Môn học: Hình học 10 (Nâng cao) Chương III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bài 5 (tiết 38): ĐƯỜNG ELIP

TÌM HIỂU VỀ ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG ELIP đường elip cũng là một đường rất quen thuộc với chúng ta và thường gặp trong thực tế.Cũng như đường thẳng hay đường tròn trong mặt phẳng toạ độ đều có phương trình để biểu diễn nó. Dĩ nhiên,đường elip cũng có phương trình biểu diễn trong mặt phẳng toạ độ. Chúng được viết dưới dạng nào? Làm thế nào để nhận biết một biểu thức có phải là phương trình đường elip hay không? TÌM HIỂU VỀ ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG ELIP

Môn học: Hình học 10 (Nâng cao) Chương III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Bài 5 (tiết 38): ĐƯỜNG ELIP

Ngày thực hiện: 10/12/2013 Người soạn: Trịnh Thị Thu Hà– Lớp QH-2010-S Sư phạm Toán

I MỤC TIÊU

Sau khi học xong bài này, học sinh sẽ:

1.Về kiến thức

- Phát biểu được định nghĩa của đường elip

- Viết được dạng chính tắc phương trình đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

- Chỉ ra được mối liên hệ về đặc trưng giữa các yếu tố hình học và phương trình

của một đường elip

2 Về kĩ năng

- Sử dụng được công thức tính khoảng cách để xác định được toạ độ của một điểm trên một đường elip cho trước, công thức độ dài bán kính qua tiêu; từ đó xây dựng phương trình chính tắc của elip

- Viết được phương trình đường elip khi biết trước một số yếu tố ( hai điểm thuộc elip, tiêu điểm, tiêu cự, điểm thuộc elip)

- Xác định được các yếu tố thành phần của elip ( tiêu điểm, tiêu cự, bán kính qua tiêu) khi biết phương trình elip

- Nhận dạng được một biểu thức cho trước có là phương trình đường elip hay không

08

- Chú ý tới điều kiện của các hệ số a, b để một biểu thức cho trước thoả mãn là một phương trình đường tròn khi giải các bài toán nhận biết phương trình đường elip

- Cẩn thận, chính xác trong tính toán các yếu tố của đường elip

II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH

1 Chuẩn bị của giáo viên

a Hình thức tổ chức dạy học, phương pháp dạy học:

- Giờ học lý thuyết

- Phương pháp: Vấn đáp gợi mở, làm việc nhóm, thảo luận

b Phương tiện, học liệu

- Giấy A2, thước kẻ, bút dạ, keo dán, nam châm

- Bài trình chiếu Powerpoint, Phiếu học tập, thẻ nhiệm vụ

2 Chuẩn bị của học sinh

- Đọc trước sách giáo khoa Hình học 10 (Nâng cao), Bài 5 – Đường elip (Trang 96-99)

- Ôn tập lại các kiến thức đã biết, đã học về đường elip

III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học

sinh

Nội dung HOẠT ĐỘNG 1: ỔN ĐỊNH LỚP, KIỂM TRA BÀI CŨ (Thời gian 7 phút)

- Cho học sinh làm phiếu bài tập

01 (theo cá nhân)

- GV quan sát, nếu thấy học sinh

chưa làm được bài tập thì có thể

Đọc yêu cầu của phiếu học tập và suy nghĩ làm bài

- Dự kiến: Đa số học

đặt một số câu hỏi gợi ý:

+ Yêu cầu của bài toán là gì?

+ Các em nhớ lại những kiến

thức đã được học về đường tròn

trong tiết học trước?

- Dẫn dắt vào bài mới:

+ Sau đây cô có một số hình

ảnh cho cả lớp cùng quan sát:

chiếu một số hình ảnh ví dụ về

elip trên powerpoint Cả lớp

quan sát hình vẽ và sau đó trả

lời một số câu hỏi:

+ Bóng của một đường tròn in

trên mặt đất phẳng dưới ánh

sáng mặt trời có phải luôn là

một đường tròn?

