khóa luận tốt nghiệp ứng dụng phép nghịch đảo vào giải toán hình học

Cụ thể là nếu A, B là hai điểm nằm trên d d = hay nói một cách tổng quát hơn là ảnh của một đường tròn C đi qua cực nghịch đảo sẽ là một đường thẳng không đi qua cực... Phương pháp: Để c

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phát huy tính độc lập, sáng tạo, tìm tòi ra những phương pháp giải toánhay và ứng dụng nó là việc làm hết sức cần thiết của người học nếu chúng tathật sự muốn nâng cao chất lượng đào tạo một cách toàn diện Có thể nóiphương pháp dạy học ở nước ta chưa phát huy được tính độc lập cho học sinhtrong học tập, chưa cuốn hút được học sinh vào việc tự tìm hiểu, tự khámphá,…

Dạy học cho học sinh những ứng dụng phương pháp giải toán hay củaToán học giúp các em học sinh có thể giải các bài toán khó, tính toán cồngkềnh, phức tạp, một cách dễ dàng hơn Đây là vấn đề hết sức cần thiết,người học là chủ thể kiến tạo chứ không phải là người thụ động ph ụ thuộchoàn toàn vào những kiến thức chỉ có ở sách giáo khoa được dạy chính khóatheo quy định của Bộ Giáo dục

Quá trình học tập và rèn luyện ở Trường Đại học Hà Tĩnh tôi nhận thấymột trong những phương pháp giải toán hình học thú vị đó là sử dụng cácphép biến hình trong đó có phép nghịch đảo Phép nghịch đảo có thể gánh váccho ta phần nào những khó khăn của các biến đổi khó khăn, cồng kềnh, có khirất phức tạp Nó là một công cụ mạnh và hữu hiệu để giải các bài toán chứngminh thẳng hàng, đồng quy, các yếu tố cố định, tìm quỹ tích hay giải bài toándựng hình và một số bài tập khác Biế n cái xa lại gần,biến cái khó kiếm soát,khó nắm bắt thành cái dễ kiểm soát, dễ nắm bắt là một trong những đặc tínhlợi hại của phép biến hình đặc biệt này

Xuất phát từ những lý do nêu trên tôi chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp là

“Ứng dụng phép nghịch đảo vào giải toán hình học”.

2 Mục đích nghiên cứu

Khóa luận nhằm đưa ra hệ thống lý thuyết và bài tập ứng dụng của phépnghịch đảo, giúp giáo viên và học sinh có thể hiểu thêm về phép biến hình

này và ứng dụng nó trong giải toán Từ đó góp phần nâng cao ý thức tự học

và tự sáng tạo cho học sinh cũng như giáo viên dạy toán

3 Đối tượng nghiên cứu

Tìm hiểu ứng dụng của phép nghịch đảo trong giải toán hình học

4 Giả thuyết khoa học

Nếu trong quá trình dạy học giáo viên và học sinh có thể vận dụng phépnghịch đảo để giải các bài toán hình học một cách phù hợp thì kết quả sẽ đạtcao hơn

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu tài liệu

Hệ thống các bài tập và phân loại

6 Dự kiến đóng góp của khóa luận

- Hệ thống lý thuyết và phân dạng các ứng dụng của phép nghịch đảotrong giải toán hình học

- Giúp học sinh và giáo viên dạy toán có thêm tài liệu để nghiên cứu vàứng dụng phép nghịch đảo

7 Cấu trúc của khóa luận tốt nghiệp

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm 2 chương:

Chương 1: “Cơ sở lý thuyết” Chương này trình bày nội dung, các tính

chất liên quan đến phép nghịch đảo

Chương 2: “Một số ứng dụng của phép nghịch đảo trong giải toán hình

học” Đây là nội dung chính của khóa luận, trình các phương pháp sử dụngphép nghịch đảo để chứng minh các hệ thức hình học, bài toán tìm quỹ tích,chứng minh thẳng hàng, đồng quy, dựng hình,…

Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Một số vấn đề liên quan

1.1.1 Đôi nét về lịch sử

Ở bậc Trung học cơ sở ta đã biết bài toán sau: Cho đường tròn (O) vàmột điểm A nằm ngoài đường tròn Vẽ tiếp tuyến A K đến (O) (K∈(O)) Mộtcát tuyến bất kì từ A đến (O) cắt (O) lần lượt tại hai điểm M, N Khi đó, taluôn có AK2 =AM.AN Như vậy ta để ý rằng với một điểm M0 bất kì nằmtrên đường tròn thì tồn tại điểm N0 khác cũng nằm trên (O) và nằm trên KM0

sao cho AM0.AN0 = AK2 Xuất phát từ bài toán trên người ta định nghĩa và đigiải các bài toán bằng cách sử dụng phép phép nghịch đảo Nhận thấy rằngkhi sử dụng phép nghịch đảo ta có thể giải các bài toán một cách dễ dàng hơn

1.1.2 Khái niệm phương tích

1.1.2.1 Phương tích của một điểm đối với đường tròn.

Định lí Cho đường tròn (O,R) và một điểm M cố định Một đường thẳng

thay đổi đi qua M và cắt đường tròn tại hai điểm A và B Khi đó tích vôhướng MA.MBlà một số không đổi

Định nghĩa Giá trị MA.MB không đổi nói trong định lí trên được gọi làphương tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu là℘M / ( ) O

* Nếu M nằm ngoài đường tròn và MT là tiếp tuyến của đường tròn tại Tthì℘M/( )O =MT2 =MT2.

Hệ quả Nếu qua M ta vẽ hai đường thẳng cắt (O,R) lần lượt tại A, B và

C, D thì MA.MB= MC.MD

Ta có: MA.MB=MC.MD

.MD.MCMB

MA

MD.MCMB

.MA

=

⇒

=

⇒

1.1.2.2 Khái niệm trục đẳng phương

Định nghĩa Trục đẳng phương của hai đường tròn là quỹ tích của những

điểm có cùng phương tích đối với cả hai đường tròn

Chú ý:

+)Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường nối hai tâm.+) Trục đẳng phương của hai đường tròn được xác định k hi biết mộtđiểm và hai tâm hay hai điểm phân biệt có cùng phương tích đối với cả haiđường tròn

1.2 Định nghĩa và tính chất của phép nghịch đảo

1.2.1 Định nghĩa

Cho điểm O cố định và một số thực k ≠0 Ứng với điểm M ≠O ta luôntìm được điểm M' sao cho OM.OM'= k Khi đó phép biến hình( )O,k :M M'

f → được gọi là phép nghịch đảo cực O, phương tích k

Ta dùng kí hiệu f( )M = M' hay f( )O,k :M  M'để chỉ M là ảnh của'

M qua phép nghịch đảo cực O, phương tích k

Khi M càng tiến gần lại O là cực nghịch đảo thì ảnh của M sẽ càng tiến

xa O, tức là nếu M→O thì f( )M → vô cực

1.2.2 Tính chất

a) Tính chất 1 (tính chất đối hợp)

Xét phép nghịch đảo f( )O,k , khi đó nếu f( )O,k :M N thì( )O,k :N M

Nếu k<0 thì hai điểm P và P’ n ằm về hai phía khác đối với O Trongtrường hợp này sẽ không xuất hiện điểm kép đối với f( )O,k , do đó đườngtròn nghịch đảo của f( )O,k sẽ được gọi là đường tròn bán thực, trong đó tâmcủa đường tròn là thực và bán kính của đường tròn là ảo

c) Tính chất 3

Giả sử f( )O,k , k >0 thỏa mãn f( )M = N, ( )C là đường tròn tâm O, bánkính k Khi đó mọi đường tròn ( )C' qua M, N đều trực giao với đường tròn ( )CChứng minh:

