Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán tt

Mët trong nhúng mðrëng quan trång cõa lîp mæun Cohen-Macaulay l lîp mæun Buchs-baum do J... suy rëng khi v ch¿ khi pM ≤ 0.Mët mð rëng quan trång kh¡c cõa lîp mæun Cohen-Macaulay l lîp Co

Th¡i Nguy¶n - 2019

Mð ¦u

Cho (R, m) l  mët v nh giao ho¡n, Noether àa ph÷ìng vîi i¶ancüc ¤i duy nh§t m v  M l  mët R-mæun húu h¤n sinh chi·u d Taluæn câ depth M ≤ dim M Khi depth M = dim M th¼ mæun M ÷ñcgåi l  mæun Cohen-Macaulay Lîp mæun Cohen-Macaulay âng vaitrá trung t¥m trong ¤i sè giao ho¡n v  xu§t hi»n trong nhi·u l¾nh vücnghi¶n cùu kh¡c nhau cõa To¡n håc nh÷ H¼nh håc ¤i sè, Lþ thuy¸t Têhñp, Lþ thuy¸t b§t bi¸n

Chó þ r¬ng M l  Cohen-Macaulay khi v  ch¿ khi `(M/xM) =e(x; M ) vîi mët (v  vîi måi) h» tham sè x cõa M Mët trong nhúng mðrëng quan trång cõa lîp mæun Cohen-Macaulay l  lîp mæun Buchs-baum do J St¨uckrad v  W Vogel giîi thi»u, â l  lîp c¡c mæun Mthäa m¢n gi£ thuy¸t °t ra bði D.A Buchsbaum: `(M/xM) − e(x; M)

l  h¬ng sè khæng phö thuëc h» tham sè x Sau â, N.T C÷íng, P.Schenzel v  N.V Trung ¢ giîi thi»u lîp c¡c mæun M thäa m¢nsupx(`(M/xM ) − e(x; M )) < ∞, ÷ñc gåi l  mæun Cohen-Macaulaysuy rëng N«m 1991, N.T C÷íng ¢ giîi thi»u kh¡i ni»m kiºu a thùccõa M, k½ hi»u l  p(M), º o t½nh khæng Cohen-Macaulay cõa M, tø

â ph¥n lo¤i v  nghi¶n cùu c§u tróc cõa c¡c mæun húu h¤n sinh tr¶n

v nh àa ph÷ìng N¸u ta quy ÷îc bªc cõa a thùc khæng l  −1, th¼ M

l  Cohen-Macaulay khi v  ch¿ khi p(M) = −1 v  M l  Cohen-Macaulay

suy rëng khi v  ch¿ khi p(M) ≤ 0.

Mët mð rëng quan trång kh¡c cõa lîp mæun Cohen-Macaulay l lîp Cohen-Macaulay d¢y, ÷ñc R.P Stanley giîi thi»u cho tr÷íng hñpph¥n bªc v  P Schenzel nghi¶n cùu cho tr÷íng hñp àa ph÷ìng: M l Cohen-Macaulay d¢y n¸u méi th÷ìng Di/Di+1 l  Cohen-Macaulay, trong

â D0 = M v  Di+1 l  mæun con lîn nh§t cõa M câ chi·u nhä hìndim Di vîi måi i ≥ 0 Ti¸p theo, N.T C÷íng v  L.T Nh n giîi thi»ulîp mæun Cohen-Macaulay suy rëng d¢y b¬ng c¡ch thay i·u ki»n méimæun th÷ìng Di/Di+1 l  Cohen-Macaulay b¬ng i·u ki»n Di/Di+1 l Cohen-Macaulay suy rëng

Möc ½ch ¦u ti¶n cõa luªn ¡n l  giîi thi»u kh¡i ni»m kiºu a thùcd¢y cõa M, k½ hi»u l  sp(M), º o t½nh Cohen-Macaulay d¢y cõa M.Chóng tæi ch¿ ra r¬ng sp(M) ch½nh l  chi·u cõa quÿ t½ch khæng Cohen-Macaulay d¢y cõa M khi R l  th÷ìng cõa v nh Cohen-Macaulay àaph÷ìng Chóng tæi nghi¶n cùu sü thay êi cõa kiºu a thùc d¢y cõa

