Luận văn sư phạm Phép nghịch đảo với bài toán dựng hình học trong mặt phẳng

Bài toán 15 Bài toán Apoloniuyt.

HÀ N I - 2007

L i c m n

Trong quá trình hoàn thành khóa lu n này, em đã nh n đ c s đ ng viên, h ng d n, ch b o t n tình c a th y inh V n Th y, cùng nh ng ý ki n đóng góp quý báu c a các th y cô trong t Hình h c, Tr ng i h c S

ph m Hà N i 2 Qua đây, em xin g i l i c m n chân thành và sâu s c nh t

t i th y inh V n Th y - ng i đã tr c ti p h ng d n và ch b o em trong

su t quá trình làm khóa lu n ng th i em c ng xin bày t lòng bi t n chân thành t i các th y cô trong t Hình h c đã giúp đ em hoàn thành khóa lu n này

Hà N i, ngày 04 tháng 05 n m 2007

Sinh viên

V Th Thúy

M c l c

Trang

L i nói đ u 5

Ch ng 1: Bài toán d ng hình 7

1.1 M t s đ nh ngh a 7

1.1.1 Hình là gì? 7

1.1.2 Nghi m c a m t bài toán d ng hình là gì? 7

1.1.3 Gi i m t bài toán d ng hình là gì? 7

1.2 Các b c gi i m t bài toán d ng hình 8

1.3 Các ph ng pháp d ng hình 8

Ch ng 2: phép ngh ch đ o 10

2.1 nh ngh a và các tính ch t c a phép ngh ch đ o 10

2.1.1 nh ngh a 10

2.1.2 M t s tính ch t c a phép ngh ch đ o 10

2.2 Các đ nh lí 11

2.3 nh c a đ ng th ng và đ ng tròn qua phép ngh ch đ o 12

Ch ng 3: ng d ng phép ngh ch đ ogi i bài toán d ng hình 13

3.1 Bài toán 1 13

3.2 Bài toán 2 15

3.3 Bài toán 3 15

3.4 Bài toán 4 15

3.5 Bài toán 5 17

3.6 Bài toán 6 19

3.7 Bài toán 7 21

3.8 Bài toán 8 23

3.9 Bài toán 9 26

3.10 Bài toán 10 27

3.11 Bài toán 11 29

3.12 Bài toán 12 29

3.13 Bài toán 13 29

3.14 Bài toán 14 31

3.15 Bài toán 15 (Bài toán Apoloniuyt) 33

3.16 Bài toán 16 38

Ch ng 4:M t s Bài t p áp d ng 40

4.1 bài 40

4.2 H ng d n gi i 41

Ph n k t lu n 49 Tài li u tham kh o 50

L i nói đ u

1 Lí do ch n đ tài

Hình h c là môn h c h p d n, thu hút nhi u h c sinh yêu toán Vi c

gi i các bài t p, tìm ra nhi u cách gi i, trong đó có nh ng cách hay, đ c đáo

s phát huy tính sáng t o, ni m say mê đ i v i môn hình h c V i m i bài t p

có th có nhi u ph ng pháp gi i: ph ng pháp t ng h p, ph ng pháp véct , ph ng pháp bi n hình,

Trong ch ng trình hình h c ph thông, bài toán d ng hình luôn là bài toán khó đ i v i h c sinh, các em th ng ng i ho c không thích gi i bài toán

d ng hình Vì lí do s ph m mà các sách giáo khoa ph thông không đi sâu nghiên c u lí thuy t c a bài toán d ng hình, c ng nh nh ng ph ng pháp

gi i bài toán d ng hình giúp các em h c sinh ph thông, đ c biêt là các

em h c sinh khá, gi i h ng thú h n v i bài toán d ng hình, trong khóa lu n này, tôi xin cung c p m t s lí thuy t t ng quát nh t v bài toán d ng hình

đ ng th i đ a ra m t ph ng pháp gi i r t hay bài toán d ng hình d a vào phép ngh ch đ o

Phép ngh ch đ o là m t phép bi n hình không đ c d y trong ch ng trình ph thông, mà ch đ c d y cho h c sinh các l p chuyên Do phép ngh ch đ o có kh n ng bi n đ ng tròn thành đ ng th ng và ng c l i nên

nó có ng d ng to l n đ i v i l p các bài toán d ng đ ng tròn Vi c qui bài toán t d ng đ ng tròn sang d ng đ ng th ng th a mãn m t s yêu c u nào

