DS2 t2 ThongNV MinhND da thuc xe va dem so hoan vi

ĐA THỨC XE VÀ BÀI TOÁN ĐẾM SỐ HOÁN VỊ Nguyễn Văn Thông-Nguyễn Đình Minh GV báo cáo: Nguyễn Đình Minh Giáo viên THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng ĐC: Số 01 Vũ Văn Dũng-Quận Sơn Trà-TP

ĐA THỨC XE VÀ BÀI TOÁN ĐẾM SỐ HOÁN VỊ

Nguyễn Văn Thông-Nguyễn Đình Minh

GV báo cáo: Nguyễn Đình Minh

(Giáo viên THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng

ĐC: Số 01 Vũ Văn Dũng-Quận Sơn Trà-TP Đà Nẵng)

Lý thuyết các quân xe mà đối tượng chủ yếu là đa thức xe được nghiên cứu đầu

tiên bởi Kaplansky và Riordan, sau đó được mở rộng bởi Goldman và ứng dụng nhiều

trong lý thuyết đồ thị, lý thuyết biểu diễn nhóm Đặc biệt với các bài toán tổ hợp liên quan đến việc đếm số hoán vị, vận dụng đa thức xe vào giải quyết lại rất đơn giản Tuy nhiên, với học sinh chuyên toán trong trường phổ thông, lý thuyết về quân xe chưa phổ biến rộng Bài viết này giới thiệu bạn đọc lý thuyết cơ bản về các quân xe cùng với những ứng dụng trong vấn đề đếm liên quan đến các hoán vị

1 Các định nghĩa

1.1 Hoán vị độ dài n

Cho số nguyên dương n Một hoán vị  có độ dài n là một song ánh từ tập

1, 2, , n đến chính nó 

Kí hiệu S là tập tất cả các hoán vị có độ dài n Hoán vị n   sao cho S n  i  với i

mọi i thỏa 1  được gọi là một xáo trộn của tập i n 1, 2, , n

1.2 Bàn cờ

Một bàn cờ là một tập hợp các ô vuông có hình dạng bất kỳ

Hai bàn cờ A B, được gọi là độc lập nếu không có ô vuông nào của A và B

chung hàng hoặc chung cột

Ví dụ như các bàn cờ bên dưới thì A B là hai bàn cờ độc lập ,

Nhận xét Với   thỏa S n  i  thì ta đặt tương ứng một con xe ở vị trí j

 i j (tức dòng ,, i cột j ) trên bàn cờ vuông n n Như vậy mỗi một hoán vị  có độ

dài n cho tương ứng với một cách đặt n quân xe sao cho không ăn lẫn nhau trên bàn

cờ vuông kích thước n n  , và mỗi xáo trộn có độ dài n là cách đặt n quân xe trên bàn cờ vuông n n sao cho không có hai con xe nào “ăn nhau” và không có con xe

nào nằm trên đường chéo chính của bàn cờ

1.3 Block của bàn cờ

Cho bàn cờ C , miền ô vuông S được gọi là một block của bàn cờ C nếu thỏa

mãn các điều kiện sau

i) Với bất kì hai dòng i i chứa ô của S và cột j không chứa ô nào của S thì hai ô , '

 i j và ,  i j hoặc cùng là ô vuông của C hoặc không cùng là ô vuông của C ',

ii) Với bất kì hai cột j j chứa ô của S và dòng i không chứa ô nào của S thì hai ô , '

 i j và ,  i j hoặc cùng là ô vuông của C hoặc không cùng là ô vuông của C , '

Nhận xét Nếu C là bàn cờ gồm các ô vuông thì mỗi ô vuông của C được xem như

một block của C

Ví dụ 1 Xét bàn cờ như hình vẽ

C

Khi đó bảng ô vuông S được xác định gồm các ô ở các vị trí (2;2);(3,2); (3;3);(3;4) (ô được tô) là một block của C

1.4 Đa thức quân xe của bàn cờ

Cho bàn cờ C bất kỳ gồm m hàng và n cột, đa thức quân xe của bàn cờ C là

0

k





trong đó r C là số cách sắp k con xe không “ăn nhau” trên bàn cờ C k 

Nhận xét Hệ số r C  vì có 1 cách đặt 0 quân xe lên bàn cờ C và 0  1 r C là số 1 

ô vuông của C vì đây là số cách đặt 1 quân xe trên C

Nếu C có m dòng và n cột thì r C  với mọi số nguyên k  0 kminm n, 

Ví dụ 2 Cho các bàn cờ như các hình bên dưới

A B

Đa thức quân xe các bàn cờ lần lượt là

R B x   x x   x

Ví dụ 3 Cho m n là các số nguyên dương thỏa , m  n, tìm đa thức quân xe của

bàn cờ C hình chữ nhật kích thước m n

Giải Với mỗi 0  thì có k m m

k

 

 

 

 

 cách chọn k dòng trong m dòng và có

n

k

 

 

 

 

 cách chọn k cột trong n cột Với dòng thứ nhất trong k dòng đã chọn ta có k cách

đặt quân xe trên k cột đã chọn, với dòng thứ hai ta có k  cách đặt quân xe trên 1 1

k  cột còn lại (trừ cột đã chứa quân xe ở dòng đã chọn đầu tiên Tiếp tục cách chọn

như vậy , suy ra số cách đặt k quân xe trên bàn cờ sao cho các quân này không ăn

nhau là  

! !

!

k

k k

   

 

      

   Vậy đa thức quân xe của bàn cờ Clà

 

0

! ! ,

m

k

k

n m





 

Từ kết quả trên suy ra đa thức xe cho bàn cờ vuông n n là  

2

n

k

n

k



 



   

Nhận xét Theo cách làm trên, việc tìm đa thức xe của bàn cờ như bàn hình chữ

nhật, hình vuông là tương đối đơn giản, nhưng đối với bàn cờ phức tạp ta cần nhiều phép biến đổi trên các dòng và cột để đưa về các bàn cờ đơn giản hơn để tính Các tính chất sau đây cho phép chúng ta thực hiện được điều này

1.4 Tính chất đa thức xe

Tính chất 1.4.1 Cho bàn cờ C , gọi C C là bàn cờ tương ứng có được khi đổi d, c

chỗ hai dòng bất kì và hai cột bất kì của C Khi đó R C x , R C x d, R C x c, 

Chứng minh

Vì với mỗi cách đặt k quân xe trên bàn cờ C thì trên mỗi dòng và cột chứa quân xe

có duy nhất 1 quân xe của C trong k quân nên với các phép đổi hai dòng cho nhau

hay hai cột cho nhau ta vẫn nhận được một cách sắp đặt cho các bàn cờ C C d, c Do đó

ta có điều cần chứng minh 

Tính chất 1.4.2 Nếu A B là hai bàn cờ độc lập thì , R A B x, R A x R B x ,   , 

Chứng minh

Sắp xếp k quân xe trên bàn cờ A , có B r A cách sắp s  s1 s k quân xe

trong A và có r k s  B cách sắp k  quân còn lại trong B nên số cách sắp k quân xe s

trên bàn cờ A là B      

0

k

s

r A B r A r B



Vậy đa thức xe của bàn cờ A là B

         

0 0

k

k

R A B x r A r B x R A x R B x





 



     

Tính chất 1.4.3 Cho C là bàn cờ các ô vuông có block S nằm trên m dòng và

n cột, đặt pminm n; ; với mỗi 0  , kí hiệu k p D S là bàn cờ có được từ k 

bàn cờ C sau khi thực hiện các bước sau:

(a) Bỏ tất cả các ô của S

(b) Bỏ tất cả các ô thuộc k dòng tùy ý trong số m dòng chứa các ô của S

(c) Bỏ tất cả các ô thuộc k cột tùy ý trong số n cột chứa các ô của S

Khi đó, đa thức xe của bàn cờ C là

0

p

k

k

R C x r S x R D S x



Chứng minh

Vì S là một block nên với hai bộ bất kì mỗi bộ gồm k ( 0   ) ô vuông chứa k k p

quân xe không ăn nhau trong S thì những bàn cờ mới sinh ra vẫn không thay đổi khi thực hiện các phép bỏ đi tất cả các ô của S , k dòng và k cột chứa các ô này, đó chính

là bàn cờ D S Do đó, nếu sắp t quân xe trên bàn cờ C , thì có k  r S cách sắp k 

k   quân xe vào S và tương ứng với mỗi cách sắp này có k t r t k D S k  cách sắp các quân còn lại vào bàn cờ D S Vậy số cách sắp t quân xe trên bàn cờ C là k 

0

t

k

r C r S r D S



Vì r S  với mọi i i  0  Do đó, đa thức xe của C là p

               



p t

R C x r S r D S x r S x R D S x 

Trong trường hợp S là ô vuông bất kì trong C ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.4.4 Cho a là ô vuông bất kì có trong bàn cờ C Gọi Y là bàn cờ có

được từ C bằng cách xóa đi hàng và cột chứa , a và X là bàn cờ có được từ C bằng cách xóa đi ô a Khi đó, ta có R C x , R X x , xR Y x , 

Ví dụ 4 Tìm đa thức xe bàn cờ C



C

Giải Đánh dấu ô ở vị trí (2;2) như hình vẽ thì R C x , R A x , xR B x , 

Trong đó các bàn cờ A B, được đánh dấu các ô và biến đổi như sau



A D E

B Suy ra

R B x   x x

R C x   x x  x  x 

Nhận xét r C 4  2chính là số hoán vị 4của tập 1, 2,3, 4 sao cho 1  2,  2 1

 3 2,  4 1

Ví dụ 5 Cho bàn cờ vuông C 2 nkích thước 2n2 ,n hãy tìm đa thức quân xe của bàn cờ tạo bởi các ô được tô bên dưới

…

2 n

C



Giải Gọi M là bàn cờ tạo bởi các ô được tô, với 2 n k1,2, ,n, gọiA là bàn cờ tạo bởi k

4 ô có vị trí như sau

  k k; ; ;2k n k 1 ; 2  n k 1;k ; 2n k 1;2n  k 1

Khi đó A A1, 2, ,A là các bàn cờ vuông kích thước n 2 2, đôi một độc lập do đó đa thức xe của bàn cờ M là 2 n    2

2n, 1 4 2 n

R M x   x x 

2 Áp dụng đa thức xe vào bài toán đếm

2.1 Bài toán đếm hoán vị với vị trí cấm

Cho bàn cờ C và tập M   thỏa M  Tìm số hoán vị C   sao cho S n  i  j với mọi  i j, M

Hoán vị  thỏa yêu cầu bài toán được gọi là hoán vị với vị trí cấm, tập M gọi là tập

cấm của bàn cờ C ô ,  i j, M gọi là vị trí cấm trên C Như vậy bài toán trên chính là

tìm số cách sắp n quân xe trên bàn cờ C sao cho không có hai quân xe nào ăn nhau

và không có con xe nào ở các vị trí cấm, đó chính là hệ số r C M Tuy nhiên, để n \ 

tìm số cách sắp đặt các con xe này rất phức tạp, trong khi đó nếu xét bàn cờ tạo bởi

các ô bị cấm M thì ta dễ dàng tìm được các hệ số của đa thức xe R M x , từ đó có  , 

thể suy ra số cách xếp theo yêu cầu qua định lý sau đây

Định lý 2.1.1 Cho bàn cờ hình chữ nhật C kích thước m n  với M là tập hợp các

vị trí cấm Đặt pminm n, , gọi r M là số cách đặt k quân xe không ăn nhau k 

trên bàn cờ M , khi đó

0

k

l

l

m l n l





và đa thức quân xe của bàn cờ C\ M là

0 0

l

m l n l

 



Chứng minh Với 1  , ta xét cách đặt k quân xe trên C Giả sử có s dòng k p

trong bàn cờ C chứa các ô bị cấm là d d1, 2, ,d Với mỗi i thỏa s

1  i s min m n, , gọi A k là cách sắp k quân xe trên bàn cờ C sao cho có quân i 

xe trên dòng d iở vị trí cấm và t là số ô vuông bị cấm trên dòng i d i Khi đó số cách

sắp k quân xe trên bàn cờ C\ M là

! !

\

m n

TH1 Với p  Xét mỗi k s A k , ta có i  t icách đặt quân xe ở vị trí cấm trên d , và i

1

k  quân xe còn lại nằm trên k  ô vuông của C không chứa cột và dòng của quân 1

xe nằm trên ô bị cấm trên d nên số cách xếp i k  quân xe này là 1

1 ! 1 !

1 !

k

1

Tương tự ta cũng có

1 2

1

l l

m l n l

    



Theo nguyên lý bù trừ suy ra

1

1

s s

l

m l n l







Vì vậy

0

s

l

l

m l n l





Vì r M  với mọi j j  0  nên có được s    1 , 2

TH2 Với 1  thì thực hiện tương tự chứng minh như trên nhưng ở k s  * chú ý

1 2

l

A k A k  A k   nếu l k nên chỉ xét các tậpA k với l i l   , k

và từ đó ta cũng có  1 và  2 

Hệ quả 2.1.2 Cho C là bàn cờ vuông n n  và M tập hợp các vị trí cấm Gọi

 

k

r M là số cách đặt k quân xe không ăn nhau trên bàn cờ M , khi đó

2

2 0

!

k

l

l

n l







và đa thức quân xe của bàn cờ C\ M là

2

2

0 0

!

l

n l

 



Hệ quả 2.1.3 Cho C là bàn cờ vuông n n  và M tập hợp các vị trí cấm Gọi

 

k

r M là số cách đặt k quân xe không ăn nhau trên bàn cờ M , khi đó số hoán vị

n

S

  sao cho  i  với mọi j  i j, M là        

0

n

l

l



Ví dụ 6 Tìm số cách đặt 5 quân xe không ăn nhau trên bàn cờ C kích thước 5 5 bên dưới với các vị trí cấm là các ô vuông được tô

C

Giải Gọi B là bàn cờ tạo bởi các ô bị cấm, đánh dấu ô (2;2) ta thực hiện các biến

đổi như hình bên dưới

B D E



D E F

Khi đó

R B x R D x xR E x R E x R F x xR E x

Suy ra số cách sắp 5 con xe trên bàn cờ C thỏa là

r C B 5 \  5! 4!.7 3!.142!.820 

Ví dụ 7 Có bao nhiêu cách bố trí 6 học sinh a,b,c,d,e,f vào 6 ghế được đánh số thứ

tự 1,2,3,4,5,6 Biết rằng học sinh a không thích ngồi ghế số 3 và ghế số 4; học sinh b không thích ngồi ở các ghế 1,2; các học sinh c và d không thích ngồi các ghế 2,3; các học sinh e và f ngồi ở vị trí nào cũng được

Giải Số cách sắp xếp thỏa yêu cầu đề bài là số cách sắp 6 quân xe vào bàn cờ C

sao cho không có hai con nào ăn lẫn nhau và không có con xe nào ở các vị trí cấm (các ô được tô) trong bàn cờ sau



a b c d E f

1

2

3

4

5

6

C

Bàn cờ M tạo bởi các ô bị cấm là bàn cờ trong ví dụ phần trước, ta có đa thức xe của bàn cờ M là

R M x   x x  x  x

Do đó, số cách bố trí vị trí cho các học sinh là

r C M 6 \  6! 5!.8 4!.183!.122!.2124 

Đối với bàn cờ vuông, các vị trí cấm trên bàn cờ nếu rơi vào các trường hợp đặc

biệt như trên hai đường chéo của bàn cờ hoặc các ô ở các vị trí theo một quy luật nhất định, một cách tổng quát, ta có thể tính được đa thức xe của bàn cờ tạo bởi các ô bị cấm từ đó suy ra số cách đặt các quân xe trên bàn cờ sao cho chúng không ăn lẫn nhau

và không có quân xe nào nằm ở vị trí ô bị cấm Minh họa cho điều này ta xét các ví dụ sau đây

Ví dụ 8 (Derangement problem) Tìm số cách sắp xếp chỗ ngồi cho n người

1, 2, , n

P P P vào dãy gồm n ghế A A1, 2, ,A nsao cho người thứ P không ngồi ở vị trí i A i

với mọi i1, 2, , n

Giải

Bài toán đưa về tìm số sắp xếp các quân xe lên bàn cờ vuông C kích thước n n với tập cấm là M     1;1 ; 2;2 ; ; n n;  tức là các ô trên đường chéo chính

… … … …

C

Khi đó, đa thức quân xe của M là    

0

n

k

n

k



 

 



Do đó, số cách sắp xếp thỏa yêu cầu bài toán là

     

1

!

k

k n

n



 

 

Ví dụ 9 (Ménage problem) Cho số nguyên dương n 3. Tìm số cách sắp xếp n cặp vợ chồng vào một bàn tròn 2n chỗ sao cho các ông chồng ngồi xen kẻ với các bà

vợ nhưng không xảy ra trường hợp chồng ngồi bên cạnh vợ của mình

Giải

Xếp n ông chồng ngồi quanh một bàn tròn có n 1 ! cách sắp xếp Với mỗi cách sắp xếp các ông chồng trên bàn tròn, ta kí hiệu a a1, 2, ,a là các ông chồng theo thứ n

tự ngồi cùng chiều kim đồng hồ trên bàn tròn và với 1  thì i n b là bà vợ ông i

chồng a Ta đánh số thứ tự i 1, 2, , n cho các vị trí còn trống trên bàn tròn sau khi n ông chồng được xếp ngồi trên bàn tròn sao cho vị trí i ở giữa hai ông chồng

i

a và a i1a n1a1 Theo đề bài bà vợ b sẽ được ngồi ở vị trí i  i sao cho

  i i i; 1

   (có thể xem vị trí 0 trùng với vị trí n ) Như vậy số cách sắp n bà vợ vào n vị trí còn lại là số cách xếp n quân xe trên bàn cờ C không nằm ở các vị trí n

cấm (các ô được tô) như sau

b b 2 b … 3 b n1 b n

1

2

3

1

n 

n

n

C

Với mỗi 1 k 2n , kí hiệu 1 N là bàn cờ tạo bởi k ô bị cấm theo thứ tự từ trái k

sang phải, từ trên xuống dưới của bàn cờ C n \  n;1 

Ta đánh dấu ô cuối cùng của N kkhi đó

R N x  R N x  x R N x R N x xR N x   k



N k N k1 N k2

Ta có

R N x x       x R N x x       x

         

Giả sử

Khi đó,

 2 1  1 1

0

2

k

k

i

i

k i x i





             

  



  



và

,

1

k

        



Vậy với mọi n  thì 1



Gọi M là bàn cờ tạo bởi tất cả các ô bị cấm trong n C Đánh dấu vị trí n  n,1 thì

1

1

2

      

Vậy số cách sắp n người vợ vào bàn là

0

2 2

2

n

i

i

n i n

n i i



  



 Vậy số cách sắp các cặp vợ chồng thỏa yêu cầu bài toán là

     

0

2 2

2

n

i n

i

n i n

n i i



  



 

Ví dụ 10 Hỏi có bao nhiêu cách phát 2n đề kểm tra khác nhau T T1, , ,2 T cho 2n 2n

học sinh A A1, 2, ,A thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau 2n

i) Mỗi học sinh nhận đúng một đề thi;

ii) Với mỗi i1 i 2n,học sinhA nhận đề i T j1 j 2n sao cho i j 0 mod 2 

Giải Từ giả thiết, học sinh A2k10  sẽ không nhận các đề kiểm tra k n T T2, 4, ,T 2n

và học sinh A2k1 k nsẽ không nhận các đề kiểm tra T2s10 s n Vậy số cách