Trờng THPT Yên Định 1Đáp án và biểu điểm môn toán thi tuyển sinh vào lớp 19 chuyên lam sơn Câu 1.
Trang 1Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trờng THPT Yên Định 1
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn
Môn : Toán học - Thờigian làm bài : 150 phút
Đề thi bảng A
1 Chứng minh: a ≥ 4 ; b≥ 5 ; c≥ 6 và a2 + b2 + c2 = 90 thì a+b+c≥ 16 (2điểm)
2 Đơn giản biểu thức:
2 4 )
1 ( 3
2 4 )
1 ( 3
2 2
3
2 2
3
+
−
− +
−
−
−
− +
−
a a
a a
a a
a a
với a≥ 2 (1điểm)
3 Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 Chứng minh điều kiện cần và đủ để phơng trình có 2 nghiệm mà nghiệm này bằng k lần nghiệm kia là:
) 0 ( 0 )
1
b
k (*)( với giả thiết là phơng trình có nghiệm) (2điểm)
4 Cho tam giác ABC (A = 900) hai cạnh góc vuông là là b và c Lấy điểm
]
[BC
m∈ sao cho = α ( α ≠ 0 0 và α ≠ 90 0 ) Chứng minh:
α
cos c
b
bc
AM
+
5 Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a 2 và CD = 2a
a) Chứng minh AB⊥CD
6 Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x2 + x3 + x4 + x5 = 271440 (2điểm)
Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trang 2Trờng THPT Yên Định 1
Đáp án và biểu điểm môn toán thi tuyển sinh vào lớp 19 chuyên lam sơn
Câu 1 Do a ≥ 4 ; b≥ 5 ;c≥ 6 ta đặt a = 4 + x ; b = 5 + y ; c = 6 + z ; (x, y, z ≥ 0)
a2 + b2 + c2 = (4 + x)2 + (5 + y)2 + (6 + z)2 = 90
90 77 12 10 8
2 2
⇔x y z x y z
13 12 10 8
2 2
13 12 12 12 2 2 2
2 2
⇒ x y z xy yz zx x y z
13 ) (
12 )
⇒ x y z x y z (1)
• Nếu x + y + z < 1 thì bất đẳng thức (1) không xảy ra (0,5 điểm)
• Vậy x + y + z ≥ 1 từ đó suy ra a + b + c = 4 + 5 + 6 + x + y + z (0,5 điểm)
16
≥
+
+
Câu 2 Để ý rằng a3 - 3a - 2 = (a+1)2 (a-2)
Vì vậy:
Vế trái =
4 )
1 ( ) 2 ( ) 1 (
4 )
1 ( ) 2 ( ) 1 (
2 2
2
2 2
2
−
− + +
−
−
− +
− +
a a
a a
a a
a a
) 2 )(
2 ( ) 1 )(
1 ( ) 2 (
)
1
(
) 2 )(
2 ( ) 1 )(
1 ( ) 2 (
)
1
(
2
2
+
− +
− + +
−
+
− +
− +
−
+
=
a a a
a a
a
a a a
a a
a
(0,25 điểm)
[( 1 ) 2 ( 1 ) 2]
2 )
1
(
2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 )
1
(
+
− +
− +
+
−
+
− +
− +
−
+
=
a a
a a a
a
a a
a a a
a
2 )
1
(
2 )
1
(
+
−
−
+
=
a
a
a
a
(0,5 điểm)
Câu 3
1 Nếu c = 0, tức là phơng trình có 1 nghiệm x1=0
* Nếu x2 = kx1 thì x2 = 0 ⇒ b = 0 vậy hệ thức (*) thoả mãn (0,25 điểm)
* Ngợc lại nếu (*) thoả mãn thì ⇒ b = 0 nên x2 = 0 ⇒ x2 = kx1 (vì k ≠ 0)
(0,25 điểm)
do đó ta chỉ cần xét c ≠ 0 tức là cả 2 nghiệm x1 ; x2≠ 0 Ta có:
Trang 31 2
2
1 2
2 1
2 2 1
2
) (
x x x x x
x
x x a
c
a
b
ac
b − = + = +
Nếu x2 = kx1 thì từ (1) ta có:
k
k
c
a
b2 ( + 1 ) 2
= (2) ⇔ (*)
ngợc lại, nếu ta có (2) thì theo (1) ta có:
) ( )
1
(
)
1
(
1 2 2
2
x
x t t
t
k
k
=
+
=
+
(0,5 điểm)
t
t
k
k+1 = +1
⇒
kt
t k k t
t
k− = − = −
0 )
1 )(
⇒
kt t
t
k
t
k =
t k
kt = 1 ⇒ =1 trong cả 2 trờng hợp này đều suy ra nghiệm này bằng k
Bài 4:
1) Chứng minh diện tích ABC ab C ac B bcsinA
2
1 sin 2
1 sin 2
=
2) áp dụng:
) 1 ( 2
1
MAB dt CAM dt
bc
ABC
α
2
1 ) 90 sin(
2
b AM b
AM CAM
α
sin 2
1
c AM BAM
dt∆ =
) 2 ( ) sin cos ( 2
1 AM b α c α
BAM dt CAM
⇒
thay (2) vào (1) ta có:
Trang 4) sin cos ( 2
1
2
1
α
b AM
α
α sin cos
b
bc AM
+
=
Bài 5:
a Chứng minh AB ⊥CD:
Gọi E là trung điểm AB
CE ⊥ AB ; DE ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (CED) ⇒ AB ⊥ CD (0,25 điểm)
3
1 2
2V BE dt CED
V ABCD = BCED =
CD EF CED
2
1
2
2
2
CF CE
VABCD =
3 2
2 2
2 3
1
.
2
3
a
Bài 6: Phơng trình đã cho ⇔ x2(x2+1)(x+1) = 24.32.5.13.29 (1) (0,5 điểm)
Từ (1) suy ra nghiệm x > 1 và x2 là ớc chính phơng của 271.440
Còn ớc chính phơng của 271.440 có thể là: 22, 24 , 22 32, 24.32 ớc chính phơng lớn
Thay x2 = 122 vào phơng trình ta đợc nghiệm đúng (0,5 điểm)
với x2 = 22.32 = 62 ta có:
62(62+1)(6+1) < 122(122+1)(12+1) = 271.440
các ớc còn lại cũng nh vậy