+ Mặt thoáng của một cốc nước

hình trụ là hình tròn, giới hạn

bởi 1 đường tròn nhưng khi ta

nghiêng cốc thì mặt thoáng

được giới hạn bởi hình gì?

+ Em có nhận xét gì về quỹ đạo

chuyển động của hành tinh

trong hệ mặt trời, hay chuyển

động của vệ tinh?

Như vậy, đường elip cũng là

một đường rất quen thuộc với

chúng ta và thường gặp trong

sinh có thể hoàn thành được phiếu học tập

Đáp án:

a Phương trình là phương trình đường tròn Tọa độ tâm I(6,-9), R= 4

b Có là phương trình đường tròn

Tâm I( 2, -4), R= 3

c Là phương trình đường tròn Tâm O( 0,0) , R= 5

d Không là phương trình đường tròn

HS: Chú ý quan sát các hình vẽ và trả lời các câu hỏi

thực tế.

Cũng như đường thẳng hay

đường tròn trong mặt phẳng toạ

độ đều có phương trình để biểu

diễn nó Dĩ nhiên,đường elip

cũng có phương trình biểu diễn

trong mặt phẳng toạ độ Chúng

được viết dưới dạng nào? Làm

thế nào để nhận biết một biểu

thức có phải là phương trình

đường elip hay không? Chúng

ta sẽ vào bài ngày hôm nay nhé.

HOẠT ĐỘNG 2: TÌM HIỂU VỀ ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG ELIP (Thời gian: 10 phút)

Mục tiêu:

- Phát biểu được định nghĩa đường elip.

GV: Vừa rồi, chúng ta đã được

quan sát những ví dụ về đường

elip HS đã có một hình dung cơ

bản về hình dạng của elip

- Chiếu slide VD về cách vẽ

đường elip

Cách vẽ: Em hãy đóng lên mặt

một bảng gỗ hai chiếc đinh tại

hai điểm F1 và F2

Lấy một vòng dây kín không

đàn hồi, có độ dài lớn hơn hai

lần F1F2 Quàng sợi dây vào hai

chiếc đinh, đặt đầu bút chì vào

Học sinh lắng nghe

GV trình bày cách

vẽ hình và quan sát cách vẽ hình biểu diễn trên slide và trả

lời câu hỏi

I Định nghĩa đường elip.

1 Cách vẽ hình elip Nhận xét:

+ Khi M di chuyển, tổng MF1+ MF2 cố định

+ Về độ lớn : MF1+ MF2 > F1F2

trong vòng dây rồi căng ra để

vòng dây trở thành một tam

giác Hãy di chuyển đầu bút chì

sao cho dây luôn luôn căng và

áp sát mặt gỗ Khi đó đầu bút

chì sẽ vạch ra một đường mà ta

gọi là đường elip ( trong cách

vẽ này, GV gọi vị trí đầu bút chì

là M)

Gv: Có thể gọi 1, 2 em HS lên

vẽ thử elip theo hướng dẫn trên

( GV chuẩn bị đồ dùng)

GV: Quan sát cách vẽ trên, HS

có nhận xét gì về chu vi của tam

giác MF1F2 khi M di chuyển?

Tổng MF1+ MF2 có thay đổi khi

M thay đổi? ( GV có thể nhắc

lại giả thiết dây không dãn )

+ Dựa vào bất đẳng thức trong

tam giác, HS có thể rút ra mối

quan hệ độ dài giữa tổng MF1+

MF2 và đoạn F1F2

Từ cách vẽ elip vừa trình bày ở

trên, GV yêu cầu học sinh phát

biểu định nghĩa đường elip:

Nếu cho hai điểm cố định F1 và

Dự kiến HS trả lời được:

+ chu vi tam giác không thay đổi Vì chu vi tam giác bằng tổng độ dài 3 cạnh- chính là bằng độ dài sợi dây, mà dây không dãn, nên chu

vi bằng hằng số

+ Tổng MF1+ MF2

không đổi do độ dài

2 Định nghĩa elip

Chohai điểm cố định F1 và F2, với

F2, với F1F2 = 2c ( c>0 ) Phát

biểu định nghĩa đường elip?

