Chuyên đề 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG có giải chi tiết

Bộ chuyên đề Toán 10 gồm Tóm tắt lý thuyết, hệ thống bài tập trắc nghiệm có giải chi tiết. Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG. Chủ đề 1: Tọa độ trong mặt phẳng Oxy. Chủ đề 2: Đường thẳng Phương trình đường thẳng. Chủ đề 3. Đường tròn Phường trình đường tròn Chủ đề 4. Đường Elip Hyperbol Parabol. Chủ đề 5. Góc Khoảng cách.

Chương III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Bài 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I LÝ THUYẾT

1 Vectơ chỉ phương

Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng nếu giá của nó song song hoặc trùng với

Nhận xét : Nếu là VTCP của thì cũng là VTCP của

2 Phương trình tham số của đường thẳng 

Cho đường thẳng đi qua và là VTCP Khi đó phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

Nhận xét :

3 Phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng đi qua và (với ) là VTCP Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

4 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của nếu giá của nó vuông góc với

Nhận xét : Nếu là VTPT của thì cũng là VTPT của

5 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Cho đường thẳng đi qua và có VTPT Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:

Chú ý :

- Nếu đường thẳng  : thì là VTPT của

6 Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

 song song hoặc trùng với trục

 song song hoặc trùng với trục

 đi qua gốc tọa độ

 đi qua hai điểm với

 Phương trình đường thẳng có hệ số góc k là với , là góc hợp bởi tia

của ở phía trên trục và tia ( là giao điểm của và )

7 Liên hệ giữa VTCP và VTPT

VTPT và VTCP vuông góc với nhau Do đó nếu có VTCP thì là một VTPT của

8 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng Δ1 và Δ2 ta xét số nghiệm của hệ phương trình

9 Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2 có VTPT và được tính theo công thức:

10 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng cho bởi công thức:

- Nếu là VTPT của thì cũng là VTPT của

- Nếu là VTCP của thì cũng là VTCP của

- Hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT của đường này là VTPT của đường kia; VTCP củađường này cũng là VTCP của đường kia

- Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTPT của đường này là VTCP của đường kia và ngược lại

- VTPT và VTCP của 1 đường thẳng vuông góc với nhau Do vậy nếu có VTCP thì

nên đường thẳng có VTPT là Suy ra VTCP là

Ví dụ 5: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là : 

Câu 1. Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương ?

Câu 5. Cho đường thẳng có phương trình tổng quát: Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ

phương của đường thẳng

Câu 6. Cho đường thẳng có phương trình tổng quát: Vectơ nào sau đây không là

vectơ chỉ phương của

Câu 9. Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của một đường thẳng:

A. Song song với nhau B. Vuông góc với nhau

Câu 12.Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là Trong các vectơ sau, vectơ nào là mộtvectơ pháp tuyến của ?

1 Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ta cần xác định

- Điểm

- Một vectơ pháp tuyến của

Khi đó phương trình tổng quát của là

2 Để viết phương trình tham số của đường thẳng ta cần xác định

- Điểm

- Một vectơ chỉ phương của

Khi đó phương trình tham số của là .

3 Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng ta cần xác định

- Điểm

- Một vectơ chỉ phương của

Phương trình chính tắc của đường thẳng là

(trường hợp thì đường thẳng không có phương trình chính tắc)

4 Đường thẳng qua điểm có hệ số góc có phương trình là

Chú ý:

 Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT

 Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại

 Nếu có VTCP thì là một VTPT của

A VÍ DỤ MINH HỌA

1 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết VTPT

Ví dụ 1: Đường thẳng đi qua , nhận làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:

Lời giải Chọn D.

Gọi là đường thẳng đi qua và nhận làm VTPT

Vì nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của là

Vậy phương trình tham số của đường thẳng là

2 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết VTCP

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua và có VTCP

Lời giải Chọn B.

Đường thẳng đi qua và có VTCP u   1; 4 nên có phương trình:

Đường thẳng  đi qua và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc

3 Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng cho trước.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng Đường thẳng đi qua và song song với

có phương trình:

Lời giải Chọn A.

Do song song với nên có phương trình dạng:

Gọi là đường thẳng cần tìm Do song song với nên nhận làm VTCP

Suy ra là VTPT của

có phương trình:

4 Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước

Ví dụ 1: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với đường

Lời giải Chọn B

Suy ra

Ví dụ 2: Cho tam giác có Phương trình tổng quát của đường caocủa tam giác là:

Lời giải Chọn B.

Gọi là đường cao của tam giác

đi qua và nhận làm VTPT

5 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết hệ số góc.

Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng biết đi qua điểm và có hệ số góc

Lời giải Chọn D

Phương trình đường thẳng là

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng biết đi qua điểm và có hệ số góc

Lời giải Chọn A

Phương trình đường thẳng là

6 Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm

Ví dụ 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm là:

Lời giải Chọn B

Lời giải Chọn A

Gọi là trung điểm ;

qua và nhận làm VTPT

7 Viết phương trình đường trung trực của 1 đoạn thẳng

Bài toán: Viết phương trình đường trung trực của đoạn biết

Đường trung trực của đoạn đi qua trung điểm của và nhận

làm VTPT

Ví dụ 1: Cho hai điểm Viết phương trình đường trung trực của đoạn

Lời giải Chọn D

Gọi trung điểm

là trung điểm của

Gọi là đường thẳng trung trực của thì qua và nhận làm VTCP

nên có phương trình:

8 Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác

Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng đó là:

Chú ý:

* và nằm về cùng một phía đối với

* và nằm khác phía đối với

Ví dụ 1: Cho tam giác có phương trình các cạnh ; ;

Viết phương trình đường phân giác trong góc của tam giác

Suy ra nằm khác phía so với và cùng phía so với

Vậy phương trình đường phân giác trong góc là:

Ví dụ 2: Cho tam giác có Viết phương trình đường phân giác ngoàigóc của tam giác

Đặt ta có:

Suy ra nằm cùng phía so với và khác phía so với

Vậy phương trình đường phân giác ngoài góc là:

9 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và tạo với trục một góc cho trước.

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng qua và tạo với trục một góc

Gọi là đường thẳng cần tìm; là VTPT của

Để lập với một góc thì:

+ Với , chọn ta được phương trình

+ Với , chọn ta được phương trình

Ví dụ 2: Cho đường thẳng có phương trình: Viết phương trình đường thẳng qua

+ Với , chọn ta được phương trình

+ Với , chọn ta được phương trình

Câu 9. Cho hai điểm và Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

trung trực của đoạn .

Câu 10.Đường trung trực của đoạn với và có phương trình là:

D song song với đường thẳng

Câu 13. Viết phương trình đường thẳng qua và giao điểm của hai đường thẳng

Câu 15.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác có và

Lập phương trình đường cao của tam giác kẻ từ

Câu 16. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B

sao cho M là trung điểm của AB

Câu 19. Cho có Đường cao và đường cao Viết

phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A

Câu 23. Có mấy đường thẳng đi qua điểm và cắt hai trục tọa độ

tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB vuông cân.

C ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

TH2: mà

3 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Phương pháp:

Dùng Casio bấm giải hệ phương trình từ hai phương trình của hai đường thẳng:

Hệ vô nghiệm: hai đường thẳng song song

Hệ có nghiệm duy nhất: hai đường cắt nhau

Nếu tích vô hướng của hai VTPT bằng 0 thì vuông góc

Hệ có vô số nghiệm: hai đường trùng nhau

Cách khác: Xét cặp VTPT của hai đường thẳng

Không cùng phương: hai đường thẳng cắt nhau

Nếu tích vô hướng của hai VTPT bằng 0 thì vuông góc

Cùng phương: hai đường thẳng song song hoặc trùng

Hai đường thẳng , có và nên hai đường thẳng này song song

Ví dụ 2: Đường thẳng cắt đường thẳng nào sau đây?

Hướng dẫn giải Chọn A.

Ví dụ 3: Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có toạ độ:

Hướng dẫn giảiChọn A.

Giải hệ phương trình ta được

Ví dụ 4: Phương trình nào sau đây biểu diễn đường thẳng không song song với đường thẳng

Hướng dẫn giảiChọn D.

và đường thẳng không song song vì

Ví dụ 5: Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi:

Hướng dẫn giảiChọn C.

Khi ta có:

Khi ta có:

thẳng này đồng qui thì giá trị thích hợp của là:

Để 3 đường thẳng đồng quy thì phải đi qua điểm thỏa phương trình

Ví dụ 7: Cho điểm Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và

Hướng dẫn giải

Chọn D.

có vectơ chỉ phương là và có vectơ chỉ phương là

Ta có: và cùng phương nên và không có giao điểm.

Ví dụ 8: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng: và

Câu 2. Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng

và

A Vuông góc B Song song C Cắt nhau D Trùng nhau.

Câu 3. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và trục hoành

A cắt nhau nhưng không vuông góc B song song với nhau.

Câu 6. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:

C Cắt nhau nhưng không vuông góc D Song song nhau.

Câu 7. Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng:

và

Câu 8. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng: và

Câu 9. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và

A Song song nhau B Cắt nhau C Vuông góc nhau.D Trùng nhau.

Câu 14. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và

Câu 19. Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng và

Câu 22. Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng: : và :

Câu 26. Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng: : và :

Câu 27. Cho hai đường thẳng : và : Khi đó hai đường thẳng

này:

A Cắt nhau nhưng không vuông góc B Vuông góc nhau.

Câu 28. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng sau đây:

A Song song B Trùng nhau C Vuông góc nhau.D Cắt nhau.

Câu 31. Cho hai đường thẳng và Khi đó hai đường

thẳng này:

Câu 32. Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng: và

A Cắt nhau nhưng không vuông góc B Vuông góc nhau.

Câu 33. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng: và

Câu 34. Cho hai đường thẳng , Tìm mệnh đề đúng:

Câu 35. Giao điểm của hai đường thẳng và là:

Câu 36. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau: ,

A trùng B cắt C D chéo

Câu 37. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng ,

Câu 38. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau: và

A Trùng nhau B Song song.

C Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau D Vuông góc với nhau

Câu 39. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau: và

A song song B Trùng nhau

C Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau D Vuông góc với nhau.

Câu 40. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau: và

A song song B Trùng nhau

C Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau D Vuông góc với nhau

Câu 41. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau: và

A Vuông góc với nhau B Trùng nhau.

C Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau D Song song.

Câu 42. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau: ;

Câu 54. Cho 4 điểm , , , Xác định vị trí tương đối của hai

đường thẳng và

Câu 55. Cho 4 điểm , , , Xác định vị trí tương đối của hai đường

thẳng và

Câu 56. Với giá trị nào của hai đường thẳng sau đây trùng nhau?

và

Câu 57. Cho 4 điểm Xác định vị trí tương đối của hai

đường thẳng và

C Cắt nhau nhưng không vuông góc D Vuông góc nhau.

Câu 58. Định để 2 đường thẳng sau đây vuông góc: và

Câu 59. Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng: và

C Cắt nhau nhưng không vuông góc D Trùng nhau.

Câu 60. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

và

A Song song B Vuông góc nhau C Cắt nhau D Trùng nhau.

Câu 61. Cho điểm Tìm tọa độ giao điểm của

đường thẳng và

VẬN DỤNG.

Câu 62. Tìm tất cả giá trị để hai đường thẳng sau đây song song.

Câu 66. Cho 3 đường thẳng , , Để 3 đường

thẳng này đồng qui thì giá trị thích hợp của là:

Câu 70. Với giá trị nào của thì hai đường thẳng và

Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng có phương trình Gọi

là các giao điểm của đường thẳng với các trục tọa độ Độ dài của đoạn thẳng bằng:

Câu 77. Cho tam giác với Hỏi đường thẳng cắt

cạnh nào của tam giác?

Câu 78. Với giá trị nào của thì ba đường thẳng sau đồng quy ?

A B C D.

thẳng này đồng qui thì giá trị thích hợp của là:

Câu 80. Xác định để hai đường thẳng và cắt nhau tại một

điểm nằm trên trục hoành.

Câu 87. Với giá trị nào của thì hai đường thẳng và vuông

Câu 94. Xác định a để hai đường thẳng và cắt nhau tại một

điểm nằm trên trục hoành

Câu 95. Định sao cho hai đường thẳng và

vuông góc với nhau.

4 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phương pháp: Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Đường thẳng d có phương trình tổng quát

Ví dụ 4: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và

Vì diện tích tam giác bằng

Ví dụ 9: Tìm tọa độ điểm trên trục và cách đều hai đường thẳng:

và

Câu 14. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và

Câu 21. Cho đường thẳng Trong các điểm

điểm nào cách xa đường thẳng nhất ?

Câu 28. Cho đường thẳng Có đường thẳng và cùng song song với

và cách một khoảng bằng Hai đường thẳng đó có phương trình là:

A 14 hoặc –16 B. 16 hoặc –14 C. 10 hoặc –20 D. 10.

Câu 31. Phương trình các đường thẳng qua và cách điểm một khoảng

bằng 1 là

C D

Câu 32. Cho đường thẳng Với giá trị nào của thì

khoảng cách từ điểm đến  lớn nhất ?

Câu 33. Cho đường thẳng Có đường thẳng và cùng song song với

và cách một khoảng bằng 1 Hai đường thẳng đó có phương trình là

Câu 34. Cho và đường thẳng Điểm có hoành độ

dương sao cho diện tích tam giác bằng 17 Tọa độ của là

Câu 38. Cho đường thẳng đi qua điểm , tìm tọa độ điểm thuộc

sao cho khoảng cách từ tới đường thẳng bằng

Câu 39. Cho đường thẳng đi qua điểm tìm tọa độ điểm thuộc

sao cho diện tích bằng

Câu 40. Cho điểm Đường thẳng nào sau đây cách đều điểm ?

Câu 41. Khoảng cách giữa đường thẳng và là

Câu 42. Tính diện tích biết

Câu 43. Cho đường thẳng đi qua 2 điểm A   1;2 , 4;6 ,B tìm tọa độ điểm M thuộc Oy sao

cho diện tích MAB bằng 1

A.  0;1 B.  0;0 và

4 0; 3

Ta gọi , pt

Câu 26 Chọn A.

Cách 1: Gọi là đường thẳng cách đều 2 điểm , ta có:

Cách 2: Gọi I là trung điểm của đoạn AB

Gọi là đường thẳng cách đều 2 điểm là đường trung trực của đoạn AB

đi qua và nhận làm VTPT

Câu 27 Chọn A.

Cách 1: Viết phương trình đường thẳng qua 3 điểm thẳng hàng Nếu đường thẳngcách đều 3 điểm thì nó phải song song hoặc trùng với

Gọi là đường thẳng qua 2 điểm

Kiểm tra các phương án, ta thấy phương án A thỏa

Cách 2: Tính khoảng cách từ 3 điểm đến lần lượt các đường trong các phương án A, B, C, D

Do điểm không thuộc hai đường thẳng trên.

Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ đến hai đường

thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng

Câu 30 Chọn A.