I-Bất đẳng thức cô si
1.Chứng minh rằng
2
+ +
2.Chứng minh rằng
2
+ + + với a,b,c>0 và abc =1
3.Cho a,b,c>0 và abc=1.Cm:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4.Cho k số không âm a a1, , ,2 ak thoả a a1 2 ak = 1
Cm: a1m + a2m+ + ak m ≥ a1n + a2n+ + ak n với m n m n N ≥ ; , ∈
5.Cho 3 số thực x,y,z thoả mãn: x2004 + y2004 + z2004 = 3 Tìm GTLN của biểu thức
A x = + y + z
6.Cho a+b+c =0 Chứng minh rằng 8a+ + ≥ 8b 8c 2a + 2b + 2c
7.Cho số tự nhiên k ≥ 2.a a1, , ,2 ak là các số thực dương
k
n
a
8.Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn 1 1 1
1
x + + = y z Tìm GTNN của biểu thức
A
9.Tìm GTNN của
A
= + + với x y z + + = 1
10.Cho n số thực x x1, , ,2 xnthuộc đoạn [ ] a b a , , > 0
4
n
n
n a b
+
+ + + + + + ÷ ≤
11.Cho n là số nguyên dương;lấy xi∈ [ 2000;2001 ] với mọi i=1,2…,n
Tìm GTLN của F = ( 2x1 + 2x2 + + 2x n)( 2−x1 + 2−x2 + + 2−x n)
12.Xét các số thực x x1, , ,2 x2006thoả 1, , ,2 2006
Tìm GTLN của biểu thức
13.Cho n số dương a a1, , ,2 a Đặt : n m=min{a a1, , ,2 a n},M =Max{a a1, , ,2 a n}
1 ,
i
a
=∑ =∑ Cmr: B 1 n m M( ) A
mM
Trang 214.Cho a i ≥0,b i ≥ ∀ =0, i 1,n.Chứng minh rằng:
( 1 1) ( 2 2) ( ) n 1 2 n 1 2
n
a +b a +b a +b ≥ a a a + b b b
15.Cho a i ≥ ∀ =0, i 1,n.Chứng minh rằng: (1 1) (1 2) ( 1 ) (1 n 1 2 )n
16.Chứng minh n1.2 (n+ ≥ +1) 1 n1.2 n với n≥2,n N∈
17.Chứng minh trong tam giác ABC ta có :
1/
3
sinA sinB sinC 3
2/
3
A
3/
3
3
18.Cho a,b,x,y,z > 0 và x+y+z = 1.Chứng minh: 4 4 4 ( )4
19.Cho
1
, 0, i 0 1, ; n i 1
i
=
m
m n
20.Cho , ,a b c>0,a b c+ + =1.Chứng minh rằng: 3 1 1 1
21.Cho x∈[ ]a b Tìm GTLN của biểu thức ; F x( ) (= -x a) (m b x- )n với m n,ΝÎ *
22.Cho 0
2
;
xÎ é ùê úπ
ê ú.Tìm GTLN của biểu thức F x( )=sinq x c ospx với p q,ΝÎ *
23.Cho a,b,c không âm và có a + b + c =1.Tìm GTLN của biểu thức F a b c( , , )=a b c30 4 2004
24.Cho ,x y³ 0,x+ £ Tìm GTLN của các biểu thức sau :y 6
1/F x y( , )=x2002 6y( - -x y)
2/F x y( , )=x2002 4y( - -x y)
25.Xét các số thực dương thỏa mãn a + b +c =1.Tìm GTNN của biểu thức
P
ab bc ca
26.Xét các số thực dương thỏa mãn a +b +c + d =1.Tìm GTNN của biểu thức
P
acd abd abc bcd
27.Giả sử x x1, , ,2 x >0 thỏa mãn điều kiện n
1
1 1
n i
i i
x x
å + Cmr: 1 ( )
1 1
n
i x
n
Õ
-28.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn 2 3 1
a+ b+ c=
2 3
6
1 5
ab c £