M qua àa ph÷ìng ho¡, qua ¦y õ hâa công nh÷ t½nh khæng t«ng cõasp(M/xM ) khi x l  mët ph¦n tû tham sè Chóng tæi t½nh to¡n sp(M)thæng qua chi·u v  kiºu a thùc cõa c¡c mæun khuy¸t thi¸u cõa M.Chó þ r¬ng N.T C÷íng, .T C÷íng v  H.L Tr÷íng ¢ nghi¶n cùu mëtb§t bi¸n mîi cõa M thæng qua sè bëi, v  khi v nh cì sð l  th÷ìng cõa

v nh Cohen-Macaulay àa ph÷ìng th¼ b§t bi¸n n y ch½nh l  kiºu a thùcd¢y cõa M G¦n ¥y, S Goto v  L.T Nh n ¢ ÷a ra °c tr÷ng tham

sè cõa kiºu a thùc d¢y

Möc ti¶u thù hai cõa luªn ¡n l  nghi¶n cùu mët sè b i to¡n v·ch¿ sè kh£ quy cõa c¡c mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh àa ph÷ìng Mëtmæun con N cõa M l  b§t kh£ quy n¸u N 6= M v  N khæng thº vi¸t

th nh giao cõa hai mæun con thüc sü chùa nâ Khi â, ành lþ cì b£n

thù hai cõa E Noether nâi r¬ng méi mæun con N cõa M ·u ph¥n t½ch

÷ñc th nh giao cõa húu h¤n mæun con b§t kh£ quy v  sè mæun conb§t kh£ quy xu§t hi»n trong mët ph¥n t½ch b§t kh£ quy thu gån (tùc

l  c¡c th nh ph¦n b§t kh£ quy khæng thøa) l  mët b§t bi¸n khæng phöthuëc v o ph¥n t½ch cõa N B§t bi¸n n y ÷ñc gåi l  ch¿ sè kh£ quy cõa

N trong M v  ÷ñc k½ hi»u l  irM(N ) N¸u q l  i¶an tham sè cõa M,th¼ irM(qM ) ÷ñc gåi l  ch¿ sè kh£ quy cõa q trong M

Ch°n ·u cho ch¿ sè kh£ quy cõa c¡c i¶an tham sè cho c¡clîp mæun Cohen-Macaulay, Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rëng ¢

÷ñc nhi·u nh  to¡n håc quan t¥m nghi¶n cùu °c bi»t, k¸t qu£ g¦nnh§t cõa P.H Quþ, ph¡t biºu r¬ng n¸u p(M) ≤ 1 th¼ tçn t¤i ch°n ·ucho ch¿ sè kh£ quy cõa c¡c i¶an tham sè cõa M Tuy nhi¶n, vîi méi

n ≥ 3, S Goto v  N Suzuki ¢ x¥y düng mët v nh àa ph÷ìng (R, m)vîi p(R) = n v  R l  Cohen-Macaulay d¢y (tùc l  sp(R) = −1) sao chosupqirR(q) = ∞ V¼ th¸, khi p(M) ≥ 3, ta khæng thº x²t ch°n ·u choch¿ sè kh£ quy cõa t§t c£ i¶an tham sè, m  ch¿ x²t tr¶n c¡c i¶an tham

sè tèt giîi thi»u bði N.T C÷íng v  .T C÷íng Chó þ r¬ng, khi nghi¶ncùu c§u tróc cõa c¡c mæun Cohen-Macaulay d¢y v  Cohen-Macaulaysuy rëng d¢y (th÷íng l  c¡c mæun trën l¨n, tùc l  c¡c i¶an nguy¶n

tè li¶n k¸t câ chi·u kh¡c nhau), c¡c h» tham sè tèt âng vai trá r§tquan trång Sü ch°n ·u cho ch¿ sè kh£ quy cõa c¡c i¶an tham sè tèt

÷ñc chùng minh bði H.L Tr÷íng cho lîp mæun Cohen-Macaulay d¢y(tùc l  sp(M) = −1) v  P.H Quþ cho lîp mæun Cohen-Macaulay suyrëng d¢y (tùc l  sp(M) ≤ 0) Trong luªn ¡n n y, chóng tæi nghi¶n cùu

sü tçn t¤i ch°n ·u cho ch¿ sè kh£ quy cõa c¡c i¶an tham sè tèt khisp(M ) ≤ 1 Ngo i ra, chóng tæi nghi¶n cùu ch¿ sè kh£ quy trong ph¤mtrò c¡c mæun Artin v  so s¡nh ch¿ sè kh£ quy cõa c¡c mæun con cõa

M vîi ch¿ sè kh£ quy cõa èi ng¨u Matlis cõa c¡c mæun th÷ìng t÷ìngùng cõa M ¥y l  v§n · r§t cì b£n l¦n ¦u ti¶n ÷ñc nghi¶n cùu trongluªn ¡n n y.

