PP giải phương trình nghiệm nguyên

Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyênPhơng pháp 1.. đa phơng trình ớc số Biến đổi phơng trình về dạng: vế trái là tích của các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các số ngu

Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên

Phơng pháp 1 đa phơng trình ớc số

Biến đổi phơng trình về dạng: vế trái là tích của các đa thức chứa ẩn, vế phải

là tích của các số nguyên

VD

Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

y3 -x3 = 91 (1)

Lời Giải.

(1) <=> (y - x)(x2 + xy + y2) = 91 vì x2 + xy + y2 > 0 với mọi x, y

Nên =>y - x > 0

Mặt khác 91 = 1.91 = 7.13 và (y - x); (x2 + xy + y2) đều nguyên dơng nên ta có 4 khả năng sau:

1) (y - x) = 91 và (x2 + xy + y2) = 1

2) (y - x) = 1 và (x2 + xy + y2) = 91

3) (y - x) = 7 và (x2 + xy + y2) = 13

4) (y - x) = 13 và (x2 + xy + y2) = 7

Giải các hệ trên ta sẽ tìm đợc x, y

Phơng pháp 2 Sắp thứ tự các ẩn

Nếu các ẩn x; y; z có vai trò bình đẳng Ta có thể giả sử x < y < z < Để tìm các nghiệm thỏa mãn điều kiện này Từ đó dùng phép hoán vị để suy ra các nghiệm của phơng trình đã cho

VD

Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:

x + y + z = x.y.z (2)

Lời Giải

Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phơng trình nên ta giả sử x < y < z Vì

x, y, z nguyên dơng nên x.y.z # 0

Do x < y < z nên x + y + z = x.y.z < 3.z => x.y < 3 => x.y {1; 2; 3}

- Nếu x.y = 1 => x = y =1, Thay vào (2) ta đợc 2 + z = z vô lí

- Nếu x.y = 2 => x = 1; y = 2 Thay vào (2) ta đợc x = 3

- Nếu x.y = 3 => x = 1; y = 3 Thay vào (2) ta đợc x = 2

Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là các hoán vị của {1; 2; 3}

VD

Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình

111 2

z y

x (3)

Lời Giải.

Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phơng trình nên ta giả sử x < y < z

Ta có 2 = x1y11z< 3

x

1

=> x <

2

3

=> x = 1 Thay vào (3) ta có 11 1  2

z

1

1

1





z

y < 2y suy ra y < 2

 y = 1 => 1/z = 0 Vô lí

 y = 2 => 1/z = 1/2 => z = 2

Suy ra x = 1; y = 2; z = 2

Vậy nghiệm của phơng trình là các hoán vị của {1; 2; 2}

Phơng pháp 3 Sử dụng tính chất chia hết

Sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phơng trình vô nghiệm hoặc để tìm nghiệm nguyên của phơng trình

VD

Tìm nghiệm nguyên của phơng trình

x2 - 2y2 = 5 ( 4 )

Lời Giải

Từ phơng trình (4) ta suy ra x2 là số lẻ => x là số lẻ, vậy x có dạng

x = 2.k + 1 ( kZ)

Thay vào (4) ta đợc:

4k2 + 4k + 1 - 2y2 = 5 => c y2 => y2 là số chẵn => y là số chẵn

Đặt y = 2.t ( tZ), ta có: 2( k2 + k - 1) = 4.t2

 k(k + 1) = 2t2 + 1

Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn 2t2 + 1 là số lẻ

Vậy phơng trình (4) vô nghiệm

VD

Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x; y; z thỏa mãn:

x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2000 (5)

Lời Giải

Ta có: x3 - x = (x - 1).x.(x + 1) là tích ba số nguyên liên tiếp Do đó x3 - x chia hết cho 3 Từ đó ta có: (x3 + y3 + z3 -x - y - z)  3

Vì 2000 không chia hết cho 3

Do đó x3 + y3 + z3 -x - y - z 2000 với mọi x; y; z  Z

Vậy phơng trình (5) vô nghiệm

VD Tìm nghiệm nguyen của phơng trình:

xy + x - 2y = 3 (6)

Lời Giải

Ta có xy + x - 2y = 3 <=> y(x - 2) = -x +3 Vì x = 2 không phải là nghiệm của phơng trình nên (6) <=> y =

2

3





 x

x

<=> y = -1 +

2

1



x Ta thấy y là số nguyên nên x - 2 là ớc của 1 => x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1

=> x = 3 hoặc x = 1

Từ đó ta có nghiệm (x; y) của phơng trình là: (1; -2) và (3; 0)

Chú ý: Ta có thể dùng phơng pháp 1 để giải bài toán này

Phơng pháp 4 Sử dụng bất đẳng thức

Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào đó và từ sự đánh giá đó để suy ra các giá trị nguyên của ẩn đó

VD

Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

x2 - xy + y2 = 3 (7)

Lời Giải

x2 - xy + y2 = 3 <=> (x

-2

y

)2 = 3 -

4

3 y2

Vì (x

-2

y

)2 > 0 => 3 -

4

3 y2 > 0 suy ra -2 < y < 2

Lần lợt thay các giá trị: y = {-2; -1; 0; 1; 2} vào (7) ta lần lợt tìm đợc các nghiệm là: (x; y) = {(-1; -2), (1; 2), (-2; -1), (2; 1), (-1; 1), (1; -1)

Phơng pháp 5 đa về dạng tổng

Biến đổi phơng trình về dạng vế trái là tổng các bình phơng, vế phải là tổng các số chính phơng

VD

Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

x2 + y2 - x - y = 8 (8)