Trang 329 Giả sử x x1, , ,2 x >0 thỏa mãn điều kiện n
1
1
n i i
x
å Cmr:
1
1
n i
n
i i
x
Õ
-30 (QG-98) Giả sử x x1, , ,2 x >0 thỏa mãn điều kiện n
1
1998 1998
n
iå= x i = +
Cmr: 1 2
1998 1
n
n
x x x
-31.Cho n số dương thỏa mãn điều kiện
n i
i a
= <
å
1
1 1 1
n
+
ç ÷
çè ø
-33.Cmr: " În N n, ³ 2 ta có 1n n n n1 n n 2
- + + <
34.Cho x y z, , Î [ ]0;1 .Cmr: 2(x3+y3+z3) (- x y2 +y z2 +z x2 )£ 3
35 Cho x y z, , Î [0; 2].Cmr: 2(x6+y6+z6) (- x y4 2+y z4 2+z x4 2)£192
36.Cho x iÎ [ ]1; 2 với i=1,…,2000.Thỏa mãn 2000
1
2005
i i
x
å Tìm GTLN của 2000 3
1 i
i
=
= å
37.Chứng minh : 2 1 2 1 2 1
3.2
α
Trong đó , , ,a b cα >0
38.Cho số dương a Xét bộ số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:xy + yz + zx = 1
Tìm GTNN của biểu thức P a x= ( 2+y2)+z2
39.Xét các số thực x,y,z thỏa mãn : 2 2 2 16 2
25
x +y + +z xy a= Trong đó a là một số dương cho trước Tìm GTLN của biểu thức :P = xy + yz + zx
40.Xét các số thực a,b,c,d thỏa mãn : 1 2 2 2 2
1
Tìm GTLN và GTNN của : P = ( a − 2 b c + ) (2 + b − 2 c d + ) (2 + b − 2 a ) (2 + − c 2 d )2
41.Cho hàm số f x thỏa mãn pt ( ) f tg x( 2 ) =tg x4 +cotg x4
Cmr: f(sinx)+ f(cosx)³ 196 ( OLP-30-4-99)
II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn 2 2
4
a +b = và c+d=4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=ac+bd+cd
2.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn a2+b2 =1 và c+d=3Cmr: ac+bd+cd 9 6 2
4
+
≤
3(HSG-NA-2005) a,b,c,d là các số thực thoả mãn a2+b2 =1 và c-d=3
Cmr: ac+bd-cd 9 6 2
4
+
≤
4.Cho các số a,b,c,d,x,y thỏa mãn : a2+ +b2 40 8= a+10 ;b c2+d2+ =12 4c+6 ;3d x=2y+13 Tìm GTNN của ( ) (2 )2 ( ) (2 )2
P= x a− + −y b + x c− + −y d
Trang 45.Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện a - 2b + 2 = 0
Chứng minh rằng : 2 2 2 2
a + −b a− b+ + a + −b a− b+ ≥
6.Cho bốn số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện:a + 2b = 9;c + 2d = 4
Cmr: a2+ −b2 12a− +8b 52+ a2+ + +b2 c2 d2−2ac−2bd + c2+d2− +4c 8d+20 4 5≥
7.Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn : c d+ =6;a2+b2 =1
Cmr: c2+d2−2ac−2bd≥ −18 6 2
8.Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : a2+b2 =2(a b c+ ); 2+d2 =4(c d+ −1)
Cmr: 4 2 2− ≤ + + + ≤a b c d 2 4 2 2( + )
9 .Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : a2+b2 = +c2 d2 =5
2
− − + − − + − − ≤ Xét dấu bằng xẩy ra khi nào?
10.Cmr với mọi x,y ta đều có: x2+4y2+6x+ +9 x2+4y2−2x−12y+10 5≥
11.Cho a,b,c,d là bốn số thực thỏa mãn a2 + + =b2 1 2(a b c+ ); 2+d2+36 12= (c d+ )
Cm: ( )6 ( ) (2 )2 ( )6
2 1− ≤ −a c + −b d ≤ 2 1+
12.Cho x,y là hai số thực thỏa mãn :
3 9
0, 0
+ ≤
Cmr: 35 2 2
4 8 45
13.Cho các số x,y thỏa mãn :
2 8 0
2 0
2 4 0
x y
+ + ≥
− − ≥
Cm: 16 2 2
20
5 ≤x +y ≤
III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1Chứng minh rằng với mọi α ta có
17≤ cos α+4 os +6c α + cos α−2 os +3c α ≤ 2+ 11
2.Tìm GTNN của hàm số 2 2
3.a)Chứng minh bất đẳng thức: sin 2 ; 0;
2
tgt+ t≥ t t∀ ∈ π
÷
b)Cho tam giác ABC có các góc là A,B,C
Chứng minh :
1 os 1 os 1 os
+ + > ( A,B,C đo bằng rađian)
4.Cho a b, ∈[ ]0;1 Chứng minh rằng
(1 ) (1 ) (1 ) 1
+ + + + + + với ∀ ∈x [ ]0;1
5.Cho hàm số
2 2
os -2x+cos
x 2 os +1
x c y
xc
α
=
− với α∈(0;π)
Chứng minh : 1− ≤ ≤ ∀y 1; x
Trang 56.Chứng minh sinA+sinB+sinC tgA tgB tgC+ + + >2π.với A,B,C là ba góc
của một tam giác
7.Chứng minh 2sinx 2 2 ;01
2
8.Giả sử f(x) là một đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện f x( ) ≥ ∀0, x
Cmr: f x ( ) + f x,( ) + f,,( ) x + + f( )n ( ) x ≥ ∀ 0, x
9.Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có
cot cot cot 3 3 2
sin sin sin
10.Cho tam giác ABC không tù ,thỏa mãn hệ thức:
os3A+cos3B os2A+cos2B osA+cosB=
3 c −2 c +c 6.Chứng minh tam giác ABC đều 11.Cho 0
2
a b π
< < < Chứng minh rằng : a.sina-bsinb>2 cosb-cosa( )
12.Cho a 1
0 q p q+1
≥
≤ ≤ ≤
.Chứng minh rằng a p q+ − ≥1 ( p q a+ ) ( p −a q)
13.Cho 0< <π
2
x .Chứng minh rằng :
3
sinx
osx
14.Cho tam giác ABC nhọn Cmr: tgA tgB tgC+ + +6 sin( A+sinB+sinC) ≥12 3 15.Cho a,b,c là các số không âm thỏa a2+b2+c2 =1
Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 3 3
2
b c +c a + a b ≥
16.Chứng minh trong tam giác nhọn ABC ta có
sin sin sin
3 A+ B+ C +3 tgA tgB tgC+ + >π
17.Cho 0< <π
2
x Cmr: 2 s inx 3 1
2
x tgx +
18Cho số nguyên lẻ n≥3.Cmr: ∀ ≠x 0ta luôn có :
19.với giá trị nào của m thì sin3x c+ os3x m x≥ ,∀
20.Cho x,y >0 Chứng minh rằng :
2 3
8 4
xy
≤
21.Cho x≠0,y≠0là hai số thực thay đổi thỏa mãn (x y xy+ ) =x2+ y2−xy
Tìm GTLN của biểu thức A 13 13
22.Cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện , , 3
4
a b c≥ −
Chứng minh ta có bất đẳng thức 2 2 2 9
10
23.(HSG Bà Rịa12-04-05)
Trang 61/Tìm cực trị của hàm số 2 1
1
x y
+
− +
2/ Cho các số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3
Tìm GTNN của P= x2 − + +x 1 y2 − + +y 1 z2 − +z 1
24.Tìm GTNN của P=3 x2 + +1 y2 + +1 z2 + −1÷ 2(x y z+ + )
25 Cho a b c , , > 0và a b c + + = 6 Cmr: a4 + b4+ c4 ≥ 2( a3+ + b3 c3)
26 Cho a b c , , > 0 và a2+ b2+ c2 = 1 Cmr: 1 1 1
a b c
+ +
28 (Olp -2006)Cho a b c , , > 0.Cmr: 2 ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 6
5
39.(Olp nhật 1997)Cho a b c , , > 0.Cmr:
5
40.xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện : 4
2
x y z xyz
+ + =
Tìm GTLN và NN của biểu thức P=x4 +y4+z4 (QG -B-2004)
41 xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện (x y z+ + )3 =32xyz
Tìm GTLN và GTNN của
4
P
x y z
= + + (QG-A-2004)
42.Các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn a b c d≤ ≤ ≤ và bc ad≤ Chứng minh rằng
b c d a d a b c
a b c d ≥a b c d
43.Xét các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x−3 x+ =1 3 y+ −2 y
Tìm GTLN và GTNN của P = x + y ( QG –B-2005)
44.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn f(c otgx) =sin 2x+cos2x,
(0; )
xÎ π Tìm GTNN và GTLN của hàm số g x( )= f(sin2x f c) ( os2x) QG –B-2003 )
45.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn f(c otgx) =sin 2x+cos2x,
(0; )
xÎ π Tìm GTNN và GTLN của hàm số g x( )= f x f( ) (1- x x), Î -[ 1;1] ( QG –A-2003)
46.Cho x>0 và , 0; ;
2
π
a b æ öç ÷a b
Î ççè ø÷÷ ¹ Cmr:
+
IV-ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LA GRĂNG
1.Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì a b lna a b
2.Chứng minh rằng nếu 0
2
a b π
tgb tga
Trang 73.Chứng minh 1 1 ; ( )0;1
2
n
ne
4.Cho m > 0 còn a,b,c là 3 số bất kỳ thỏa mãn điều kiện
0
+ + .Chưng minh pt ax2 +bx c+ =0có ít nhất một nghiệm
thuộc khoảng ( )0;1
5.Cho pt bậc n: a x n n+a n−1x n−1+ + a x a1 + 0 =0trong đó a n ≠0,a n−1, , ,a a1 0
là số thực thỏa mãn : 1 1 0 0
n n
a
n + n− + + + = + .Chứng minh pt đã cho có
ít nhất một nghiệm thuộc khỏang ( )0;1
6.Cho các số thực a,b,c và số nguyên n > 0 thỏa mãn 5c n( + +2 6) (a b+ ) =0
Chứng minh pt : sin a n x +bcosn x c+ sinx c+ =0 có nghiệm thuộc khoảng 0;
2
π
7.Cho hàm số liên tục : f : 0;1[ ] [ ]→ 0;1 có đạo hàm trên khoảng ( )0;1 Thỏa mãn
( )0 0, 1 1( )
f = = Chứng minh tồn tại a b, ∈( )0;1 sao cho a b≠ và f a f b,( ) ( ), =1
8.Giải các pt sau :
a) 3x+5x =2.4x
b) 3cosx −2cosx =cosx
c) (1+cosx 2 4) ( + cosx) =3.4cosx
d) 2003x +2005x =4006x+2
9.Xét phương trình : 1 1 21 21 1
Trong đó n là tham số nguyên dương
a)Cmr với mối số nguyên dương n ,pt nêu trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1
Kí hiệu nghiệm đó là x n
b)Cmr dãy số { }x có giới hạn bằng 4 khi n n → +∞ (QG-A-2002)
10.Cho hàm số f x và ( ) f x đồng biến trên đoạn [,( ) a b ,với; ]
( ) 1( ) ,( ) 1( )
,
f a = a b f b- = b a
-Chứng minh rằng tồn tại , ,α β δ phân biệt trong ( a b sao cho ; ) f,( ) ( ) ( )α , β f , δ =1
11.Cho f : ;[ ] [ ]0 1 ® 0 1; thoả mãn các điều kiện f x,( )> " Î0; x [ ]0 1; và f( )0 =0, ( )1 =1
Cm:tồn tại dãy số 0£ a1<a2< < a n £ sao cho 1 ( )
n
i
i f a
Õ (n là số nguyên dương n ³ 2)
12.Cho a,b,c,d là độ dài các cạnh của một tứ giác
CMR: 3
abc+abd+bcd+acd ab+ac+ad+bd+cd
£
Trang 8V DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1.Tính đạo hàm các hs sau tại các điểm đã chỉ ra:
1 osxcos2x cosnx
khi x 0
0 khi x=0
c
−
=
b) ( ) ln osxx khi 0
0 khi 0
c
x
f x
x
=
tại x=0
2.Xác định a,b để hàm số : ( ) ( 2 ) khi 0
1 khi 0
bx
f x
−
=
có đạo hàm tại x=0
3.Cho hàm số f x( ) p cosx +qsinx khi px+q+1 khi 0 x 0
x
≤
Chứng tỏ rằng mọi cách chọn p,q hàm số f(x) không thể có đạo hàm tại x=0
1.Giải bpt : 2x3+3x2 +6x+16 >2 3+ 4−x
2.Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất
1
2
log 11 loga + ax −2x+3.loga ax −2x+ + ≤1 1÷ 0
3 Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất
log 3 loga x ax+5 1 log ax+6 0
a
x
4.Tìm mọi giá trị của tham số a soa cho với mối giá trị đó pt sau có đúng 3 nghiệm
phân biệt
1 3
3
4− −x a log x −2x+ +3 2− +x xlog 2 x a− +2 =0
5.Tìm những giá trị của a để với mỗi giá trị đó pt: 3(x2+a2) (= −1 9a2−2)x
có số nghiệm không nhiều hơn số nghiệm của pt
2
6 Tìm những giá trị của a để pt: 15x2 −2 6( m2+1)x−3m4 +2m2 =0có số nghiệm không nhiều hơn số nghiệm của pt :(3a−1 12)2 x +2x3+6x=(36m −9) 28m −0, 25
7.Giải pt : ( 3 )
3log 1+ x+ x =2log x
8.Giải hệ 5
2 3
4
tgx tgy y x
+ =
9.Giải bất pt log7x>log 23( + x)
Trang 910.Giải pt : 1 2 1 2 1
với tham số a∈( )0;1
11 Giải hệ:
(1)
tgx tgy y x
− = −
+ − = − +
12 Giải pt: etg x2 + c osx=2 với x∈ − π π2 2;
13 Giải pt:3 (2 x + 9 x2+ + 3) (4 x + 2)( 1 + + x x2 + = 1) 0
14.Giải pt: 3x= + + 1 x log (1 2 )3 + x
VII.TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PT CÓ NGHIỆM
1.Tìm m để pt sau có nghiệm : x2 + + − x 1 x2 − + = x 1 m
2 Tìm tất cả các giá trị của a để pt: ax2 + = 1 cos x có đúng một nghiêm 0;
2
∈ ÷
3.Cho hàm số y = − + x ( x a x b + )( + ) với a,b là hai số thực dương khác nhau cho trước Cmr
với mọi s ∈ ( ) 0;1 đều tồn tại duy nhất số thực α > α = + ÷
1
0: ( )
2
s s s
(QG-A-2006)
4.Cho pt : cos2x= m+1 cos( ) 2x 1+tgx
a)Giải khi m = 0
b)Tìm m để pt có nghiệm trong đoạn 0;
3
π
5.Tìm m để pt sau có nghiệm: (4m−3) x+ +3 (3m−4 1) − + − =x m 1 0
6.Tìm m để tồn tại cặp số (x;y) không đồng thời bằng 0 thỏa mãn pt:
(4m−3) x +(3m−4) y +(m−1) x2+y2 =0
7.Tìm m để pt : 1 cos8
6 2cos 4
x m x
+ có nghiệm.
8.Tìm a đ pt : ax2+2cosx= đúng 2 nghiệm thuộc 0 22 é ùê úê ú;π
9.Cho hàm số: ( )
2
2
x sinx+
x
f x =e -a) Tìm GTNN của hàm số
b) Cm pt f x = có đúng hai nghiệm.( ) 3
10.Chứng minh ptx x+1=(x+1)x có một nghiệm dương duy nhất
11 Cho f x( ) =x3+ax2+bx+ =c 0;(a¹ 0) có 3 nghiệm phân biêt
a)Hỏi pt:2 f x f ( ) ,,( ) x - é f x,( ) ù2 = 0
ë û có bao nhiêu nghiệm
Trang 10b)Chứng minh rằng: 3 ( 2 )3
27c+2a - 9ab <2 a - 3b
tg xỉ ư÷ tg xỉç ư÷ tg xỉç ư÷
ç + +÷ ç + ÷+ + ç + ÷=
a) Cmr v ới mối số nguy ên n ³ 2 ,pt c ĩ một nghiệm duy nhất trong khoảng
0
4
;π
ỉ ư÷
çè ø.k í hiêụ ng đĩ là x n
b)Cm dãy số (x ) cĩ giới hạn n
13.Chứng minh pt f x( )=x4+4x3- 2x2- 12x+ = cĩ 4 nghiệm phân biệt 1 0 x i = i; 1 4,
và hãy tính tổng
2 4
2 1
1
i
i i
x S
x
=
+
= å
-VIII MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1.Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
4 ax
2 Tìm m để hệ pt sau cĩ nghiệm 2x+ y-1
m
3.Giải hệ
2 2
2 1 2 1
y x
y x y
x
=
=
4.Chứng tỏ rằng với mọi a≠0thì hệ sau cĩ nghiệm duy nhất
2 2
2 2
2
2
a
y
a
x
= +
5.Tìm a để hệ
sinx=a sin
x y
x
+
cĩ nghiệm duy nhất 0< ≤x 2 ,0π < ≤y 2π
6.Giải hệ:
+ − + − + =
+ − + − + =
+ − + − + =
7.Giải hệ:
2
3 2
3 2
2 6 log (6 )
2 6 log (6 )
2 6 log (6 )
( QG – A- 2006)
Trang 118.Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (HSG12-2006)
n
6.Giải hệ: ( )
( HSGQG 1999)
log 1 3 osx log sin 2
log 1 3sin log osx 2
8.Gọi (x y là nghiệm của hệ pt: ; ) 2 4
ì - = -ïï
ïî ( m là tham số) Tìm GTLN của biểu thứcA=x2+y2- 2x ,khi m thay đổi
HƯỚNG DẤN GIẢI I.Bất đẳng thức
Trang 124 na i m +(m n− ) ≥ma i n,∀ =i 1, ,k
7.
1
2
1
2
m
m n m n n
m
m n m n n
a
a
m n csi
a
a
=
( )2
A
Ta có:
( )2 (2 ) (2 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
Tương tự suy ra: 1 1 1 1 1 1 1 2
8
A
Mà:
3 3 3
ab ac ad bc bd cd bcd cda abd bca
*
*
*
A B C
A
ab ac ad bc bd cd
B
ab ac ad bc bd cd
C
bcd acd dab abc
= + +
+ +
Ta cm:A≥100,B≥96,C≥64⇒ ≥P 260
1
i i
i
x
x
n
n n
X X
1998
i
i x
X = ∀ =i n.Ta có:
1
1 X + +1 X n =
Từ đó suy ra: X1 X n ≥(n−1)n.vậy có (đpcm)
1
1
1
; 1, , ;
n
a
Ta có: 1 + + 1 + 1 =n vậy X X X ≤ ÷ 1 n+1
Trang 132
Chọn
2 a
39.