GV: Nhận xét định nghĩa của

HS

Phát biểu lại định nghĩa SGK và

cho HS ghi chép vào vở

F1F2 cố định – vị trí hai đinh cố định

Dự kiến HS phát biểu được định nghĩa đường elip, nhưng

có thể chưa trọn vẹn

HS: nghe nhận xét

và ghi chép vào vở ghi

F1F2 = 2c ( c>0)

Đường elip ( còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M sao cho MF1+ MF2

= 2a , trong đó a là số cho trước lớn hơn c

Hai điểm F1, F2 được gọi là các tiêu điểm của elip Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip

HOẠT ĐỘNG 3: TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP ( 10 phút)

Mục tiêu:

- Chỉ ra được mối liên hệ về đặc trưng giữa các yếu tố hình học và phương trình của một đường

elip

- Viết được công thức phương trình chính tắc của elip.

Chiếu slide:

Elip (E) với hệ trục Oxy được

chọn gắn với elip sao cho gốc

tọa độ O là trung điểm đoan

F1F2 Với cách chọn Oxy như

vậy, hiển nhiên trục Oy là

đường trung trực của F1F2.

Tương tự xây dựng phương

trình của đường tròn; để xây

dựng phương trình chính tắc của

elip, ta sẽ đi tìm điều kiện cần

và đủ

của x, y sao cho

M(x, y) thuộc elip ( E) Trước

tiên, chúng ta sẽ đi tìm độ dài

đoạn MF1, MF2.

GV: Chiếu slide phiếu học tập

số 2 ( gồm các câu hỏi và cách

bước gợi ý dẫn đến xây dựng

phương trình chính tắc elip); GV

yêu cầu học sinh làm cá nhân

GV: Nêu định nghĩa: Các đoạn

thẳng MF1, MF2 được gọi là bán

kính qua tiêu của điểm M

GV: dẫn dắt: bây giờ chúng ta

sẽ lập phương trình của (E) đối

HS: ngồi tại chỗ làm bài và xung phong trả lời câu hỏi

Ghi chép vào vở

II Phương trình chính tắc

của elip.

Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho O là

trung điểm F1F2.

M( x, y)

F1 ( -c, 0) ; F2 ( c, 0)

2 2 –

MF MF a

cx

MF MF

a









1

2

MF MF

cx a a cx a a



 





 Các đoạn thẳng MF1, MF2 được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M

Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của elip đã cho

x y

a b  (a b  0) (1) (a2 c2 b2)

với hệ trục tọa độ đã chọn như

trên

GV: thực hiện các phép biến

đổi:

Ta có :

1

2 2

2

cx

a

c x

a

a

Hay (a cx)2 (x c)2 y2

a



2 2

2

a

2

a

Hay x22 2y2 2 1

a a  c 

Vì a2 c2 0 nên ta có thể đặt

a  c b ( với b 0) và được

x y

a b  (a b  0) (1)

Phương trình (1) được gọi là

phương trình chính tắc của elip

đã cho

Ngược lại, ta có thể chứng minh

được rằng: Nếu điểm M có tọa

độ thỏa mãn (1) thì

1

2

MF

MF

cx

a

a

cx

a

a



 







, do đó

MF1+ MF2 = 2a

Tức là M thuộc elip (E)

( yêu cầu HS về nhà tự chứng

minh tiếp điều này)

HOẠT ĐỘNG 3:

THỰC HÀNH VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

VÀ TÌM HIỂU CÁCH NHẬN DẠNG MỘT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP (Thời gian:

15 phút)

Mục tiêu:

- Viết được phương trình đường elip khi biết các yếu tố cho trước.

- Xác định được tiêu điểm, tiêu cự của elip khi cho biết phương trình đường elip

- Nhận dạng được một biểu thức cho trước có là phương trình đường elip hay không

- Chú ý tới điều kiện của các hệ số a, b để một biểu thức cho trước thoả mãn là một phương trình đường tròn khi giải các bài toán nhận biết phương trình đường elip

Cho cả lớp theo dõi và suy nghĩ

phiếu học tập số 3 Câu 1 ( HS

nào đã có thể làm Câu 1 sẽ tiếp

tục suy nghĩ câu 2)

Đặt câu hỏi cho HS: Ta đã biết

Dự kiến HS trả lời được: ta sẽ thay tọa

độ hai điểm lần lượt

công thức chung dạng chính tắc

của đường elip Lại biết tọa độ

hai điểm thuộc (E) Làm thế nào

để viết được pt chính tắc này?

Nếu HS chưa quen hoặc chưa

nghĩ ra được cách giải, GV có

thể gợi ý cách làm tương tự như

đối với viết phương trình đường

tròn mà các em đã được học tiết

trước

GV: yêu cầu 1 em lên bảng trình

bày bài giải

GV: nhận xét và kết luận bài

toán

GV: chuyển sang câu 2 Có thể

ngay lập tức hỏi HS có hướng

giải quyết bài toán như thế nào

và yêu cầu lên bảng trình bày

phần a) câu 2

Dự kiến: Một số học sinh gặp

vướng mắc ở phần b) câu 2

Gợi ý học sinh chú ý: Khi M

thay đổi thì những đại lượng nào

cũng thay đổi và đại lượng nào

là hằng số Từ đó xét sự biến

thiên giá trị của độ dài MF1

GV:

- Chia lớp thành các nhóm nhỏ,

vào phương trình chính tắc (1) Sau đó giải hệ 2 phương trình 2 ẩn Tìm được

a và b Từ đó ta có phương trình chính tắc cần tìm

HS: làm bài vào vở

và xung phong lên bảng

Dự kiến Kết quả của HS:

Câu 1:

Phương trình chính

tắc là : 2 2 1

x y

Tiêu điểm:

F1 ( - 20, 0) và F2(

20, 0) Tiêu cự:

2c = 2 20 Câu 2:

x y

b Giá trị nhỏ

nhất:

a-c = 7 3 khi x = -a

yêu cầu làm phiếu thảo luận

nhóm

Giá trị lớn nhất:

a+c= 7 3khi

x = a

- Ngồi theo nhóm, đọc yêu cầu, phân chia và thực hiện nhiệm vụ

Các nhóm học sinh báo cáo kết quả làm việc

HOẠT ĐỘNG 4: CỦNG CỐ (Thời gian: 3 phút)

Qua bài học này các em cần nắm So sánh những gì III.Các dạng bài tập

được định nghĩa elip, xác định

các thành phần của elip ( tiêu cự,

tiêu điểm) khi biết phương trình

chính tắc của nó, lập được

phương trình chính tắc khi biết

được các yếu tố đã cho

- Giới thiệu một số dạng bài tập

liên quan đến phương trình

đường elip để học sinh về nhà

tìm hiểu

Dặn dò, giao bài tập về nhà

làm được và không làm được, trước và sau khi học bài mới

1 Lập phương trình đường elip:

- Khi biết tọa độ hai tiêu điểm và tọa

đọ một điểm bất kì thuộc elip

- Khi biết một trong các yếu tố , từ đó

đi tìm yếu tố còn lại

- Lập phương trình đường elip đi qua

2 điểm

2 Nhận dạng một phương trình cho trước có là phương trình đường elip hay không? Nếu có, xác định tiêu điểm và tiêu cự?

sinh

Trên mặt phẳng toạ độ 0xy, phương trình nào sau đây là

phương trình đường tròn? Hãy xác định tâm và bán kính của

những đường tròn đó?

a ( x- 6)2 + ( y + 9)2 = 16

………

b x2 + y2 – 4x + 8y + 11= 0

………

25 25

x y

………

x y

………

Lưu ý: Các em có thể sử dụng phần để trống này của phiếu học tập để vẽ hình, thực hiện các bước biến đổi nếu cần.