V· ph÷ìng ph¡p ti¸p cªn, º nghi¶n cùu kiºu a thùc d¢y chóngtæi khai th¡c c¡c t½nh ch§t cõa låc chi·u cõa mæun (kh¡i ni»m låc chi·u

÷ñc giîi thi»u bði P Schenzel v  ÷ñc i·u ch¿nh bði N.T C÷íng, L.T

Nh n º thuªn ti»n cho vi»c sû döng), d¢y låc ch½nh quy ch°t giîi thi»ubði N.T C÷íng, M Morales v  L.T Nh n v  nhúng t½nh ch§t °c thòcõa mæun Artin, °c bi»t l  mæun èi çng i·u àa ph÷ìng vîi gi¡cüc ¤i º nghi¶n cùu ch°n ·u cho ch¿ sè kh£ quy cõa c¡c i¶an tham

sè tèt khi sp(M) nhä, chóng tæi sû döng lþ thuy¸t v· h» tham sè tètgiîi thi»u bði N.T C÷íng, .T C÷íng, °c tr÷ng çng i·u cõa kiºu

a thùc d¢y v  c¡c k¸t qu£ cõa J.D Sally v· sè ph¦n tû sinh tèi tiºu cõamæun

Luªn ¡n ÷ñc chia th nh 3 ch÷ìng Ch÷ìng 1 nh­c l¤i mët sè ki¸nthùc cì b£n cõa ¤i sè giao ho¡n nh¬m cì sð cho vi»c tr¼nh b y nëidung ch½nh cõa luªn ¡n ð nhúng ch÷ìng sau, gçm: mæun èi çng i·u

àa ph÷ìng vîi gi¡ cüc ¤i, biºu di¹n thù c§p cõa mæun Artin, kiºu

a thùc, mæun Cohen-Macaulay, mæun Cohen-Macaulay suy rëng,mæun Cohen-Macaulay d¢y, mæun Cohen-Macaulay suy rëng d¢y

Ch÷ìng 2 tr¼nh b y v· kiºu a thùc d¢y cõa mæun Möc 2.1 ÷a

ra mèi quan h» giúa låc chi·u cõa M v  låc chi·u cõa M/xM, vîi x

l  ph¦n tû låc ch½nh quy ch°t (M»nh · 2.1.8) Möc 2.2 giîi thi»u kh¡ini»m kiºu a thùc d¢y cõa M, k½ hi»u l  sp(M) º o t½nh khæng Cohen-Macaulay d¢y cõa M M»nh · 2.2.4 ÷a ra mèi quan h» giúa sp(M) v chi·u cõa quÿ t½ch khæng Cohen-Macaulay d¢y cõa M Ti¸p theo, chóngtæi ÷a ra thæng tin v· kiºu a thùc d¢y d÷îi t¡c ëng àa ph÷ìng hâa

v  ¦y õ hâa (ành lþ 2.2.7, ành lþ 2.2.9) Möc 2.3 ÷a ra mèi quanh» giúa sp(M/xM) v  sp(M), vîi x l  ph¦n tû tham sè låc ch°t (ành

lþ 2.3.4) K¸t qu£ ch½nh cõa ch÷ìng (Möc 2.4) ÷a ra °c tr÷ng çng

i·u cõa kiºu a thùc d¢y (ành lþ 2.4.2)

Ch÷ìng 3 tr¼nh b y mët sè v§n · v· ch¿ sè kh£ quy cõa mæun.Möc 3.2 chùng minh sü tçn t¤i ch°n ·u cho ch¿ sè kh£ quy cõa c¡c i¶antham sè tèt q cõa M vîi sp(M) ≤ 1 (ành lþ 3.2.6) Möc 3.3 nghi¶n cùuch¿ sè kh£ quy trong ph¤m trò mæun Artin v  ÷a ra so s¡nh giúa ch¿

sè kh£ quy cõa c¡c mæun con cõa M vîi ch¿ sè kh£ quy cõa èi ng¨uMatlis cõa mæun th÷ìng t÷ìng ùng cõa M (ành lþ 3.3.10)