2
1
16
q
q
2
6
5 3
a
x y
a z
= = ±
= ±
39Do vai trò của a và d,bvà c trong biểu thức trên ta dự đoán điểm cực trị
sẽ đạt được tại các bộ số thỏa đk: a2=d c2 2, =d2.với p>0 xác định sau ta có
cộng theo vế :
( ) ( 2 2) 5 10 ( 2 2)
p
+
2
p
p
ax
5 3 5 2
m
=
43.Ứng dung đk có nghiệm của hpt đx
II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.Gọi M a b N c d( ) (; , ; ) Từ gt suy ra M,N nằm trên đường tròn x2+y2=4 và đường thẳng
4
x y+ = .Dễ thấy −2(ac bd cd+ + ) (= −a c) (2+ −b d)2−20=MN2−20
Mà MN2≥12 8 2− nên −2(ac bd cd+ + ) ≥ − −8 8 2⇔ac bd cd+ + ≤ +4 4 2
Vậy maxP=4+4 2khi a b= = 2;c d= =2
2.và 3 tương tự
4.Gọi N a b Q c d M x y( ) (; , , ), ( ; ) Từ gt suy ra N,Q,M lần lượt thuộc các đường tròn
Trang 14( ) ( ) (2 )2 ( ) ( ) (2 )2
C x− + y− = C x− + y− = và đường thẳng ( )∆ :
3x−2y− =13 0
Khi đó P =MQ MN+
Gọi I R, 1và J R, 2 lần lượt là tâm và bán kính của ( ) ( )C1 ,C2
Lấy K u v( ); đối xứng với I qua ( )∆ thì 118 21;
13 13
2 13 1
P MQ MN= + ≥ MJ −JQ + MI IN− =MJ +MK − R +R
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi M ≡M Q Q N1, ≡ 1, ≡N1.Trong đó M Q1 1, là giao
Của JK với ( )∆ và ( )C2 còn N1=M I1 ∩( )C1
Vậy minP =2 3 1( − )
III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CM BĐT
3.Từ câu a) ta có
1 ost ost cot
2t sin
t
g +cogt + g ≥ nên có đpcm
có đạo hàm cấp hai không âm nên đạo hàm cấp một có nhiều nhất 1 nghiệm
1
TH :f x,( ) =0 VN Thì f x( ) ≤Max f 0 ; 1{ ( ) ( )f } ≤1
2
TH :f x,( ) =0 có nghiệm duy nhất x=α thì vì f x,( ) đồng biến nên α là điểm
cực tiểu vì vậy [ ] ( ) { ( ) ( ) }
0;1axf x max f 0 ; 1 1
8.Đặt F x( ) =f x( ) +f x,( )+ + f ( )n ( )x thì
vì f là đa thức bậc n nên f(n+1) ( )x =0.Từ gt bài toán suy ra f là đa thức bậc chẵn
có hệ số cao nhất dương do đó F đạt GTNN.Giả sử F đạt GTNN tại x0 Thì ,( )
vậy từ (1) suy ra ( ) ,( ) ( ) ( )
F x =F x +f x =f x ≥ (đpcm)
12 a p q+ − ≥1 (p+q) (a p −a q) ↔a p q+ −( p q a+ ) ( p −a q)− ≥1 0
Hàm số: f x( ) =x p q+ −(p q x+ ) ( p −x q)−1 đồng biến trên [1;+∞)
Và có f ( )1 =0 nên từ a≥1 ta có (đpcm)
13.Cô lập x và xét dấu đạo hàm của f x( ) =sin2x tgx x − 3
Chú ý: 2sin2 2 1(2sinx+tgx)2 1( )3 2
*Cũng có thể xét đến đạo hàm cấp 3 để khư x
15.Từ dự đoán điểm rơi dẫn đến xét hàm số có điểm cực trị 1
3
x= là