Bài giảng động lực học
Trang 1Chương 4 HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO
4.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN
ĐỘNG
4.1.1 Dao động uốn của dầm
Xét dầm thẳng như hình H.4.1 Tách phân tố xét
cân bằng:
∂
∂ +
−
x
Q Q
pdx
với lực quán tính phân bố
L
x dx
x v(x,t)
p(x,t)
EI(x), m(x)
f I
p(x,t) Q
M
dx x
Q Q
∂
∂ +
dx x
M M
∂
∂ +
O
H.4.1 Dao động uốn dầm
dx
Trang 2v mdx
dx
f i
∂
∂
Thế (4.2) vào (4.1) ta được:
2
2
t
v m
p x
Q
∂
∂
−
=
∂
0
=
∑M O bỏ qua vô cùng bé bậc cao của p và f i:
0 )
∂
∂ +
−
x
M M
Qdx
x
M
=
∂
∂
(4.5)
Đạo hàm riêng 2 vế với x dẫn tới:
p t
v m
x
M
=
∂
∂ +
∂
∂
2
2
2
2
(4.6)
t
v m
x
v EI
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
2
2
)
trong đó các đại lượng EI và m thay đổi theo x.
Nếu uốn dầm xét đến ảnh hưởng lực dọc:
p t
v m
x
v N
x
v EI
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
)
4.1.2 Dao động dọc của thanh
Trang 3Thanh có các đặc trưng thay đổi, chịu lực kích
động q(x,t) Xét cân bằng lực của phân tố:
0 )
, ( )
, ( )
, (
) , ( )
( )
,
2
=
−
∂
∂ +
−
∂
∂ +
dx t x q
dx x
t x N t
x N
dx t
t x u x
m t
x
N
(4.9)
Ta có:
) (
) ,
( )
( ) , ( )
( ) , ( )
,
x
t x
u x
EA t x x
A t x t
x
N
∂
∂
=
=
Thế vào (4.9) ta được:
) , (
) ,
( )
(
) ,
( )
2
t x
q x
t x
u x
EA x
t
t x
u x
∂
∂
∂
−
∂
∂
(4.11)
4.2 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO
H.4.2 Dao động dọc thanh
L
x dx
x u(x,t)
N(0,t)
EA(x), m(x)
N(L,t)
q(x,t)
x
N N
∂
∂ +
dx
dx t
) t , x ( u ) x (
2
∂
∂
Trang 44.2.1 Dao động uốn tự do của dầm
Xét các đại lượng EI, m = const, p(x,t) = 0
Phương trình (4.7) trở thành:
0 )
, ( )
,
(
2
2
4
4
=
∂
∂ +
∂
∂
t
t x v m
x
t x v
hay: ( , ) + v(x,t) = 0
EI
m t
x
v IV
(4.13) Nghiệm chọn dạng phân ly biến số như sau:
) ( ) ( )
, (x t x Y t
với φ(x) - hàm dạng, Y (t)- biên độ
Thế (4.14) vào (4.13) ta được:
0 )
( ) ( )
( )
EI
m t
Y x
Chia hai vế bởi φ (x)Y(t), (4.15) trở thành:
0 )
(
)
( )
(
) (
=
+
t Y
t
Y EI
m x
x
φ
φ
(4.16) hay ((x x)) EI m Y Y((t t))
−
=
φ
φ
(4.17) Phương trình (4.17) chứng tỏ 2 vế không phụ thuộc
vào x và t, tức là bằng một hằng số:
4
) (
)
( )
(
)
(
a t
Y
t
Y EI
m x
x
IV
=
−
φ
φ
(4.18) Từ đây dẫn tới 2 phương trình vi phân thường:
Trang 50 )
( )
(t + 2Y t =
0 )
( )
(x − a4 x =
với
m
EI
a4
2 =
Phương trình (4.19a) có nghiệm:
t B
t A
t
hay biểu diễn theo điều kiện ban đầu Y( 0 ) và Y( 0 )
thì
t
Y t
Y t
ω
ω (0) sin cos
) 0 ( )
Phương trình (4.19b) được giải bằng cách chọn nghiệm dạng:
sx Ge
x) =
(
Thế vào (4.19b) dẫn tới:
0 )
(s4 − a4 Ge sx = (4.24) Từ đó ta tìm được:
a s
ia
s1,2 = ± , 3,4 = ± (4.25) Nghiệm tổng quát của (4.19b) có dạng:
ax ax
iax
e G
với G 1 , G 2 , G 3 , G 4 là các hằng số phức
Phương trình (4.26) có thể viết lại dạng thực cho các số hạng:
) sinh(
) cosh(
) sin(
) cos(
)
(x = A1 ax + A2 ax + A3 ax + A4 ax
Trang 6các hằng số A i được tìm từ điều kiện biên của dầm
4.2.2 Dao động dọc tự do của thanh
Xét thanh có đặc trưng EA, m hằng số Khi q(x,t) =
0 thì phương trình (4.11) có dạng:
0
) , ( )
,
(
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
x
t x
u EA
t
t x
u
Tách biến:
) ( ) ( )
, (x t x Y t
Phương trình (4.28) viết lại dưới dạng:
2
) (
)
( )
(
)
(
c t
Y
t
Y EA
m x
x
II
−
=
=
φ
φ
(4.30) Từ đó dẫn tới hai phương trình:
0 )
( )
(t + 2Y t =
0 )
( )
(x + c2 x =
với
m
EA
c2
2 =
Phương trình (4.31a) có nghiệm giống (4.21) Phương trình (4.31b) có nghiệm như sau:
) sin(
) cos(
)
Trang 7Thí dụ: E 18.5, p 392-393.
Chú ý: Các mode dao động φm (x) và φn (x) có tính trực giao, tức là thoả mãn điều kiện:
0 )
( ) ( )
(
∫ x x m x dx
L
n
4.3 PHƯƠNG PHÁP ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC
HỌC (the Dynamic direct Stiffness Method -
DSM)
4.3.1 Ý nghĩa
Trong chương 3 đã dùng hàm đa thức Hecmit để xấp xỉ đường đàn hồi và dẫn tới phương pháp
độ cứng tĩnh học (Static dirrect Stiffness Method)
Phương pháp này kém chính xác vì hàm dạng không kể đến lực quán tính
Trên cơ sở hàm dạng (4.27) là nghiệm chính xác của dầm khi dao động, có thể dùng để làm hàm dạng, từ đó dẫn tới phương pháp độ cứng động lực học, được coi là chính xác Đặc điểm của phương pháp này là các hệ số cứng phụ thuộc vào tần số, phương pháp này hiện nay được dùng trong bài toán ngược chẩn đoán công trình
Trang 84.3.2 Ma trận độ cứng uốn động lực
Xét dầm tiết diện đều, không chịu lực tác dụng, phương trình chuyển động của nó cho bởi (4.13):
0 )
, ( )
,
EI
m t
x
v IV
Chuyển vị cưỡng bức có dạng:
t v
với v i0 là biên độ chuyển vị biên v i Chuyển vị tại
một điểm bất kỳ của dầm có dạng:
t x
t x
v( , ) = φ ( ) sin ω (4.36) Phương trình (a) được viết:
0 )
( )
(x − a 4 x =
trong đó:
EI
m a
2
4 = ω (4.38)
Nghiệm của phương trình (4.37) có dạng:
) cosh(
) sinh(
) cos(
) sin(
)
(x = A1 a x + A2 a x + A3 a x + A4 a x
φ
(4.39)
a phụ thuộc vào tần số cưỡng bức ω , khác với a
phụ thuộc vào tần số tự nhiên ω theo (4.20)
Trang 9Để cho tiện về sau, ta kí hiệu đơn giản:
EI
m
a
2
4 = ω hoặc
EI
mω 2 tuỳ theo dạng dao động cưỡng bức hoặc tự do được xét tới
Từ (4.27) ta rút ra phương trình ma trận:
−
−
−
−
=
′′′
′′
′
4 3 2 1
3
2
sinh cosh
sin cos
cosh sinh
cos sin
sinh cosh
sin cos
cosh sinh
cos sin
A A A A
ax ax
ax ax
ax ax
ax ax
ax ax
ax ax
ax ax
ax ax
a
a
a
φ
φ
φφ
(4.40)
Biểu diễn chuyển vị thẳng và xoay hai đầu thanh,
ta có:
−
−
−
−
−
=
′
−
′
−
=
=
=
=
=
4 3 2 1
0
0
0 0
1 0
1 0
1 1
A A A A
aS aC
as ac
a
C L
S L
c L
L
L L
v L
v
L x x
L x x
j
i
j
i
θ θ φ φ
θ
θ
(4.41)
Trang 10trong đó:
aL C
aL c
aL S
aL
s
cosh
cos
sinh
sin
≡
≡
≡
≡
Phương trình ma trận (4.41) có thể viết dưới dạng
kí hiệu ngắn gọn:
η
W
Chuyển vị và nội lực hai đầu thanh được minh họa
trên H.4.3
Mặt khác, nội lực và đường đàn hồi đầu thanh có quan hệ:
−
−
−
−
−
−
−
=
′′
−
′′
′′′
−
′′′
=
=
=
=
=
4 3 2
1
2
0
0
1 0
1 0
0 0
A A A A
C S
c s
aSL aCL
asL acL
aL aL
EIa L
L EI M
M
L
V
L
V
L x x
L x x
j
i
j
i
φ φ φ φ
(4.43)
v j
v i
θi
θj
V i
V j
M i
M j
H.4.3 chuyển vị và lực nút
Trang 11hay: S = Uη (4.44) Từ (4.42) ta có: η = W − 1v (4.45) Thế (4.45) vào (4.44) nhận được:
v UW
Ma trận độ cứng động lực của đoạn dầm đóng vai trò trung gian giữa lực nút và chuyển vị nút, vì vậy theo (4.46) ta có:
1
) (a = UW −
Độ cứng là hàm của tham số tần số a vì cả U và W đều phụ thuộc vào a Thực hiện phép tính theo
(4.47) ta thu được:
−
−
−
−
−
−
=
j i j i
j i j i
L
v L v
L
EI M
M
L V
L V
θ
θ α
α β
β
α α
β β
β β
γ γ
β β
γ γ
(4.48)
trong đó:
aL cC
d
d
s
S d
cS sC
d
c
C d
sS
d
s
S d
cS sC
=
−
=
−
=
+
=
−
=
=
−
=
−
=
λ
λ γ
λ γ
λ β
λ β
λ α
λ α
1
3 3
2 2
(4.49)
Trang 12Trong trường hợp tĩnh học λ = 0 ta có các hệ số
cứng sau:
4
, 6
,
0
γ
Đồ thị các hệ số cứng động lực theo tham số tần số
λ cho trên H.4.4.
4
, 6
,
0
γ
Thí dụ: E 20-1, p 350-353
H.4.4 Hệ số độ cứng động lực
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
α
β
α β
λ
1 2 3 5 6
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20
γ β β
β
λ
1 2 3 5 6
Trang 13Thí dụ:
Phân tích dao động dọc tự nhiên của dầm công son khối lượng và độ cứng phân bố đều như hình vẽ
Nghiệm của bài toán dao động dọc trục thanh:
) sin(
) cos(
)
φ
Hai điều kiện biên của dầm công son là:
không
Tại x = L N( 0 ) = AEφ ′ (L) = 0 Lực dọc bằng không
x
L
EA, m = const O
Mode 1
Mode 2
Mode 3
Trang 14Thay vào phương trình trên, nhận được:
0 ) cos(
) ( )
0 (
0
2
1
=
=
′
=
=
cL c
AEC L
AE N
C
φ
Từ đây cos(cL) = 0
π
2
1
= n
cL
hay
L
n
2
1
=
Do đó phương trình dao động được viết như sau:
) 2
1 2
sin(
)
L
x c
n C
x
Tần số dao động là
2
2
2
1
2
mL
EA
n m
EA
c n
Các dạng dao động được thể hiện như trên hình vẽ
Thí dụ:
Phân tích dao động uốn tự nhiên của dầm đơn giản khối lượng và độ cứng phân bố đều như hình vẽ
Nghiệm của bài toán dao động uốn thanh như sau:
) sinh(
) cosh(
) sin(
) cos(
) (x =A1 ax + A2 ax +A3 ax +A4 ax
φ
Trang 15Bốn điều kiện biên của dầm đơn giản là:
Tại x = 0 φ ( 0 ) = 0 Chuyển vị bằng không
0 ) 0 ( )
0
Tại x = L φ (L) = 0 Chuyển vị bằng không
0 ) ( )
(L = EI ′′ L =
Aùp dụng điều kiện biên tại x = 0 vào phương trình
trên, nhận được:
0
3
A Tương tự, tại x = L
x
L
EI, m = const O
Mode 1
Mode 2
Mode 3
Trang 160 )) sinh(
) sin(
( )
(
0 ) sinh(
) sin(
) (
4 2
2
4 2
= +
−
=
′′
= +
=
aL A
aL A
a L
aL A
aL A
L
φ
φ
Từ đây 2A4 sinh(aL) = 0
Vì hàm hyperbolic luôn khác không nên A 4 phải bằng không
Vậy phương trình dao động được viết như sau:
) sin(
)
φ
Tại x = L A2 sin(aL) = 0 aL = nπ
hay a n = nπ L1
Do đó phương trình dao động được viết như sau:
) sin(
)
L
x n A
x
φ =
Tần số dao động là 2 4
mL
EI n
ω =
Các dạng dao động được thể hiện như trên hình
vẽ
Thí dụ 3:
Xét hệ khung chịu mô men tác dụng tại nút, các đặc trưng về độ cứng và khối lượng của từng
thanh a, b, c như trên hình vẽ Bỏ qua ảnh hưởng
dọc trục (xem hệ có một bậc tự do là chuyển vị
Trang 17xoay tại nút) Dùng phương pháp độ cứng động lực học xác định chuyển vị xoay tại nút của hệ
) sin(
)
M = ω ; 2 ( 2 8 ) 4 4
mL
EI
=
ω
Độ cứng động của hệ:
c b
a c
b a
L
EI L
EI L
EI k
k k
25
16 5
.
+
= +
+
=
với αa, αb,αc được xác định bởi phương trình (4.49) thông qua tần số của lực kích thích
λ
α
d
cS
sC −
4 2
4
EI
mL
aL a = ω
Cho từng phần tử a, b, c ta xác định được:
2 4 )
(
; 5 3 )
( 2.8;
)
L
EI, m O
c
16EI/25 25m/16
EI, m M(t)
Trang 18Từ H.4.4 suy ra được
90 2 ;
00 2 8;
33
.
α
(Có thể áp dụng công thức (4.49) để tính)
Thay vào phương trình trên, xác định được độ cứng động của hệ:
L
EI
k = 2 68
EI
L
M t
M k
68 2
)
= −
Chú ý:
4
2 ( 2 89 )
mL
EI
=
ω (tần số lực kích thích bằng tần số riêng của hệ) thì
34 4 )
(
; 66 3 )
( 2.89;
)
(aL a = aL b = aL c = Độ cứng của hệ lúc này là k = 0