Gọi O là tâm đường tròn đi qua hai điểm M, N và A, B là giao điểm của'( )C và ( )C Khi đó ta có' ℘O C') =OM.ON =k =OA2 ⇒ OM.ON =OA2Vậy OA là tiếp tuyến của đường tròn ( )C , suy ra' OA ⊥O'A do đó ( )C

kOP

kOA

2 )

O

/(

O

2 )

,

O

.kON

⇒

.NM:)

'OB

OB

k'OA

OA

OB'

AB.kOB

.OA

AB'

OA.OAOB

AB'

OA'B'AOB

'OAAB

'B

+) Từ định nghĩa ban đầu về phép nghịch đảo, ta đã biết được rằng mộtđường thẳng d bất kì qua cực nghịch đảo O thì f( )O,k :d d Nhưng nếuđường thẳng d không qua cực nghịch đảo thì f( )O,k :d ( )C , trong đó (C)

là đường tròn qua cực nghịch đảo Cụ thể là nếu A, B là hai điểm nằm trên d

d = hay nói một cách tổng quát hơn là ảnh của một đường tròn (C)

đi qua cực nghịch đảo sẽ là một đường thẳng không đi qua cực Hơn thế nữa,

A'

O

B'

tâm của (C) sẽ là ảnh của O’ qua phép nghịch đảo f( )O,k , trong đó O’ là ảnhcủa O qua phép đối xứng trục d.

OA

'B)B(f,'A)

Xét hai tam giác ∆AOCvà ∆C'OA'

Ta có ∠AOC=C'OA', ∠OCA chắn cung AO

BAOO

'A'COCA

O1

O A

B C

D C

Xét hai đường tròn (C1) và (C2) thì góc giữa (C1) và (C2) là góc giữa haitiếp tuyến tại giao điểm của (C1) và (C2) Nếu (C1), (C2) tiếp xúc nhau thì gócgiữa (C1) và (C2) bằng 0

Do đó qua phép nghịch đảo ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'

2 2

' 1

C:k,O

Chứng minh phép nghịch đảo bảo tồn góc:

Trường hợp 1: Hai đường thẳng d1 và d2

Khả năng 1: d1 và d2 đều đi qua cực nghịch đảo O Khi đó phép nghịchđảo f( )O,k :d1  d1;d2  d2

Khả năng 2: d1đi qua O, d2không đi qua O

Khi đó f(d1)=d1, (d2)=(O1) qua O

Ta có d2 ⊥O1O⇒ d2 song song với tiếp tuyến tại O của (O1)

Suy ra (d1,O1) (= d1,d2)

Khả năng 3: d1và d2đều không đi qua cực nghịch đảo O

Khi đó f( )d1 =O1 qua O, f( )d2 =O2 qua O

(d ,d ) (OO ,OO ).d

OO

dOO

2 1 2

1 2

Trường hợp 2: Đường thẳng d và đường tròn (C) tâm O1

Khả năng 1: Đường thẳng d và đường tròn (C) đều đi qua cực nghịchđảo O

( )d d,f( )C d1

Khi đó góc giữa đường thẳng d và đường tròn (C) chính là góc giữa d vàtiếp tuyến m tại O của (C) Theo tính chất ảnh của đường tròn qua phépnghịch đảo thì d1 ⊥OO1 (với O1 là tâm đường tròn (C))

Mà m ⊥OO1 (tính chất của tiếp tuyến)

1

d//

m

⇒ ⇒(d,(O)) =(d.d1)

Khả năng 2: Đường thẳng d đi qua cực nghịch đảo O còn đường tròn (C)không đi qua cực nghịch đảo.

Ta có f(d)=d; f((C))=(C') trong đó (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tựtâm O

Giả sử (C) cắt d tại điểm A, khi đó tiếp tuyến tại A của (C) sẽ song songvới tiếp tuyến tại A’ (A’là ảnh của A) của đường tròn (C’)

Do đó ta có (d,(C)) = (d,(C’))

Các trường hợp còn lại ta chứng minh tương tự

Chương 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO

TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 2.1 Chứng minh các hệ thức hình học.

