Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán

Chúng tôi chùng minh r¬ng spM chính là chi·u cõa quÿ tích không Cohen-Macaulay dãy cõa M n¸u R là thương cõa vành Cohen-Macaulay đàa phương.. Chúng tôi cũng nghiên cùu sü thay đêi cõa ki

TRƯÍNG Đ„I HÅC KHOA HÅC

TRƯÍNG Đ„I HÅC KHOA HÅC

Thái Nguyên - 2019

Tóm t-t

Cho (R, m) là mët vành giao hoán, Noether đàa phương Cho

M là mët R-môđun húu h¤n sinh chi·u d và A là mët R-môđun Artin.

Luªn án tªp trung nghiên cùu hai v§n đ· Thù nh§t, chúng tôi

giîi thi»u khái ni»m kiºu đa thùc dãy cõa M, kí hi»u là sp(M), đº đo tính không Cohen-Macaulay dãy cõa M Chúng tôi chùng minh r¬ng sp(M) chính là chi·u cõa quÿ tích không Cohen-Macaulay dãy cõa M n¸u R là thương cõa vành Cohen-Macaulay đàa phương Chúng tôi cũng nghiên cùu sü thay đêi cõa kiºu đa thùc dãy cõa M qua đ¦y đõ hóa, qua đàa phương hóa cũng như tính không tăng cõa sp(M/xM) khi x là mët ph¦n tû tham sè Chúng tôi tính toán sp(M) thông qua các môđun khuy¸t thi¸u cõa M.

V§n đ· nghiên cùu thù hai là v· ch¿ sè kh£ quy cõa môđun Noetherho°c môđun Artin Trưîc h¸t, chúng tôi đưa ra ch°n đ·u cho ch¿ sè kh£quy cõa các iđêan tham sè tèt khi kiºu đa thùc dãy cõa môđun Noether

M là nhä Sau đó, chúng tôi so sánh ch¿ sè kh£ quy cõa môđun con cõa

M và ch¿ sè kh£ quy cõa đèi ng¨u Matlis cõa môđun thương tương

ùng cõa M.

Luªn án đưñc chia thành ba chương Chương 1 dành đº nh-c l¤i mët

sè ki¸n thùc cơ sð như môđun đèi đçng đi·u đàa phương, biºu di¹n thù c§p cõa môđun Artin, kiºu đa thùc, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rëng, môđun Cohen-Macaulay dãy và môđun Cohen-

Macaulay suy rëng dãy.

Trong Chương 2, chúng tôi giîi thi»u khái ni»m kiºu đa thùc

dãy cõa M, kí hi»u là sp(M), thông qua kiºu đa thùc cõa các môđun

thương trong låc chi·u Chúng tôi nghiên cùu kiºu đa thùc dãy dưîitác đëng đàa phương hóa và đ¦y đõ m-adic Ti¸p theo, chúng tôi

nghiên cùu mèi quan h» giúa sp(M) và sp(M/xM) vîi x là ph¦n tû tham sè cõa M Khi R là thương cõa vành Gorenstein đàa phương, chúng tôi tính toán kiºu đa thùc dãy cõa M thông qua chi·u và kiºu

đa thùc cõa các môđun khuy¸t thi¸u cõa M.

Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cùu mët sè v§n đ· v· ch¿ sè kh£quy cõa môđun Trưîc h¸t, chúng tôi đưa ra công thùc ch°n đ·u cho

ch¿ sè kh£ quy cõa các iđêan tham sè tèt q cõa M vîi sp(M) ≤ 1 Ph¦n

cuèi cõa Chương dành đº nghiên cùu ch¿ sè kh£ quy cõa môđun Artin và

đưa ra sü so sánh giúa ch¿ sè kh£ quy cõa môđun con cõa M vîi ch¿ sè kh£ quy cõa Đèi ng¨u Matlis cõa môđun thương tương ùng cõa M.

Líi cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cùu cõa tôi Các k¸t qu£ vi¸tchung vîi các tác gi£ khác đã đưñc sü nh§t trí cõa các đçng tác gi£trưîc khi đưa vào luªn án Các k¸t qu£ đưñc nêu trong luªn án là trungthüc và chưa tøng đưñc ai công bè trong b§t kỳ công trình nào khác

Tác gi£

Tr¦n Đùc Dũng

Líi c£m ơn

Tôi xin đưñc bày tä lòng bi¸t ơn đ¸n Th¦y tôi: GS TSKH Nguy¹n TüCưíng Th¦y đã dìu d-t tôi tø nhúng bưîc chªp chúng đ¦u tiên trên conđưíng nghiên cùu khoa håc, hưîng d¨n tôi tø khi tôi làm luªn văn th¤c sĩ

và gií đây là luªn án ti¸n sĩ Phương pháp đåc sách, cách phát hi»n vàgi£i quy¸t v§n đ·, nhúng ý tưðng toán håc mà Th¦y ch¿ b£o đã giúp tôitrưðng thành hơn trong nghiên cùu và hoàn thành luªn án này Trongcông vi»c, Th¦y luôn nghiêm kh-c vîi håc trò, trong cuëc sèng th¦y luôndành cho håc trò cõa mình nhúng tình c£m §m áp và sü yêu thương.Bên c¤nh nhúng ki¸n thùc toán håc, Th¦y như ngưíi cha d¤y cho tôi bi¸tcách làm ngưíi tû t¸ và sèng nhân hªu

Tôi xin bày tä lòng bi¸t ơn đ¸n Cô tôi: GS.TS Lê Thà ThanhNhàn Cô là t§m gương v· sü né lüc trong gian khó và cùng là ngưíi

đã truy·n c£m hùng cho tôi v· Toán håc nói chung cũng như Фi sègiao hoán nói riêng khi tôi còn ngçi trên gi£ng đưíng Фi håc Cô đã

bä ra r§t nhi·u công sùc và sü kiên nh¨n đº không ch¿ d¨n d-t, gi£ngd¤y cho tôi v· ki¸n thùc, kinh nghi»m và tư duy cõa ngưíi làm Toán,

mà còn luôn t¤o đi·u ki»n, giúp đï cho tôi trong công vi»c, trong cuëcsèng Sü tªn tâm vîi ngh·, vîi håc trò cõa cô s³ là cái đích đº tôi noitheo và ph§n đ§u

Luªn án đưñc hoàn thành dưîi sü hưîng d¨n tªn tình cõa haingưíi Th¦y: GS TSKH Nguy¹n Tü Cưíng và GS.TS Lê Thà Thanh

Nhàn Mët l¦n núa, tôi xin tä lòng bi¸t ơn sâu s-c đ¸n Th¦y Cô và s³ cèg-ng hơn núa đº xùng đáng vîi công lao cõa Th¦y Cô.

Tôi xin chân thành c£m ơn Ban Giám hi»u, Ban chõ nhi»mKhoa Toán - Tin, Phòng Sau Фi håc, trưíng Фi håc Khoa håc, Фihåc Thái Nguyên đã t¤o đi·u ki»n thuªn lñi nh§t, phù hñp nh§t đº tôivøa hoàn thành vi»c håc tªp, vøa đ£m b£o công vi»c gi£ng d¤y cõamình t¤i Trưíng

Tôi xin c£m ơn PGS.TS Ph¤m Hùng Quý, TS Đoàn TrungCưíng, TS Tr¦n Nguyên An, TS Tr¦n Đé Minh Châu đã dành cho tôinhúng tình c£m thân thi¸t và gi£i đáp nhi·u th-c m-c chuyên môn chotôi trong suèt ch°ng đưíng dài tôi làm NCS Xin c£m ơn các anh chànhóm Фi sè giao hoán Thái Nguyên v· nhúng trao đêi quý báutrong quá trình làm luªn án

Cuèi cùng, tôi xin đưñc bày tä sü bi¸t ơn vô h¤n tîi Bè, Mµ Đ°cbi»t là Vñ Ph¤m Thùy Linh và công chúa nhä Tr¦n Ph¤m NgânKhánh, nhúng ngưíi đã luôn hy sinh r§t nhi·u, luôn lo l-ng, mong mäitôi ti¸n bë tøng ngày, tøng tháng Luªn án này tôi xin đưñc dành t°ngcho nhúng ngưíi mà tôi yêu thương

Tác gi£

Tr¦n Đùc Dũng

Möc löc

1.1 Môđun đèi đçng đi·u đàa phương 111.2 Môđun Cohen-Macaulay và kiºu đa thùc 161.3 Môđun Cohen-Macaulay dãy và môđun Cohen-Macaulay

suy rëng dãy 19

2.1 Låc chi·u và dãy låc chính quy ch°t 242.2 Kiºu đa thùc dãy qua đàa phương hóa và đ¦y đõ hóa 31

2.3 Mèi quan h» giúa sp(M) và sp(M/xM) vîi x là ph¦n tû

tham sè 462.4 Tính ch§t đçng đi·u cõa kiºu đa thùc dãy 54

3.1 Ch¿ sè kh£ quy cõa môđun Noether 593.2 Ch¿ sè kh£ quy vîi kiºu đa thùc dãy nhä 623.3 Ch¿ sè kh£ quy cõa môđun Artin và đèi ng¨u Matlis 76

sè, Lý thuy¸t Tê hñp, Lý thuy¸t b§t bi¸n

Chú ý r¬ng M là Cohen-Macaulay khi và ch¿ khi `(M/xM) = e(x; M) vîi mët (và vîi måi) h» tham sè x cõa M Mët trong nhúng mð rëng

quan trång cõa lîp môđun Cohen-Macaulay là lîp môđun Buchs-baum

do J Stu¨ckrad và W Vogel [49] giîi thi»u, đó là lîp các môđun M thäa mãn gi£ thuy¸t đ°t ra bði D.A Buchsbaum: `(M/xM) − e(x; M) là h¬ng

sè không phö thuëc h» tham sè x Sau đó, N.T Cưíng, P Schenzel và N.V Trung [48] đã giîi thi»u lîp các môđun M thäa mãn sup x (`(M/xM)

