Bài giảng Động lực học công trình Chương 4 5 6

Phuong trinh dao động tự do tổng quát của hệ Phương trình vị phân dao động tự do khi không xét tới ảnh hưởng của lực cản nhận được từ phương trình 3-3 khi không cé vế phải: Xx - hàm chí

Chương 44 DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

§I XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG TONG QUAT HE VO

y = y(x,0)

Để xây dựng phương trình vi phân dao động của hệ ta sử dụng phương pháp tĩnh động trong đó có bổ sung vào hệ lực quán tính viết theo nguyên lí Đalambe Các lực tác dụng vào hệ bao gồm:

êˆy(x,1)

3

on

- Lực quán tính phân bố: q 0% 0 =-m,,)

OGD

- Luc can chuyén dong (can nhot): q,(x,t)=C

- Lực đàn hồi phân bố tương ứng với chuyển vị động y(x,L) có xu hướng đưa hệ về vị

qy(X.t) = Zl, a

- Tai trong dong: — q(x, t)

Viết phương trình cân bằng lực theo phương ditng: DY = 0, ta có:

§2, DAO DONG TU DO CUA THANH THANG

1 Phuong trinh dao động tự do tổng quát của hệ

Phương trình vị phân dao động tự do khi không xét tới ảnh hưởng của lực cản nhận được từ phương trình (3-3) khi không cé vế phải:

X(x) - hàm chí phụ thuộc vào tọa độ x, nó biểu thị dạng uốn của dầm;

T(t) - hàm chỉ phụ thuộc vào thời gian, nó biểu thị luật đao động của hệ

Từ (3-6) ta lấy đạo hàm riêng cua y(x, L) theo thời gian và theo tọa độ:

Từ (3-9) ta thấy: Vế phải của phương trình chỉ phụ thuộc vào thời gian t, còn vế trái

chỉ phụ thuộc vào tọa độ x Như vậy, muốn thỏa mãn phương trình (3-9), thì cả hai vế của phương trình này cùng phải bằng một đại lượng nào đó Ta kí hiệu đại lượng này là

œ” Từ đó, ta có thể rút ra hai phương trình sau:

Phương trình (3-10) là phương trình ví phân dạng uốn của dầm Giải phương trình này

ta xác định được dạng dao động X Tương tự như đối với dao động của hệ hữu hạn bậc

tự đo, khi xét điều kiện đảm bảo cho hệ dao động ta sẽ xác định được các tần số dao động riêng của hệ

Trong trường hợp tổng quát, phương trình vị phân (23-10) có các hệ số thay đối theo tọa độ Khi dầm có độ cứng không đối, phương trình (3-10) có dạng đơn giản hơn:

Phương trình (3-14) được giải quyết cụ thể ở §3

Như vậy, nghiệm cửa phương trình ví phân (3-5) được biểu thị dưới dạng (3-6) chính

là nghiệm của hệ phương trình vị phân (3-10) va (3-11) Vì hệ có vô số bậc tự do, nên ta cũng tìm được vô số tần số dao động riêng Tương ứng với tần số dao động riêng œ;, ta

có đạng dao động chính thứ ¡ ứng với hàm biểu thị dạng uốn X; và luật đao động T::

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (3-5) sẽ là:

Phương trình (3-16) là phương trình đao động tổng quát của hệ vô số bậc tự do

Trong trường hợp kế đến ảnh hưởng của lực cản, phương trình vị phân dao động tự do

có dạng:

Ở đây xét trường hợp lực cản nhỏ, ứng với e < 1

Ta cũng biểu thị nghiệm dưới dạng (3-6) và tiến hành làm tương tự như trên, ta sẽ nhận được phương trình dao động tổng quát của hệ như sau:

Y(x.t)= S`Yœ,Ð = Se EX, A; sin (@, t+y,) (3-18)

2 Tính chất trực giao của các dạng dao động riêng

Tương tự như đối với dao động của hệ hữu hạn bậc tự do, các dạng dao động riêng của

hệ vô số bậc tự do cũng có tính chất trực giao Biểu thức của tính chất trực ølao giữa các

dang dao động riêng được tìm trên cơ sở áp dụng nguyên lí công tương hỗ Betti đối với

các dạng đao động riêng

157

Xét hai dạng đao động riêng ứng với hai tần số dao động riêng œ¡ và œ¡ Khi dao động

tự do, ta xem hệ chịu tác dụng của các lực quán tính xem như ngoại lực (hình 3.2)

Với dạng chính thứ ¡, ta có chuyển vị của hệ:

YŒ&, Ð = X,T;= X; Á;¡ sm (@¡† + Y¡)

Và lực quán tính phân bố:

Gig (Xt) =07 m(x)X;A; sin (@t+y;)