Phương pháp: Để chứng minh một hệ thức hình học liên quan đến một

số điểm nào đó ta có thể xem xét ảnh của chúng qua một phép nghịch đảo cốđịnh nào đó và dựa vào tính chất đối hợp của phép nghịch đảo ta chứng minhtính chất tương ứng với ảnh của chúng Sau đây l à một số ví dụ:

Bài toán 1 (Định lý Ptolemee): Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để

một tứ giác lồi nội tiếp được là tích hai đường chéo của nó bằng tổng của tíchhai cạnh đối diện

Bài giải:

Xét tứ giác ABCD khi đó ta cần

chứng minh ABCD nội tiếp khi và chỉ

'BB

'AA:

BCkDB.DA

ABk

DC.DA

ACk

'C'B'B'A'C

, ta thu được:

CD.ABBC.ADBD

B A

D

C

*Nhận xét: Định lí Ptolemee là một bài toán quen thuộc đối với các em

chuyên sâu về toán ở bậc trung học và các cá ch giải phổ biến của định lý này

là gọi thêm điểm D0 thỏa mãn ∠D0DC=∠BAC,∠D0CD=∠BCAđể tạothành cặp tam giác CD0D vàCBAđồng dạng và một cặp đồng dạng khác,xuất hiện một khâu biến đổi góc Rõ ràng dưới quan điểm của phép nghịchđảo, định lí Ptolemee trở nên nhẹ nhàng, không hề có một chút khó khăn biếnđổi hay gọi thêm yếu tố phụ gì

Bài toán 2: Gọi (O,R) và (I,r) lần lượt là đường tròn nội tiếp và ngoại

tiếp của tam giác ABC với OI = d Chứng minh rằng: d2 =R2 −2Rr

Bài giải:

Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của (I,r) với AB, AC, BC

'C

A lần lượt là giao điểm

của IA, IB, IC với MN, MP, PN

Khi đó do tính chất của đường

tròn nội tiếp tam giác ta có:

)rIM'IB.IBdo('BB

)rIN'IA.IAdo('AA:

2 2

2 2

A'

P

N M

O I A

( ) ( )1

dR

rR

d

rr

R

'

R

2 2 2 2

2 2

O /

S∆ = ∆ (do A’, B’, C’ là trung điểm 3 cạnh của tam giác)

( )2r

2

1'

R

'R8

1r

4

1

'R

MP2

1.MN2

1.NP21r

4

MN.NP.MP

'R4

'A'C'

C'B'

B'A.4r

4

MN.NP

rR

r21

−

=Suy ra: d2 =R2 − 2Rr (đpcm)

Bài toán 3: Cho (C1), (C2), (C3), (C4) là các đường tròn phân biệt saocho: (C1) và (C3) tiếp xúc ngoài tại P, (C2) và (C4) tiếp xúc ngoài tại P (C1) và(C2), (C2) và (C3), (C3) và (C4), (C4) và (C1)

lần lượt cắt nhau ở A, B, C, D (A, B, C, D

PD

PBDC

.AD

BC.AB

2

2

=Bài giải:

Xét phép nghịch đảo f(P,k) với k bất kì

Ta có:

2 2

1

1) d ,(C ) dC

(

'DD,'CC

'BB,'AA:

P

4 4

3

3) d ,(C ) dC

(:

kPD

;'PB

k

PB

;'C'D.'PC'

PD

kDC

;'D'A.'PD'

PA

kAD

;'C'B.'PC'

PB

kBC

;'B'A.'PB'

PA

kAB

D'A

'C'B'

B'A.'PB

'PDDC.AD

BC.AB

2

2 2

.AD

BC.AB

2 2

2

BC.ADBD

.ACCD

.AB)