đó, làm cho bài toán tr nên đ n gi n h n r t nhi u

Chính vì nh ng lí do đó mà tôi đã ch n đ tài: "Phép ngh ch đ o v i bài toán d ng hình trong m t ph ng"

2 Nhi m v nghiên c u

Nghiên c u l p các bài toán d ng hình (ch y u là d ng đ ng tròn)

Ch ng 3: ng d ng phép ngh ch đ o gi i bài toán d ng hình

Ch ng này g m các bài toán d ng hình có s d ng phép ngh ch đ o đ gi i

Cu i m i bài toán đ u có nh n xét và nh ng bài toán suy ra t bài toán ban

đ u

Ch ng 4: M t s bài t p áp d ng

Ch ng này g m 6 bài t p, t ng ng v i m i bài đ u có h ng d n gi i

Do l n đ u tiên làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c nên tôi không tránh kh i nh ng thi u sót, r t mong đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô và các b n sinh viên

Ch ng 1 Bài toán d ng hình

Ch ng này cung c p nh ng lí thuy t t ng quát nh t v bài toán d ng hình trong m t ph ng

1.1 M t s đ nh ngh a

1.1.1 Hình là gì?

Hình là m t t p h p khác r ng nh ng đi m

1.1.2 Nghi m c a m t bài toán d ng hình là gì?

 Nghi m c a bài toán d ng hình là hình tho mãn các đi u ki n c a bài toán đó

 Tìm nghi m c a bài toán d ng hình là ch ra th t c a m t dãy h u

h n các phép d ng c b n c n ph i th c hi n đ có nghi m c a bài toán

1.1.3 Gi i m t bài toán d ng hình là gì?

Gi i m t bài toán d ng hình là tìm t t c các nghi m c a nó Xét xem trong tr ng h p nào thì bài toán có nghi m, n u có thì có bao nhiêu nghi m

V s nghi m c a bài toán d ng hình, ta quy c nh sau:

 N u đ không quy đ nh v trí c a hình ph i tìm đ i v i hình đã cho thì

nh ng hình b ng nhau (ch khác nhau v v trí) tho mãn bìa toán thì s

đ c xem là m t nghi m

d ng c b n mà có th qui v các bài toán d ng hình c b n

 B c 3: Ch ng minh

Xác nh n hình đã d ng th c s tho mãn đ y đ các yêu c u c a đ Trong b c này ta xem nh các phép d ng ph n 2 đ u th c hi n đ c

 B c 4: Bi n lu n

Xét xem nh ng y u t đã cho ph i tho mãn nh ng đi u ki n nào đ có

th d ng đ c hình ph i tìm và n u d ng đ c thì có bao nhiêu hình nh th Nói cách khác là thi t l p đi u ki n gi i đ c và xác đ nh s nghi m c a bài toán

1.3 Các ph ng pháp d ng hình

Nói chung có 3 ph ng pháp chính hay s d ng:

 Ph ng pháp qu tích

ó là phép ngh ch đ o

Ch ng 2 phép ngh ch đ o

Ta th ng kí hi u phép ngh ch đ o là f(O, k)

Phép ngh ch đ o hoàn toàn đ c xác đ nh n u bi t c c O và ph ng tích k c a nó

2.1.2 M t s tính ch t c a phép ngh ch đ o

1 Phép ngh ch đ o có tính ch t đ i h p

2 N u k > 0 thì hai đi m M và M' = f(M) cùng n m v m t phía đ i

v i đi m O, Khi đó t p h p nh ng đi m kép c a phép ngh ch đ o f(O, k) là

đ ng tròn tâm O có bán kính b ng k

Ta g i đ ng tròn này là đ ng tròn ngh ch đ o c a phép ngh ch đ o f(O, k)