−e(x; M)) < ∞, đưñc gåi là môđun Cohen-Macaulay suy rëng Năm

1991, N.T Cưíng [5] đã giîi thi»u khái ni»m kiºu đa thùc cõa M, kí hi»u

là p(M), đº đo tính không Cohen-Macaulay cõa M, tø đó phân lo¤i và

nghiên cùu c§u trúc cõa các môđun húu h¤n sinh trên vành đàa

phương N¸u ta quy ưîc bªc cõa đa thùc không là −1, thì M là Macaulay khi và ch¿ khi p(M) = −1 và M là Cohen-Macaulay

Cohen-suy rëng khi và ch¿ khi p(M) ≤ 0.

Mët mð rëng quan trång khác cõa lîp môđun Cohen-Macaulay làlîp Cohen-Macaulay dãy, đưñc R.P Stanley [41] giîi thi»u cho trưínghñp phân bªc và P Schenzel [39], N.T Cưíng, L.T Nhàn [11] nghiên

cùu cho trưíng hñp đàa phương: M là Cohen-Macaulay dãy n¸u méi thương D i /D i+1 là Cohen-Macaulay, trong đó D0 = M và D i+1 là môđun con lîn nh§t cõa M có chi·u nhä hơn dim D i vîi måi i ≥ 0 Ti¸p theo, N.T.

Cưíng và L.T Nhàn [11] nghiên cùu lîp môđun Cohen-Macaulay suy

rëng dãy b¬ng cách thay đi·u ki»n méi môđun thương D i /D i+1 là

Cohen-Macaulay b¬ng đi·u ki»n D i /D i+1 là Cohen-Macaulay suy rëng

Möc đích đ¦u tiên cõa luªn án là giîi thi»u khái ni»m kiºu đa thùc dãy

cõa M, kí hi»u là sp(M), đº đo tính không Cohen-Macaulay dãy cõa M Chúng tôi ch¿ ra r¬ng sp(M) chính là chi·u cõa quÿ tích không Cohen- Macaulay dãy cõa M khi R là thương cõa vành Cohen-Macaulay đàa

phương Chúng tôi nghiên cùu sü thay đêi cõa kiºu đa thùc dãy cõa

M qua đàa phương hoá, qua đ¦y đõ hóa cũng như tính không tăng cõa

sp(M/xM) khi x là mët ph¦n tû tham sè Chúng tôi tính toán sp(M) thông qua chi·u và kiºu đa thùc cõa các môđun khuy¸t thi¸u cõa M.

Chú ý r¬ng trong bài báo [8], N.T Cưíng, Đ.T Cưíng và H.L Trưíng

đã nghiên cùu mët b§t bi¸n mîi cõa M thông qua sè bëi, và khi vành

cơ sð là thương cõa vành Cohen-Macaulay đàa phương thì b§t bi¸n

này chính là kiºu đa thùc dãy cõa M G¦n đây, S Goto và L.T Nhàn

[21] đã đưa ra đ°c trưng tham sè cõa kiºu đa thùc dãy

Möc tiêu thù hai cõa luªn án là nghiên cùu mët sè bài toán v· ch¿

sè kh£ quy cõa các môđun húu h¤n sinh trên vành đàa phương Mët

môđun con N cõa M là b§t kh£ quy n¸u N 6= M và N không thº vi¸t

thành giao cõa hai môđun con thüc sü chùa nó Khi đó, đành lý cơ b£n

thù hai cõa E Noether [29] nói r¬ng méi môđun con N cõa M đ·u phân

tích đưñc thành giao cõa húu h¤n môđun con b§t kh£ quy và sè môđuncon b§t kh£ quy xu§t hi»n trong mët phân tích b§t kh£ quy thu gån (tùc làcác thành ph¦n b§t kh£ quy không thøa) là mët b§t bi¸n không phö thuëc

vào phân tích cõa N B§t bi¸n này đưñc gåi là ch¿ sè kh£ quy cõa N trong

M và đưñc kí hi»u là irM (N) (xem [23],[14]) N¸u q là iđêan tham sè cõa

M, thì irM (qM) đưñc gåi là ch¿ sè kh£ quy cõa q trong M.

Ch°n đ·u cho ch¿ sè kh£ quy cõa các iđêan tham sè cho các lîpmôđun Cohen-Macaulay, Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rëng đãđưñc nhi·u nhà toán håc quan tâm nghiên cùu (xem [14], [15], [22], [23],[28], [37]) Đ°c bi»t, k¸t qu£ g¦n nh§t cõa P.H Quý, phát biºu r¬ng n¸u

p(M) ≤ 1 thì tçn t¤i ch°n đ·u cho ch¿ sè kh£ quy cõa các iđêan tham sè cõa M Tuy nhiên, vîi méi n ≥ 3, S Goto và N Suzuki [23] đã xây düng mët vành đàa phương (R, m) vîi p(R) = n và R là Cohen-Macaulay dãy (tùc là sp(R) = −1) sao cho supqirR (q) = ∞ Vì th¸, khi p(M) ≥ 3, ta không

thº xét ch°n đ·u cho ch¿ sè kh£ quy cõa t§t c£ iđêan tham sè, mà ch¿ xéttrên các iđêan tham sè tèt giîi thi»u bði N.T Cưíng và Đ.T Cưíng [6].Chú ý r¬ng, khi nghiên cùu c§u trúc cõa các môđun Cohen-Macaulay dãy

và Cohen-Macaulay suy rëng dãy (thưíng là các môđun trën l¨n, tùc làcác iđêan nguyên tè liên k¸t có chi·u khác nhau), các h» tham sè tèt đóngvai trò r§t quan trång Sü ch°n đ·u cho ch¿ sè kh£ quy cõa các iđêantham sè tèt đưñc chùng minh bði H.L Trưíng [43] cho lîp môđun Cohen-

Macaulay dãy (tùc là sp(M) = −1) và P.H Quý [36] cho lîp môđun Macaulay suy rëng dãy (tùc là sp(M) ≤ 0) Trong luªn án này, chúng tôi

Cohen-nghiên cùu sü tçn t¤i ch°n đ·u cho ch¿ sè kh£ quy cõa các iđêan tham sè

tèt khi sp(M) ≤ 1 Đây là mð rëng không t¦m thưíng cho k¸t qu£ chính

trong [37] Ngoài ra, chúng tôi nghiên cùu ch¿ sè kh£ quy trong ph¤m trù

các môđun Artin và so sánh ch¿ sè kh£ quy cõa các môđun con cõa M

vîi ch¿ sè kh£ quy cõa Đèi ng¨u Matlis cõa

các môđun thương tương ùng cõa M Đây là v§n đ· cơ b£n l¦n đ¦u

tiên đưñc nghiên cùu trong luªn án này

V· phương pháp ti¸p cªn, đº nghiên cùu kiºu đa thùc dãy chúngtôi khai thác các tính ch§t cõa låc chi·u cõa môđun, dãy låc chínhquy ch°t giîi thi»u bði N.T Cưíng, M Morales và L.T Nhàn [10] vànhúng tính ch§t đ°c thù cõa môđun Artin, đ°c bi»t là môđun đèi đçngđi·u đàa phương vîi giá cüc đ¤i (Khái ni»m låc chi·u đưñc giîi thi»ubði P Schenzel [39] và đưñc đi·u ch¿nh bði N.T Cưíng, L.T Nhàn[11] đº thuªn ti»n cho vi»c sû döng) Đº nghiên cùu ch°n đ·u cho ch¿

sè kh£ quy cõa các iđêan tham sè tèt khi sp(M) nhä, chúng tôi sû

döng lý thuy¸t v· h» tham sè tèt giîi thi»u bði N.T Cưíng, Đ.T Cưíng[6], tính ch§t đçng đi·u cõa kiºu đa thùc dãy và các k¸t qu£ cõa J.D.Sally [38] v· sè ph¦n tû sinh tèi thiºu cõa môđun

Luªn án đưñc chia thành 3 chương Chương 1 nh-c l¤i mët sè ki¸nthùc cơ b£n cõa Фi sè giao hoán nh¬m làm cơ sð cho vi»c trình bày nëidung chính cõa luªn án ð nhúng chương sau, gçm: môđun đèi đçng đi·uđàa phương vîi giá cüc đ¤i, biºu di¹n thù c§p cõa môđun Artin, kiºu đathùc, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rëng, môđunCohen-Macaulay dãy, môđun Cohen-Macaulay suy rëng dãy

Nëi dung cõa Chương 2 trình bày v· kiºu đa thùc dãy cõamôđun düa theo bài báo [33] Trong chương này, chúng tôi giîi thi»u

khái ni»m kiºu đa thùc dãy cõa môđun M, kí hi»u là sp(M), như mët

đë đo tèt xem môđun đó g¦n vîi tính Cohen-Macaulay dãy như th¸

nào Chúng tôi nghiên cùu sü thay đêi cõa kiºu đa thùc dãy cõa M

qua đàa phương hoá, qua đ¦y đõ hóa cũng như tính không tăng cõa

sp(M/xM) khi x là ph¦n tû tham sè Ph¦n cuèi cõa chương, chúng tôi tính toán sp(M) thông qua các môđun khuy¸t thi¸u cõa M.