Lời Giải

x2 + y2 - x - y = 8

<=> 4x2 + 4y2-4x - 4y = 32

<=> (4x2 - 4x + 1).(4y2 - 4y + 1) = 34

<=> |2x - 1|2 + |2y - 1|2 = 32 + 52

Bằng phơng pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất một dạng phân tích thành tổng hai số chính phơng là 32 và 52 Do đó phơng trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng: * | 2x - 1| = 3 và | 2y - 1| =5

*| 2x - 1| = 5 và | 2y - 1| =3

Giải các hệ trên ta suy ra phơng trình (8) có 4 nghiệm nguyên là:

(x; y) = {( 2; 3); (3; 2); (-1; -2); (-2; -1)}

Phơng pháp 6 Lùi vô hạn

VD

Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

x2 - 5y2 = 0 (9)

Lời Giải

Giả sử (x0; y0) là nghiệm của phơng trình x2 - 5y2 = 0 thì ta có x0 - 5y0 = 0 suy ra x0 chia hết cho 5 Đặt x0 = 5x1 ( x1Z) Ta có

25 x12 - 5y0 = 0 => y0 chia hết cho 5 Đặt y0 = 5y1 từ đó ta có: 5x1 - 25 y1 = 0

=> x1 - 5 y1 = 0 Vậy nếu (x0; y0) là nghiệm của (9) thì

)

5

;

5

( xko yko với k nguyên dơng cũng là nghiệm của (9) Hay x

0; y0 đều chia hết cho

5k Điều này chỉ xẩy ra khi x0 = y0 = 0

Vậy phơng trình x2 - 5y2 = 0 có nghiệm duy nhất là x = 0; y = 0

Phơng pháp 7 xét chữ số tận cùng

VD

Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:

1! +2! +3! +4! + + x! = y2 (10)

Lời Giải

Cho x lần lợt bằng 1; 2; 3; 4 ta có ngay hai nghiệm nguyên dơng của phơng trình (10) là: ( 1; 1) và (3; 3)

Nếu x > 4 thì dễ thấy k! (k > 4) đều có chữ số tận cùng bằng 0

=>1! +2! +3! +4! + + x! có chữ số tận cùng bằng 3 vì:

1! +2! +3! +4! + + x! = 33 + 5! + + x! Mặt khác vế phải là số chính phơng nên không thể có chữ số tận cùng bằng 3

Vậy phơng trình (10) chỉ có hai nghiệm nguyên dơng:

(x; y)  {(1; 1); (3; 3)}

VD

Tìm x; y nguyên dơng thỏa mãn phơng trình

x2 + x - 1 = 32y+1 (11)

Lời Giải

Ch x các giá trị từ 0 đến 9 dễ dàng xác định đợc chữ số tận cùng của

x2 + x - 1

là các giá trị 1; 5; 9 Mặt khác ta thấy 32y+1 là lũy thừa bậc lẻ của 3, nên chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 3 hoặc 7, khác với 1; 5; 9

Vậy phơng trình: x2 + x - 1 = 32y+1 không có nghiệm nguyên dơng

Phơng pháp 8

sử dụng tính chất nghiệm của phơng trình bậc hai

Biến đổi phơng trình về dạng phơng trình bậc hai của ẩn, coi các ẩn khác là tham số, sử dụng các tính chất về nghiệm của phơng trình bậc hai để xác định giá trị của các tham số

VD

Giải phơng trình nghiệm nguyên

3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 (12)

Lời Giải

3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0

<=> y2 + (4x + 2).y + 3x2 + 4x + 5 = 0

Ta thấy nếu phơng trình có ngghiệm thì y nguyên suy ra (- 4x - 2 +  ' x) nguyên

Mà x nguyên  ' xnguyên => 'y = x2 - 4 = n2 với n  Z

Dùng phơng pháp 1 đa về dạng tích: (x + n)(x - n) = 4 Ta xác định đợc x = + 2 Vậy phơng trình (12) có hai nghiệm nguyên

(x; y)  {(2; -5); (-2; 3)}

VD

Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

x2 - (y + 5).x + 5.y + 2 = 0 (13)

Lời Giải

Giả sử phơng trình nghiệm nguyên ẩn x có các nghiệm x1; x2 Thì theo định lí Vi-ét ta có:



















2 5

2

.

1

5 2

1

y

x

x

y

x

x

=>



















2 5 2 1

25 5 2 5 1 5

y x x

y x x

=> (x1 - 2)(x2 - 5) = 2 = 1.2 = (-1).(-2)

=> x 1 x2 = 13 hoặc x 1 x2 = 7

=> y = 8 hoặc y = 2

Thay vào (13) phơng trình này có 4 nghiệm:

(x; y)  {(7; 8),(6; 8),(4; 2),(3; 2)}

Một số bài toán tìm nghiệm nguyên

Bài 1 Tìm x; y nguyên thỏa mãn các phơng trình sau

a) 5x2 - 4xy + y2 = 169

b) 3x = 4y + 1

Bài 2 Tìm nghiệm nguyên của các phơng trình sau

a) 5x + 12x = 13x

b) y4 = x6 + 3x3 + 1.

Bµi 3 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh

25.t = 2.t5 + 1997 kh«ng cã nghiÖm nguyªn Bµi 4 T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh

x3 - 3y3 - 9z3 = 0

Bµi 5 T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh

2x2 + 2y2- 2xy + x + y - 10 = 0

Bµi 6 Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau

a) x2 - 4xy = 23

b) 3x - 3y + 2 = 0

c) 19x2 + 28y2 = 729

d) 3x2 + 10xy + 8y2 = 96

Bµi 7 T×m x; y nguyªn d¬ng tháa m·n

a) 4xy - 3(x + y) = 59

b) 5.(xy + yz + zx) = 4xyz

c)

z

xy

+

x

yz

+ zxy = 3

d)

1995

1 1 1 1





 z y x