Với dạng chính thứ J, ta có chuyển vị của hệ:

Yiux, y= Xj Ajsin (ot + Tj)

Áp dụng nguyên lí Betti vào hai trạng thái biến dạng ứng với hai dạng dao động đó, ta có:

[aig DO 0dx = f° gj (x t.ys (x, Ddx

Hay:

{i om, X; Aj sin(@t+7;) XjA,sin (at +y,)dx =

= Ệ @; m, Xx; Aj sin(w,t+y;) XA; sin (01+ y; dx Sau khi don gian hai vé cho Aj Aj- sin (@L+ 7; ysin((@ jt + T¡)và chuyển vế, ta được:

(ø?-ø7} [i m(x)X, X,dx =0

158

Vì các tần số dao động riêng có giá trị khác nhau œ, #(›, nên ta có thể viết biểu thức trên:

{m(x) X; X;dx = 0 (3-19)

Đó chính là biểu thức tính chất trực giao giữa các dạng dao động riêng

Dang dao động riêng thoả mãn điều kiện sau đây được gọi là dạng chuẩn:

[ m(x) X? dx =] (3-20)

Biểu thức (3-19) biểu thị tính chất trực giao của các dạng dao động riêng qua khối

lượng của hệ Tính chất trực giao giữa các dạng dao động riêng còn được biểu thị qua độ

cứng của hệ như sau:

j[EI@Xƒ | X;dx=0 (3-21)

3 Xac dinh A, va y¡ của phương trình dao động (3-16)

Ta viết lại phương trình (3- L6):

i=l

Trong đó: A; và y¡ được xác định từ điều kiện ban đầu: Tại thời điểm ban đầu t = 0, ta

có độ võng và tốc độ ban đầu của hệ là: y,(x) và v.(x) Trước hết ta tính đạo hàm theo

thời gian phương trình (3-22)

ÿ@&x,Ð= 3 X, A,@,cos(0,L+Y,) (3-23)

i=l Chú ý: các kí hiệu đạo hàm theo thời gian, ta để dấu chấm, và kí hiệu đạo hàm theo toạ độ ta để dấu phẩy

Thay các điều kiện ban đầu vào các phương trình (3-22) và (3-23), ta có:

= Khai triển tổng phía trong bên vế phải của phương trình trên ta có:

159

Ữ m(x)y„(x)X; dx = ƒ m(x)X; (A, X, siny, + A,X, siny, + +

+ A; X; sin y, + + A, X, sin y,) dx

Sử dụng tính chất truc giao (3-19), ta nhận được:

[ m(x)y,,(x) X; dx = {i m(x)A,X? sin y, dx

§3 DAO DONG TU DO CUA THANH THANG CÓ KHỐI LƯỢNG PHẦN BỐ ĐỀU

VA TIET DIEN KHONG DOI

Trong trường hợp nay: m(x) = const, EJ(x) = const, phuong trình vị phân dao động tự

Đề tiện cho việc tính toán sau này, ta dat:

Cac ham trên duoc goi la ham Crulov va chting tuan

theo quy luat dao ham sau: (xem hinh 3.3)

Và: Ajy=l

Buy = Coy = Dio) = 9

Từ (3-34) ta có các đạo hàm:

X) =C,KD,, + CoKA,, + CK By, + CuK Cy

XY =C,K°C,, +CyK°D,, + CK? Ay, + CK By, (3-36) X”=C,K*B,, +CK°C,, +CK* D,, +C\K*A,,

Các hãng số C¡, C¿ C; C; được xác định từ điều kiện biên, giả sử tại x = 0, ta cd:

Thi dụ 3.1:

Xác định các tần số đao động riêng và phương trình dao động tổng quát của hệ cho 6 hình 3.4 hệ có khối lượng phân bố đều và tiết điện không đổi

1 Xúc dịnh các tân số dao động riêng: các điều kiện biên của dâm đơn giản

- Tại đầu dim: x =0

[Xen =0

IM, =0 tò)

- Tai cuoi dam: x = |

Sau khi khai triển định thức (b) và thay các hàm Bị, Dy, theo (3-35), ta sé nhan duoc

phương trình tân số sau:

Ta biết rằng: K luôn khác không nên k/ cũng luôn khác không và do đó Shkí # Ö vậy:

sin k/ = 0

163

Thế giá trị này vào biểu thức (e), và thay tiếp các hàm Bị v Dị, theo (3-35), ta sẽ

viết lại (e) như sau:

Ủng với các giá trị ¡ khác nhau, ta có các dạng dao động riêng tuong ting Trén hinh 3.4

mô tả một số dạng đao động riêng ứng với các tần số đao động riêng œ¡, @;, @; của hệ Thé ham dang X, theo (g) vào (3.16) ta được phương trình dao động tự do của hệ:

Xác định tần số và dạng dao động riêng m, = const

không đổi (hình 3.5)

Thay các biểu thức (3-34) và (3-36) vào các hệ thức trên ta nhận được: C¡ = 0; C; = 0 vào hệ hai phương trình sau:

C¿Cụ +C¿ Đụ =0 , w a CyAy +Cy By =0

Điều kiện để hệ dao động là định thức của hệ phương trình (a) phải bằng không:

$4 DAO DONG CUA HE VO HAN BAC TU DO CHIU TAC DUNG XUNG

Như đã biết, dưới tác dụng của xung tức thời hệ sẽ dao động tự do Phương trình dao động tự do tổng quát của hệ vô số bậc tự do được xác định theo (3-15):

i=l wel Trong dé Aj va y, duoc xdc dinh từ điều kiện bạn đầu theo (3-26) và (3-27) vấn đẻ ở day la A, và y, được tính cụ thể như thế nào?

Ta biết rằng, tại thời điểm bạn đầu dưới tác dụng của xung lực phân bố trên hệ S(x) khối lượng phân bố của hệ sẽ nhận được vận tốc ban đầu:

_ S(X)

(x

909 m(x)

Và nếu ta xem rằng: Tại thời điểm bạn đầu chuyển vị của hệ bằng không, thì điều

kiện ban đầu của hệ có thể viết như sau:

Thanh phan S(x) duoc goi la xung khai triển theo dạng chính thứ ¡ Phương trình

(3-43) con viet o dang sau:

Lực đàn hồi của hệ khi chịu tác dụng của xung tức thời được tính qua lực quán tính:

qa th= > -m, EY OGY _ > S,(x).@, sin@;t (3-48)

Thi du 3.3:

thời phân bố đều theo trục dầm Dầm có khối #

Ở thí dụ (3.1) ta đã có biểu thức xác định các

2

277 {EJ 2 im! > 4/— =! QO;

Phương trình dao động của hệ được tính theo (3-43):

Giá trị lớn nhất của chuyển vi y„ theo thời gian xảy ra khi sin(i7@,t) = sin i? 3 =I

}=1, 3,5 Ung voi thoi diém:

a a (TI = = “I

169

Y,X,U= X;Á; sn(@,t + y;) vào phương trình vi phân dao động (3-5), sau khi tính đạo hàm và chuyển vế, ta nhận được:

œïm,X,(X)A, sin{(@jt+y;¡)=[EJ,X?Œ)A; sỉn (0¡L+ }, | Don giản hai vế của phuong trinh trén cho A; sin(@,t +7; ), ta có;

Đây là phương trình có dang piống như phương trình vị phân dao động của hệ một bậc

tự do Nghiệm của phương trình này

ma

| ¿4¡(X)q(x,1)dx

0, J, m, X;(x)dx Thế (3-56) vào (3-50) ta nhận được nghiệm tổng quát của dao động cưỡng bức hệ vô

số bac tu do chịu tại trọng bat ki:

isl

Đưa (b) vào (a):

hệ vô số bậc tự do chịu tác dụng của xung tức thời (§4) Trên biểu đồ tải trọng tại thời điểm + ta tách ra một phân tố tải trọng:

dS, = q,(x, tT) dt Xem rang: tai thoi diém t, hé chiu tac dung cia xung dS Ta tinh duoc chuyén vị do xung phân tổ gây ra dy (x, T) và do đó sẽ tính được y(x, t)

Khi hệ chịu tác dụng của các lực tập trung P/() đặt tại các tạo độ x, ta có thể thay thế các tải trọng này bang tai trọng phân bố tương đương ã(x,t), sao cho tải trọng tương đương sây ra dao động đối với hệ cũng giống với các tải trọng tập trung Ta thấy rằng: tích phân trên tử số của biểu thức (3.58) giống biểu thức xác định giá trị đại lượng nghiên cứu của đường ảnh hướng cho bởi phương trình X, do tài trọng phân bố q(x.t) gây

ra Khi các tải trọng tập trung tác dụng, biểu thức xác định giá trị đại lượng nghiên cứu đối với phương trình đường ảnh hưởng X do các lực tập trung đó gây ra là:

Xác định độ võng và mômen uốn lớn nhất trong dầm đơn giản chịu tác dụng của tải

trọng đặt đột ngột sau đó giữ nguyên giá trị trên hệ, tải trọng này phân bố dọc theo trục

đầm với quy luật:

q(x) = qsin

Dam có khối lượng phân bố đều và tiết điện không đổi

với đạng dao động riêng thứ nhất thì hệ chí dao động theo dạng chính thứ nhất ứng với

Trên hình (3-7) mô tả biểu đồ độ võng và biểu đổ mô men uốn đọc theo trục dam:

