- Không tồn tại số có năm chữ số thỏa mãn yêu cầu... Do đó, N là trung điểm của cạnh SD... BC CA AB Diện tích tứ giác AEIF là AEIF.. 0,5 Tương tự, diện tích các tứ giác BDIF CDIE lần lượ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT - NĂM HỌC 2017 - 2018 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn: Toán – Bảng B
(Hướng dẫn chấm này gồm 05 trang)
Câu 1
(2,5 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C
và d là x3+ -x2 x+ =2 kx+2 (1)
2
0
1 0 (2)
é = ê
Û ê + - - =ëx x x k
0,5
d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
Û phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
5 0
(*) 4
1 0
1
k k
k
ìï
ìD > ï
ï
ï- - ¹ ï
ïî ï ¹ -ïî
0,5
Khi đó, x x là các nghiệm của phương trình (2) nên 1, 2
1 2
1
ì + =-ïï
íï =
-ïî (3) 0,5
x - k+ x =x xé + - -x k - x + ù=- x x +
Do đó,
2 0
2
2 0 1
+ +
2( 1) 1
1 1 1
- -
- - - +
k
do k
Û k=0
0,25
0,5
Câu 2
(2,0 điểm) Điều kiện:
1
x³ - Phương trình đã cho tương đương với (x+2) ( x+ -1 2)=3 2x+ -1 3 0,25
Û (x+1) x+ +1 x+ =1 2x+ +1 3 2x+1 (1) 0,5 Xét hàm số f t( )= +t3 t; f t'( )=3t2+ >1 0, " t
Suy ra hàm số f t( ) liên tục và đồng biến trên ¡ 0,25 Khi đó, phương trình (1)Û f( x+ =1) f(3 2x+ Û1) x+ =1 32x+1 0,25
1
0
2
x
x
x
x
x
ìïï ³ -ï
ï ë ïî
0,5
Đối chiếu điều kiện, nghiệm của phương trình đã cho là
2
=
và x=0 0,25
Trang 2Câu 3
(2,5 điểm) Điều kiện: x 2 k , (k ).
p p
Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với phương trình
2
1
cos
x
0,5
2 2 3
é = + ê
ê Û
ê =± + ê
Tổng hợp nghiệm, ta có
2
x= +p k p
Vì 0£ £x 43p nên
1
64
2 k
Do đó, k nhận mọi giá trị thuộc {0 , 1, 2 , ,64 K }
0,5
Trên đoạn [0 ; 43p], phương trình đã cho có 65 nghiệm, lập thành cấp số cộng có số hạng
đầu x1 3
p
=
và số hạng thứ 65 là x65=43 p
0,5
Vậy tổng các nghiệm là
( 1 65)
x x
Câu 4
(2,0 điểm) Số lượng các số của tập T gồm ba chữ số là:
5.4.3
Số lượng các số của tập T gồm bốn chữ số là: 5.4.3.2
Số lượng các số của tập T gồm năm chữ số là: 5.4.3.2.1
Vậy số phần tử của không gian mẫu là n( )W =5.4.3 5.4.3.2 5.4.3.2.1 300+ + =
0,5
Gọi A là biến cố “Số được chọn có tổng các chữ số bằng 10”
- Các số gồm ba chữ số có tổng bằng 10 được lập từ các bộ số {1; 4;5 hoÆc 2;3;5} { }.
Vậy số lượng số có ba chữ số thỏa mãn yêu cầu là 2.3! 12=
0,5
- Các số gồm bốn chữ số có tổng bằng 10 được lập từ bộ số {1; 2; 3; 4} Vậy số lượng
số có bốn chữ số thỏa mãn yêu cầu là 4! 24=
- Không tồn tại số có năm chữ số thỏa mãn yêu cầu
0,5
Vậy xác suất để chọn được số có tổng các chữ số bằng 10 là
( ) 2.3! 4! 36 3
300 300 25
Câu 5
é = ê
ê =-ë
17
20(lo¹i)
n
Với n=17 thì P x( )= +(1 x)(1 2 ) + x 17
0,75 0,25
Ta có, (1 2 )+ x 17 = +a0 a x1 + +L a x17 17, trong đó 2k 17k, 0,17
k
Do đó, P x( )= +a0 (a0+a x1) +(a1+a x2) 2+ +L (a16+a x17) 17+a x17 18.
Ta có 1 2k 17k 2k 1 17k 1 1 12
1 2k 17k 2k 1 17k 1 11
+
Suy ra a12=a11>a10> >K a và 0 a12>a13>a14> >K a17.
0,25 0,25
0,25
Trang 3Bởi vậy, a11+a12>a10+a11> +a9 a10> > + >K a0 a1 a và 0
a12+a13>a13+a14>a14+a15> >K a16+a17>a17
Mặt khác, a11>a13
0,25
Vậy hệ số lớn nhất của ( )P x là a11+a12 =211C1711+212C1712=50 692 096. 0,5
Câu 6
(2,0 điểm)
Điều kiện:
2 2
2
2
x
x
é £ -ê ê
ê ³ ê
Đặt
2 2
1 log (2 3 1), 2
do ³ 1x nên ³ 1t .
0,5
Bất phương trình trở thành
2
1
t
t
+ < Û <
+ tÎ [1;+¥ )
Xét hàm số
2
+
0,5
2
t
f t
t
é=
ê
= Û
ê=-ë Bảng biến thiên
0,5
Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x³ 1 khi và chỉ khi
[min ( )1; ) 1
+¥
< Û <
Câu 7
(1,5 điểm)
Từ cách xác định dãy suy ra u n> và 0 1
, 2
-= + " ³
n
Đặt
1
n n
v u
= , ta có
1
1
1
3
2
v
ì = ïï ïí
ï = + " ³ ïïî
0,5
Đặt
1
1
5 3
2
x
ìïï = ï
= + Þ í
ïï = " ³
Dãy ( )x n là cấp số nhân nên 5.2n 2
n
2 5.2 3
Vậy
4 lim (2 )
5
n n
Câu 8
(1,0 điểm) Không mất tính tổng quát, đặt z=min x y z{ , , } Ta có : x³ - >x z 0, y³ y z– > 0 0,25
Trang 4Suy ra : A ≥
x y
Đặt
( )2 2 2
2
xy
x y
0,25
Đặt
( )2
0
x y t
xy
t
+ + +
=
=
( )= + + +4 5, f = 0 ;+¥
( ) ( 2 )
2
f t t
( ) 0, 5 1
2
f
f t¢ = t DÎ Û =t
-Bảng biến thiên :
0,25
Vậy min min ( ) 11 5 5
2
f
D
khi
( )2
5 1 2
xy
-=
, z=0 và các hoán vị của , ,
x y z
0,25
Nhận xét:
Phương trình
( )2
5 1 2
xy
-=
luôn có nghiệm ,x y> phân biệt 0
Câu 9
(2,5 điểm) a) Hai mặt phẳng (
)
MBC và ( SAD lần lượt chứa hai đường thẳng song song ) BC và
AD nên MN/ /AD Do đó, N là trung điểm của cạnh SD
0,5
Trang 5A
D
M
N O
2
V
;
.
.
S MBC
S MBC
S ABC
V
.
.
8
S MCN
S MCN
S ACD
V
3 8
Vậy
3
8
V
V
¢
=
Trang 6Dễ thấy DSAC= DBACÞ SO=BOÞ DBSD vuông tại S.
Do đó
2
BD= a +SD Þ OB= a +SD
Mà OA= AB2- OB2 Suy ra 2 1( 2 2)
4
Vì AO ⊥ (SBD) nên
2
a
Mà
2
Câu 10
(1,5 điểm)
0,25
Gọi , ,D E F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp DABC với các cạnh
, ,
BC CA AB Diện tích tứ giác AEIF là
AEIF
0,5
Tương tự, diện tích các tứ giác BDIF CDIE lần lượt là,
Do đó,
1
ABC
T
Lưu ý: Học sinh có cách giải khác, nếu đúng đều cho điểm tối đa theo từng bước.