯCLN(77554 ; 3581170) b) ƯCLN(532588; 110708836)

Bài 3: Tìm a) ƯCLN(459494736 ; 5766866256) b) ƯCLN(8992 ; 31473)

Bài 4: Tìm a) ƯCLN(708 ; 26930) b) ƯCLN(183378 ; 3500639)

Bài 5: Tìm a) ƯCLN(611672 ; 11231152) b) ƯCLN(159185055; 1061069040)

Bài 6: Tìm a) ƯCLN (13899; 563094; 9650088) b) ƯCLN(18963; 617394; 14676975)

Bài 7: Tìm: a) ƯCLN(90756918 ; 14676975) ; b) ƯCLN(222222; 506506 ; 714714; 999999)

Chuyên đề 7:

I LÝ THUYẾT

Các bước thực hiện:

B1: Viết phân số dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn để tìm chu kì

B2: Giả sử tìm được chu kì có m chữ số Ta đi tìm số dư r của phép chia n chi m.

B3: Đếm các chữ số ở phần thập phân sau dấu phẩy (kể cả các số trong chu kì) đến chữ số thứ r

Lấy 2016 chia cho 11 thương là 183, dư là 3 Hay 2016 3(mod11)≡

Nhận xét: Ta thấy có 6 chữ số thập phân nằm ngoài chu kì nên chữ số đứng ở vị trí 2016 sau dấu

phẩy là chữ số đứng ở vị trí thứ 3+6=9 trong chu kì là chữ số 7

Bài 4: Tìm chữ số thập phân thứ 1975 của số thập phân VHTH: 2,24525(736)

Bài 1: Tìm chữ số thập phân sau dấu phẩy thứ 2006 của phép chia 2 cho 29

Bài 2: Tìm chữ số thập phân sau dấu phẩy thứ 2007 của phép chia 3 cho 53

Bài 3: Tìm chữ số thập phân sau dấu phẩy thứ 2008 của phép chia 5 cho 61

Bài 4: Biết rằng ngày 01/01/1992 là ngày thứ tư (Wednesday) trong tuần Cho biết ngày 01/01/2005 là ngày

thứ mấy trong tuần ? (Biết năm 2000 là năm nhuận) Nêu sơ lượt cách giải ?

Bài 5: Tìm chữ số thập phân sau dấu phẩy thứ 2001 của phép chia 1 cho 49 ;10 cho 23

Kết quả:

Bài 1:Chữ số 0 Bài 2: Chữ số 0 Bài 3: Chữ số 7 Bài 4: Thứ 7

Bài 5: Chữ số 1 và 3

570VN PLUS)

Chuyên đề 8:

I LÝ THUYẾT

Phương pháp: Để tìm n chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm dư của luỹ thừa đó với 10^n

Tuy nhiên Nếu tìm từ 1 đến 3 chữ số tận cùng của một luỹ thừa ta tham khảo cách làm như sau :

a) Tìm 1 chữ số tận cùng của :

Để tìm 1 chữ số tận cùng của a^n với a có số tận cùng là 2 , 3 , 7 ta lấy n chia cho 4 để tìm r

• Nếu a ≡2 ( mod 10 ) thì a^n ≡6.2^r ( mod 10 )

• Nếu a ≡3 ( mod 10 ) thì a^n ≡a^r ( mod 10 )

b) Tìm 2 chữ số tận cùng của a^n

Để tìm 2 chữ số tận cùng của a^n ta lấy số mũ chia cho 20

• Nếu a ≡0 ( mod 10 ) thì a^20k ≡00 ( mod 100 )

• Nếu a ≡1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 ) thì a^20k ≡01 ( mod 100 )

• Nếu a ≡5 ( mod 10 ) thì a^20k ≡25 ( mod 100 )

• Nếu a ≡2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 ) thì a^20k ≡76 ( mod 100 )

c) Tìm 3 chữ số tận cùng của a^n

Để tìm 3 chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm 2 chữ số tận cùng của số mũ

• Nếu a ≡0 ( mod 10 ) thì a^100k ≡000 ( mod 1000 )

• Nếu a ≡1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 ) thì a^100k ≡001 ( mod 1000 )

• Nếu a ≡5 ( mod 10 ) thì a^100k ≡ 625 ( mod 10^3 )

• Nếu a ≡2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 ) thì a^100k ≡376 ( mod 1000 )

d) Số có đuôi bất biến với mọi luỹ thừa:

1) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (có đuôi bất biến).

2) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số ấy) đều có chữ

số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến).

3) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (có đuôi bất biến).

4) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (có đuôi bất biến).

Vậy 172000.172 ≡1.9(mod10) Chữ số tận cùng của 172002 là 9

Bài 2 : Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 232005

Vậy chữ số hàng trăm của số 232005 là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 232005 là số 343)

Bài 3: Tìm hai chữ số cuối cùng của số: A = 21999 + 22000 + 22001

⇒ Các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 20 số (từ số 4 đến số 52) Ta có:

1999 ≡ 19 (mod 20) ⇒ số dư khi chia 21999 cho 100 là 88

2000 ≡ 0 (mod 20) ⇒ số dư khi chia 22000 cho 100 là 76

2001 ≡ 1 (mod 20) ⇒ số dư khi chia 22001 cho 100 là 52

88 + 76 + 52 = 216 ≡ 16 (mod 100)

⇒ Số dư của A = 21999 + 22000 + 22001 khi chia cho 100 là 16 hay hai chữ số cuối cùng của số A là 16

III BÀI TẬP

Bài 1.Tìm chữ số cuối của: 72010; 354; 2713; 4931

Bài 2.Tìm chữ số hang chục của: 252009; 372002; 192001

Bài 3 Cho biết 3 chữ số cuối cùng bên phải của 73411

Bài 4: Tìm chữ số cuối cùng của số: 23 4

Bài 5.Tìm hai chữ số cuối của: 22001 + 22002 + 22003 + 22005

570VN PLUS)

Chuyên đề 9:

I LÝ THUYẾT

1 Dấu hiệu chia hết

• Dấu hiệu chia hết cho 2: Chữ số tận cùng là các chữ số: 0;2;4;6;8

• Dấu hiệu chia hết cho 3: Tổng các chữ số chia hết cho 3

• Dấu hiệu chia hết cho 4: 2 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4

• Dấu hiệu chia hết cho 5: Chữ số tận cùng là các chữ số: 0; 5

• Dấu hiệu chia hết cho 6: Vừa chia hết cho 2 và đồng thời vừa chia hết cho 3

• Dấu hiệu chia hết cho 7: Hiệu của số tạo bởi các chữ số đứng trước số tận cùng với 2 lần chữ số tận cùng chia hết cho 7 ( có thể làm nhiều lần cho tới khi chắc chắn chia hêt cho 7)

• Dấu hiệu chia hết cho 8: 3 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8

• Dấu hiệu chia hết cho 9: Tổng các chữ số chia hết cho 9

• Dấu hiệu chia hết cho 11: Hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn với tổng các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11

Lưu ý:

• Cách phân tích 1 2 1 0 .10n 1.10n 1 2.102 1.10 0

a a − a a a = a + a − − + + a + a + a

• Nếu a chia b được thương q và dư r thì a = b.q+r

Khi đó a – r = b.q (Hay a-r chia hết cho b)

2 Số nguyên tố:

Định lí 1: Mọi số nguyên dương n, n > 1, đều có thể được viết một cách duy nhất (không tính đến

việc sắp xếp các nhân tử) dưới dạng:

1e 2e e k,

k

n= p p p với k, ei là số tự nhiên và pi là các số nguyên tố thoả mãn: 1 < p1 < p2 < < pk

Khi đó, dạng phân tích trên được gọi là dạng phân tích chính tắc của số n.

Định lí 2 Cho số tự nhiên n, n > 1, giả sử khi phân tích n ra thừa số nguyên tố ta được:

τ (n) = (e1 + 1) (e2 + 1) (ek + 1)

Định lí 3: Nếu a là số nguyên tố thì nó không có ước nguyên tố nào vượt quá a

Ghi chú: Sử dụng chức năng FACT trong máy Casio FX 570VN PLUS để phân tích một số ra

thừa số nguyên tố

3 Số chính phương

Số chính phương là số có thể biểu diễn được dưới dạng bình phương của một số nguyên

Ấn CALC  Ấn = liên tiếp để kiểm tra với A∈{0; 1; 2;…;9}

Nếu kết quả của phép chia là số nguyên thì A là số cần tìm

Thực hành: a ∈{0; 1; 2;…;9}

1708902 SIHFT STO A

alpha A ÷ 109 alpha : alpha A alpha = alpha + 10

Ấn CALC  Ấn = liên tiếp để kiểm tra với a ∈{0; 1; 2;…;9}

Bài 2: Tìm số tự nhiên lớn nhất có dạng 1x2y3z4 chia hết cho 13

Hướng dẫn: Có thể phân tíh theo cách trên hoặc giải theo phương pháp sau:

1x2y3z4 có giá trị lớn nhất khi x, y= 9 Vậy số cần tìm có dạng 19293z4

Ta có: 19293z4 =1929304+10.z Nên ta nhập vào màn hình như sau:

Ấn CALC  Ấn = liên tiếp để kiểm KQ: 1929304

Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 10 chữ số Biết rằng số đó khi chia 5 dư 3 và chia cho 234 dư 82.

Hướng dẫn : Số cần tìm chia cho 234 dư 82 nên có dạng 234A+82

Số nhỏ nhất có 10 chữ số là 100000000

Suy ra: 234A+82≥1000000000

⇒ 234A≥9999999918

⇒ A≥4273503.923 Hay A≥4273504

Vì số cần tìm chia 5 dư 3 nên lấy số đó trừ 3 sẽ chia hết cho 5

Bài 4: Hãy tìm số các ước dương của số A = 6227020800.

Hướng dẫn : Phân tích A ra thừa số nguyên tố, ta được: A = 210.35.52.7.11.13

570VN PLUS)

Áp dụng định lí trên ta có số các ước dương của A là: τ (A) = 11.6.3.2.2.2 = 1584

Bài 5: Có bao nhiêu số tự nhiên là ước của:

Bài 8: Tìm các chữ số x, y, z để 579xyz chia hết cho 5, 7 và 9.

H.Dẫn - Vì các số 5, 7, 9 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải tìm các chữ số x, y, z sao cho 579xyz

chia hết cho BCNN(5,7,9) = 5.7.9 = 315

Ta có 579xyz = 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz

⇒ 30 + xyz chia hết cho 315 Vì 100 ≤ xyz≤ 999 nên 130 ≤ 30 + xyz < 1029 nên

(Dùng máy tính tìm các bội của 315 trong khoảng (130 ; 1029)):

- Nếu 30 + xyz = 315 thì xyz = 315 - 30 = 285

- Nếu 30 + xyz = 630 thì xyz = 630 - 30 = 600

- Nếu 30 + xyz = 945 thì xyz = 945 - 30 = 915

Bài 9: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n sao cho 28 + 211 + 2n là một số chính phương

Bài 11:Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất của số 2 3y4 5x z chia hết cho 25

H.Dẫn - Số lớn nhất 2 3y4 5 x z chia hết cho 25 sẽ phải là 29394z5

Lần lượt thử z = 9; 8; ….; 0 Vậy số lớn nhất chia hết cho 25 là 2939475

- Số nhỏ nhất 2 3y4 5x z chia hết cho 25 sẽ phải là 20304z5

Lần lượt thử z = 0; 1; 2;….; 9 Vậy số nhất chia hết cho 25 là 2030425:

Bài 12 Tìm số tự nhiên N nhỏ nhất và số tự nhiên M lớn nhất gồm 12 chữ số, biết rằng M và N chia cho

số 1256; 3568 và 4184 đều cho số dư là 973

Nếu thương của phép chia là số nguyên có 3 chữ số thì a=A và 3 chữ số của thương lần lượt là các số b, c, d

III BÀI TẬP

Bài 1: Tìm các số tự nhiên a; b; c; d để có: acd × 2b = 47424

Bài 2: Số 312 – 1 chia hết cho hai số tự nhiên nằm trong khoảng 70 đến 79 Tìm hai số đó?

Bài 3: Tìm các ước nguyên tố của M = 18975 + 29815 + 35235

Bài 4 Tìm các số lớn nhất và nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1x2y3z4 chia hết cho 7

Bài 5 Số chính phương có dạng P=17712ab81 Tìm các chữ số a, b biết rằng a +b = 13

Bài 6: Tìm chữ số x để 79506 47x chia hết cho 23

Bài 7:Tìm số tự nhiên m lớn nhất, biết rằng khi chia lần lượt các số 56505086 ; 7873056 ; 3094186 cho m

thì được cùng một số dư

Bài 8: Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa : chia cho dư 1; chia 3 dư 2; chia 4 dư 3; chia 5 dư 4; chia 6 dư