3 N u k < 0 thì hai đi m M và M' = f(M) n m v 2 phía đ i v i đi m

O Khi đó ta không có đi m kép,do đó không có đ ng tròn ngh ch đ o vì k <

0

2.2 Các đ nh lí

Chúng ta công nh n các đ nh lí sau v phép ngh ch đ o Các đ nh lí đã

đ c ch ng minh rõ ràng trong các sách tham kh o, đây ta ch đ a ra đ áp

d ng vào gi i các bài toán liên quan

Cho hai đi m A, B và nh A', B' c a chúng trong m t phép ngh ch đ o

c c O, ph ng tích k dài các đo n th ng AB, A'B' liên h v i nhau b i h

th c: A'B' = AB

k OA.OB

Qua m t phép ngh ch đ o, m t đ ng tròn không đi qua c c ngh ch

đ o O bi n thành m t đ ng tròn không đi qua đi m O đó

2.3.4 nh lí 10

Hai vòng tròn nói chung có th xem là ngh ch đ o c a nhau b ng hai cách, v i hai tâm ngh ch đ o chính là hai tâm v t trong và ngoài c a hai

đ ng tròn đó

Ch ng 3

ng d ng phép ngh ch đ o

gi i bài toán d ng hình

Do phép ngh ch đ o có kh n ng bi n đ ng tròn thành đ ng th ng nên ng i ta khai thác kh n ng này c a phép ngh ch đ o đ gi i toán c

bi t là các bài toán liên quan đ n vi c d ng đ ng tròn Vi c quy bài toán t

d ng đ ng tròn sang d ng đ ng th ng làm cho bài toán tr nên đ n gi n

r t nhi u Mu n v y, trong các bài toán ng i ta th ng ch n c c ngh ch đ o

là giao đi m c a m t s đ ng tròn và các tính ch t đ c đ c p đ n ph i là các b t bi n c a phép ngh ch đ o nh đ l n c a góc, tính tr c giao c a

Xét phép ngh ch đ o f = f(A, P A

/ ( ) ) Khi đó:

f: ( ) ( )

B  B' ( )  Z, trong đó Z là đ ng th ng

 N u B' n m trong ( ) thì bài toán vô nghi m

 N u B' n m trên ( ) thì bài toán c ng vô nghi m

 N u B' n m ngoài ( ) thì bài toán có hai nghi m hình

 Nh n xét:

Qua phép ngh ch đ o f=f(A,P A

/ ( ) ) ta d dàng d ng đ c đ ng tròn( ) tho mãn các yêu c u c a bài toán Vi c d ng đ ng tròn ( ) đ c

đ a v bài toán d ng hình c b n nh d ng ti p tuy n c a đ ng tròn, d ng

đ ng tròn đi qua 3 đi m không th ng hàng mà h c sinh ph thông đã bi t cách d ng N u thay đ i m t s yêu c u hay m t vài gi thi t c a bài toán 1 ta

Trong bài toán 2, t yêu c u c a bài toán, h c sinh có th suy ngay

đ c các tr ng h p x y ra c a bài toán tùy vào v trí c a đi m A thu c hay không thu c đ ng th ng d, đi m A thu c đ ng tròn ( ) hay không thu c ( ) Trong tr ng h p đi m A thu c đ ng th ng d thì bài toán s đ a v bài toán sau

3.4 Bài toán 4

D ng đ ng tròn ( ) ti p xúc v i đ ng tròn ( ) cho tr c đ ng

th i ti p xúc v i đ ng th ng d t i m t đi m A cho tr c

Ta có th gi i bài toán này nh sau:

Bài gi i

 Phân tích:

Gi s đã d ng đ c đ ng tròn ( ) ti p xúc v i đ ng tròn ( ) cho

tr c, đ ng th i ti p xúc v i đ ng th ng d t i đi m A G i M là đi m ti p xúc c a ( ) và ( )

Xét phép ngh ch đ o f = f(A, P A

/ ( ) ) Khi đó f: ( ) ( )

 Ch ng minh: V i phép ngh ch đ o f=f(A, P A

/ ( ) )

T cách d ng ta có ( ) ti p xúc v i d t i A

Vì f(d)=d, ( ) ti p xúc v i d suy ra d//d1 là nh c a ( ) qua phép ngh ch đ o f và d1 c ng qua M1 là nh c a M qua f suy ra d1 ti p xúc v i( )