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc chu©n bà

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nh­c l¤i mët sè ki¸n thùc ¢ bi¸t v·mæun èi çng i·u àa ph÷ìng, biºu di¹n thù c§p cõa mæun Artin,tªp i¶an nguy¶n tè g­n k¸t, kiºu a thùc, låc chi·u, mæun Cohen-Macaulay, mæun Cohen-Macaulay suy rëng, mæun Cohen-Macaulayd¢y v  mæun Cohen-Macaulay suy rëng d¢y nh¬m thuªn ti»n cho vi»ctheo dãi c¡c ch÷ìng sau

Kh¡i ni»m kiºu a thùc ÷ñc giîi thi»u bði N.T C÷íng Cho x =(x1, , xd) l  mët h» tham sè cõa M Cho n = (n1, , nd) l  mët bëgçm d sè nguy¶n d÷ìng X²t hi»u sè

IM,x(n) = `R(M/(xn1

1 , , xnd

d )M ) − n1n2 nde(x, M ),trong â e(x, M) l  bëi cõa M ùng vîi h» tham sè x Nh¼n chung,

IM,x(n) x²t nh÷ mët h m sè vîi c¡c bi¸n n1, , nd, khæng l  a thùcvîi n1, , nd  0, nh÷ng nâ luæn nhªn gi¡ trà khæng ¥m v  bà ch°n tr¶nbði c¡c a thùc

ành ngh¾a 1.2.1 Bªc b² nh§t cõa t§t c£ c¡c a thùc theo bi¸n n ch°ntr¶n h m sè IM,x(n) khæng phö thuëc v o vi»c chån h» tham sè x B§tbi¸n n y ÷ñc gåi l  kiºu a thùc cõa M, v  ÷ñc k½ hi»u l  p(M)

Kh¡i ni»m v· låc chi·u ÷ñc giîi thi»u bði P Schenzel Sau â N.T

C÷íng v  L.T Nh n ¢ i·u ch¿nh l¤i æi chót ành ngh¾a n y b¬ng c¡ch

bä i nhúng th nh ph¦n l°p º thuªn ti¶n hìn cho vi»c sû döng

ành ngh¾a 1.3.1 Mët låc c¡c mæun con H0

m(M ) = Dt ⊂ ⊂ D1 ⊂

D0 = M cõa M ÷ñc gåi l  låc chi·u cõa M, n¸u vîi méi 1 ≤ i ≤ t, Di

l  R-mæun con lîn nh§t cõa M sao cho dimRDi < dimRDi −1

Lîp mæun Cohen-Macaulay d¢y xu§t hi»n tü nhi¶n trong c¡c ùngdöng cõa ¤i sè giao ho¡n v o c¡c b i to¡n tê hñp v  ÷ñc R.P Stanley

ành ngh¾a l¦n ¦u ti¶n tr¶n c¡c mæun ph¥n bªc T½nh Cohen-Macaulayd¢y ÷ñc giîi thi»u bði P.Schenzel; N.T C÷íng-L.T Nh n cho tr÷ínghñp mæun àa ph÷ìng

inh ngh¾a 1.3.2 Cho H0

m(M ) = Dt ⊂ ⊂ D1 ⊂ D0 = Mcõa M l  låc chi·u cõa M Ta nâi M l  mæun Cohen-Macaulay d¢y(mæun Cohen-Macaulay suy rëng d¢y) n¸u méi mæun th÷ìng Di−1/Di

l  mæun Cohen-Macaulay (mæun Cohen-Macaulay suy rëng) vîi måi

i = 1, , t

Kh¡i ni»m h» tham sè tèt giîi thi»u bði N.T C÷íng v  .T C÷íngnh¬m nghi¶n cùu lîp mæun Cohen-Macaulay d¢y v  mð rëng cõa nâ