5; chia 7 dư 6 chia 8 du 7 chia 9 dư 8 chia 10 dư 9

Bài 9: Tìm các số tự nhiên n sao cho n2 +16n+2011 là một số chính phương

Bài 10 Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 216 + 219 + 2n là một số chính phương

Bài 11: Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho x3 + x2 +2009 là một số chính phương nhỏ hơn 10000

Bài 12: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để 35+ +57 7n chia hết cho 2006

570VN PLUS)

Chuyên đề 10:

I LÝ THUYẾT

1 Giải phương trình – Hệ phương trình dạng chính tắt

Trước khi thực hiện giải nên viết phương trình (hệ phương trình) dưới dạng chính tắc để khi đưa các

hệ số vào máy không bị nhầm lẫn

Cài đặt: MODE 5 (EQN)  Chọn dạng thích hợp

2 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình bậc cao.

Các bước tìm 1 nghiệm gần đúng của phương trình:

- Ghi nguyên vào màn hình phương trình cần tìm nghiệm

- Ấn phím Shift SOLVE (Máy hiện Solve for X)

- Nhập 1 giá trị bất kì (Càng gần giá trị của nghiệm càng tốt)

3 Phương trình có chứa phần nguyên

Định nghĩa: Kí hiệu [ ]x gọi là phần nguyên của x, trong đó [ ]x không vượt quá x: [ ] x ≤ x

Chức năng hiển thị phần nguyên trong máy tính Int

II VÍ DỤ

Bài 1: Tìm nghiệm gần đúng với 6 chữ số thập phân của phương trình: 2x2 + 3 3 x – 15 = 0

Hướng dẫn: - Nhấn : MODE, chọn số 5, sau đó chọn số 3

; 3 và 1,8 là nghiệm của phương trình: 2x4 – 5x3 + 3x2 - 1,5552 = 0

Hướng dẫn: - Nhập đa thức ở VT vào máy

- Nhấn CALC  Nhập các giá trị của x là 3;

b Nhập vào máy x6 – 15x – 25 = 0

Nhấn SHIFT SOLVE = … (Lần 1 nhập 0; Lần 2 nhập 3)Kết quả: x1 = -1, 317692529 ; x2 = 1,945230675

Bài 4: Tìm một cặp nghiệm nguyên dương của phương trình: 2006x + 1 = y2

Bài 4 Giải phương trình x2−2003 x[ ]+2002 0=

Bài 5 Giải phương trình:     31 + 32    + 33 + + 3 x = 216

- Nếu r(x) = 0, ta có phép chia hết

- Nếu r(x) ≠0, ta có phép chia có dư

Định lí Bêdu: Khi chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a thì dư trong phép chia này là f(a)

Hệ quả định lí Bêdu: Nếu x = a là một nghiệm của đa thức f(x) thì đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x – a Định lí về nghiệm nguyên của đa thức: Cho đa thức f(x) = a xn n +an 1− xn 1− + +a x1 1+a0

Nếu f(x) có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của số hạng độc lập a0 (hạng tử tự do)

Đặc biệt :

+ Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có một nghiệm bằng 1

+ Nếu hiệu của tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn với tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ làbằng 0 thì đa thức có nghiệm là – 1

+ Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng p

q thì p là ước của hạng tử tự do, q là ước dương của hệ sốcủa hạng tử có bậc cao nhất

2 Sơ đồ Hornơ

Ta có thể dùng sơ đồ Hornơ để thìm kết quả của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a

Ví dụ: Thực hiện phép chia (x3 – 5x2 + 8x – 4) cho x – 2 bằng cách dùng sơ đồ Hor nơ

Bước 1: Đặt các hệ số của đa thức bị chia theo thứ tự vào các cột của dòng trên.

Bước 2: Trong 4 cột để trống ở dòng dưới, ba cột đầu cho ta các hệ số của đa thức thương, cột cuối

cùng cho ta số dư

- Số thứ nhất của dòng dưới = số tương ứng ở dòng trên

- Kể từ cột thứ hai, mỗi số ở dòng dưới được xác định bằng cách lấy a nhân với số cùng dòng liền trước rồi cộng với số cùng cột ở dòng trên

Vậy (x3 – 5x2 + 8x – 4) = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0

* Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3 , đa thức chia là x – a, ta được thương là b0x2 + b1x + b2 dư

là r Theo sơ đồ Hornơ ta có: