Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng chứa đường cao AH và đường trung tuyến AM của tam giác.. Bài 6 : Lập phương trình đường thẳng qua P6;4 và tạo với hai trục toạ độ một tam g
Trang 1Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
§1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A LÝ THUYẾT
1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ u 0 đgl vectơ chỉ phương của đường thẳng
nếu giá của nó song song hoặc trùng với
Nhận xét: – Nếu u là một VTCP của thì ku (k 0))
cũng là một VTCP của .
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.
2 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ n 0 đgl vectơ pháp tuyến của đường thẳng
nếu giá của nó vuông góc với
Nhận xét: – Nếu n là một VTPT của thì kn (k 0))
cũng là một VTPT của .
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT.
– Nếu u là một VTCP và n là một VTPT của thì un.
3 Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng đi qua M x y0 ( ; ) 0 0 và có VTCP
1 2
( ; )
uu u
Phương trình tham số của : 0 1
0 2
x x tu
y y tu
(1) ( t là tham số)).
Nhận xét: – M(x; y) t R: 0 1
0 2
x x tu
y y tu
– Gọi k là hệ số) góc của thì:
+ k = tan, với = xAv ,
0
90 .
+ k = 2
1
u
u , với u 1 0.
x
y
A
v
O
x
y
A
v
4 Phương trình chính tắc của đường thẳng
Cho đường thẳng đi qua M x y0 ( ; ) 0 0 và có VTCP
1 2
( ; )
uu u
Phương trình chính tắc của : 0 0
x x y y
(2) (u 1 0), u 2 0)).
Chú ý: Trong trường hợp u 1 = 0) hoặc u 2 = 0) thì đường
thẳng không có phương trình chính tắc.
5 Phương trình tổng quát của đường thẳng
PT ax by c 0 với a2 b2 0 đgl phương trình tổng
quát của đường thẳng.
Nhận xét: – Nếu có phương trình ax by c 0 thì
có:
VTPT là n ( ; )a b và VTCP
( ; )
u b a hoặc u ( ;b a ).
– Nếu đi qua M x y( ; ) và có VTPT
( ; )
na b thì phương trình của là:
a x x b y y
Các trường hợp đặc biệt:
đi qua hai điểm A(a; 0)), B(0); b) (a, b 0)): Phương trình của : x y 1
ab .(phương trình đường thẳng theo
đoạn chắn)
đi qua điểm M x y0 ( ; ) 0 0 và có hệ số) góc k: Phương trình của : y y 0 k x x( 0 )(phương trình đường thẳng
theo hệ số góc)
6 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a x b y c1 1 1 0 và 2:
2 2 2 0
a x b y c Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:
1 1 1
2 2 2
0 0
a x b y c
a x b y c
1 cắt 2 hệ (1) có một nghiệm 1 1
2 2
a b (nếu
2 , 2 0
a b )
1 // 2 hệ (1) vô nghiệm 1 1 1
2 2 2
a b c (nếu
2 , , 2 2 0
a b c )
1 2 hệ (1) có vô số nghiệm 1 1 1
2 2 2
a b c (nếu
2 , , 2 2 0
a b c )
7 Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a x b y c1 1 1 0 (có VTPT n1 ( ; )a b1 1 ) và
2: a x b y c2 2 2 0 (có VTPT n2 ( ; )a b2 2 )
1 2 1 2
( , )
180 ( , ) ( , ) 90
n n khi n n
1 2 1 1 2 2
cos( , ) cos( , )
n n
Chú ý: 12 a a1 2 b b1 2 0.
Cho 1 : y k x m 1 1, 2 : y k x m 2 2 thì:
+ 1 // 2 k 1 = k 2 + 1 2 k 1 k 2 = –1.
8 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax by c 0 và điểm
0 ( ; 0 0 )
M x y
0 0
( , ) ax by c
d M
a b
Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax by c 0 và hai điểm
( M; M), ( N; N)
M x y N x y .
- M, N nằm cùng phía đối với (ax Mby Mc ax)( Nby Nc) 0 -M, N nằm khác phía đối với
(ax Mby M c ax)( Nby Nc) 0 .
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi
hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 : a x b y c1 1 1 0 và
2 : a x b y c2 2 2 0cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là:
1 1 1 2 2 2
a x b y c a x b y c
Trang 2B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng
Phương pháp: muốn viết phương trình tham số của đường
thẳng cần tìm 2 yếu tố:
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng là u u u( ; ) 1 2
Tìm điểm M x y0 ( ; ) 0 0 thuộc
Chú ý:
Nếu có hệ số góc k thì chọn u k(1; )
Biết hai điểm M, N thuộc thì chọn u MN
Nếu có véc tơ pháp tuyến n a b( ; )thì chọn u b a( ; )
Ví dụ 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng
trong các trường hợp sau:
a) đi qua hai điểm A(1;-4), B(-3;5)
b) đi qua điểm M(1;-2) và có véc tơ pháp
tuyến n(4; 3)
Ví dụ 2: Cho biết trung điểm 3 cạnh AB, BC, CA của một
tam giác lần lượt là M(3;-2), N(-1;1), P(5;2) Hãy lập
phương trình tham số của các đường thẳng chứa 3 cạnh của
tam giác đó
Ví dụ 3: Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong
các trường hợp sau:
a) d đi qua điểm M(3;-5) và có hệ số góc k=-3.
b) d đi qua điểm N(0);-4) và song song với đường
thẳng có phương trình x y 101 2t t
Dạng2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
Phương pháp: muốn viết phương trình tổng quát của
đường thẳng cần tìm 2 yếu tố:
Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng là n a b( ; )
Tìm điểm M x y0 ( ; 0 0 ) thuộc
Áp dụng công thức a x x( 0 ) b y y( 0 ) 0 sau đó chuyển về
dạng ax by c 0
Nhận xét:
Nếu đường thẳng song song hoặc trùng với
đường d có phương trình ax by c 0 thì có
phương trình tổng quát ax by c ' 0 và lúc đó ta
cần tìm c’
Nếu đường thẳng vuông góc với đường d có
phương trình ax by c 0 thì có phương trình
tổng quát bx ay c '' 0 và lúc đó ta cần tìm c”
Có thể chuyển phương trình tham số sang phương
trình tổng quát bằng cách khử tham số như sau:
2 0 1 0
u x x u y y
Ví dụ 1: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d
trong mỗi trường hợp sau:
a) d đi qua điểm A(2;-3) và có véc tơ pháp tuyến
(1; 2)
n
b) d đi qua điểm B(4;-2) và có véc tơ pháp tuyến
(4; 3)
u
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC biết A(1;4), B(3;2), C(7;3) Lập
phương trình tổng quát của các đường thẳng chứa đường
cao AH và đường trung tuyến AM của tam giác.
Dạng 3: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng m và n lần lượt có phương
trình tổng quát là: ( ) : 2m x y 5 0 , ( ) :n x 3y 10 0
a) Tìm giao điểm của m và n b) Tính góc giữa m và n
Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng cho
bởi phương trình sau đây:
a) ( ) : 2d1 x 5y 1 0; ( ) :d2 x 6y 2 0
b) ( ) : 6d3 x 3y 5 0; ( ) : 2d4 x y 5 0
6 10 ( ) : 4 5 6 0; ( ) :
6 8
Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Ví dụ 1: Trong mp Oxy cho hai điểm M(2;5) và N(5;1) Lập
phương trình đường thẳng đi qua điểm M sao cho khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng đó bằng 3.
Ví dụ 2:
Dạng 5: Phương trình đường phân giác
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng 1 , 2 lần lượt có phương trình 1 : 2x y 2 0; 2 : 2x 4y 7 0 Hãy lập phương trình các đường phân giác của các góc hợp thành bởi các đường thẳng đó
Ví dụ 2: Trong mp tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết
A(-6;-3), B(-4;3), C(9;2) Viết phương trình đường thẳng d
chứa phân giác của góc BAC ( 3 cách)
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho đường thẳng d: x-2y+2=0) và điểm M(1;4) Tìm
tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua d.
Bài 2: Trong mp Oxy cho đường thẳng d có phương trình
tổng quát 3x+4y-12=0).
a) Xác định tọa độ các giao điểm A, B của d lần lượt
với trục Ox, Oy.
b) Tính tọa độ hình chiều H của gốc O trên d c) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d
qua gốc O.
Bài 3: Trong mp Oxy cho tam giác ABC biết phương trình
các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt là: BC: x-3y-6=0);
CA: x+y-6=0); AB: 3x+y-8=0)
a) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác.
b) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại B Tính
diện tích tam giác đó
c) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao BH của tam giác ABC và tìm tọa độ chân đường cao H.
Bài 4: Lập phương trình đường thẳng đối xứng với đường
thẳng d: x-2y-5=0) qua A(2;1)
Bài 5: Ba trung điểm của 3 cạnh của một tam giác là
1 (2;1), 2 (5;3), 3 (3; 4)
M M M Tìm phương trình 3 cạnh của tam giác
Bài 6 : Lập phương trình đường thẳng qua P(6;4) và tạo với
hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2
Bài 7: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng sao cho
a) song song với đường thẳng d1 có phương trình
3x-4y+2=0) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B
sao cho AB=5.
b) Đường đi qua điểm I(3;1) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại C và D để cho tam giác CDE cân tại E với E(2;-2)
Bài 8: Lập phương trình đường thẳng qua Q(2;3) và cắt hai tia Ox ,Oy tại hai điểm M, N (O) sao cho OM+ON nhỏ
nhất
Trang 3Bài 9: Cho M(2;3), viết phương trình đường thẳng qua M
cắt hai tia Ox ,Oy tại hai điểm hai điểm A, B sao cho tam
giác ABC có diện tích nhỏ nhất.
Bài 10: Cho P(-2;3) Tìm phương trình đường thẳng qua P
và cách dều hai điểm A(5;-1), B(3;7).
Bài 11: Lập phương trình đường thẳng qua P(1;-2) và cách
Q(-1;1) một khoảng 5
5
d
Bài 12: Cho hai điểm A(0);5), B(4;1) Tìm trên :
x-4y+7=0) điểm C sao cho ABC cân tại C.
Bài 13: Cho : 2x+y-1=0) Tìm trên những điểm có
khoảng cách đến d: 4x+3y-10)=0) bằng 2.
Bài 14: Trong mp Oxy cho hai đường thẳng , 'lần lượt có
phương trình: :x 2y 6 0; ' : x 3y 9 0
a) Tính góc giữa , '
b) Tính khoảng cách từ điểm M(5;3) đến , '
c) Viết phương trình các đường phân giác của các góc
hợp bởi , '
Bài 15: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua
điểm A(0);1) và tạo với đường thẳng : x+2y+3=0) một góc
45o
Bài 16:
a) (CĐKTKT-2004) Lập phương trình đường thẳng
qua A(1;1) và tạo với đường thẳng d: 2x+3y+1=0)
một góc 45o
b) Lập phương trình đường thẳng qua A(-2;0)) và tạo
với đường thẳng x y 2 32t t
một góc 60o
Bài 17: Cho tam giác ABC với ( ;3), (1;2), ( 4;3)7
4
phương trình đường phân giác trong của góc A.
Bài 18: (KA-2004) Cho tam giác ABC có: A(-6;-3),
B(-4;3), C(9;2).
a) Viết phương trình các cạnh
b) Viết phương trình đường phân giác trong góc A của
tam giác ABC.
Bài 19: Cho hai đường thẳng , ' có phương trình:
a) Tìm giao điểm C của , '
b) Viết PTTQ của đường thẳng d qua I(2;-3) cắt , '
tại A, B sao cho I là trung điểm của AB.
Bài 20: Trong mp với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy cho
tam giác ABC có đỉnh A(1;0)) và hai đường cao vẽ từ hai B,
C có phương trình tương ứng là x-2y+1= 0) và 3x+y-1= 0)
Tính diện tích của tam giác ABC.
Bài 21: (CĐSPVP-2002) Trong mp với hệ toạ độ đề các
vuông góc Oxy cho tam giác ABC và điểm M(-1;1) là trung
điểm của AB Hai cạnh AC và BC theo thứ tự nằm trên hai
đường thẳng : 2x+y-2=0) ,và x+3y-3=0).
a) Xác định toạ độ ba đỉnh A,B,C của tam giác và viết
phương trình đường cao CH.
b) Tính diện tích của tam giác ABC.
Bài 22: Trong mp với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy xét
tam giác ABC với phương trình đường thẳng AB là x-2y+7=
0), các đường trung tuyến kẻ từ A, B lần lượt có phương trình
là x+y-5 =0) và 2x+y-11= 0) Hãy tính diện tích của tam giác
ABC và lập phương trình của hai đường thẳng AC, BC.
Bài 23:(KB-2004) Cho A(1;1), B(4;-3) Tìm C thuộc
đường thẳng d: x-2y-1=0) sao cho khoảng cách từ C đến AB
bằng 6
Bài 24: Cho A(1;2), B(2;5) Điểm M di động trên d:
x-2y-2=0)
1 Tìm giá trị nhỏ nhất của :
a) MA+MB b) MA MB
2.Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của MA MB
Bài 25: cho đường thẳng m: (m 2)x (m 1)y 2m 1 0 và
hai điểm A(2;3), B(1;0)).
a) Chứng minh mluôn qua một điểm cố định với mọi m
b) Xác định m để m có ít nhất một điểm chung với
đoạn AB.
c) Tìm m để khoảng cách từ A đến mlớn nhất
Ghi chú:
1 Nguyễn Mộng Hy:
2 Trần Thành Minh:
§2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
A LÝ THUYẾT
1 Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R:
(x a ) (y b ) R
Nhận xét: Phương trình x2 y2 2ax 2by c 0, với
2 2 0
a b c , là phương trình đường tròn tâm I(–a; –
b), bán kính R = a2 b2 c
2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn: tại M x y( ; ) 0 0
( tiếp tuyến qua M nhận IM là véc tơ pháp tuyến) có dạng: (x0 a x x)( 0 ) ( y0 b y y)( 0 ) 0
3 Điều kiện tiếp xúc: Cho đường tròn (C) có tâm I, bán
kính R và đường thẳng
tiếp xúc với (C) d I( , ) R
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1:Nhận dạng một phương trình bậc hai là phương trình đường tròn
Ví dụ 1: Hãy xét xem trong các phương trình bậc hai sau
đây, phương trình nào là phương trình đường tròn? Tìm tâm
và bán kính nếu có:
a) x2 y2 2x 4y 100 0
b) x2 y2 4x 6y 36 0
c) 2x2 2y2 4x 8y 118 0
Ví dụ 2: Cho phương trình đường bậc hai C m:
2 2 4 2 2 3 0
x y mx my m (1) a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn?
b) Nếu (1) là phương trình đường tròn, hãy tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn đó theo m
c) Tìm tập hợp tâm các đường tròn Cm
Dạng2: Lập phương trình đường tròn
Phương pháp:
Tìm tọa độ tâm I(a;b) và bán kính R của đường
tròn Khi đó phương trình đường tròn:
(x a ) (y b ) R
Trang 4 Giả sử phương trình đường tròn có dạng:
2 2 2 2 0
x y ax by c (*), tùy điều kiện của bào
toán đưa về hệ với các ẩn số a,b,c và giải hệ
phương trình đó tìm a,b,c và thế vào (*).
Ví dụ 1: Trong mp(Oxy) cho hai điểm A(-2;0)), B(0);4) Viết
phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm O, A, B.
Ví dụ 2: Trong mp Oxy, hãy viết phương trình đường tròn
qua 3 điểm M(1;2), N(5;2), P(1;-2) ( 3 cách )
Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Phương pháp:
1 Nếu biết tiếp điểm M x y( ; ) 0 0 của đường tròn (C) khi đó
tiếp tuyến đi qua M nhận IM
là véc tơ pháp tuyến có dạng: (x0 a x x)( 0 ) ( y0 b y y)( 0 ) 0
2.Nếu ta chưa biết tiếp điểm ta sử dụng điều kiện tiếp xúc:
tiếp xúc với (C) d I( , ) R
Ví dụ 1: Cho đường tròn x2 y2 2x 4y 20 0 và điểm
M(4;2)
a) Chứng tỏ rằng điểm M nằm trên đường tròn
b) Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M.
Ví dụ 2: Cho đường tròn (C) có phương trình
2 2 2 4 0
x y x y
a) Chứng tỏ rằng điểm M(4;7) nằm ngoài đường tròn.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) và
đi qua điểm M.
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Viết phương trình đường tròn trong các trường hợp
sau:
a) Đi qua các điểm A(-1;3), B(1;-5) và có tâm ở trên
trục tung
b) Qua 3 điểm A(0);6), B(4;0)), C(3;0))
c) Qua điểm A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục Ox, Oy
d) Có tâm là điểm M(-4;2) và tiếp xúc với đường
thẳng có phương trình 3x+4y-16=0)
e) Qua hai điểm A(2;3), B(-1;1) và có tâm I(a;b) nằm
trên đường thẳng x-3y-11=0).
Bài 2: Trong mp Oxy cho hai điểm A(8;0)), B(0);6)
a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
OAB
b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
OAB
Bài 3: Trong mp Oxy cho đường tròn (C) có phương trình
2 2 6 2 6 0
x y x y và điểm A(1;3)
a) Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn
b) Chứng tỏ điểm A ở bên ngoài đường tròn
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua A.
Bài 4: Cho đường thẳng : 3x 4y 31 0 và điểm M(1;-7)
a) Chứng tỏ điểm M thuộc đường thẳng
b) Lập phương trình đường tròn có bán kính bằng R=5
và tiếp xúc với đường thẳng tại điểm M đã cho.
Bài 5: Cho họ đường tròn (C m)có phương trình
2 2 2( 1) 2( 2) 6 7 0
x y m x m y m ( m là tham số)
a) Tìm tâm và bán kính đường tròn thuộc họ đã cho
với m=3
b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn thuộc họ đã cho
Bài 6: Cho đường tròn (C) x2 y2 2x 4y 4 0
a) Tìm tâm và bán kính của (C)
b) Cho A(3;-1) Chứng minh rằng A là điểm ở trong
đường tròn Viết phương trình đường thẳng d qua A
và cắt (C) theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
c) Cho d’: 3x-4y=0), chứng minh d’ cắt (C) Tính độ
dài dây cung
Bài 7: Viết phương trình đường tròn trong các trường hợp
sau:
a) Có bán kính bằng 5, tâm thuộc Ox và qua A(2;4) b) Có tâm I(2;-1) và tiếp xúc ngoài với đường tròn
(x 5) (y 3) 9
c) Tiếp xúc với hai trục và có tâm nằm trên đường
thẳng : 2x y 3 0
d) Qua A(0);2), B(-1;1) và có tâm trên đường thẳng 2x+3y=0)
e) Qua A(5;3) và tiếp xúc với đường thẳng d:
x+3y+2=0) tại T(1;-1).
Bài 8:
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn
2 2 2
x y biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 b) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn
2 ( 1) 2 25
x y biết tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng 3x-4y=0).
Bài 9: Cho hai đường tròn ( ) :C x2 y2 1 và
( ') : (C x 2) (y 3) 4 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Bài 10: Cho (C m) :x2 y2 2mx 2(m 1)y 2m 4 0
a) Chứng minh (C m ) là đường tròn với mọi m b) Viết phương trình (C m ) có bán kính nhỏ nhất c) Chứng minh có hai đường tròn (C m ) tiếp xúc với
đường thẳng x+y+5=0).
Bài 11: Cho đường tròn (C) x2 y2 2x 2y 3 0
a) Tìm độ dài dây cung mà (C) chắn trên trục Ox b) Tìm độ dài tiếp tuyến vẽ từ A(-2;3) đến đường tròn (C)
c) Tìm tâm và bán kính đường tròn (C’):
2 2 6 6 13 0
x y x y Chứng minh (C) và (C’) tiếp xúc ngoài tại T Viết phương trình tiếp tuyến chung tại T.
Bài 12: Cho đường tròn (C) x2 y2 4x 6y 7 0
a) Điểm M(-1;1) ở trong hay ở ngoài đường tròn? Lập phương trình đường thẳng chứa dây cung qua M và
có độ dài ngắn nhất
b) Lập phương trình đường thẳng qua O và cắt (C)
theo một dây cung có độ dài là 2
Bài 13: Lập phương trình đường tròn:
a) Qua A(1;2) và tiếp xúc với hai trục tọa độ b) Tiếp xúc với hai đường thẳng song song
: 2x y 3 0, ' : 2x y 5 0
và có tâm trên Oy
c) Tiếp xúc với đường thẳng : 2x y 5 0 tại điểm
T(2;1) và có bán kính bằng 2 5
d) Tiếp xúc với hai đường thẳng
x y x y và qua gốc O.
Bài 14: Cho đường tròn (C) (x 2) 2 (y 1) 2 4
a) Tìm trên Oy điểm từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với
(C) và hai tiếp tuyến này vuông góc.
b) Tìm trên (C) điểm gần gốc O nhất.
Bài 15: Cho hai đường tròn ( ) :C x2 y2 2x 4y 1 0, và
2 2
( ') :C x y 4x 4y 1 0 a) Chứng minh hai đường tròn tiếp xúc ngoài Tìm tọa
độ tiếp điểm T.
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung tại T.
Trang 5Bài 16: Cho đường tròn (x 3) 2 (y 2) 2 9và điểm M(-3;1)
a) Chứng minh M ở ngoài đường tròn
b) Tính phương tích của M đối với đường tròn và
tính độ dài tiếp tuyến MT.
Bài 17: Cho hai đường tròn ( ) :C x2 y2 2x 2y 1 0, và
2 2
( ') :C x y 4x 6y 3 0 Chứng minh hai đường tròn chỉ
có hai tiếp tuyến chung.
Bài 18: viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn
2 2
( ) :C x y 2x 4y 5 0,
a) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x+y=0)
b) Biết tiếp tuyến xuất phát từ điểm A(3;-2)
c) Gọi các tiếp điểm trong câu b) là T T1 2 , Viết phương
trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AT T1 2 và đường
thẳng qua hai tiếp điểm T T1 2 ,
Bài 19: Cho hai đường tròn ( ) :C x2 y2 2x 2y 2 0, và
2 2
( ') :C x y 8x 4y 16 0
a) Chứng minh hai đường tròn bằng nhau và cắt nhau;
b) Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm của
hai đường tròn;
c) Tìm phương trình tiếp tuyến chung của chúng
Bài 20: Biện luận theo m vị trí tương đối của đường thẳng
và đường tròn (C):
a) :x 3y m 0,( ) : (C x 2) 2 y2 10
b) :x my m 4 0,( ) : C x2 y2 2x 4y 4 0
§3 PHƯƠNG TRÌNH ELIP
A LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa
Cho F1, F2 cố định với F F1 2 2c (c > 0).
1 2
M E MF MF a (a > c)
F 1 , F 2 : các tiêu điểm, F F1 2 2c : tiêu cự.
2 Phương trình chính tắc của elip
2 2
2 2 1
x y
a b
2 2 2
(a b 0,b a c )
Toạ độ các tiêu điểm: F1 ( ;0), c F c2 ( ;0)
Với M(x; y) (E), ), MF MF1 , 2 đgl các bán kính qua
tiêu điểm của M.
1 c , 2 c
3 Hình dạng của elip
(E), ) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc
toạ độ làm tâm đối xứng
Toạ độ các đỉnh: A1 ( ;0), a A a2 ( ;0),B1 (0; b B), 2 (0; )b
Độ dài các trục: trục lớn: A A1 2 2a,
trục nhỏ: B B1 2 2b
Tâm sai của (E), ): e c
a
(0 < e < 1)
Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng
,
xa yb (ngoại tiếp elip)
4 Đường chuẩn của elip (chương trình nâng cao)
Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu
điểm F i là: x a 0
e
Với M (E) ta có:) ta có: 1 2
( , ) ( , )
d M d M (e
< 1)
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Xác định yếu tố của elip
Ví dụ 1: Xác định độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ
các đỉnh, tâm sai và vẽ elip có phương trình:
a) ( ) : 9E x2 25y2 225 b)
2 2
1
x y
Dạng 2: Lập phương trình chính tắc của E) ta có:lip
Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của E), lip (E) trong mỗi
trường hợp sau:
a) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 8 b) Một tiêu điểm là F2 (0; 2) và điểm (1;2 3)
5
trên elip
Ví dụ 2: lập phương trình của elip biết
a) (E) có một đỉnh là (5;0) và tiêu cự là 6 b) (E) có một đỉnh là (0;3) và qua điểm M(4;1) c) (E) qua hai điểm (1; 3), ( 2; 2)
Dạng 3: Tìm điểm thuộc elip
Cần nhớ:
2 2
0 0
MF1 a c x M,MF2 a c x M
Ví dụ 1: Cho elip (E): 2 2 1
x y
a) Tìm trên (E) điểm M có hoành độ bằng 2
b) Tìm tọa độ giao điểm của (E) và đường
thẳng yx 3 2
c) Tìm trên (E) điểm M sao cho góc
1 2 90o
F MF
d) Tìm trên (E) điểm M sao cho
F M F M
Ví dụ 2: Cho elip ( ) :E x2 4y2 4 có tiêu điểm F F1 , 2 M là điểm bất kì trên (E)
a) Tìm trên (E) điểm M sao cho F M1 2F M2
1 2
F M F M OM a b
Dạng 4: Tập hợp điểm là elip Phương pháp: Để chứng minh tập hợp các điểm M là elip
có hai cách
Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến hai điểm
cố định F F1 , 2 là một hằng số
Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ M đến một điểm cố định F và đến một đường thẳng cố định
là một hằng số e<1
Ví dụ 1: Cho hai đường tròn C F R C F R1 ( ; ), 1 1 2 ( ; 2 2 ) ( )C1 chứa
trong (C 2 ) và F1 F2 Gọi M là tâm của đường tròn (C) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc ngoài với (C 1 ) và tiếp xúc trong với (C 2 ) Hãy chứng tỏ M di động trên một elip.
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường
hợp sau:
a) Độ dài trục lớn bằng 6, tiêu cự bằng 4 b) Một tiêu điểm là F 1 ( 2;0)và độ dài trục lớn bằng 10 c) Một tiêu điểm là F 1 ( 3;0)và điểm (1; 3)
2
trên elip;
Trang 6d) E), lip đi qua điểm M(1;0)) và điểm ( 3;1)
2
N
Bài 2: Qua tiêu điểm của elip x22 y22 1
a b vẽ đường thẳng
vuông góc với trục Ox, cắt elip tại hai điểm A và B Tìm độ
dài đoạn AB.
Bài 3: Tìm trên elip x22 y22 1
a b một điểm M sao cho
1 2 2
MF MF , trong đó F F1 , 2 là các tiêu điểm của elip
Bài 4: Cho elip 2 2 1
16 9
và điểm I(1;2) Viết phương
trình đường thẳng đi qua I biết rằng đường thẳng đó cắt elip
tại hai điểm A, B mà I là trung điểm của AB.
Bài 5: tìm tâm sai của elip trong các trường hợp sau;
a) Các đỉnh trên trục bé nhìn hai tiêu điểm dưới một
góc vuông;
b) Độ dài trục lớn bằng k lấn độ dài trục bé (k>1)
c) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn tới một đỉnh
nằm trên trục bé bằng tiêu cự
Bài 6: Cho đoạn AB có độ dài không đổi bằng 3 Điểm
A(0);a) di động trên trục tung và điểm B(b;0)) di động trên
trục hoành M là điểm chia đoạn AB theo tỉ số -2 Tìm tọa
độ M, suy ra M di động trên một elip
Bài 7: Cho elip ( ) : 2 2 1
4
x
E y Tìm :
a) trên (E) điểm N có tung độ gấp đôi hoành độ
b) trên (E) điểm P sao cho
1 2 90o
F PF
c) Tọa độ các đỉnh hình hình vuông nội tiếp (E) biết
hình vuông có các cạnh song song với Ox, Oy
Bài 8: Cho elip (E) có độ dài trục lớn là 6 và qua điểm
3 2
( ; 2)
2
M
a) Lập phương trình (E)
b) Tính độ dài dây cung của (E) vuông góc với trục
lớn tại tiêu điểm;
c) Tìm trên (E) điểm M cách tâm O một khoảng là
26
2
Bài 9: Lập phương trình (E) biết:
a) Tiêu cự bằng 4 và khoảng cách từ một đỉnh đến tiêu
điểm là 5;
b) Độ dài trục nhỏ là 4 và một tiêu điểm có tọa độ
(2;0)
c) Một tiêu điểm là F2 (5;0)và khoảng cách giữa hai
đỉnh là 9
Bài 10: Lập phương trình (E) biết:
a) Độ dài trục lớn là 8 và qua điểm (2 2;2);
b) Qua hai điểm (2 2; ), (2;1 5)
c) Có tiêu cự là 4 và qua điểm (1; 2)
5
d) Qua điểm ( 3 ; 4)
5 5
1 2 90o
F MF
Bài 11: Cho (E) 4x2 9y2 36
a) Xác định tiêu điểm, độ dài các trục
b) Một đường thẳng thay đổi d: y=x+m Định m để d
cắt (E) tại hai điểm P, Q;
c) Tìm tọa độ trung điểm I của PQ Chứng tỏ I di động
trên một đoạn thẳng cố định khi d thay đổi;
d) Gọi P’ và Q’ lần lượt là đối xứng của P, Q qua gốc
O Tứ giác PQP’Q’ là hình gì? Định m để nó là
hình thoi
( ) :E x 8y 16,(E ) : 4x 9y 36 Viết phương trình đường tròn qua các giao điểm của 2 e lip
Bài 13: Cho đường tròn tâm F 1 ( 2;0), bán kính bằng 6 và điểm F2 (2;0) M là tâm đường tròn di động qua F 2 và tiếp
xúc trong với (F 1 ) Chứng minh m thuộc một elip (E) Viết
phương trình (E).
Bài 14:
a) Viết phương trình của (E) biết nó có một tiêu điểm
là F(-2;0)) và khoảng cách từ F đến đỉnh trên trục
nhỏ là 3
b) Hai đường thẳng d: mx-y=0) và d’:x+my=0) lần lượt cắt (E) tại M, P và N, Q Tứ giác MPNQ là hình gì?
Tính diện tích của nó theo m
c) Định m để MNPQ là hình vuông.
Bài 15: Cho elip ( ) : 5E x2 9y2 45 có tiêu điểm F F1 , 2 M là điểm bất kì trên (E)
a) Chứng minh: chu vi tam giác F MF1 2 không đổi Tìm
M để diện tích tam giác F MF1 2 bằng 2 b) Tìm M sao cho 1 2
1 2
T F M F M
F M F M
Bài 16: Cho đường tròn tâm O, bán kính bằng 2 AB là
đường kính trên trục Ox Gọi M, N là hai điểm di động trên tiếp tuyến của đường tròn tại A và B, có tung độ là m,n luôn thỏa mãn điều kiện mn=4.
a) Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (O); b) AN và BM cắt nhau tại I Chứng minh I di động trên
một elip
c) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AM và BN Chứng minh đường tròn đường kính HK qua hai tiêu điểm của E
Bài 17: Cho điểm M di động trên ( ) : 9E x2 16y2 144 H và
K là hình chiếu của M trên hai trục Tìm M để diện tích tứ
giác OHMK lớn nhất.
Bài 18: Cho M, N là hai điểm bất kì trên E), lip
2 2
( ) : 4E x 9y 36 và không trùng với các đỉnh Gọi I là trung điểm của MN.
a) Chứng minh rằng: tích hệ số góc của đường MN và đường OI có giá trị không đổi.
b) Viết phương trình đường MN biết I có tọa độ (1;1)
§4 PHƯƠNG TRÌNH HYPEBOL
A LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa
Cho F1, F2 cố định với F F1 2 2c (c > 0).
1 2
M H MF MF a (a < c)
F 1 , F 2 : các tiêu điểm, F F1 2 2c : tiêu cự.
2 Phương trình chính tắc của hypebol
2 2
2 2 1
x y
a b
2 2 2
( ,a b 0,b c a )
Toạ độ các tiêu điểm: F1 ( ;0), c F c2 ( ;0)
Với M(x; y) (H), MF MF1 , 2 đgl các bán kính qua tiêu điểm của M.
1 c , 2 c
3 Hình dạng của hypebol
(H) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng
Trang 7 Toạ độ các đỉnh: A1 ( ;0), a A a2 ( ;0)
Độ dài các trục: trục thực: 2a, trục ảo: 2b
Hypebol gồm hai nhánh: nhánh trái gồm những điểm
có xa, nhánh phải gồm những điểm có x a
Tâm sai của (H): e c
a
(e > 1)
Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng
,
xa yb
Phương trình các đường tiệm cận: y b x
a
4 Đường chuẩn của hypebol
Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu
điểm Fi là: x a 0
e
( , ) ( , )
d M d M (e
> 1)
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Xác định yếu tố của hypebol
Ví dụ 1: Tìm độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ
các đỉnh, phương trình các tiệm cận và vẽ Hypebol có
phương trình sau:
a) 9x2 16y2 144 b) 2 2 1
x y
Dạng2: Lập phương trình chính tắc của hypebol
Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của Hypebol (H) cho
biết tiêu cự bằng 20 và một tiệm cận có phương trình
4x-3y=0).
Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc của hypebol biết:
a) (H) có độ dài trục thực là 6, tiêu điểm (4;0)
b) (H) có một đỉnh (5;0), và tiệm cận là y=2x
c) (H) có một tiệm cận là y 2x và qua điểm
(4; 2)
M
d) (H) qua hai điểm M(1; 3), (N 2;2 2)
e) (H) có tiêu điểm F2 (3;0) và qua điểm (3; 4)
5
Dạng 3: Tìm điểm thuộc hypebol
Cần nhớ:
2 2
0 0
a b
MF1 a c x M ,MF2 a c x M
Ví dụ 1: Cho hypebol ( ) : 2 2 1
x y
a) Tìm trên (H) điểm M có tung độ bằng 1
b) Tìm trên (H) điểm M sao cho góc
1 2 90o
F MF c) Tìm trên (H) điểm M sao cho F M1 2F M2
Dạng 4: Tập hợp điểm là hypebol
Phương pháp: Để chứng minh tập hợp (H) các điểm M là
Hypebol ta có hai cách:
Cách 1:
Tìm hai điểm cố định F 1 , F 2.
Chứng minh MF1 MF2 2a (2a F F 1 2 )
Khi đó M di động trên hypebol có hai tiêu
điểm là F F1 , 2 và có trục thực là 2a
Cách 2:
o Tìm điểm cố định F và đường thẳng cố
định (F )
( , )
MF e
d M Khi đó M di động trên hypebol (H) có tiêu điểm F,
đường chuẩn và tâm sai e
Ví dụ 1: Cho điểm A cố định và đường thẳng cố định
không đi qua A M là một điểm di động sao cho với mọi m dương, đường tròn C(M;m) luôn tiếp xúc với và đường
tròn C’(M;2m) luôn đi qua A Hãy chứng tỏ M luôn di động
trên một hypebol
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hai đường tròn ngoài nhau Tìm quỹ tích tâm
các đường tròn tiếp xúc với cả hai đường tròn đó
Bài 2: Lập phương trình chính tắc của hypebol biết:
a) Nửa trục thực bằng 4, tiêu cự bằng 10 b) Tiêu cự bằng 2 13, một tiệm cận là y23x
c) Tâm sai e 5 và hypebol qua điểm ( 10;6)
Bài 3: Trong hệ tọa độ Oxy cho A1 ( ;0), a A a2 ( ;0) Gọi (C) là
đường tròn thay đổi đi qua A A1 , 2; MM’ là đường kính của
(C) và luôn song song với Ox Tìm quỹ tích các điểm M và M’.
Bài 4: Tìm quỹ tích tâm các đường tròn chắn trên hai trục
Ox, Oy hai đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 2a và 2b.
Bài 5: Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm
tùy ý trên hypebol đến hai đường tiệm cận là một số không đổi
Bài 6: Cho Hypebol ( ) :H x22 y22 1
a b có tiêu điểm F F1 , 2,
điểm M thuộc (H) Chứng minh: tích các khoảng cách từ M
đến hai tiệm cận có giá trị không đổi
Bài 7: Cho Hypebol ( ) : 2 2 1
x y
H Một đường d bất kì có phương trình y=x+m cắt (H) tại M,N và hai tiệm cận tại
P,Q Chứng minh: MP=NQ
Bài 8: xác định độ dài các trục, tọa độ đỉnh, tiêu điểm, tiệm
cận và vẽ các hypebol sau;
a) 2 2 1
x y
b) 4x2 9y2 36
Bài 9: Cho hypebol (H): 2 2 1
4
y
x Tìm trên (H):
a) Điểm M có hoành độ bằng 2 b) Điểm N cách đều hai trục tọa độ c) Điểm P sao cho
1 2 90o
F PF d) Tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H)
biết hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ và có diện tích là 8 2
e) Tìm điểm Q sao cho F Q2 2F Q1
Bài 10: Cho hypebol (H) có độ dài trục thực là 4 và qua
điểm M( 5; 2)
a) Lập phương trình (H) b) Tính độ dài dây cung của (H) vuông góc với trục
thực tại tiêu điểm;
c) Tìm giao điểm của (H) với đường tròn đường kính
1 2
F F với F F1 , 2 là các tiêu điểm của (H).
Bài 11: Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết:
a) Tiêu cự có độ dài là 8 và khoảng cách từ đỉnh trên trục thực đến tiêu điểm là 1;
b) Độ dài trục ảo là 4 và một tiêu điểm là (3;0) c) Một tiêu điểm là F2 (5;0)và một tiệm cận là y=2x;
Trang 8d) Một tiệm cận là y 3x và qua điểm (3; 15)
e) Một tiêu điểm là (2;0) và qua điểm (3; 2)
Bài 12: Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết
a) (H) qua điểm ( 3;1) và góc
1 2 90o
F MF
b) Một tiêu điểm có tọa độ (2;0) và khoảng cách từ nó
đến tiệm cận là 1;
c) Một tiêu điểm có tọa độ (3;0) và dây cung qua tiêu
điểm và vuông góc với Ox có độ dài là 5;
d) Một tiệm cận có hệ số góc 25và khoảng cách từ
tiêu điểm đến tiệm cận là 2
Bài 13: Cho đường tròn tâm I(-6;0)) có bán kính bằng 4 và
điểm J(6;0)) (M) là đường tròn di động luôn qua J và tiếp
xúc với (I) Chứng minh tập hợp tâm các đường tròn (M) là
một hypebol Viết phương trình hypebol đó
Bài 14: Cho Hypebol ( ) : 9H x2 4y2 36
a) Xác định tiêu điểm, độ dài các trục và tiệm cận
b) M là điểm tùy ý trên (H) Chứng minh:
1 2
(F MF M) 4OM là hằng số
c) Cho đường thẳng d thay đổi x+y+m=0) Chứng
minh: d luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt P,Q
Tính PQ theo m.
Bài 15: Cho Hypebol ( )H có một đỉnh có tọa độ (1;0) và
một tiêu điểm ( 5;0)
a) Viết phương trình (H)
b) Định m để hai đường d: mx-y=0) và d’: x+my=0) đều
cắt (H)
c) Gọi M, P và N,Q lần lượt là giao điểm của d và d’
với (H) Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích
của nó khi m 2
Bài 16: Cho hypebol (H): 5x2 4y2 20 và đường thẳng d:
2x-y+m=0)
a) Định m để d cắt (H) tại hai điểm M, N phân biệt
b) Tìm tập hợp trung điểm của MN;
c) Gọi P, Q lần lượt là đối xứng của M, N qua O Định
m để tứ giác MNPQ là hình thoi.
Bài 17: Cho Hypebol ( ) :H x2 3y2 12
a) Tìm tọa độ các đỉnh, tiêu điểm, đường tiệm cận của
(H)
b) Tìm trên (H) điểm M sao cho 0
1 2 120
F MF
c) Tìm M thuộc (H) sao cho 1 2
2 1
T F M F M
F M F M
lớn nhất
d) Cho điểm M thuộc (H), tính tích các khoảng cách từ
M đến hai tiệm cận
Bài 17: Cho elip (E) và hypebol (H) biết chúng có cùng tiêu
điểm F(2;0)), tiệm cận của (H) chứa đường chéo của hình
chữ nhật cơ sở của (E) và hợp với Ox một góc 30o
a) Viết phương trình chính tắc của (H) và (E)
b) Viết phương trình đường tròn qua các giao điểm
của (H) và (E).
Bài 18: Cho hai điểm A1 ( 2;0), A2 (2;0) Gọi (I) là đường tròn
di động qua A 1 , A 2 và MM’ là đường kính của (I) cùng
phương với Ox Chứng minh tập hợp những điểm M, M’ là
một hypebol
Bài 19: Cho đường tròn tâm O, bán kính 1 Gọi A và A’ là
hai điểm trên đường tròn có hoành độ là -1 và 1 Đường
thẳng di động x=m ( m khác 0, -1;1) cắt đường tròn tại M,
M’ (M có tung độ dương)
a) Tìm tọa độ M và M’;
b) Viết phương trình đường thẳng AM và A’M’ Chứng minh giao điểm của AM, A’M’ di động trên một
hypebol cố định
§5 PHƯƠNG TRÌNH PARABOL
A LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa: Cho điểm F và đường thẳng không chứa
F
( )P M MF/ d M( , )}
F gọi là tiêu điểm, là đường chuẩn của (P)
p d F ( , ) : tham số tiêu
2 Phương trình chính tắc của parabol: Với
2
( ; ) ( ) 2
M x y P y px
3 Hình dạng của parabol:
O là đỉnh của parabol
(P) có trục đối xứng là Ox
Dây cung vuông góc với trục đối xứng tại F có độ dài
là 2p Tính chất này thường dùng để vẽ (P)
MFMK x
B CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Xác định yếu tố của parabol
Ví dụ 1: Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn
của các parabol a) y2 4x b) y2 6x 0
Dạng2: Lập phương trình chính tắc của parabol
Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của parabol (P) trong
mỗi trường hợp sau:
a) (P) có tiêu điểm là F( 3;0)
b) (P) có đường chuẩn là x=-3.
Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc của parabol (P) biết:
a) Tiêu điểm F(5;0) b) (P) qua điểm (2;-4) c) (P) qua điểm M có hoành độ 2 và cách tiêu điểm F
một khoảng bằng 3
Ví dụ 3: Cho điểm F(4;0) Gọi (M) là đường tròn tâm M di
động nhưng luôn tiếp xúc với trục tung và qua F Chứng minh tập hợp những điểm M là một parabol và viết phương
trình của nó
Dạng 3: Tìm điểm thuộc parabol
Ví dụ 1: Cho parabol (P): y2 4x
a) Tìm trên (P) điểm M cách F một khoảng là 4; b) Tìm trên (P) điểm M khác O sao cho khoảng cách
từ M đến Oy gấp hai lần khoảng cách từ M đến Ox.
Dạng 4: Tập hợp điểm là parabol Phương pháp: Để chứng minh tập hợp (P) các điểm M là
parabol ta chứng minh M cách đều một điểm cố định F và
một đường thẳng cố định không đi qua F Khi đó M di động trên parabol (P) Khi đó M di động trên parabol (P) có tiêu điểm F và đường chuẩn
( ) {P M MF/ d M( , )}
Ví dụ 1: Cho một điểm A cố định và một đường thẳng d cố
định và không đi qua A Xét các đường tròn (C) thay đổi có tâm M, biết rằng (C) luôn đi qua A và (C) luôn tiếp xúc với
d Hãy chứng tỏ m di động trên một parabol.
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Trang 9Bài 1: Cho đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng d Tìm
quỹ tích tâm các đường tròn tiếp xúc với đường tròn (O) và
tiếp xúc với đường thẳng d tại hai điểm phân biệt.
Bài 2: Viết phương trình của parabol biết:
a) Ox là trục đối xứng và tiêu điểm là F(4;0)
b) Ox là trục đối xứng và tiêu điểm là F(-2;0)
Bài 3: Vẽ parabol x2 8y
Bài 4: Cho parabol (P) có phương trình y2 8x
a) Tìm độ dài bán kính qua tiêu điểm ứng với điểm
M(x;y) thuộc (P)
b) Tìm các điểm nằm trên (P) và cách tiêu điểm một
khoảng bằng 5
Bài 5: Lập phương trình đường thẳng chứa dây của parabol
2 4
y x và nhận điểm I(3;1) làm trung điểm.
Bài 6: Cho parabol (P): y2 2x
a) Xác định đường chuẩn và tiêu điểm của (P)
b) Cho đường thẳng :x 2y 6 0 Tính khoảng cách
ngắn nhất giữa và (P) Viết tiếp tuyến với (P) tại
A(2;2)
Bài 7: Cho (P): y2 4x và đường thẳng d luôn qua tiêu
điểm F và có hệ số góc là 1(k 0)
k
a) Viết phương trình đường thẳng d và viết phương
trình tung độ giao điểm của d và (P) Chứng minh d
luôn cắt (P) tại hai điểm M, N và tích khoảng cách
từ M và N đến trục đối xứng của parabol có giá trị
không đổi
b) Định k để MN=20)
c) Gọi H và K là hình chiếu của M, N lên đường chuẩn
Chứng minh đường tròn đường kính MN luôn
tiếp xúc với đường chuẩn
Bài 8: Cho parabol (P) y2 8x
a) Tìm độ dài dây cung AB của parabol biết hoành độ
của A và B là 1;
b) Tìm trên (P) điểm cách tiêu điểm F một khoảng
bằng 5;
c) Tìm m để đường thẳng d x y m: 0 có với (P)
điểm chung duy nhất
Bài 9: Cho Parabol ( ) :P y2 4x
a) Tìm trên (P) điểm cách d: 3x-4y+10)=0) một khoảng
ngắn nhất
b) Cho A và B là hai điểm trên (P) có tung độ -2 và 4
M là điểm trên cung AB có tung độ y với 2 y 4
Tính diện tích tam giác MAB theo y Tìm y để diện
tích tam giác MAB nhỏ nhất.
c) Tìm m sao cho đường y=x+m cắt (P) tại hai điểm
M, N và FM=2FN
Bài 10: Lập phương trình chính tắc của parabol:
a) Qua điểm có tung độ là 4 và cách tiêu điểm một
khoảng là 5
b) Qua hai điểm M, N có tung độ là -1;3 và M, N, F
thẳng hàng;
c) Qua điểm M có tung độ là 2 và cách đường chuẩn
một khoảng là 5
2
Bài 11: Cho Parabol ( ) :P y2 2px và AB là dây cung di
động của (P).
a) Biết đường thẳng AB có hệ số góc không đổi là k khác 0 Chứng minh: trung điểm I của AB di động
trên đường thẳng cố định
b) Viết phương trình đường AB biết trung điểm của đoạn AB có tọa độ (2;4)
Bài 12: Cho đường tròn ( ) :C x2 y2 4x 0 và đường tròn
(M) di động tâm M luôn tiếp xúc ngoài với (C) và trục Oy
tại hai điểm phân biệt Chứng minh M di động trên một
parabol cố định và viết phương trình của nó
Bài 13: Cho đường tròn ( ) :O x2 y2 4và M là điểm tùy ý trên (O) có hình chiếu lên Ox là H Gọi A là điểm trên (O)
có tung độ -2
a) Gọi (x 0) ;y 0) ) là tọa độ của M, viết phương trình OM
và AH;
b) Suy ra giao điểm I của OM và AH di động trên một
parabol
Bài 14: Cho Parabol ( ) :P y2 4x Một đường d qua tiêu điểm F và có hệ số góc k khác 0 cắt (P) tại M,N.
a) Cm tích các khoảng cách từ M, N đến trục Ox có
giá trị không đổi
b) Tìm k sao cho FM=4FN c) Chứng minh góc MON luôn tù
Bài 15: Cho Parabol ( ) :P y2 8x
a) Xác định tiêu điểm F và đường chuẩn của (P)
b) Một đường thẳng quay quanh tiêu điểm F có hệ số
góc k khác 0 cắt (P) tại M, N Chứng minh: tích các khoảng cách từ M,N đến trục tung có giá trị không
đổi
c) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M, N trên đường
chuẩn Tính diện tích hình thang MNKH theo k.
Bài 16: Cho Parabol 2 1
( ) :
4
P y x a) Tìm tiêu điểm F và đường chuẩn;
b) Một đường thẳng bất kì qua F có hệ số góc m cắt
(P) tại M, N Tìm tọa độ trung điểm I của MN Suy
ra I di động trên một parabol cố định
Bài 17: Cho Parabol ( ) :P y2 2x Hai đường thẳng qua O và
vuông góc với nhau có hệ số góc lần lượt là k, 1 (k 0)
k
cắt P tại M,N.
a) Tìm tọa độ các điểm M, N b) Chứng minh M, N luôn đi qua một điểm cố định c) Chứng minh trung điểm của đoạn MN luôn thuộc
một parabol cố định
Bài 18: Cho Parabol ( ) :P y2 4x và đường thẳng d di động
có phương trình y=m m 0
a) Xác định tiêu điểm F và đường chuẩn
b) d lần lượt cắt đường chuẩn , Oy, (P) lần lượt tại
K,H,M Tìm tọa độ các điểm đó.
c) Gọi I là trung điểm của OH Viết phương trình IM
và chứng tỏ đường thẳng IM cắt (P) tại một điểm
duy nhất
d) Chứng minh MIKF Suy ra MI là phân giác của góc KMF.
Bài 19: Trong mp(Oxy), cho A(1;1), A’(1;-1) Gọi M là
điểm di động trên Oy có tung độ là m.
a) Viết phương trình hai đường cao của tam giác
MAA’;
b) Chứng minh trực tâm H của tam giác MAA’ thuộc
một parabol cố định