175

Thí dụ 3.5:

Xác định phương trình dao động của dầm

cho trên hình (3.8) Dam có khối lượng phân

bố đều tiết điện không đổi, chịu lực động

tuần hoàn Psinrt Xác định độ võng lớn nhất

lor 3

khia=—, 1 =7

Khi hệ chịu tác dụng của lực động tuần

hoàn hệ số K,„() theo (3-61) được tính cụ thể như sau:

H"ì

Giá trị độ võng đạt lớn nhất theo thời gian khi sinrt = | ta có:

sin =" sin ima

2g

Y@&)=“— Ÿ ———— "

mf jz wo; 1

imX imta 2p „ Sm; sine

176

Khi tải trọng động đặt tại vị trí giữa dầm : = ; thì độ võng của dầm đạt giá trị lớn

Chương 5 DAO DONG DAN DEO HE MOT BAC TU DO

§1 KHÁI NIỆM

Xét đến tính deo của vật liệu có ý nphĩa thực tiến lớn, đặc biệt đối với các công trình chịu tác đụng của tải trọng ngắn hạn Khi chịu tác dụng của tải trọng ngắn hạn cường độ lớn nhiều trường hợp cho phép biến dạng deo điều đó thích hợp với việc sử dụng công trình trong một thời gian ngăn của tài trọng động ngắn hạn tác dụng mà không bị phá hoại Bởi vì với tác dung của tải trọng ngăn hạn khi kết cấu bị biến dạng qua giai đoạn đàn hồi thì tại trọng động đã mất đi rồi Chính vì vậy tính kết cấu công trình chịu tải trọng ngăn han làm việc trong giải đoạn dẻo có ý nghĩa thực tiễn lớn

Đặc trưng cơ bản của kết cấu làm việc trong giai đoạn dẻo được thể hiện ở biểu đồ quan hệ giữa ứng suất và biến dạng (ơ - £) Các biểu đề quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của vật liệu có nhiều dạng khác nhau khi chịu tải Với đa số các vật liệu xây dựng

ta sử dụng thích hợp các biểu đồ quan hệ (ơ - £) như sau: hệ đàn hồi đẻo lí tưởng: (Hình +4.la); hệ đàn hồi có sự tăng ứng suất qua giải đoạn đàn hồi: (hình 4.1b); hệ cứng đeo: (hình 4.Íc): hệ cứng dẻo có sự tăng ứng suất: hình 4.1d: hệ với đặc trưng đàn hồi phí tuyến bất kì: (hình 4.1) Hệ có đặc trưng đàn hồi phi tuyến bất kì có thể thay đường cong phi tuyến bất kì bàng đường gầy khúc cho trên hình 4 LÝ

-Khi tính kết cấu chịu tải trọng ngắn bạn ta thường phải xác định nội lực và chuyển vị lớn nhất trong hệ Như đã biết: Chỉ có các tần số thấp là có ảnh hưởng lớn đến quy luật chuyển động của hệ Vì vậy trong nhiều trường hợp tính dao động của hệ chịu tải trọng ngắn hạn ta chỉ hạn chế lấy số bậc tự do không lớn và thường lấy tần số thấp nhất, tức là

ta tính hệ như hệ một bậc tự do Ở hệ một bậc tự do các hệ số động học được sử dụng rất tiện lợi, nó cho phép đưa bài toán động về bài toán tĩnh bằng thay thế tải trọng động bằng tải trọng tĩnh tương đương nào đó Ở chương I, khi xét hệ một bậc tự do ta đã biết: đối với hệ một bậc tự do trong giai đoạn đàn hồi chỉ có một hệ số động, hệ số này chung cho cả chuyển vị và nội lực của hệ Nhưng đối với hệ một bac tu do trong giai đoạn dẻo thì hệ số động chuyển vị khác với hệ số động nội lực, hệ số động nội lực cũng chính là

hệ số động tái trọng Ta gọi hệ số động chuyển vị là K,, goi hé số động tải trọng là K,

§2 DAO ĐỘNG PHI TUYỂN CUA HE CO LUC DAN HOI BAT KI

1 Phuong trinh vi phan dao dong

Xét dao động cua hệ một bậc tự do có mô hình đơn giản cho trên hinh 4.2a Dac trung

đàn hồi có dạng phi tuyến bat ki duoc phan ảnh trên hình 4.2b Vì đặc trưng đàn hỏi phi tuyên nẻn đạo động của hệ được xét là dao động phi tuyến (phí tuyến vat li), Phuong

trình ví phân chuyển động của hệ được xây

lực quán tính được viết như sau: J1 Y |

được xem xét ở hai giải đoạn: giải đoạn tăng Hình 42

tHỊ:! +

179