ành ngh¾a 1.3.3 Cho x = (x1, , xd) l  mët h» tham sè cõa M

v  mët låc H : Ht ⊂ ⊂ H1 ⊂ H0 = M c¡c mæun con cõa Mthäa m¢n i·u ki»n chi·u, tùc l  dim Ht < < dim H1 < dim H0 °t

hi = dimRHi vîi måi i ≤ t

(i) x ÷ñc gåi l  h» tham sè tèt èi vîi låc tr¶n n¸u vîi måi i = 0, , t−1th¼ (xhi+1, , xd)M ∩ Hi = 0 Mët h» tham sè tèt cõa M ùng vîi låcchi·u ÷ñc gåi ìn gi£n l  h» tham sè tèt cõa M

(ii) I¶an tham sè q cõa M ÷ñc gåi l  i¶an tham sè tèt èi vîi låc Hn¸u nâ sinh bði mët h» tham sè tèt cõa M èi vîi låc H Mët i¶antham sè tèt cõa M ùng vîi låc chi·u ÷ñc gåi i¶an tham sè tèt cõa M

Ch֓ng 2

Kiºu a thùc d¢y cõa mæun

Trong suèt ch÷ìng n y, luæn gi£ thi¸t (R, m) l  v nh Noether àaph÷ìng, M l  R-mæun húu h¤n sinh chi·u d, A l  R-mæun Artin K½hi»u Rb v  Mcl¦n l÷ñt l  ¦y õ m-adic cõa R v  M

2.1 Låc chi·u v  d¢y låc ch½nh quy ch°t

Theo N.T C÷íng, M Morales v  L.T Nh n, ph¦n tû x ∈ mgåi l  ph¦n tû låc ch½nh quy ch°t cõa M n¸u x /∈ p vîi måi p ∈(S

j≤d

AttRHmj(M )) \ {m} K¸t qu£ ch½nh trong ti¸t n y l  ÷a ra mèiquan h» giúa låc chi·u cõa M v  låc chi·u cõa M/xM, vîi x l  ph¦n tûlåc ch½nh quy ch°t cõa Di−1/Di vîi måi i = 1, , t

M»nh · 2.1.8 Gi£ sû R l  th÷ìng v nh Cohen-Macaulay àa ph÷ìng.Cho H0

m(M ) = Dt ⊂ ⊂ D1 ⊂ D0 = M l  låc chi·u cõa M v  x ∈ m

l  ph¦n tû låc ch½nh quy ch°t cõa Di−1/Di vîi måi i ≤ t °t D0

i =(Di + xM )/xM vîi i ≤ t Cho H0

m(M/xM ) = Lt0 ⊂ ⊂ L0 = M/xM

l  låc chi·u cõa M/xM Khi â ta câ

(i) t0 ≤ t ≤ t0+ 1 Cö thº, t = t0 n¸u dt−1 ≥ 2 v  t = t0+ 1 n¸u dt−1 = 1.(ii) D0

i ⊆ Li v  `(Li/D0i) < ∞ vîi måi i ≤ t0

2.2 Kiºu a thùc d¢y qua àa ph÷ìng hâa v  ¦y

õ hâa

Trong suèt ti¸t n y luæn x²t H0

m(M ) = Dt ⊂ ⊂ D1 ⊂ D0 = M l låc chi·u cõa M v  di := dim Di vîi måi i ≤ t

ành ngh¾a 2.2.1 Kiºu a thùc d¢y cõa M, k½ hi»u l  sp(M) ÷ñc ànhngh¾a thæng qua kiºu a thùc cõa c¡c mæun th÷ìng trong låc chi·u cõa

M nh÷ sau:

sp(M ) = max{p(Di−1/Di) | i = 1, , t}

Tø ành ngh¾a ta th§y ngay r¬ng, sp(M) = −1 khi v  ch¿ khi M

l  mæun Cohen-Macaulay d¢y; sp(M) ≤ 0 khi v  ch¿ khi M l  mæunCohen-Macaulay suy rëng d¢y Nh¼n chung, sp(M) o t½nh khæng Cohen-Macaulay d¢y cõa mæun M Cö thº, chóng tæi k½ hi»u nSCM(M) l quÿ t½ch khæng Cohen-Macaulay d¢y cõa M, tùc l 

nSCM(M ) := {p ∈ Spec(R) | Mpkhæng l  Cohen-Macaulay d¢y}.K¸t qu£ sau ÷a ra mèi quan h» giúa sp(M) v  chi·u cõa quÿ t½chkhæng Cohen-Macaulay d¢y cõa M