 N u d ti p xúc v i ( ) t i A thì bài toán có vô s nghi m

 N u d ti p xúc v i ( ) t i m t đi m khác A thì bài toán có m t nghi m

 N u A n m ngoài ( ) thì bài toán có hai nghi m

 Nh n xét: N u thay gi thi t ( ) ti p xúc v i đ ng tròn ( )1 t i đi m

M cho tr c thì b ng cách k hình ph là đ ng th ng d ti p xúc v i ( )1 t i

M ta đ c bài t p trên

Bài toán 3 là bài toán khá quen thu c đ i v i h c sinh ph thông.Vi c

d ng đ ng tròn đi qua m t đi m cho tr c và ti p xúc v i 2 đ ng th ng c t nhau (ho c song song), h c sinh đã bi t cách d ng d a vào phép v t v i tâm

v t là giao đi m hai đ ng th ng (ho c phép t nh ti n), ta c ng có th gi i bài toán này b ng m t phép bi n hình khác đó là phép ngh ch đ o v i c c ngh ch đ o chính là đi m A Bài toán đ c đ a v d ng ti p tuy n chung c a hai đ ng tròn và d ng nh c a đ ng th ng và đ ng tròn qua phép ngh ch

đ o

3.5 Bài toán 5

Cho đ ng tròn ( ) = (O, R) và 2 đi m phân bi t A, B không thu c

( ) D ng đ ng tròn ( ) đi qua A, B và tr c giao v i ( )

B  B'

( )  Z v i Z là đ ng th ng

Do ( ) đi qua A, B và tr c giao v i ( )

nên đ ng th ng Z đi qua B' và tr c giao v i ( )

 D ng đ ng tròn ( ) đi qua b n đi m: M, N, A, B

 Ch ng minh: Rõ ràng ( ) đi qua A, B theo cách d ng

Do B'O là tr c giao v i ( ) và ( ) là nh c a B'O qua phép ngh ch

đ o f, ( ) b t đ ng qua f nên ( ) tr c giao v i ( )

O

B B'

A

M M'

V y ( ) là đ ng tròn tho mãn yêu c u bài toán

 Bi n lu n:

 N u B' n m trong ( ) và A, B', O th ng hàng thì bài toán vô nghi m

 Các tr ng h p còn l i bài toán luôn có m t nghi m hình

Cho đ ng tròn ( ) và hai đi m phân bi t A, B không thu c ( )

D ng đ ng tròn ( ) đi qua 2 đi m A, B và t o v i ( ) m t góc b ng 60 0

Bài gi i

 Phân tích:

Gi s đã d ng đ c đ ng tròn ( ) đi qua A, B và t o v i ( ) m t góc b ng 600 Xét phép ngh ch đ o f = f(A, P A

 N u B' thu c mi n trong c a đ ng tròn ( )1 thì bài toán vô nghi m

 N u B' n m trên ( )1 sao cho AB' là ti p tuy n c a ( )1 thì bài toán

c ng vô nghi m

B

A C

O .

O' .Z

SVTH: V Th Thúy K29E - Toán

 T bài toán v a gi i ta c ng có th suy ra bài toán sau:

D ng đ ng tròn ( ) đi qua đi m A, ti p xúc v i m t đ ng tròn cho

tr c đ ng th i t o v i m t đ ng tròn cho tr c khác m t góc b ng 600

 Các bài toán 1, 3, 4 đ u yêu c u d ng m t đ ng tròn ( ) đi qua 2

đi m cho tr c và t o v i đ ng tròn ( ) cho tr c m t góc nào đó Ch ng

h n bài toán 1, góc gi a hai đ ng tròn ( ) và ( ) b ng 00, bài toán 3 góc

b ng 900 hay bài toán 4 góc b ng 600 V y n u xét trong tr ng h p t ng quát, t c là ( ) qua A, B và t o v i ( ) m t góc b ng  0

   thì có

l i gi i bài toán d ng hình không?

