Với giá trị nào của x,y thì M đạt giá trị nhỏ nhất.. Bài 5 1,5 đ: 1/ Chứng minh rằng nếu một đởng thẳng không đi qua gốc toạ độ, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a, cắt trục tung
Trang 1Sở Giáo Dục- đào Tạo kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 CHUYÊN Hà NAM
Hà Nam Năm học 2007-2008
Môn thi: toán ( Đề CHUYÊN )
đề chính thức Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề )
Bài 1 (1 đ): Cho : M = x2 + y2+xy-3x-3y+2011 Với giá trị nào của x,y thì M đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị
đó?
Bài 2 (1 đ): Chứng minh rằng 1 1 1
2 1 3 1 (n1) n với mọi n N*
Bài 3 (1,5 đ):
Giải phơng trình
a/ x2 6x10 + x2 6x18= 6x -5-x2 b/ 2(x22) 5 x31
Bài 4 (0,5 đ): Chứng minh rằng x, y, z, x + y + z đều là các số hữu tỉ thì x, y , z cũng là các
số hữu tỉ
Bài 5 (1,5 đ):
1/ Chứng minh rằng nếu một đởng thẳng không đi qua gốc toạ độ, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
a, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b thì đờng thẳng đó có dạng y 1
b
x a 2/Cho đờng thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1
a/ Chứng minh rằng đờng thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi m
c/ Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng là lớn nhất
Bài 6 (2,5 đ): Cho tam giác OAB (OA = OB) Vẽ đờng cao OH, AK biết OA = a, AOH
a/ Tính các cạnh tam giác AKB theo a và
b/ Tính các cạnh của các tam giác OKA và AKB theo a và 2 Từ đó biểu diễn sin2 , cos2 theo sin , cos
Bài 7 (2 đ) :
Cho hình vuông ABCD O là một điểm thuọc miền trong hình vuông sao cho OA : OB : OC = 1 : 2 : 3 Tính
số đo góc AOB ?
=============================
Hớng dẫn chấm -Bài 1 (1 đ): Ta có: M = (x2 – 2x + 1) + (y2 + xy + 1) + xy – x – y + 1 + 2008 = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x
4
3 2
1 ).
1 ( 2 4
) 1
y
y x
2008 2008
) 1 ( 4
3 )
2
1 (
)
1
2
x y 1
0
1
0 2
1
1
y
y
x
(0,25 đ)
1 1 )
1 ( )
1 (
1
k k
k k
k
k k
1
1 1 1
1 1
k k k
k
1
1 1 2 2 1
1
1
k k k
k
2
1 1
1 2 1
2
1
3
1 2
1 2 2 3
1
1 1
1 2 ) 1 (
1
n n
n
1
1 1 2 )
1 (
1
1 3
1 1 2
1
n n
Bài 3 (1,5 đ):
Trang 2a) Ta có VT Không lớn hơn 4, VP không nhỏ hơn 4 (0,5đ), vậy pt trình có nghiệm khi và chỉ khi hai
vế cùng bằng 4 Từ đó ta tìm đợc x = 3 (0,5đ)
b) Ta có 2 ( 2 2 ) 5 3 1 2 1 2 1 5 1 2 1
Đặt x1 a ; x2 x1b với a, b 0 (0,25đ) Đa pt về dạng 2a2 b2 5 ab 4ab2 25ab 2a ba 2b 0
Giải pt ta tìm đợc x =
2
37
5 và x =
2
37
5 (0,25đ)
Bài 4 (0,5 đ):
Đặt t = x + y + z Q, Ta có: x + y = z - t x + y + 2 xy = z + t2 – 2t z
2 xy = - x – y + z + t2 - 2t z 4xy = (x + y + z – t2)2 + 4t2 + 4t (x + y – z – t2) z
(x + y + z – t2)2 + 4zt2 – 4xy = 4t (t2 – x –y – z) z (0,25đ)
Nếu t = 0 : x + y + z = 0 x = y = z = 0 x = y = z = 0 Q
Nếu t2 – x – y + z = 0, t 0: thì 2 xy = - 2t z xy + t z = 0
0
0
z
xy
0 z 0 y
0 x
t x z
y
t y z
x
; 0
; 0
; 0
; 0
x, y , z Q
)
( 4
4 4
) (
2
2 2
2
z y x t t
xy zt
z y x t
Q Lập luận tơng tự, ta suy ra: x, y Q (0,25đ)
Bài 5 (1,5 đ):
1) (0,5đ) Gọi đờng thẳng cần xác định là y = mx + n
Đờng thẳng đi qua điểm (0 ; b) nên : b = m.0 + n n = b
Đờng thẳng đi qua điểm (a ; 0) nên: 0 = m.a + b m =
a
b
(chú ý rằng a 0) (0,25đ)
b
y
b
y a
x b
x a
b
a
x là
2a) Điều kiện cần và đủ để đờng thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (1) đi qua điểm cố định N(xo,yo) là: (m – 2)xo + (m – 1)yo = 1 với mọi m mxo – 2xo + myo – yo – 1 = 0 với mọi m (025đ)
(xo + yo)m – (2xo + yo + 1) = 0 với mọi m
1 1 1 2 0
o o o
o o o
y x y
x y x
(0,25đ) Vậy các đờng thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định N (-1; 1)
b) Gọi A là giao điểm của đờng thẳng (1) với trục tung Ta có: x = 0 y =
1
1
m , do đó OA =
1
1
Gọi B là giao điểm của đờng thẳng (1) với trục hoành Ta có: y = 0 x =
2
1
m , do đó OB = 2
1
(0,25đ)
Gọi h là khoảng cách Từ O đến đờng thẳng (1) Ta có:
2
1 2
1 ) 2
3 ( 2 5 6 2 ) 2 ( ) 1 ( 1 1
2 2
OB OA
Suy ra h2 2 max h = 2 khi và chỉ khi m =
2
3
(0,25đ) Bài 6 (2,5 đ):
O
K
H
O a) (1 đ) Ta có BAK = AOH = α Từ tam giác vuông OHA, ta có AH =
OAsinα = asinα vα vậy AB = 2asinα vα (0,25 đ), mặt khác trong tam giác vuông
AKB thì AK = AB cosα suy ra AK = 2a.sinα vα.cosα (0,25) và BK = AB.sinα vα
nên BK = 2a.sinα v2α (0,5 đ)
b) (1,5đ) Với tam giác OKA : AK = OA sin AOK nên AK = asin2α
OK = OAcos AOK nên OK = acos2α (0,25 đ)
- Với tam giác AKB ta có : AK = asin2α mà BK = OB – OK= a – acos2α
hay BK = a(1 – cos2α) (0,25 đ)
Trang 3Theo Pitago thì AB2 = AK2 + BK2 = a2sin22α + a2(1 – cos2a2) = a2sinα v22 (1 2cos2 cos22 )
sin22α + cos22α = 1 nên AB2 = a2(1 + 1 – 2cos2α) = 2a2(1 - cos2α) (0,5 đ)
- So sánh giá trị của AK, ta có asin2α = 2a.sinα vα cosα vậy sin2α = 2sinα vα.cosα (0,25 đ)
- So sánh giá trị của BK ta có: 2a.sinα v2α = a(1 – cos2α) hay cos2α = 1 – 2sin2α (0,25 đ)
Bài 7 (2 đ)
A
D O
x K
Dựng tia Bx nằm trên nửa mặt phẳng không chứa điểm O với bờ là đờng thẳng
BC sao cho xBC = ABO Trên tia Bx lấy điểm K, sao cho BK = BO Do BOK
là tam giác vuông cân nên BKO = 45o Từ ABO = CBK, suy ra KC = OA
Đặt OA = a vì OA : OB : OC = 1 : 2 : 3 nên CK = a ; OB = BK = 2a, OC = 3a
Trong tam giác vuông OBK ta có OK2 = OB2 + BK2 = 8a2 Vì vậy OK2 + CK2
= 8a2 + a2 = 9a2 Mặt khác OC2 = 9a2 nh vậy, OC2 = OK2 +KC2 Theo định lí
Pitago đảo thì OKC vuông tại K hay OKC = 90o Vì CBK= ABO và BCK =
BAO, hơn nữa các góc này nhọn, nên K thuộc phần mặt phẳng giới hạn bởi hai
đờng thẳng song song AB và CD.Từ đó BKC = BKO + OKC = 45o + 90o =
135o Vì BKC = AOB suy ra AOB = 135o