M»nh · 2.2.4 N¸u R l  catenary th¼ sp(M) ≥ dim(nSCM(M)) ¯ngthùc x£y ra n¸u R l  th÷ìng cõa mët v nh Cohen-Macaulay àa ph÷ìng

ành lþ sau ¥y cho ta thæng tin v· kiºu a thùc d¢y d÷îi t¡c ëng

àa ph÷ìng hâa

ành lþ 2.2.7 Cho p ∈ SuppRM Gi£ sû R l  catenary

(i) N¸u dim(R/p) > sp(M) th¼ Mp l  Rp-mæun Cohen-Macaulay d¢y.(ii) N¸u dim(R/p) ≤ sp(M) th¼ sp(Mp) ≤ sp(M ) − dim(R/p)

Chó þ r¬ng p(M) = p(M )c , tuy nhi¶n ta khæng câ quan h» nh÷ vªyvîi sp(M) v  sp(M )c

V½ dö 2.2.8 Cho (R, m) l  mi·n nguy¶n Noether àa ph÷ìng chi·u 2x¥y düng bði D Ferrand v  M Raynaud sao cho Rb câ i¶an nguy¶n tèli¶n k¸t nhóng P chi·u 1 Khi â sp(R) = 1 nh÷ng sp(R) = −1b

Theo M Nagata, v nh R ÷ñc gåi l  khæng trën l¨n n¸u dimR/b bp=dim bRvîi måibp ∈ Ass bR K¸t qu£ sau ¥y ÷a ra mèi quan h» giúa sp(M)

v  sp(M )c , çng thíi ch¿ ra °c tr÷ng khi n o sp(M) v  sp(M )c l  b¬ngnhau

ành lþ 2.2.9 sp(M ) ≤ sp(M )c D§u b¬ng x£y ra khi R/p l  khængtrën l¨n vîi måi i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t p cõa M

N¸u bä i t½nh khæng trën l¨n cõa i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t, sp(M )c

ành lþ 2.3.5 Gi£ sû sp(M) > 0 Cho x ∈ m l  ph¦n tû låc ch½nh quych°t cõa Di−1/Di vîi måi i ≤ t Khi â sp(M/xM) ≤ sp(M) − 1 ¯ngthùc x£y ra khi R l  th÷ìng cõa v nh Cohen-Macaulay àa ph÷ìng

¯ng thùc sp(M/xM) = sp(M) − 1 trong ành lþ 2.3.4 câ thºkhæng cán óng n¸u ta bä i gi£ thi¸t R l  th÷ìng cõa mët v nh Cohen-Macaulay àa ph÷ìng

V½ dö 2.3.6 Vîi méi sè nguy¶n r ≥ 0, tçn t¤i mi·n nguy¶n Noether(R0, m0) v  a ∈ m l  f-ph¦n tû ch°t cõa R∗ sao cho sp(R∗) = r + 1 v 

q1 := max

j / ∈Λ(M )dim(Kj(M )) v  q2 := max

j∈Λ(M )p(Kj(M )) K¸t qu£ sau ¥y ch¿

ra r¬ng sp(M) câ thº t½nh to¡n thæng qua chi·u v  kiºu a thùc cõamæun khuy¸t thi¸u Kj(M )

ành lþ 2.4.2 N¸u R l  th÷ìng cõa mët v nh Gorenstein àa ph÷ìngth¼

sp(M ) = max{q1, q2}

H» qu£ 2.4.3 Cho r ≥ −1 l  sè nguy¶n Gi£ sû R l  th÷ìng cõamët v nh Gorenstein àa ph÷ìng Khi â sp(M) ≤ r khi v  ch¿ khidim Kj(M ) ≤ r vîi måi j /∈ Λ(M) v  dim Kj(M ) = j trong â p(Kj(M )) ≤

r vîi måi j ∈ Λ(M)

Ch֓ng 3

Ch¿ sè kh£ quy cõa mæun

Trong suèt ch÷ìng n y, luæn gi£ thi¸t (R, m) l  v nh Noether àaph÷ìng, M l  R-mæun húu h¤n sinh chi·u d, N l  mæun con cõa M

v  A l  R-mæun Artin K½ hi»u Rb v  Mc l¦n l÷ñt l  ¦y õ m-adic cõa

R v  M

3.1 Ch¿ sè kh£ quy cõa mæun Noether

Tr÷îc h¸t, chóng tæi nh­c l¤i kh¡i ni»m v· ch¿ sè kh£ quy cõa mæun.Nh­c l¤i r¬ng, N ÷ñc gåi l  mæun con b§t kh£ quy n¸u N khæng thºvi¸t th nh giao cõa hai mæun con cõa M thüc sü chùa nâ Theo E.Noether, N luæn biºu di¹n ÷ñc th nh giao khæng thøa cõa c¡c mæuncon b§t kh£ quy cõa M v  sè th nh ph¦n b§t kh£ quy xu§t hi»n trongph¥n t½ch b§t kh£ quy khæng thøa cõa N ch¿ phö thuëc v o N m  khængphö thuëc v o ph¥n t½ch

ành ngh¾a 3.1.2 Sè c¡c mæun con b§t kh£ quy cõa M xu§t hi»ntrong mët ph¥n t½ch b§t kh£ quy khæng thøa cõa N ÷ñc gåi l  ch¿ sèkh£ quy cõa N trong M v  ÷ñc k½ hi»u l  irM(N ) N¸u q l  i¶an tham

sè cõa M th¼ irM(qM ) ÷ñc gåi l  ch¿ sè kh£ quy cõa q trong M

Chóng tæi nh­c l¤i mët sè k¸t qu£ cõa J.D Sally v· sè ph¦n tû

sinh tèi thiºu cõa mæun K½ hi»u µ(N) := dimR/m(N/mN ) l  sè ph¦n

tû sinh tèi thiºu cõa N

°t c(M) = sup {µ(N) | N l  mæun con cõa M} J D Sally chùngminh r¬ng c(R) < ∞ khi v  ch¿ khi dim R ≤ 1 Sau â S Goto v  N.Suzuki mð rëng k¸t qu£ n y cho mæun R§t tü nhi¶n, P.H Quþ x¥ydüng mët k½ hi»u t÷ìng tü sau cho mæun Artin

K½ hi»u 3.1.6 Vîi méi R-mæun Artin A, °t

r(A) = sup {dimR/mSoc(A/B) | B l  mæun con cõa A}

Vîi R-mæun húu h¤n sinh N, °t N∗ = HomR(N, E(R/m)), l  èing¨u Matlis cõa N Khi â N∗ l  R-mæun Artin v  c(N) = r(N∗) Vîi

R-mæun Artin A v  gi£ thi¸t R = Rb th¼ A∗ = HomR(A, E(R/m)) l 

R-mæun húu h¤n sinh v  r(A) = c(A∗) Chó þ r¬ng, r(A) < ∞ khi v ch¿ khi dimRbA ≤ 1

3.2 Ch¿ sè kh£ quy vîi kiºu a thùc d¢y nhä

Trong tr÷íng hñp p(M) ≤ 1, P.H Quþ ¢ chùng minh ÷ñc tçn t¤ich°n ·u cho ch¿ sè kh£ quy èi vîi måi i¶an tham sè q cõa M Trongtr÷íng hñp p(M) = 2, c¥u häi li»u câ tçn t¤i ch°n ·u cho irM(qM ) vîimåi i¶an tham sè cõa M v¨n l  c¥u häi mð Vîi p(M) ≥ 3, ch°n ·ucho irM(qM ) vîi måi i¶an tham sè q cõa M câ thº khæng tçn t¤i kº c£khi sp(M) = −1 Cö thº, vîi n ≥ 3, S Goto and N Suzuki x¥y düng

v nh Noether àa ph÷ìng Cohen-Macaulay d¢y (R, m) sao cho p(R) = n

v  supremum cõa irR(q) l  væ h¤n, trong â q ch¤y tr¶n tªp t§t c£ c¡ci¶an tham sè cõa R Nh÷ vªy, bùc tranh v· t½nh ch°n ·u cho ch¿ sèkh£ quy cõa i¶an tham sè irM(qM )vîi i·u ki»n cho tr÷îc cõa p(M) l kh¡ rã r ng C¥u häi chóng tæi °t ra l  li»u r¬ng câ tçn t¤i hay khæng