3.7 Bài toán 7

Cho đ ng tròn ( ) = (O, R) và 2 đi m A, B không thu c ( ) D ng

đ ng tròn ( ) đi qua A, B và c t ( ) t i 2 đi m xuyên tâm đ i

 D ng đ ng tròn ( )1 đi qua A, B2 và tr c giao v i ( )

 D ng giao đi m C1, D1 qua f

 N u B n m trong ( ) thì bài toán vô nghi m

 N u B n m ngoài ( ) thì bài toán có 1 nghi m

 Phân tích:

Gi s đã d ng đ c đ ng tròn ( ) ti p xúc v i đ ng tròn ( ) t i

đi m P cho tr c, đ ng th i ti p xúc v i đ ng th ng AB Vì ( ) ti p xúc

v i ( ) t i P nên tâm O1 c a ( ) n m trên đ ng th ng OP

Rõ ràng ( ) và ( ) có đi m chung P trên đ ng n i tâm OO1nên ( )

và ( ) ti p xúc v i nhau t i P

( ) có tâm O1 n m trên đ ng phân giác c a góc PQB฀ và ti p xúc v i

c nh PQ t i P nên c ng ti p xúc v i QB t i M V y ( ) tho mãn yêu c u bài toán

T ng t thì vòng tròn tâm O2 = OP d2, bán kính O2P c ng là đ ng tròn c n d ng

 Bi n lu n:

 N u d1  d2 và PO c t 2 đ ng th ng t i hai đi m phân bi t thì bài toán

có 2 nghi m hình

 N u d1  d2 và PO c t d1 thì bài toán có 1 nghi m

 N u OP không c t c d1 và d2 thì bài toán vô nghi m

AB  (AB)

V i (AB) là đ ng tròn đi qua A1 = f(A), B1 = f(B)

Do ( ) ti p xúc v i ( ) và AB nên d1 // d và d1 ti p xúc v i đ ng tròn (AB)

 Nh n xét:

SVTH: V Th Thúy K29E - Toán

26

Nh v y bài toán đ c đ a v bài toán d ng đ ng th ng song song

v i m t đ ng th ng và là ti p tuy n c a m t đ ng tròn Bài toán này h c sinh gi i đ n gi n h n

Vi c s d ng phép ngh ch đ o cung c p cho ta m t cách gi i m i đ

gi i bài toán trên ngoài cách gi i đã bi t ph thông, làm phong phú h n l a

ch n c a các em khi đi tìm l i gi i c a bài toán d ng hình

M  M1

Do A, M (O) nên đ ng th ng m đi qua B và M1

Do AB là đ ng kính c a (O) nên m là ti p tuy n c a đ ng tròn (O)

 N u M A: Bài toán vô s nghi m

 N u M B: Bài toán vô nghi m

 N u MA,B : Bài toán luôn có m t nghi m 

3.10 Bài toán 10

Cho hai đ ng tròn (O1 ) và (O 2 ) c t nhau t i hai đi m A, B Trên

đ ng th ng AB ta l y m t đi m C n m ngoài c 2 đ ng tròn Hãy d ng

đ ng tròn (O) đi qua C và ti p xúc đ ng th i v i c 2 đ ng tròn

Xét phép ngh ch đ o f = f C,k v i k =  CA.CB Ta có:

f: (O1)  (O1)

(O2)  (O2) (O)  Z V i Z là đ ng th ng

Do (O1) và (O2) cùng ti p xúc v i (O) nên Z cùng ti p xúc v i (O1) và (O2) Suy ra Z là ti p tuy n chung c a 2 đ ng tròn (O1) và (O2) T đó suy

 N u hai đ ng tròn có bán kính b ng nhau và C không trùng v i giao

đi m c a đ ng th ng AB và ti p tuy n chung c a hai đ ng tròn thì bài toán c ng có hai nghi m

 N u hai đ ng tròn có bán kính b ng nhau và C trùng v i giao đi m

c a AB v i ti p tuy n chung c a hai đ ng tròn thì bài toán vô nghi m

 Nh n xét:

Bây gi n u ta thay đ i m t ph n gi thi t hay yêu c u c a bài toán 11 thì ta s đ c bài toán m i có cách gi i t ng t bài toán ban đ u

3.11 Bài toán 11

Cho hai đ ng tròn (O1 ) và (O 2 ) ti p xúc ngoài v i nhau t i M Trên

ti p tuy n chung đi qua M c a hai đ ng tròn ta l y đi m C khác M Hãy

d ng đ ng tròn (O) đi qua C và ti p xúc v i 2 đ ng tròn đã cho

G i A, B l n l t là các ti p đi m c a (O1) và (O2) v i đ ng th ng d