ABD()ABC

Bài giải:

Phân tích bài toán: Theo giả thiết ta có hai đường tròn (ABC) và (ABD)trực giao nhau, nên ta nghĩ đến việc tìm phép nghịch đảo biến hai đường trònnày thành hai đường thẳng vuông góc Khi đó ta có thể sử dụng định lí Pytago

để có được một đẳng thức bình phương nào đó Từ đó áp dụng tính chất ảnhcủa hai điểm qua phép nghịch đảo để suy ra điều phải chứng minh

Xét phép nghịch đảo f(A,k) với k bất kì (Ta cũng có thể chọn phépnghịch đảo f(B,k) với k bất k Khi đó:

'DD,'CC,'BB:)

Từ đó suy ra:

(ABD) B'D'

'C'B)ABC(:)

2

2 2

2

AD.AB

BDkAC

.AB

BCkAD

.AC

CDk

'D'B'C'B'D'C'D'B'C'B)ABD()ABC

.ACCD

.AB

AC.AD.AB

AC.BDkAD

.AC.AB

AD.BCkAB

.AD.AC

AB.CDk

2 2 2

2 2

2

2 2

Bài toán 5: Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

(O,R) Giả sử M là một điểm không thuộc (O ,R) Các đường thẳng MA, MB,

MC cắt lại đường tròn (O ,R) lần lượt tại các điểm A',B',C'

Chứng minh rằng với M ở trong (O) ta có:

MC.MB.MA

'MC'

MB'

MAS

'A'C'

C'B'

B'AS

R4

CA.BC.ABS

'A'C'

C'B'

B'AS

S

' C ' B ' A

ABC =

∆

Vì MA.MA'=MB.MB'=MC.MC'=k (const) nên ta xét phép nghịchđảo f(M,k) với k=℘M/(O) Khi đó:

'CC,'BB,'AA

)O()O(:)

O

C

M

B A

Theo tính chất của phép nghịch đảo ta có:

MA.MC

CA.k'B'A

;MC.MB

BC.k'C'B

;MB.MA

AB.k'

'MC'

MB'

MA

MC.MB.MA

'MC.MC'

MB.MB'

MA.MAMC

.MB.MA

kS

S

2 2 2 2

2 2 3

ABC

' C

'MC'

MB'

MAS

S

ABC

' C ' B '

IO2 = 2 + thì lần lượt hai đường tròn đó là đường tròn ngoại t iếp vàđường tròn bàng tiếp của một tam giác nào đó

Bài 2: Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O) Từ A kẻ cát tuyến ABC,

ADE (B∈[ ]AC,D∈[ ]AE ) Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O)lần thứ hai tại F AF cắt (O) tại G EG cắt AC tại M

AC

1AB

1AM

Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) P nằm trên cung CD không chứa

A, B PA, PB cắt DC lần lượt tại M, N Chứng minh rằng: const

MN

NC.MD

một đường tròn cố định hoặc chứng minh ảnh của nó qua f(O,k) thuộc đườngthẳng đi qua O cố định nào đó.

- Để chứng minh một đường thẳng đi qua một điểm cố định ta có thểchứng minh ảnh của chúng qua f(O,k) cố định nào đó qua một điểm cố định

Bài toán 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB Điểm I nằm trên đoạn

AB (I khác A, B) Một đường thẳng d thay đổi qua I cắt (O) tại P, Q (d khôngtrùng với AB) Đường thẳng AP, AQ cắt tiếp tuyến m tại M, N trong đó m làtiếp tuyến tại B của (O) Chứng minh (AMN) qua điểm cố định thứ hai, từ đósuy ra tâm của đường tròn (AMN) luôn nằm trên đường thẳng cố định

Bài giải:

N

M P

O A

ABAN.AQdo(NQ

ABAM.APdo(MP

m)O(:)

Mà I cố định nên I’ cố định.

