Đề thi học kì 2 toán 9 quận 1 năm 2017 2018 có đáp án

Biết rằng khi vận tốc gió bằng 2m/s thì tác động lên cánh thuyền buồm của một con thuyền bằng 120N Niu-tơn.. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB vẽ các nửa đường tròn có đườ

ỦY BAN NHÂN DÂN QUẬN 1

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề có 02 trang)

KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2017 – 2018 MÔN: TOÁN – KHỐI 9 Thời gian làm bài: 90 phút

(Không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (1 điểm) Cho (P):y=−

x2

2 Vẽ đồ thị (P) lên mặt phẳng Oxy Tìm tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d):y=

x

2−3

Bài 2: (1,5 điểm) Cho phương trình (x ẩn số): x2+(m+2) x +m+1=0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị m

b) Tìm các giá trị m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn: x1

2

+x22=26

Bài 3: (1 điểm) Lực F của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc v

của gió, tức là F = a.v2 (a là hằng số) Biết rằng khi vận tốc gió bằng 2m/s thì tác động lên cánh thuyền buồm của một con thuyền bằng 120N (Niu-tơn) Tính hằng số a rồi cho biết con thuyền có thể đi được trong gió bão với vận tốc 90km/h hay không? Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa

là 12 000N

Bài 4: (1 điểm) Một chiếc cầu được thiết kế như hình 21, chiều cao MK = 6m, bán kính của đường tròn

chứa cung AMB là 78m Tính độ dài AB

Bài 5: (1,5 điểm) Bạn Tuất tiêu thụ 12 ca-lo cho mỗi phút bơi và 8 ca-lo cho mỗi phút chạy bộ Bạn Tuất

cần tiêu thụ tổng cộng 600 ca-lo trong 1 giờ với hai hoạt động trên Vậy bạn Tuất cần bao nhiêu thời gian cho mỗi hoạt động?

Bài 6: (1 điểm) Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là

đường thẳng AB vẽ các nửa đường tròn có đường kính lần lượt AB, BC, AC (xem hình vẽ)

đường số 2 đường số 1

C B

A

Hai con robot chạy từ A đến C, con robot thứ nhất chạy theo đường số 1 (nửa đường tròn đường kính AC), con robot thứ hai chạy theo đường số 2 (hai nửa đường tròn đường kính AB, BC) Biết chúng xuất phát cùng một thời điểm tại A và chạy cùng vận tốc không đổi Cả hai con robot cùng đến C một lúc

Em hãy giải thích vì sao?

Bài 7: (3 điểm) Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC

của đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm) Vẽ cát tuyến ADE của đường tròn (O) (D, E thuộc đường tròn (O); D nằm giữa A và E, tia AD nằm giữa hai tia AB, AO)

a) Chứng minh rằng: ∆ABD ∽ ∆AEB và AB2 = AD.AE

b) Gọi H là giao điểm của AO và BC Chứng minh rằng ∆AHD ∽ ∆AEO và tứ giác DEOH nội tiếp

c) Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt BC tại M Gọi N là giao điểm của OM và DE Chứng minh rằng:

1

DM2 + 1

OD2= 4

DE2

GỢI Ý ĐÁP ÁN

Bài 1: (1 điểm) Cho (P):y=−

x2

2 Vẽ đồ thị (P) lên mặt phẳng Oxy Tìm tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d):y=

x

2−3

Bài giải:

 Học sinh tự vẽ đồ thị

 Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) có dạng: −

x2

2=

x

2−3

⇔−x2=x−6⇔ x2+x−6=0 (*)

 Ta giải phương trình (*) được 2 nghiệm là x = 2 và x=−3

 Thay x = 2 vào (P) ta được y=−

22

2=−2

 Thay x=−3 vào (P) ta được y=−

(−3)2

2 =−

9 2

 Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (2;−2),(−3;−9

2)

Bài 2: (1,5 điểm) Cho phương trình (x ẩn số): x2+(m+2) x +m+1=0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị m

Bài giải:

 Phương trình có: a=1;b=m+2;c=m+1

 Xét: Δ=b2− 4ac=(m+2)2− 4 1 (m+1)=m2+ 4m+4−4m−4=m2≥0, ∀ m

 Vì Δ≥0,∀m nên phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị m

b) Tìm các giá trị m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn: x1

2

+x22=26

Bài giải:

 Theo câu a, với mọi m phương trình luôn có 2 nghiệm x1, x2 nên thỏa hệ thức Vi-ét:

{x1+x2=−b

a=−

m+2

1 =−(m+2)

x1x2=c

a=

m+1

1 =m+1

 Theo đề bài, ta có: x1

2

+x22=26

⇔(x1+x2)2−2x1x2−26=0

⇔[−(m+2)]2−2(m+1)−26=0

(do hệ thức Vi-ét)

⇔ m2+ 4m+4−2m−2−26=0

⇔ m2+2m−24=0 (¿)

 Ta giải phương trình (*) được 2 nghiệm là m = 4 và m=−6

 Vậy m = 4 và m=−6 là các giá trị cần tìm

Bài 3: (1 điểm) Lực F của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc v

của gió, tức là F = a.v2 (a là hằng số) Biết rằng khi vận tốc gió bằng 2m/s thì tác động lên cánh thuyền

buồm của một con thuyền bằng 120N (Niu-tơn) Tính hằng số a rồi cho biết con thuyền có thể đi được trong gió bão với vận tốc 90km/h hay không? Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa

là 12 000N

Bài giải:

 Thay v = 2 và F = 120 vào F = a.v2 ta được 120 = a.22 ⇔ a = 30

 Đổi đơn vị: 90km/h = 25m/s

 Thay a = 30 và v = 25 vào F = a.v2 ta được F = 30.252 = 18750N > 12000N

 Vậy con thuyền không thể đi được

Bài 4: (1 điểm) Một chiếc cầu được thiết kế như hình 21, chiều cao MK = 6m, bán kính của đường tròn

chứa cung AMB là 78m Tính độ dài AB

K

B

M A

Bài giải:

 Hình vẽ minh họa cho bài toán:

K

O

B

M A

 Gọi O là tâm của đường tròn chứa cung AMB

 Ta có: OK = OM – MK = 78 – 6 = 72m

 Xét ∆OKA vuông tại K, ta có: OA2=OK2+KA2 (định lí Pytago)

⇒KA2=OA2−OK2=782−722=6084−5184=900

⇒ KA= √ 900=30m

 Ta có: AB = 2.KA = 2.30 = 60m

 Vậy độ dài AB = 60m

Bài 5: (1,5 điểm) Bạn Tuất tiêu thụ 12 ca-lo cho mỗi phút bơi và 8 ca-lo cho mỗi phút chạy bộ Bạn Tuất

cần tiêu thụ tổng cộng 600 ca-lo trong 1 giờ với hai hoạt động trên Vậy bạn Tuất cần bao nhiêu thời gian cho mỗi hoạt động?

Bài giải:

 Gọi x (phút), y (phút) lần lượt là thời gian hoạt động bơi và chạy bộ (x > 0, y > 0)

 Theo đề bài, ta có hệ phương trình: { 12x +8y=600 x+ y=60 (*)

 Ta giải hệ phương trình (*) được: { x=30 y=30 (nhận)

 Vậy bạn Tuất cần cho thời gian bơi là 30 phút và chạy bộ là 30 phút

Bài 6: (1 điểm) Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là

đường thẳng AB vẽ các nửa đường tròn có đường kính lần lượt AB, BC, AC (xem hình vẽ)

đường số 2 đường số 1

C B

A

Hai con robot chạy từ A đến C, con robot thứ nhất chạy theo đường số 1 (nửa đường tròn đường kính AC), con robot thứ hai chạy theo đường số 2 (hai nửa đường tròn đường kính AB, BC) Biết chúng xuất phát cùng một thời điểm tại A và chạy cùng vận tốc không đổi Cả hai con robot cùng đến C một lúc

Em hãy giải thích vì sao?

Bài giải:

 Chiều dài đường số 1 là: l1=

1

2.C( AC)=1

2.π .AC

 Chiều dài đường số 2 là: l2=

1

2.C( AB)+1

2.C( BC)=1

2.(π AB+π BC)=

1

2π (AB+BC)=

1

2π AC

⇒l1=l2 (¿1

2π AC)

⇒ Quãng đường của 2 con robot bằng nhau

 Mà 2 con robot xuất phát từ A và cùng vận tốc

 Vậy hai con robot cùng đến C một lúc

Bài 7: (3 điểm) Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC

của đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm) Vẽ cát tuyến ADE của đường tròn (O) (D, E thuộc đường tròn (O); D nằm giữa A và E, tia AD nằm giữa hai tia AB, AO)

a) Chứng minh rằng: ∆ABD ∽ ∆AEB và AB2 = AD.AE

Bài giải:

E D

B

C

 Xét ∆ABD và ∆AEB có:

B ^A E : chung

A ^B D=A ^E B (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

⇒ ∆ABD ∽ ∆AEB (g.g)

⇒AB

AE =

AD

AB (= tỉ số đồng dạng)

⇒AB2=AD AE (đpcm) (1)

b) Gọi H là giao điểm của AO và BC Chứng minh rằng ∆AHD ∽ ∆AEO và tứ giác DEOH nội tiếp

Bài giải:

H

O A

C

B

D

E

 Ta có: AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau); OB = OC (= R)

⇒ OA là trung trực của BC

⇒ OA ¿ BC tại H

 Xét ∆ABO vuông tại B (vì AB là tiếp tuyến của (O) nên AB ¿ OB) và có BH là đường cao

⇒AB2=AH AO (hệ thức lượng) (2)

 Từ (1) và (2) ⇒ AD AE=AH AO (¿AB2) (3)

 Xét ∆AHD và ∆AEO có:

O ^A E : chung

AD

AO=

AH

AE (do (3))

⇒ ∆AHD ∽ ∆AEO (c.g.c)

⇒ A ^H D= A ^EO (2 góc tương ứng) (4)

⇒ Tứ giác DEOH nội tiếp (tứ giác có góc trong bằng góc đối ngoài)

c) Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt BC tại M Gọi N là giao điểm của OM và DE Chứng

minh rằng:

1

DM2 + 1

OD2= 4

DE2

Bài giải: (xem chi tiết giaidethi24h.net )

N

M

E D

B

C

 Xét tứ giác MDHO có:

M ^D O+M ^H O=900+900=1800 (vì MD là tiếp tuyến của (O) nên MD ¿ OD; OA ¿

BC)

⇒ Tứ giác MDHO nội tiếp (tổng 2 góc đối bằng 1800)

⇒ D ^M O=A ^H D (góc trong bằng góc đối ngoài) (5)