Nh-c l¤i r¬ng mët låc Hm0(M) = D t ⊂ ⊂ D1 ⊂ D0 = M các

môđun con cõa M đưñc gåi là låc chi·u cõa M, n¸u D i là môđun con

lîn nh§t cõa M có chi·u nhä hơn dim D i−1 vîi måi i = 1, , t Kiºu đa thùc dãy cõa M, kí hi»u là sp(M), đưñc đành nghĩa theo khái ni»m kiºu đa thùc p(M) trong [5] và đưñc đành nghĩa thông qua kiºu đa

thùc cõa các môđun thương trong låc chi·u như sau:

sp(M) = max{p(D i−1 /D i ) | i = 1, , t}.

Chú ý r¬ng sp(M) = −1 khi và ch¿ khi M là môđun Cohen-Macaulay dãy Ngoài ra, sp(M) ≤ 0 khi và ch¿ khi M là môđun Cohen- Macaulay suy rëng dãy Nhìn chung, sp(M) đo tính không Cohen- Macaulay dãy cõa môđun M Cö thº, kí hi»u nSCM(M) là quÿ tích không Cohen-Macaulay dãy cõa M, tùc là

nSCM(M) := {p ∈ Spec(R) | Mp không là Cohen-Macaulay dãy} Khi đó nSCM(M) không nh§t thi¸t là tªp con đóng cõa Spec(R) vîi

tôpô Zariski, nhưng nó luôn ên đành vîi phép đ°c bi»t hóa, tùc là n¸u

q ⊂ p là hai iđêan nguyên tè cõa R sao cho q ∈ nSCM(M), thì p ∈

nSCM(M) Vì th¸ ta có thº đành nghĩa đưñc chi·u cõa nSCM(M) N¸u

R là thương cõa vành Cohen-Macaulay đàa phương thì nSCM(M) là đóng trong Spec(R) vîi tôpô Zariski Chúng tôi ch¿ ra r¬ng n¸u R là catenary thì sp(M) ≥ dim(nSCM(M)) Đ¯ng thùc x£y ra khi R là

thương cõa vành Cohen-Macaulay đàa phương (M»nh đ· 2.2.4)

Chúng tôi nghiên cùu kiºu đa thùc dãy thông qua đàa phươnghóa (Đành lý 2.2.7) và sü thay đêi cõa kiºu đa thùc dãy dưîi phép đ¦y

đõ hóa m-adic Chú ý r¬ng kiºu đa thùc b£o toàn qua đ¦y đõ (xem [5,

Bê đ· 2.6]) Tuy nhiên, kiºu đa thùc dãy thì không có tính ch§t này(Ví dö 2.2.8 và Ví dö 2.2.11)

Đành lý 2.2.9 Ta luôn có sp(Md) ≤ sp(M) Đ¯ng thùc x£y ra khi R/p

là không trën l¨n vîi måi iđêan nguyên tè liên k¸t p cõa M.

Nh-c l¤i r¬ng, theo M Nagata [30], vành R đưñc gåi là không trën l¨n n¸u dim(R/cpb) = dim Rc vîi måi pb ∈ Ass Rc.

Chúng tôi nghiên cùu mèi quan h» giúa sp(M) và sp(M/xM) khi

x là ph¦n tû tham sè Nhìn chung, chúng ta không so sánh đưñc sp(M) và sp(M/xM) (Ví dö 2.3.6), nhưng khi x là ph¦n tû tham sè vîi

tính ch§t đ°c bi»t, thì ta có quan h» sau

Đành lý 2.3.5 Gi£ sû sp(M) > 0 Cho x ∈ m là ph¦n tû låc chính quy

ch°t cõa D i−1 /D i vîi måi i ≤ t Khi đó sp(M/xM) ≤ sp(M) − 1 Đ¯ng thùc x£y ra khi R là thương cõa vành Cohen-Macaulay đàa phương.

Đ¯ng thùc sp(M/xM) = sp(M) − 1 trong Đành lý 2.3.5 có thº không còn đúng n¸u ta bä đi gi£ thi¸t R là thương cõa vành Cohen-

Macaulay đàa phương (Ví dö 2.3.6) Nh-c l¤i r¬ng, khái ni»m ph¦n tûlåc chính quy ch°t giîi thi»u bði N.T Cưíng, M Morales và L.T Nhàn[10] là mët trưíng hñp đ°c bi»t cõa khái ni»m ph¦n tû låc chính quy

giîi thi»u bði N.T Cưíng, P Schenzel và N.V Trung [48] N¸u x là ph¦n tû låc chính quy ch°t cõa M, thì x là ph¦n tû låc chính quy (xem Bê đ· 2.1.7(i)) Tuy nhiên đi·u ngưñc l¤i không đúng Thªm chí khi x là ph¦n tû M-chính quy, thì x v¨n không nh§t thi¸t là ph¦n tû låc chính quy ch°t cõa

khi D t = 0 Đ°t Λ(M) = {d0, , d t} Chú ý r¬ng

Λ(M) \ {−1} = {dim(R/p) | p ∈ Ass R M}.

Hơn núa, n¸u Hm0(M) 6= 0 thì Λ(M) = {dim(R/p) | p ∈ Ass R M} Đ°t

q1 := max dim(K j (M)) và q2 := max p(K j (M)) Đành lý sau đây ch¿

M trong trưíng hñp sp(M) ≤ 1 Chúng tôi so sánh ch¿ sè kh£ quy cõa các môđun con cõa M vîi ch¿ sè kh£ quy cõa đèi ng¨u Matlis cõa các

môđun thương tương ùng cõa M.

Nh-c l¤i r¬ng, vîi méi låc H n ⊂ ⊂ H1 ⊂ H0 = M các môđun con cõa M thäa mãn dim H i < dim H i−1 vîi måi i, iđêan tham sè q = (x1, , x d ) cõa M đưñc gåi là tèt ùng vîi låc trên n¸u

(x h i+1, , x d )M ∩ H i = 0

vîi måi i ≤ n, trong đó h i = dim H i N¸u q là iđêan tham sè tèt ùng vîi låc chi·u cõa M thì ta nói q là iđêan tham sè tèt cõa M.

Cho Hm0(M) = D t ⊂ ⊂ D1 ⊂ D0 = M là låc chi·u cõa M Cho

k ∈ {0, 1, , t} là sè nguyên bé nh§t sao cho p(D k ) ≤ 1.

Đành lý 3.2.6 Gi£ sû sp(M) ≤ 1 Khi đó tçn t¤i mët h¬ng sè c sao

cho ir M (qM) ≤ c vîi måi iđêan tham sè tèt q cõa M ùng vîi låc D k ⊂ ⊂D1⊂D0=M.

N¸u x là iđêan tham sè tèt đèi vîi låc chi·u, thì x là iđêan tham sè tèt vîi låc D k ⊂ ⊂ D1 ⊂ D0 = M trong Đành lý 3.2.6 Do đó h¬ng sè

c trong đành lý trên cũng là ch°n đ·u cho ir M (qM) vîi måi q là iđêan tham sè tèt cõa M Hơn núa, n¸u p(M) ≤ 1, thì k = 0 và do đó måi iđêan tham sè cõa M đ·u là iđêan tham sè tèt ùng vîi låc trong Đành lý 3.2.6.

Do vªy, Đành lý 3.2.6 là mð rëng k¸t qu£ chính v· ch°n đ·u cho ch¿ sè

kh£ quy cõa các iđêan tham sè cõa môđun M trong bài báo [37].

Theo I.G Macdonald [25], môđun Artin A gåi là b§t kh£ têng n¸u A 6= 0 và A không thº biºu di¹n thành têng cõa hai môđun con thüc sü cõa nó, tùc là n¸u A = B + C, trong đó B, C là các môđun con cõa A thì A = B ho°c A = C I.G Macdonald [25] đã chùng minh r¬ng måi môđun Artin A luôn biºu di¹n đưñc thành têng không thøa

cõa húu h¤n môđun con b§t kh£ têng Ngoài ra, sè thành ph¦n b§tkh£ têng xu§t hi»n trong biºu di¹n là đëc lªp vîi cách biºu di¹n b§t kh£

têng không thøa cõa A Ta gåi b§t bi¸n này là ch¿ sè kh£ quy cõa môđun Artin A, kí hi»u là ir R (A).

Kí hi»u E(R/m) là bao nëi x¤ cõa R-môđun R/m và D R(−) là

hàm tû Hom(−, E(R/m)) Vîi méi R-môđun L b§t kỳ ta gåi D R (L) là đèi ng¨u Matlis cõa L Trong trưíng hñp vành R là đ¦y đõ, n¸u M là R- môđun húu h¤n sinh và A là R-môđun Artin thì D(M) là R-môđun Artin và D(A) là R-môđun húu h¤n sinh N¸u vành R là không đ¦y đõ

thì M ∼ D(D(M)) và D(M) là R-môđun Artin, tuy nhiên D(A) không

d =

nh§t thi¸t là R-môđun húu h¤n sinh.