Đáp án phiếu học tập 1 :

định tâm và bán kính của những đường tròn đó?

a ( x- 6)2 + ( y + 9)2 = 16: Là phương trình đường tròn

Tâm I ( 6, 9) , R = 4

b x2 + y2 – 4x + 8y + 11= 0: Là phương trình đường tròn

Tâm I ( 2, -4) , R = 3

25 25

x y

  : Là phương trình đường tròn

Tâm O ( 0, 0) , R= 5

x y

Không là phương trình đường tròn

PHIẾU HỌC TẬP 2

I: Tức là có : F1F2 = 2c

MF1 + MF2 = 2a

và M( x, y) thuộc ( E)

Hệ trục Oxy được chọn gắn với elip

sao cho gốc tọa độ O là trung điểm

đoan F1F2

Oy là đường trung trực của F1F2.

Câu 1: Xác định tọa độ hai tiêu điểm F1, F2

………

………

Câu 2: Tính MF12- MF22 = ? và MF1 – MF2 = ? ………

………

………

Câu 3: Tính MF1 , MF2 = ? ( biểu diễn theo a, c, x) ………

………

………

………

Đáp án phiếu học tập 2

I:

Tức là có : F1F2 = 2c

MF1 + MF2 = 2a

và M( x, y) thuộc ( E)

Hệ trục Oxy được chọn gắn với elip

sao cho gốc tọa độ O là trung điểm

đoan F1F2

Oy là đường trung trực của F1F2.

Câu 1: Xác định tọa độ hai tiêu điểm F1, F2

F1 ( -c, 0) ; F2 ( c, 0)

Câu 2: Tính MF1- MF2 = ? và MF1 – MF2 = ?

1

2

4

MF MF cx

Mà MF1 + MF2 = 2a

Lại có hằng đẳng thức: 2 2

MF  MF  MF MF MF MF => MF1 – MF2 = 2cx

a

Câu 3: Tính MF1 , MF2 = ? ( biểu diễn theo a, c, x)

2 2 –

MF MF a

cx

MF MF

a













1

2

MF MF

cx a a cx a a



 







PHIẾU THẢO LUẬN NHÓM

Phương trình chính tắc

(E)

Tiêu cự Tọa độ tiêu điểm Tọa độ 1 điểm

A bất kì  (E)

1

x y

  … … A( 3 , )

2 2 1 16 5 x y   … … A( 2, )

… 10 … A( 0, 6) … … F 1 = ( -7, 0) ; F 2 =(…., …) A( 8,0) Câu 2: Trong những phương trình sau, phương trình nào có thể biến đổi về dạng phương trình chính tắc của (E) Giải thích vì sao có thể? Vì sao không thể? 1 9x 2 + 4y 2 = 36 ……….

………

2 9x 2 - 16y 2 = 144 ………

………

3 4x 2 + 9y 2 = 36 ……….

………

4 9x 2 + 16xy = 144 ……….

………

PHIẾU HỌC TẬP 3 Câu 1: Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua 2 điểm M( 0, 2) và N( 2 , 3) Tính tiêu cự ( E) và xác định tọa độ các tiêu điểm ………

………

………

………

………

……….

………

Câu 2: Cho ba điểm F 1 ( - 3, 0) và F 2 ( 3, 0) và M( 0, 2) a) Hãy viết phương trình chính tắc của (E) có tiêu điểm là F 1 , F 2 và đi qua M b) Khi điểm I chạy trên elip (E) đó, khoảng cách IF 1 có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng bao nhiêu? ………

………

………

………

………

………

………

………

……….

………

………

………

………

………