Vậy (AMN) luôn đi qua I’ cố định

Từ đó ta có (AMN) luôn đi qua hai điểm cố đ ịnh là A và I’ là ảnh của Iqua phép nghịch đảo f(A,k) nên tâm của (AMN) luôn nằm trên đường thẳng

cố định là đường trung trực của đoạn thẳng AI’

Bài toán 2: Cho hai đường tròn (O1)và (O2) cùng tiếp xúc với đườngtròn (O) và cắt nhau tại A, B (O3) là đường tròn thay đổi tiếp xúc

( )O1 ↔d1 với d1là đường thẳng tiếp xúc (O) tại C

( )O2 ↔ d2 với d là đường thẳng tiếp xúc (O) tại D2

Mặt khác f(A,k):(O3)↔(O'3) với (O ) tiếp xúc với d'3 1 và d2

Từ đó ta có B1, O, O3' thẳng hàng (Vì B1O'3, B1O cùng là phân giác của B).Mặt khác M1N1thuộc trục đẳng phương của (O), (O3) nên OO'3 ⊥ M1N1

1 1

1O M N

Từ (1) và (2), vì B1O cố định ta được tâm I của (AMN) nằm trên đườngthẳng At cố định (đpcm).

Bài toán 3: Cho đường tròn (O) và điểm S nằm ngoài (O), AB là đường

kính thay đổi

a) Chứng minh rằng đường tròn (SAB) đi qua điểm cố định khác S

b) SA, SB lần lượt cắt (O) tại M, N Chứng minh rằng MN đi qua điểm

BN

AM

)O()O(:

Theo câu a) ta có I∈(SAB)⇒ f(S,k):I↔J∈ MN

Vậy MN đi qua điểm J cố định là ảnh của I qua phép nghịch đảo f(S,k)

Bài toán 4: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d tiếp xúc nhau tại A.

Gọi (C) là đường tròn thay đổi tiếp xúc với d và (O) tại các điểm khác A Chứng minh rằng (C) trực giao với đường tròn cố định

M

O

S A

B I

N

C

Xét phép nghịch đảo f(A,k) trong đó k = AD2 Khi đó:

dd

d)O(

DO:)

Mà (C) tiếp xúc với d và (O) nên (C1) tiếp xúc với d, d1

Vẽ đường thẳng ∆ vuông góc với AD, ta có:

)C())(

k,A(f)C

⊥

Vì ∆ cố định nên f(A,k)(∆) cố định

Vậy (C) trực giao với đường tròn cố định

Bài toán 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) ngoài nhau (C) là đường

tròn thay đổi tiếp xúc (O) và trực giao với (O’) Chứng minh rằng đường tròn(C) tiếp xúc với đường tròn cố định thứ hai khác (O)

Bài giải:

O

O' M'

Suy ra M'∉(O) (mâu thuẫn với (*))

Vậy (C) luôn tiếp xúc với đường tròn cố định thứ hai khác (O)

Bài toán 6: Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ở ngoài đường tròn.

Một tiếp tuyến thay đổi của (O) cắt hai tiếp tuyến của (O) vẽ từ A tại B, C.Chứng minh rằng đường tròn (ABC) tiếp xúc với đường tròn cố định

Bài giải:

C' B'

A'

P

N M

O A

A lần lượt là trung điểm của MN, MP, PN

R, R lần lượt là bán kính của (O) và' (A'B'C')

Ta có:

2 2

2 2

2 2

ROP

'BB

'AA

Do đó (A'B'C') tiếp xúc với đường tròn (A',2R').