Mèi quan h» giúa ch¿ sè kh£ quy cõa môđun con N cõa M vîi ch¿ sè kh£ quy cõa đèi ng¨u Matlis cõa môđun thương M/N đưñc

ch¿ ra trong đành lý sau

Đành lý 3.3.10 Cho R = Rc và N là môđun con cõa M Khi đó

irR (D(M/N)) ≤ ir M (N).

Đ¯ng thùc x£y ra khi ` R (M/N) < ∞.

Chương 1

Ki¸n thùc chu©n bà

Trong chương này, chúng tôi nh-c l¤i mët sè ki¸n thùc đã bi¸t v·môđun đèi đçng đi·u đàa phương, biºu di¹n thù c§p cõa môđun Artin,kiºu đa thùc, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suyrëng, môđun Cohen-Macaulay dãy và môđun Cohen-Macaulay suyrëng dãy nh¬m thuªn ti»n cho vi»c theo dõi các chương sau Trong

suèt chương này, luôn gi£ thi¸t (R, m) là vành giao hoán Noether, M là R-môđun húu h¤n sinh chi·u d Cho A là R-môđun Artin Vîi méi iđêan

I cõa R, kí hi»u Var(I) là tªp các iđêan nguyên tè cõa R chùa I Kí hi»u Rc và Md l¦n lưñt là đ¦y đõ m-adic cõa R và M Cho L là R-

môđun (không nh§t thi¸t húu h¤n sinh hay Artin)

1.1 Môđun đèi đçng đi·u đàa phương

Möc tiêu cõa ti¸t này là nh-c l¤i mët sè k¸t qu£ v· môđun đèi đçngđi·u đàa phương như tính tri»t tiêu, tính Artin, đèi ng¨u đàa phương,tâp iđêan nguyên tè g-n k¸t và chi·u nh¬m phöc vö cho vi»c chùngminh các k¸t qu£ ð Chương 2 và Chương 3 Đành nghĩa và các tínhch§t cơ sð cõa môđun đèi đçng đi·u đàa phương có thº xem trong [4]

Mët trong nhúng k¸t qu£ quan trång và có nhi·u ùng döng cõa lý

thuy¸t đèi đçng đi·u đàa phương là tính tri»t tiêu cõa môđun đèi đçng

đi·u đàa phương (xem [4, 6.1.2,6.1.4]) Chú ý r¬ng H I i (L) = 0 vîi måi

i > dim Supp R L Ð đây, Supp R L không nh§t thi¸t đóng trong Spec R

vîi tôpô Zariski Tuy nhiên SuppR L ên đành vîi phép đ°c bi»t hóa

nên ta đành nghĩa đưñc chi·u cõa SuppR L.

Đành lý 1.1.1 (Đành lý tri»t tiêu và không tri»t tiêu cõa Grothendieck).

(i) N¸u M 6= 0 thì d = max{i | (Hmi (M) 6= 0}.

(ii) N¸u M 6= 0 thì depth M = min{i | (Hmi (M) 6= 0}.

Nhìn chung môđun đèi đçng đi·u đàa phương không là môđunhúu h¤n sinh và cũng không là môđun Artin Đành lý sau (xem [4,Đành lý 7.1.3, Đành lý 7.1.6]) ch¿ ra r¬ng môđun đèi đçng đi·u đàaphương vîi giá cüc đ¤i ho°c t¤i c§p cao nh§t luôn là Artin

Đành lý 1.1.2 Gi£ sû r¬ng (R, m) là vành đàa phương và M là

R-môđun húu h¤n sinh Khi đó

(i) Hmi (M) là R-môđun Artin vîi måi sè tü nhiên i.

(ii) H I d (M) là R-môđun Artin vîi måi iđêan I cõa R.

Ti¸p theo, ta nh-c l¤i mët sè ki¸n thùc v· đèi ng¨u Matlis và đèi ng¨u

đàa phương Kí hi»u E(R/m) là bao nëi x¤ cõa R-môđun R/m và D R (−) là hàm tû Hom(−, E(R/m)) Vîi méi R-môđun M ta gåi D R (M) là đèi ng¨u

Matlis cõa M Chú ý r¬ng AnnR L = Ann R D(L) vîi L là R-môđun b§t kỳ Trong trưíng hñp vành R là đ¦y đõ, đèi ng¨u Matlis cho ta mët tương đương khá đµp giúa ph¤m trù các R-môđun Artin và ph¤m trù các R- môđun húu h¤n sinh Cö thº, n¸u M là R-môđun húu h¤n sinh và A là R- môđun Artin thì D(M) là R-môđun Artin và D(A) là R-

môđun húu h¤n sinh Hơn núa, D(D(M)) ∼ M và D(D(A)) ∼ A (xem

[4, Đành lý 10.2.12]) N¸u vành R là không đ¦y đõ thì M ∼ D(D(M)) và

d =

D(M) là R-môđun Artin, tuy nhiên D(A) không nh§t thi¸t là R-môđun

húu h¤n sinh

Gi£ sû r¬ng (R, m) là thương cõa vành Gorenstein đàa phương (R0, m0) chi·u n Kí hi»u K j (M) là R-môđun Ext n R−0j (M, R0)

Khi đó K j (M) là R-môđun húu h¤n sinh Theo P Schenzel [39], Kj(M)

đưñc gåi là môđun khuy¸t thi¸u thù j cõa M.

Đành lý 1.1.3 (Đành lý đèi ng¨u đàa phương) Gi£ sû (R, m) là £nh

đçng c§u cõa mët vành Gorenstein đàa phương Khi đó ta có đ¯ng c§u các R-môđun

H j (M) ∼ Hom (K j (M), E(R/m)).

Ti¸p theo, chúng tôi trình bày v· biºu di¹n thù c§p cõa môđunđèi đçng đi·u đàa phương Lý thuy¸t biºu di¹n thù c§p cho cácmôđun đưñc giîi thi»u bði I.G Macdonald [25] có thº xem là đèi ng¨u

cõa lý thuy¸t phân tích nguyên sơ Nh-c l¤i r¬ng mët R-môđun L đưñc gåi là thù c§p n¸u L 6= 0 và vîi måi x ∈ R, phép nhân bði x trên L là toàn c§u ho°c lũy linh Trong trưíng hñp này, Rad(Ann R L)

là iđêan nguyên tè, ch¯ng h¤n là p, và ta gåi L là p-thù c§p Mët biºu di¹n thù c§p cõa L là mët phân tích

L = L1 + + L n

thành têng húu h¤n các môđun con pi -thù c§p L i N¸u L = 0 ho°c L

có mët biºu di¹n thù c§p thì ta nói L là biºu di¹n đưñc Biºu di¹n thù c§p này đưñc gåi là tèi thiºu n¸u các iđêan nguyên tè p i là đôi mët

khác nhau và không có h¤ng tû L i nào là thøa, vîi måi i = 1, , n.

Chú ý r¬ng n¸u L1, L2 là các môđun con p-thù c§p cõa L thì L1+L2

cũng là môđun con p-thù c§p cõa L Vì th¸ måi biºu di¹n thù c§p cõa L đ·u

có thº đưa đưñc v· d¤ng tèi thiºu b¬ng cách bä đi các thành ph¦n thù c§pthøa và ghép l¤i các thành ph¦n thù c§p cùng chung mët iđêan

nguyên tè Tªp hñp {p1, , p n} là đëc lªp vîi vi»c chån biºu di¹n thù

c§p tèi thiºu cõa L và đưñc gåi là tªp các iđêan nguyên tè g-n k¸t cõa

L, kí hi»u là Att R L Các h¤ng tû L i , i = 1, , n đưñc gåi là các thành ph¦n thù c§p cõa L N¸u p i là tèi tiºu trong tªp Att R L thì p i đưñc gåi là iđêan nguyên tè g-n k¸t cô lªp cõa L và L i đưñc gåi là thành ph¦n thù c§p cô lªp cõa L Chú ý r¬ng mët môđun Artin là biºu di¹n đưñc (xem [25, Đành lý 5.2]).

Bê đ· 1.1.4 Gi£ sû A là mët R-môđun Artin Khi đó

(i) AttR A 6= ∅ khi và ch¿ khi A 6= 0.

(ii) min AttR A = min Var(Ann R A).

(iii) N¸u x ∈ R \ p vîi måi p ∈ Att R A \ {m} thì ` R (A/xA) < ∞.

(iv) Cho 0 → A0 → A → A00 → 0 là dãy khîp ng-n các R-môđun Artin Khi đó ta có

AttR A00 ⊆ AttR A ⊆ Att R A0 ∪ AttR A00 Cho A là R-môđun Artin Khi đó A có c§u trúc tü nhiên như Rc-

môđun Vîi c§u trúc này, mët môđun con cõa A xét như R-môđun khi và ch¿ khi nó là môđun con cõa A xét như Rc-môđun Do đó A là

Rc-môđun Artin và ta có mèi quan h» giúa tªp iđêan nguyên tè g-n

k¸t như sau.

Bê đ· 1.1.5 ([4, 8.2.4 và 8.2.5]) AttR A = {P ∩ R | P ∈ AttRb A}.

K¸t qu£ sau đây liên quan đ¸n tªp iđêan nguyên tè g-n k¸t cõamôđun đèi đçng đi·u đàa phương qua đàa phương hóa và đ¦y đõhóa đưñc dùng trong chùng minh v· sau cõa luªn án

Đành lý 1.1.6 ([40, Đành lý 4.8], [34, Đành lý 1.1])

R-(ii) Các phát biºu sau là tương đương:

(a) R là thương cõa vành Cohen-Macaulay đàa phương.

dim(R/Ann R A) = max{dim R/p | p ∈ Att R A}

theo Bê đ· 1.1.4(ii) Vîi méi sè nguyên j ≥ 0, môđun đèi đçng đi·u đàa phương Hmj (M) là R-môđun Artin, vì th¸ nó là Rc-môđun Artin.Chú ý r¬ng dimR Hmj (M) ≥ dim Rb Hmj (M) (xem [12, Tính ch§t 2.4]) Vîi méi tªp con T cõa Spec(R) và sè nguyên i ≥ 0, đ°t

(T ) i = {p ∈ T | dim(R/p) = i}

Chú ý r¬ng (AssR M) j ⊆ (AttR Hmj (M)) j vîi måi sè nguyên j ≥ 0 theo

[4, 11.3.9] Bê đ· sau đây ch¿ ra các mèi quan h» giúa dimR Hmj (M)

và dimRb Hmj (M); giúa (Ass R M) j và (AttR Hmj (M)) j

Bê đ· 1.1.7 ([12, Tính ch§t 2.4, H» qu£ 4.2]; [32, Đành lý 3.1]) Cho

j ≥ 0 là mët sè nguyên Gi£ sû r¬ng R là thương cõa mët vành Cohen-Macaulay đàa phương Khi đó

(i) dimR Hmj (M) = dim Rb Hmj (M) và dim R Hmj (M) ≤ j;

(ii) (AttR Hmj (M)) j = (Var(AnnR Hmj (M))) j = (AssR M) j

1.2 Môđun Cohen-Macaulay và kiºu đa thùc

Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rëng

là hai lîp môđun quen thuëc và quan trång trong Фi sè giao hoán

Ta luôn có b§t đ¯ng thùc depth M ≤ dim M (xem [1, M»nh đ· 1.2.12]) Khi M = 0 ho°c M 6= 0 và depth M = dim M thì ta nói M là môđun Cohen-Macaulay N¸u R là môđun Cohen-Macaulay trên chính nó thì ta nói R là vành Cohen-Macaulay Chú ý r¬ng n¸u M là Cohen-Macaulay thì dim R/p = dim M vîi måi p ∈ Ass R M.

Sau đây là mët sè tính ch§t cõa môđun Cohen-Macaulay (xem[26, Trang 137, Đành lý 17.3, Đành lý 17.5, Đành lý 17.11])

Bê đ· 1.2.1 Các phát biºu sau là tương đương:

(i) M là môđun Cohen-Macaulay;

(ii) Mp là Rp-môđun Cohen-Macaulay vîi måi iđêan nguyên tè p cõa R;

(iii) Md là môđun Cohen-Macaulay;

(iv) Tçn t¤i (vîi måi) h» tham sè cõa M là M-dãy;

(v) Tçn t¤i (vîi måi) h» tham sè x cõa M sao cho e(x; M) = ` R (M/xM);

(vi) M/xM là Cohen-Macaulay vîi mët (måi) ph¦n tû M-chính quy x;

(vii) Hmi (M) = 0 vîi måi i = 0, , d − 1.

Vîi méi h» tham sè x cõa M, đ°t I(x; M) = ` R (M/xM)−e(x; M) Khi

đó I(x; M) ≥ 0 Chú ý r¬ng n¸u M là Cohen-Macaulay thì I(x; M) = 0 vîi måi h» tham sè x Năm 1965, D.A Buchsbaum đã đ°t ra gi£ thuy¸t: I(x; M) là h¬ng sè không phö thuëc vào h» tham sè x cõa M Tuy nhiên,

năm 1973, W Vogel và J Stu¨ckrad đã đưa ra lo¤t ví dö chùng tä gi£thuy¸t cõa D.A Buchsbaum là không đúng Nghĩa là, nhìn

chung I(x; M) phö thuëc vào h» tham sè x M°c dù câu häi cõa

Buchs-baum không đúng nhưng nó d¨n đ¸n vi»c nghiên cùu mët lîp môđun mðrëng cõa lîp môđun Cohen-Macaulay Cö thº W Vogel và J Stu¨ckrad đã

giîi thi»u lý thuy¸t môđun Buchsbaum (xem [42]) M đưñc gåi là môđun

Buchsbaum n¸u I(x; M) là h¬ng sè không phö thuëc vào h» tham sè x cõa

M Ngay sau đó, N.T Cưíng, P Schenzel và N.V Trung [48] đã nghiên

cùu lîp môđun có tính ch§t sup I(x; M) < ∞ trong đó cªn trên l§y theo t§t c£ các h» tham sè x cõa M và hå gåi lîp môđun đó là Cohen-Macaulay

suy rëng Như vªy, lîp môđun Cohen-Macaulay suy rëng là mð rëng cõa

lîp môđun Cohen-Macaulay và lîp môđun Buchsbaum

Chú ý r¬ng n¸u M là môđun Cohen-Macaulay suy rëng thì Mp là

môđun Cohen-Macaulay và dim Mp + dim R/p = d vîi måi iđêan nguyên tè

p ∈ SuppR M \ {m}, hơn núa Supp R M là catenary Đi·u ngưñc l¤i cũng đúng n¸u R là vành thương cõa vành Cohen-Macaulay đàa phương.

Sau đây là mët sè đ°c trưng cõa môđun Cohen-Macaulay suyrëng (xem [44, Bê đ· 1.2, Bê đ· 1.6, Bê đ· 1.7])

Đành lý 1.2.2 Các phát biºu sau là tương đương:

(i) M là môđun Cohen-Macaulay suy rëng;

(ii) M/Hm0(M) là môđun Cohen-Macaulay suy rëng;

(iii) ` R (Hmi (M)) < ∞ vîi måi i = 0, , d − 1;

(iv) Md là môđun Cohen-Macaulay suy rëng;

I(x; M) = ` R (M/((x21, , x2d ))M) − e(x21, , x2d ; M).

Khái ni»m kiºu đa thùc đưñc giîi thi»u bði N.T Cưíng [5] Cho x = (x1, , x d ) là mët h» tham sè cõa M Cho n = (n1, , n d ) là mët

bë gçm d sè nguyên dương Xét hi»u sè

I M,x (n) = ` R (M/(x n11 , , x n d d )M) − n1n2 n d e(x, M),

trong đó e(x, M) là bëi cõa M ùng vîi h» tham sè x Nhìn chung,

I M,x (n) xét như mët hàm sè vîi các bi¸n n1, , n d, không là đa thùc

vîi n1, , n d 0, nhưng nó luôn nhªn giá trà không âm và bà ch°ntrên bði các đa thùc

Đành nghĩa 1.2.3 ([5, Đành lý 2.3]) Bªc bé nh§t cõa t§t c£ các đa

thùc theo bi¸n n ch°n trên hàm sè I M,x (n) không phö thuëc vào vi»c chån h» tham sè x B§t bi¸n này đưñc gåi là kiºu đa thùc cõa M, và đưñc kí hi»u là p(M).

Kiºu đa thùc cõa mët môđun có thº cho ta bi¸t nhi·u thông tin v·c§u trúc cõa môđun đó Ch¯ng h¤n, n¸u quy ưîc bªc cõa đa thùc 0 là

−1 thì rõ ràng M là Cohen - Macaulay khi và ch¿ khi p(M) = −1 và M

là Cohen - Macaulay suy rëng khi và ch¿ khi p(M) ≤ 0 Kiºu đa thùc

cõa mët môđun có thº coi là mët đë đo tèt đº xem môđun đó g¦n vîitính Cohen-Macaulay như th¸ nào Quÿ tích không Cohen-Macaulay

nCM(M) cõa M, cho bði

nCM(M) := {p ∈ Supp R M | Mp không là Cohen-Macaulay} Nhìn chung nCM(M) không là tªp con đóng cõa Spec R vîi tôpô Zariski,

nhưng nó luôn ên đành vîi phép đ°c bi»t hóa, tùc là n¸u q ⊂ p là hai

iđêan nguyên tè cõa R sao cho q ∈ nCM(M) thì p ∈ nCM(M) Vì th¸ ta

có thº đành nghĩa đưñc chi·u cõa nCM(M) N¸u R là thương cõa vành Cohen-Macaulay đàa phương thì nCM(M) là đóng vîi tôpô Zariski K¸t qu£ dưîi đây cho ta mèi quan h» giúa kiºu đa thùc p(M), chi·u cõa

Hmj (M) và chi·u cõa quÿ tích không Cohen-Macaulay nCM(M) cõa M.

Đành lý 1.2.4 (Xem [5, Chú ý 2.5, Bê đ· 2.6]), [35, Đành lý 1.1])

Cho D1 là môđun con lîn nh§t cõa M sao cho dim D1 < d Khi đó

(i) p(M) = p(Md) = max dimRb Hmj (M) Hơn núa, ta có p(M) ≤ d − 1.

j<d

(ii) p(M) ≥ max{dim nCM(M), dim D1} Đ¯ng thùc x£y ra khi R là thương cõa vành Cohen-Macaulay đàa phương N¸u gi£ thi¸t thêm M

là đ¯ng chi·u thì p(M) = dim nCM(M).

Chú ý 1.2.5 Do linh hóa tû cõa môđun b£o toàn qua đèi ng¨u

Matlis, ta có dimR K j (M) = dim R Hmj (M) ≤ j vîi måi j ≥ 0 Ngoài ra,

p(M) = max dim R K j (M).

j<d

Bê đ· 1.2.6 ([21, Bê đ· 2.4, Bê đ· 3.2]) Cho s ≥ −1 là sè nguyên.

(i) N¸u p(M) ≤ s và x ∈ m là ph¦n tû tham sè cõa M thì p(M/xM) ≤ s.

(ii) Cho 0 → M0 → M → M00 → 0 là dãy khîp các R-môđun húu h¤n sinh sao cho dim R M00 ≤ s Khi đó p(M) > s khi và ch¿ khi p(M0) > s.

1.3 Môđun Macaulay dãy và môđun

Cohen-Macaulay suy rëng dãy

Lîp môđun Cohen-Macaulay dãy xu§t hi»n tü nhiên trong cácùng döng cõa Фi sè giao hoán vào các bài toán tê hñp và đưñcR.P Stanley đành nghĩa l¦n đ¦u tiên trên các môđun phân bªc trong[41] Tính Cohen-Macaulay dãy đưñc giîi thi»u bði P.Schenzel [39],N.T Cưíng-L.T Nhàn [11] cho trưíng hñp đàa phương

Khái ni»m v· låc chi·u đưñc giîi thi»u bði P Schenzel [39] Sau

đó N T Cưíng và L.T Nhàn [11] đã đi·u ch¿nh l¤i đôi chút đành nghĩanày b¬ng cách bä đi nhúng thành ph¦n l°p đº thuªn tiên hơn cho vi»c

sû döng Sau đây chúng tôi nh-c l¤i khái ni»m låc chi·u theo [11]

Đành nghĩa 1.3.1 Mët låc các môđun con Hm0(M) = D t ⊂ ⊂ D1

⊂ D0 = M cõa M đưñc gåi là låc chi·u cõa M, n¸u vîi méi 1 ≤ i ≤ t, D i

là R-môđun con lîn nh§t cõa M sao cho dim D i < dim D i−1

Chú ý 1.3.2 (Xem [6, Chú ý 2.3]) Do M là môđun húu h¤n sinh trên vành

đàa phương Noether nên låc chi·u cõa M luôn tçn t¤i và duy nh§t.

Hơn núa, gåi

K¸t qu£ sau v· låc chi·u đưñc dùng nhi·u trong luªn án

Đành lý 1.3.3 ([39, Tính ch§t 2.2, H» qu£ 2.3]) Cho Hm0(M) = D t ⊂

⊂ D1 ⊂ D0 = M là låc chi·u cõa M Cho i ≤ t là sè nguyên Khi đó

(i) AssR D i = {p ∈ AssR M | dim(R/p) ≤ d i }.

(ii) AssR (D i−1 /D i) = (AssR M) d i−1 Đ°c bi»t, dim(D i−1 /D i ) = d i−1 vîi i =

1, , t và

t[

AssR M \ {m} = AssR (D i−1/Di ).

i=1 (iii) D i = H0 (M), trong đó a i là giao cõa t§t c£ các iđêan nguyên tè p

a

i

cõa M sao cho dim(R/p) ≤ d i

Ti¸p theo, chúng tôi nh-c l¤i khái ni»m và các đ°c trưng cõa môđunCohen-Macaulay dãy và môđun Cohen-Macaulay suy rëng dãy

Đành nghĩa 1.3.4 Cho Hm0(M) = D t ⊂ ⊂ D1 ⊂ D0 = M là låc

chi·u cõa M Ta nói M là môđun Cohen-Macaulay dãy (môđun Cohen-Macaulay suy rëng dãy) n¸u méi môđun thương D i−1 /D i là môđun Cohen-Macaulay (tương ùng môđun Cohen-Macaulay suy rëng) vîi måi i = 1, , t.

Hai đành lý sau đây cho ta đ°c trưng v· đçng đi·u cõa môđunCohen-Macaulay dãy và môđun Cohen-Macaulay suy rëng dãy

Đành lý 1.3.5 (Xem [39, Đành lý 1.2]) Gi£ sû R là thương cõa mët

vành Gorenstein đàa phương Các phát biºu sau là tương đương:

(i) M là môđun Cohen-Macaulay dãy;

(ii) Vîi måi j = 0, , d − 1, môđun K j (M) ho°c b¬ng 0 ho°c là môđun Cohen-Macaulay chi·u j.

Đành lý 1.3.6 (Xem [11, Đành lý 5.1]) Gi£ sû R là thương cõa mët

vành Gorenstein đàa phương Các phát biºu sau là tương đương:

(i) M là môđun Cohen-Macaulay suy rëng dãy;

(ii) Vîi måi j = 0, , d −1, môđun K j (M) ho°c có đë dài húu h¤n ho°c là môđun Cohen-Macaulay suy rëng chi·u j.

Khái ni»m h» tham sè tèt đưñc giîi thi»u bði N.T Cưíng vàĐ.T Cưíng [6] nh¬m nghiên cùu lîp môđun Cohen-Macaulay dãy vàcác mð rëng cõa nó

Đành nghĩa 1.3.7 Cho x = (x1, , x d ) là mët h» tham sè cõa M và

mët låc H : H t ⊂ ⊂ H1 ⊂ H0 = M các môđun con cõa M thäa mãn đi·u ki»n chi·u, tùc là dim H t < < dim H1 < dim H0 Đ°t h i = dim H i vîi måi i ≤ t.

(i) x đưñc gåi là h» tham sè tèt đèi vîi låc H n¸u vîi måi i = 0, , t

−1 thì (x h i+1, , x d )M ∩ H i = 0 Mët h» tham sè tèt cõa M ùng vîi låc chi·u đưñc gåi đơn gi£n là h» tham sè tèt cõa M.

(ii) Iđêan tham sè q cõa M đưñc gåi là iđêan tham sè tèt đèi vîi låc H n¸u nó sinh bði mët h» tham sè tèt cõa M đèi vîi låc H Mët iđêan tham sè tèt cõa M ùng vîi låc chi·u đưñc gåi đơn gi£n là iđêan tham

sè tèt cõa M.

Chú ý 1.3.8 (Xem [6, Bê đ· 2.5]) Vîi måi låc H cõa M thäa mãn đi·u

ki»n chi·u, luôn tçn t¤i h» tham sè tèt cõa M ùng vîi H Hơn núa, n¸u

x là h» tham sè tèt, thì nó là h» tham sè tèt ùng vîi måi låc thäa mãn

đi·u ki»n chi·u

Bê đ· sau đây nói r¬ng ta có thº tính låc chi·u thông qua h»tham sè tèt

Bê đ· 1.3.9 (Xem [6, Bê đ· 2.4]) Cho H0 (M) = D ⊂ ⊂ D ⊂

D0 = M là låc chi·u cõa M và x = (x1, , x d ) là h» tham sè tèt cõa

M Đ°t d i = dim D i Khi đó (x1, , x d i ) là h» tham sè tèt cõa D i và

M»nh đ· sau cho ta đ°c trưng cõa môđun Cohen-Macaulaydãy thông qua h» tham sè tèt

M»nh đ· 1.3.10 (Xem [6, Đành lý 3.9]) Cho D : Hm0(M) = D t ⊂

⊂ D1 ⊂ D0 = M là låc chi·u cõa M vîi d i = dim D i và x = (x1, , x d)

là mët h» tham sè tèt cõa M Các kh¯ng đành sau là tương đương:

(i) M là mët môđun Cohen-Macaulay dãy;

(ii) x1, , x d i là mët dãy chính quy cõa M/D i−1 vîi i = 1, , t;

(iii) depth(M/D i−1 ) = d i vîi måi i = 1, , t;

(iv) (x n11 , , x n i i )M : x n i+1 i+1 = (x n11 , , x n i i )M + (0 : M x i+1 ) vîi måi

n1, , n d > 0 và i = 0, 1, , d − 1;

(v) (x1, , x i )M : x2j = (x1, , x i )M + (0 : M x j ), 0 ≤ i < j ≤ d.

Chương 2

Kiºu đa thùc dãy cõa môđun

Trong suèt chương này, luôn gi£ thi¸t (R, m) là mët vành Noether đàa phương, M là mët R-môđun húu h¤n sinh chi·u d, A là mët R- môđun Artin Kí hi»u Rc và Md l¦n lưñt là đ¦y đõ m-adic cõa R và M.

Mët mð rëng quan trång cõa khái ni»m môđun Cohen-Macaulay làkhái ni»m môđun Cohen-Macaulay dãy đưñc giîi thi»u cùng lúc bði R.Stanley [41] cho trưíng hñp vành phân bªc và P Schenzel [39] trongtrưíng hñp vành đàa phương Trong chương này, chúng tôi giîi thi»u khái

ni»m kiºu đa thùc dãy cõa môđun M, kí hi»u là sp(M), đưñc đành nghĩa thông qua kiºu đa thùc cõa các môđun thương trong låc chi·u cõa M, đº

đo tính không Cohen-Macaulay dãy cõa M Möc đích chính cõa chương

là nghiên cùu sü thay đêi cõa kiºu đa thùc dãy cõa M thông qua đàa phương hóa, đ¦y đõ hóa cũng như tính không tăng cõa sp(M/xM) khi x là mët ph¦n tû tham sè Khi R là thương cõa vành Gorenstein đàa phương, chúng tôi tính toán sp(M) thông qua các môđun khuy¸t thi¸u cõa M Nëi

dung cõa chương này đưñc trình bày düa theo bài báo [33]

2.1 Låc chi·u và dãy låc chính quy ch°t

Trong ti¸t này, chúng tôi đưa ra mèi quan h» giúa låc chi·u cõa

M và låc chi·u cõa M/xM, vîi x là ph¦n tû låc chính quy ch°t Trong

suèt chương này, chúng tôi sû döng kí hi»u sau

Kí hi»u 2.1.1 Cho Hm0(M) = D t ⊂ ⊂ D1 ⊂ D0 = M là låc chi·u

cõa M Vîi méi sè nguyên i ∈ {0, 1, , t}, đ°t d i := dim D i Khi đó d

= d0 và d t ≤ 0 (n¸u Hm0(M) = 0 thì ta đ°t d t = −1) Ngoài ra, d i < d i−1 vîi måi i = 1, , t Vîi méi sè nguyên r ≥ 0, kí hi»u D(r) là môđun con lîn nh§t cõa M có chi·u nhä hơn ho°c b¬ng r Rõ ràng D(d − 1) =

D1 và D(0) = D t Khi r ≤ 1, tçn t¤i sè nguyên t(r) ≤ t sao cho D(r) =

D t(r) B¬ng cách bä các môđun D t(r)+1 , , D t trong låc chi·u, ta thu

đưñc låc con D(r) = D t(r) ⊂ ⊂ D1 ⊂ D0 = M Låc con này gåi là låc chi·u cõa M chi·u > r.

Khái ni»m dãy låc chính quy đưñc giîi thi»u bði N.T Cưíng, P.Schenzel và N.V Trung [48] đã trð thành mët công cö r§t quantrång trong vi»c nghiên cùu c§u trúc vành và môđun

Đành nghĩa 2.1.2 Ph¦n tû x ∈ m gåi là ph¦n tû låc chính quy cõa M

n¸u x ∈/ p vîi måi p ∈ Ass R M \ {m} Dãy (x1, , x n) các ph¦n tû

trong m gåi là dãy låc chính quy cõa M n¸u x i+1 là ph¦n tû låc chính

quy cõa M/(x1, , x i )M vîi måi i = 1, , n − 1.

Ta bi¸t r¬ng x là ph¦n tû låc chính quy cõa M khi và ch¿ khi

` R(0 :M x) < ∞ N¸u d > 0 thì méi ph¦n tû chính quy cõa M là ph¦n

tû tham sè cõa M Theo Đành lý tránh nguyên tè, luôn tçn t¤i ph¦n tû låc chính quy cõa M.

Bê đ· 2.1.3 Cho Hm0(M) = D t ⊂ ⊂ D1 ⊂ D0 = M là låc chi·u cõa

M và x là mët ph¦n tû låc chính quy cõa M Khi đó D i ∩ xD j = xD i

vîi måi i ≤ t và j < i.

Chùng minh Ta ch¿ c¦n chùng minh D i ∩ xM = xD i vîi måi i ≤ t.

Chú ý r¬ng xM ∩ N = x(N : M x) vîi N là môđun con cõa M Khi đó

D i ∩ xM = x(D i : x) = xD i

Khái ni»m M-dãy chi·u > s đưñc giîi thi»u trong [2] xem như là mët sü mð rëng tü nhiên cõa khái ni»m dãy låc chính quy Cho s ≥

−1 là mët sè nguyên

Đành nghĩa 2.1.4 (Xem [2]) Ph¦n tû x ∈ m gåi là M-chính quy chi·u

> s n¸u x ∈/ p vîi måi p ∈ Ass R M trong đó dim R (R/p) > s Dãy x1, , x n ∈ m đưñc gåi là M-dãy chi·u > s n¸u x i là M/(x1, , x i−1 )M- chính quy chi·u > s vîi måi i ≤ n.

Chú ý r¬ng dãy x1, , x n là M-dãy chi·u > s vîi s = −1, 0, 1 khi

và ch¿ khi nó l¦n lưñt là M-dãy chính quy, dãy låc chính quy cõa M và dãy chính quy suy rëng tương ùng vîi M đưñc giîi thi»u trong [31] M°t khác n¸u p(M) ≤ s thì måi h» tham sè là M-dãy chi·u > s (xem [21, Tính ch§t 3.2(2)]) Chi·u ngươc l¤i cũng đúng n¸u R là thương cõa vành

Cohen-Macaulay đàa phương (xem [21, Đành lý 3.7])

Bê đ· 2.1.5 Cho x ∈ m là ph¦n tû M-chính quy chi·u > s Khi đó vîi

méi sè nguyên j ≥ s, tçn t¤i dãy khîp

trong đó i là phép nhúng và p là phép chi¸u Khi đó ta có dãy khîp

Do vªy, ta thu đưñc dãy khîp

0 → Hmj (M)/Im(α j∗) → Hmj (M/xM) → Ker(α j∗+1) → 0.

Bê đ· hoàn toàn đưñc chùng minh

Theo [10], ph¦n tû x ∈ m gåi là ph¦n tû låc chính quy ch°t cõa

S

nguyên tè, luôn tçn t¤i ph¦n tû låc chính quy ch°t cõa M Chú ý r¬ng

khi x là ph¦n tû M-chính quy, thì x không nh§t thi¸t là ph¦n tû låc

chính quy ch°t cõa M.

Ví dö 2.1.6 Cho R = K[[x, y, z, t]] là vành các chuéi lũy thøa hình thùc

ba bi¸n vîi h» sè trên trưíng K Chån M = (x, y, z)R Khi đó R là vành Noether đàa phương vîi iđêan tèi đ¤i duy nh§t m = (x, y, z, t)R và

M là R-môđun húu h¤n sinh vîi dim M = 4 Vì Ass R M ⊆ Ass R = {0} nên x là ph¦n tû M-chính quy, do đó x là ph¦n tû låc chính quy cõa M.

Ta có Hmi (R) = 0 vîi måi i < 4 và Hmi (R/M) = 0 vîi måi i 6= 1 Do đó

tø dãy khîp dài đçng đi·u c£m sinh bði dãy khîp ng-n

K¸t qu£ chính trong ti¸t này là đưa ra mèi quan h» giúa låc

chi·u cõa M và låc chi·u cõa M/xM, vîi x là ph¦n tû låc chính quy ch°t cõa D i−1 /D i vîi måi i = 1, , t (ph¦n tû x như vªy luôn tçn t¤i theo Đành lý tránh nguyên tè) Trưîc h¸t, chúng tôi c¦n bê đ· sau.

Bê đ· 2.1.7 Cho x ∈ m là ph¦n tû låc chính quy ch°t cõa M Khi đó

(i) x là ph¦n tû låc chính quy cõa M N¸u d > 0 thì x là ph¦n tû tham sè cõa M.

(ii) N¸u p(M) > 0 thì p(M/xM) = p(M) − 1.

(iii) Gi£ sû r¬ng d > 0 và dim(R/p) = d vîi måi p ∈ Ass R M N¸u R là thương cõa vành Cohen-Macaulay đàa phương thì ho°c q = m ho°c dim(R/q) = d − 1 vîi måi q ∈ Ass R (M/xM).

Chùng minh (i) Do x ∈ m là ph¦n tû låc chính quy ch°t cõa M nên

x ∈/ p vîi måi p ∈ ( S Att R Hmj (M)) \ {m} Theo [4, Đành lý 11.3.9], ta

Do q ∈ (AssR (M/xM)) r nên q ∈ AttR Hmr (M/xM) (xem [4, Đành lý

11.3.9]) Do x là ph¦n tû låc chính quy ch°t nên x ∈/ p vîi måi p ∈ Att R

Hmr (M)\{m} Suy ra ` R (Hmr (M)/xHmr (M)) < ∞ theo Bê đ· 1.1.4(iii).

Do đó q ∈/ AttR (H r (M)/xH r (M)) Khi đó, q ∈ Att R(0 : r+1 x) theo

Bê đ· 1.1.4(iv) L¤i do Bê đ· 1.1.4(ii) ta có q ⊇ Rx + AnnR Hmr+1 (M).

Ti¸p theo, chån q0 ∈ min Var(AnnR Hmr+1 (M)) sao cho q0 ⊆ q Khi

đó q0 ∈ min AttR Hmr+1 (M) theo Bê đ· 1.1.4(ii) Do dim(R/q0) ≥

dim(R/q) > 0 và x là ph¦n tû låc chính quy ch°t cõa M, ta có x ∈/ q0

Do đó q0 6= q Suy ra dim(R/q0) ≥ r+1 Do R là thương cõa vành Cohen-Macaulay đàa phương ta có dim(R/q0) ≤ dimR Hmr+1 (M) ≤ r +

1 theo Bê đ· 1.1.7(i) Suy ra dim(R/q0) = r + 1 và như vªy

q0 ∈ (AttR Hmr+1 (M)) r+1 = (AssR M) r+1 theo Bê đ· 1.1.7(ii) M°t khác, do r < d − 1 tùc là r + 1 < d, ta có

(AssR M) r+1 = ∅, mâu thu¨n vîi q0 ∈ (AssR M) r+1 Vªy ta suy ra đi·uph£i chùng minh M»nh đ· sau đây là k¸t qu£ chính cõa ti¸t này.

M»nh đ· 2.1.8 Gi£ sû R là thương cõa vành Cohen-Macaulay đàa

phương Cho Hm0(M) = D t ⊂ ⊂ D1 ⊂ D0 = M là låc chi·u cõa M

và x ∈ m là ph¦n tû låc chính quy ch°t cõa D i−1 /D i vîi måi i ≤ t Đ°t

D i0 = (D i + xM)/xM vîi i ≤ t Cho

Hm0(M/xM) = L t0 ⊂ ⊂ L0 = M/xM

là låc chi·u cõa M/xM Khi đó ta có

(i) t0 ≤ t ≤ t0 + 1 Cö thº, t = t0 n¸u d t−1 ≥ 2 và t = t0 + 1 n¸u d t−1 = 1.

(ii) D i0 ⊆ L i và `(L i /D i0) < ∞ vîi måi i ≤ t0.

Chùng minh Theo Bê đ· 2.1.7(i), x là ph¦n tû låc chính quy cõa

D i−1 /D i vîi måi i ≤ t Theo Đành lý 1.3.3(ii), ta có AssR(Di−1/Di) =

AssR (M) d i−1 Do đó x là ph¦n tû låc chính quy cõa M Suy ra,

D0 = (D + xM)/xM ∼

D /(D ∩ xM) = D /xD

theo Bê đ· 2.1.3 Do đó dim D i0 = d i − 1 vîi måi i < t.

Trưíng hñp t0 = 0 là hiºn nhiên Cho t0 ≥ 1 thì t ≥ 1 và d ≥ 2 Do

d1 − 1 < d − 1 ta có D10 ⊆ L1 do L1 là môđun con lîn nh§t cõa M/xM chi·u nhä hơn dim(M/xM) Xét dãy khîp

1.3.3(ii) Theo Bê đ· 2.1.7(iii) ho°c p = m ho°c dim(R/p) = d − 1 vîi

måi

p ∈ AssR (L0/D10) Do L1 là môđun con lîn nh§t cõa M/xM chi·u nhä

hơn d − 1 nên dim(L1/D10) < d − 1 Mà L1 ⊆ L0 nên AssR (L1/D10) ⊆

AssR (L0/D10) Suy ra AssR (L1/D10) ⊆ {m} hay `R (L1/D10) < ∞ Ngoài

ra, n¸u t0 = 1 thì ` R (L1) = ` R (Hm0(M/xM)) < ∞ Mà D10 ⊆ L1 nên

` R (D10) < ∞, tùc là d1 ≤ 1 Trong trưíng hñp này, t = 2 khi d1 = 1 và t

= 1 khi d1 ≤ 0 (và d0 ≥ 2).

Gi£ sû t0 ≥ 2 Khi đó dim L1 ≥ 1 Do ` R (L1/D10) < ∞ nên dim D10

= dim L1 ≥ 1 Do đó t ≥ 2 và d1 ≥ 2 Tø d2 −1 < d1 −1 = dim L1 nên

D20 = D2 + xM/xM ⊆ L2 theo đành nghĩa cõa L2 Xét dãy khîp

Áp döng Đành lý 1.3.3(ii) và Bê đ· 2.1.7(iii), ho°c p = m ho°c dim(R/p) =

d1 − 1 vîi måi p ∈ Ass R (D10/D20) M°t khác, do ` R (L1/D10) < ∞ nên

dimR (L1/D10) = 0 hay AssR (L1/D10) ⊆ {m} Tø dãy khîp trên, ta có

AssR (L1/D20) = AssR (D10/D20) ∪ AssR (L1/D10) = AssR (D10/D20) ∪ {m}.

Do đó ho°c p = m ho°c dim(R/p) = d1 − 1 vîi måi p ∈ AssR (L1/D20)

Xét dãy khîp 0 → D20 → L2 → L2/D20 → 0 Ta có

dim D20 = dim(D2 + xM/xM) = dim(D2/D2 ∩ xM) < dim D2 = d2.

Do L2 là môđun con lîn nh§t cõa M/xM chi·u nhä hơn dim L1 nên

dim L2 < dim L1 = dim D10 = d1 − 1 Suy ra dim(L2/D20) < d1 − 1

Tø AssR (L2/D20) ⊆ AssR (L1/D20) nên ta có AssR (L2/D20) ⊆ {m}, tùc

là ` R (L2/D20) < ∞.

Ngoài ra, n¸u t0 = 2 thì ` R (L2) < ∞, tùc là d2 ≤ 1 Trong trưíng

hñp này, t = 3 khi d2 = 1 và t = 2 khi d2 ≤ 0 (và d1 ≥ 2) Ti¸p töc quá

trình trên, sau t0 bưîc ta thu đưñc k¸t qu£ c¦n tìm

2.2 Kiºu đa thùc dãy qua đàa phương hóa và đ¦y

đõ hóa

Möc tiêu cõa ti¸t này là đưa ra khái ni»m v· kiºu đa thùc dãy cõa

môđun M đº đo tính không Cohen-Macaulay dãy cõa M Ngoài ra,

chúng tôi nghiên cùu kiºu đa thùc dãy cõa môđun thông qua đàaphương hóa và đ¦y đõ m-adic

Trong suèt ti¸t này luôn xét Hm0(M) = D t ⊂ ⊂ D1 ⊂ D0 = M

là låc chi·u cõa M và d i := dim D i vîi måi i ≤ t.

Đành nghĩa 2.2.1 Kiºu đa thùc dãy cõa M, kí hi»u là sp(M) đưñc đành

nghĩa thông qua kiºu đa thùc cõa các môđun thương trong låc chi·u cõa

sp(M) = max{p(D i−1 /D i ) | i = 1, , t}.

Tø đành nghĩa ta th§y ngay r¬ng, sp(M) = −1 khi và ch¿ khi M

là môđun Cohen-Macaulay dãy; sp(M) ≤ 0 khi và ch¿ khi M là

môđun Cohen-Macaulay suy rëng dãy

trong đó e(x1, · · · , x d i ; D i ) là bëi Serre cõa D i vîi giá là x1, · · · , x d i

Kí hi»u x(n) = x n11 , · · · , x n d d vîi n1, · · · , n d là bë d sè nguyên dương Nhìn chung, I D,M (x(n)) xét như mët hàm sè vîi bi¸n n1, · · · ,

n d không là đa thùc, nhưng bà ch°n trên bði đa thùc Theo [8, Đành

lý 1.1]), bªc bé nh§t cõa t§t c£ các đa thùc ch°n theo bi¸n n ch°n trên hàm sè I D,M (x(n)) đëc lªp vîi cách chån x, và đưñc kí hi»u là pD(M).

N¸u xét vành cơ sð là vành thương cõa vành Cohen-Macaulay đàaphương thì b§t bi¸n này chính là kiºu đa thùc dãy cõa M

Nhìn chung, sp(M) đo tính không Cohen-Macaulay dãy cõa môđun

M Cö thº, chúng tôi kí hi»u nSCM(M) là quÿ tích không

Cohen-Macaulay dãy cõa M, tùc là

nSCM(M) := {p ∈ Spec(R) | Mp không là Cohen-Macaulay dãy} Nhìn chung nSCM(M) không là tªp con đóng cõa SpecR vîi tôpô

Zariski, nhưng nó luôn ên đành vîi phép đ°c bi»t hóa, tùc là n¸u q ⊂

p là hai iđêan nguyên tè cõa R sao cho q ∈ nSCM(M) thì p ∈ nSCM(M) Vì th¸ ta có thº đành nghĩa đưñc chi·u cõa nSCM(M) N¸u

R là thương cõa vành Cohen-Macaulay đàa phương thì nSCM(M) là

đóng K¸t qu£ sau cho ta mèi liên h» giúa quÿ tích không

Cohen-Macaulay dãy cõa M và quÿ tích không Cohen-Cohen-Macaulay cõa các môđun thương trong låc chi·u cõa M.

Bê đ· 2.2.3 (Xem [35, H» qu£ 2.6]) Đ°t L i = D i−1 /D i vîi i = 1, , t N¸u R là catenary thì nSCM(M) = S nCM(L i ).

1≤i≤t

M»nh đ· sau đưa ra mèi quan h» giúa sp(M) và chi·u cõa quÿ tích không Cohen-Macaulay dãy cõa M.

M»nh đ· 2.2.4 N¸u R là catenary thì sp(M) ≥ dim(nSCM(M)) Đ¯ng thùc

x£y ra n¸u R là thương cõa mët vành Cohen-Macaulay đàa phương.