Tieu chuan chia het cho tam thuc

TIÊU CHUẨN CHIA HẾT CỦA TAM THỨC m n

X  X 1 CHO CÁC TAM THỨC

2

X  X  1 VÀ X4  X2  1

TRẦN VĂN VUÔNG

Viện khoa học Giáo dục

- Trong bài toán này, chúng ta sẽ xác định những mối liên hệ chặt chẽ giữa tính chia hết của tam thức xm  xn 1 và tính chia hết của các số mũ m, n Nhưng tiêu chuẩn đó được ứng dụng để phân tích tam thức m n

x  x 1 thành nhân tử, rút gọn các phân thức,…

1 Tiêu chuẩn chia hết của tam thức xm  xn 1 cho tam thức x2  x 1 khi và chỉ khi mn2 chia hết cho 3

Chứng minh: Biểu diễn m, n dưới dạng:

x  x  1  (x 1) x  (x 1) x  x  x 1

Vì x3k 1 và x3l 1 cùng chia hết cho x3  1 (x 1) (x2 x 1)

Nên xm  xn 1 x2  x 1 khi và chỉ khi xm  xs 1 x2  x  1

Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta có:

x  x 1 x  x  1 khi và chỉ khi r 1, s 2,

hoặc r  2, s1

Mặt khác: mn 2(3k  r) (3l s)  2 3(3kl  ks lr) rs2

Nên mn2 3 khi và chỉ khi rs2 3

Nhưng rs 2 3  khi và chỉ khi r 1, s 2, hoặc r 2, s1

Vậy xm  xn 1 x 2  x 1  mn2  3

Hệ quả 1:xm  xn 1 x 2  x 1  n  1  3

Hệ quả 2:xm  xn 1 x 2  x 1  n1  3

2 Tiêu chuẩn chia hết của tam thức xm  xn 1 cho tam thức x2  x 1

Định lý 2:Tam thức m n

x  x 1 chia hết cho tam thức 2

x  x 1 khi và chỉ khi mn 2 và

mn cũng chia hết cho 6

Chứng minh: Biểu diễn m, n dưới dạng:

x  x  1 (x 1) x (x 1) x  x  x 1

Vì x6k  1 và x6l 1 cùng chia hết cho x6  1  (x3 1)(x 1)(x2  x 1)

Nên xm  xn 1 x 2   x 1 xr  xs 1 x 2  x 1

Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta có:

x  x 1 x    x 1 r 2, s 4 hoặc r 4, s 2

Mặt khác, ta có:

Nên mn2 6 và m n 6  rs 2 6 và r  s  6

Nhưng rs 2 6  và r  s  6 r 2, s4 hoặc r  4, s2

Vậy xm  xn 1 x2  x 1  mn 2 6 và m  n  6

Hệ quả 3:xn  x2 1 x 2  x 1  n 2 6

Hệ quả 4: Với mọi n tự nhiên, tam thức xn  x  1 không chia hết cho x2  x 1

3 Tiêu chuẩn chia hết của tam thức xm  xn 1 cho tam thức x2  x 1

Định lý 3: Tam thức m n

x  x 1 chia hết cho tam thức x2  x 1 khi và chỉ khi khi

mn2 và mn cũng chia hết cho 6

Chứng minh: Vì 4 2 2 2

x  x 1 x  x 1

và do đó theo định lí 2 ta phải có mn 2 và mn cũng chia hết cho 6

Ngược lại, nếu mn 2 và mn cùng chia hết cho 6 thì cũng theo định lí 2 ta có

x  x 1 x  x 1

Hơn nữa, khi mn2 6 ta cũng có mn2 3 nên theo định lí 1 ta có

x  x 1 x  x 1

Như vậy, nếu mn 2 và mn cùng chia hết cho 6 thì xm  xn 1 chia hết cho cả

2

x  x 1 lẫn x2  x 1 Mặt khác các đa thức x2  x 1 và x2  x 1 nguyên tố cùng

cho (x2  x 1)(x2  x 1)  x4  x2 1

Vậy xm  xn 1 x4  x2 1  mn 2 6 và m  n  6

Hệ quả 5:x6m4  x6n2 1 x4  x2 1

6m 4 6n 2 2

x   x  1 x  x 1

4 Ứng dụng

Ví dụ 1: Phân tích tam thức 7 5

x  x 1 thành nhân tử

Giải: Theo định lí 1 ta có x7  x5 1 x 2  x  1 Do đó

x  x  1 (x  x 1) (x  x  x  x 1)

Ví dụ 2: Phân tích tam thức x8  x4 1 thành nhân tử

Giải: Theo định lí 3 ta có x8  x4 1 x 4  x2 1 Do đó

Ví dụ 3: Rút gọn phân thức

8 4

10 2

Giải: Theo định lí 2, cả tử thức lẫn mẫu thức đều chia hết cho x4  x2 1 Do đó:

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k, l ta có 23k1  23l1 1 là hợp

số

Giải: Đặt m 3k1, n3l 1, ta có:

mn  1  (3k 1)(3l 1) 1 9kl 3k 3l 3 nên theo định lí 1 thì

3k 1 3l 1 2

2   2  1 2  2 1 (đ.p.c.m)

5 Bài tập

1) CMR x3000  x2000  x1000 x4  x2 1

2) CMR nếu xm  xn 1 x2  x 1 thì x2m  x2n 1 x2  x 1

3) Phân tích tam thức x16 x14 1 thành nhân tử

4) Rút gọn phân thức

11

7 2

5) CMR nếu xm  xn 1  x2  x 1 thì phương trình xm  xn  1 0 không có

nghiệm số thực

6) Cho m, n, k là ba số nguyên dương Hỏi k3m1  k3n2 1 có phải là hợp số hay không?