Vậy (ABC) tiếp xúc với đường tròn cố định là ảnh của (A',2R') quaphép nghịch đảo f(O,k)

* Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho đường tròn (O,R) và hai cát tuyến thay đổi PAB, PCD qua

điểm P cố định cách O một khoảng 2R Các đường tròn (PAD) và (PBC) cắtnhau tại điểm thứ hai M, các đường tròn (PAC) và (PBD) cắt nhau tai điểmthứ hai N Chứng minh rằng MN đi qua điểm cố định

Bài 2: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Một điểm M chạy trên

đường thẳng d vuông góc với AB tai H ở ngoài đoạn AB MA và MB lần lượtcắt đường tròn tại P và Q

Chứng minh rằng PQ đi qua điểm cố định

Bài 3: Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d Hai đường

thẳng thay đổi tạo với nhau một góc nhọn α không đổi, quay quanh O vàlần lượt cắt d tại A, B Chứng minh rằng (OAB) tiếp xúc với một đường tròn

- Để chứng minh các đường thẳng đồng quy ta đi tìm phép nghịch đảo vàchứng minh ảnh của các đường thẳng này qua phép nghịch đảo đồng quy

Bài toán 1: Cho điểm P nằm trong tam giác ABC thỏa mãn:

ABCAPC

ACB

tiếp các tam giác APB và APC

Chứng minh rằng: AP, BD, CE đồng quy

BAXP

'CC

'BB:)

P'ABACB

APB

ABCAPC

'B'AC'

P'AC'

A'P'B'P

A'PBP

XA

=

Vậy AP, BD, CE đồng quy

Bài toán 2 (Bài đề nghị IMO của Bulgaria năm 1995): Cho A, B, C, D là

bốn điểm phân biệt cùng nằm trên một đường thẳng và được sắp xếp t heo thứ

tự đó Các đường tròn đường kính AC và BD cắt nhau tại hai điểm X, Y.Đường thẳng XY cắt BC tại Z Cho P là một điểm trên đường thẳng XY khác

Z Đường thẳng CP cắt đường tròn (AC) tại M, và đường thẳng BP cắt đườngtròn (BD) tại N Chứng minh rằng AM, DN, XY đồng quy

Chứng minh:

Vì P∈( ) ( )AC  BD nên P nằm trên trục đẳng phương của (AC) và (BD) Suy ra:

.k

) BD /(

P )

;kPM

Xét phép nghịch đảo f(P,k)

'DD,'AA

,BN,CM:

C'PAAM

:)

Vì XY là đường thẳng qua cực P nên (P,k):XY ↔XY

Do đó để chứng minh AM, DN, XY đồng quy, ta sẽ chứng minh XY làtrục đẳng phương của (PA'C) (và PD'B)

Ta có: ∠PZC=∠PZB=90° nên Z∈(PA'C) ( PD'B)

Do đó PZ≡ XY

Vậy XY là trục đẳng phương của (PA'C) (và PD'B)

Suy ra AM, DN, XY đồng quy

*Nhận xét: Phép nghịch đảo lại cho ta thấy sự lợi hại của nó trong việc

chứng minh sự đồng quy Có thể thấy rằng phép nghịch đảo đã làm giảm tốithiểu lượng đường tròn xuất hiện trong bài toán mà thay vào đó là các đườngthẳng hay đường tròn “dễ nhìn hơn” Bài toán trên cũng có thể giải bằng trụcđẳng phương bằng cách gọi Q và Q’ lần lượt là giao điểm của AM, DN với

XY rồi chứng minh Q≡Q'

E

N M

Bài toán 3: Cho hai đường thẳng Ox, Oy vuông góc với nhau Đường

tròn (C) tiếp xúc Oy tại O, cắt Ox tại A Đường tròn (C’) tiếp xúc Oy tại B,tiếp xúc (C) tại C và cắt Ox tại D, D Chứng minh rằng tiếp tuyến của (C) tại'

A, BD, đường tròn đường kính OD, hai đường tròn (OBD) và (ACD) có mộtđiểm chung

B

C

Xét phép nghịch đảo f(O,k) với k =℘O C'), khi đó:

'DD,'CC

,BB),'C()'C(:)

'BC)

OBC

Gọi "d là tiếp tuyến tại A đối với đường tròn (C) Ta có: