Bài soạn số học nguyệt

Tính chia hết trong tập hợp số nguyên... PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬPI... là số nguyên nên suy ra đpcm... Cho các số nguyên dương... Chứng minh rằng... Chứng minh rằng... Chư

PHẦN I: CÁC KIẾN THỨC LÝ THUYẾT CƠ BẢN TRONG SỐ HỌC

I Tính chia hết trong tập hợp số nguyên.

Định nghĩa 1: Với hai số nguyên a b, , ta nói a chia hết cho b (hay a là bội của b,hay b chia hết a, hay b là ước của a nếu tồn tại số nguyên k sao cho a kb= .

Kihiệu là a bM Ngược lại, ta nói rằng a không chia hết cho b

Định nghĩa 2: Số nguyên dương p>1

được gọi là số nguyên tố nếu nó chỉ có haiước số là 1 và

.

p

Các tinh chất cơ bản của tinh chia hết:

1/ Nếu a b, nguyên dương mà a thì a b≥

Định nghĩa 5: Cho n số nguyên dương 1 2

Thế thì (ma mb, )=m a b( , );[ma, mb]=m a b[ , ]

4/ Giả sử ( , )a b dM thì

1 ( ; )a b ( , )a b

d d =d

5/ Hai số a b, được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ( , ) 1.a b = Cho a b c, ,

+

∈ ¢

sao cho

ab cM

Khi đó, nếu ( , ) 1a c = thì b cM

6/ Hai số nguyên liên tiếp thì nguyên tố cùng nhau

7/ Nếu d =( , )a b thì tồn tại các số nguyên x y, sao cho ax by d+ = .

8/ a b, nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại x y, ∈¢ sao cho ax by+ =1.

III SỐ NGUYÊN TỐ

Định lí cơ bản của số học: Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1 Khi đó n luôncó thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

Định lí Euclid Tồn tại vô hạn số nguyên tố

Định lí cơ bản về mối liên hệ giữa tính chia hết và số nguyên tố Giả sử a b,

+

∈ ¢

và p là số nguyên tố sao cho ab pM Khi đó ta phải có hoặc a pM hoặc b pM.

IV ĐỒNG DƯ

Định nghĩa 6 Cho a b, ;m

+

∈ ¢ ∈ ¢

Ta nói a đồng dư với b môđun (môđunlô) mvà

ki hiệu a b≡ (mod )m khi và chỉ khi (a b− ) mM

Các tính chất cơ bản của đồng dư

2/ Nếu p là số nguyên tố và ab≡0(mod p) thì a≡0(mod p) hoặc b≡0(mod p)

V MỘT VÀI ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA SỐ HỌC

Định lí Fermat Nếu

1

{ , ,r r p−} {1, 2, , = p− 1}

Suy ra

1 2 (p 1) ap (1.2 (p 1)(modp)

Định lí Willson p là số nguyên tố khi và chỉ khi (p− +1)! 1 chia hết cho p

Định lí Fermat- Euler Nếu p=4k+1 thì tồn tại a b, ∈¢ sao cho

2 2

p a= +b

Định lí phần dư Trung Hoa Giả sử r và s là các số nguyên dương nguyên tốcùng nhau, a và b là hai số nguyên tùy ý Khi đó, tồn tại một số nguyên N sao

cho N≡a(mod r) và N b≡ (mod s) Ngoài ra N được xác định một cách duynhất(theo nghĩa môđun rs )

n = n

6/ Nếu n∈ ¥

thì n x[ ] [ ]≤ nx

7/ Với mọi số tự nhiên n và q q( ≠0) thì

12/ Nếu số nguyên tố q có mặt trong phân tich ra thừa số nguyên tố của số n! thì

số mũ cao nhất của

2

x =x+ 

 

 

VII VÀI HÀM SỐ HỌC THÔNG DỤNG

Ngoài hàm phần nguyên, hàm phần lẻ đã nên ở trên, trong Số học ta còn dùng cáchàm quan trọng sau đây

1 Hàm

( )n

σ

là số các số nguyên dương không

vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n.

Tính chất:

1/ Hàm φ( )n

là hàm nhân tinh

2/ Định lí Euler Nếu m

PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP

I CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHIA HẾT

Có một số phương pháp giải các bài toán chia hết như sau:

1- Áp dụng Định lí Fermat nhỏ và các tính chất của chia hết.

2- Phương pháp xét số dư

3- Phương pháp phân tích

4- Phương pháp đồng dư thức

5- Phương pháp quy nạp

6- Sử dụng nguyên lí Dirichlet

7- Phương pháp phản chứng

Dạng 1 Các bài toán giải bằng cách áp dụng Định lí Fermat nhỏ và các tính chất của chia hết

Bài 1 Cho a b, ∈¥. Chứng minh rằng

Chứng minh rằng (16a+17 )(17 a 16 b) 121.b + M

HD: Vì 11 là số nguyên tố nên nếu (16a+17 )(17 a 16 b) 11.b + M

Bài 4 Cho p q, là hai số nguyên tố phân biệt Chứng minh rằng

Suy ra đpcm

Bài 5 Chứng minh rằng tich của

n

số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n!

HD: Giả sử m+1,m+2, ,m n+ là n số tự nhiên liên tiếp

là số nguyên nên suy ra đpcm

Bài 6 Chứng minh rằng

C

và 3

n n

C

Bài 7 Chứng minh rằng nếu n là hợp số lớn hơn 4 thì (n−1)!Mn

Bài 8 Tìm số nguyên dương n lớn nhất thỏa mãn

Bài 10 Chứng minh rằng

chia hết cho 5

- Nếu trong 3 số có một số chia hết cho 5 thì ta có điều cần chứng minh

- Nếu không có số nào trong 3 số đã cho chia hết cho 5 Khi đó mỗi số đó thuộcmột trong các dạng 5k±1

, trong đó n=1.2 (p−1) nguyên

tố cùng nhau với p. Suy ra

.

p a n b m p an p a p

Bài tập đề nghị

1/ Chứng minh rằng

- Cần chứng minh n n(2 +7)(7n+1) 3M

- Xét 3 trường hợp đồng dư của n theo mod 3

Bài 6 Chứng minh rằng với mọi a b, ∈¥ thì

Bài 7 Chứng minh rằng (p−1)(p+1) 24M

là số nguyên tố lớn hơn 3

Bài 8 Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên a để

trong đó n là số nguyên dương chia hết cho 184 không

Bài 12 Cho các số nguyên dương

Bài 10 Chứng minh rằng

Bài 16 Biết rằng số

Bài 17 Nếu n lẻ thì

x +y

chia hết cho x y+

Áp dụng: Chứng minh

2015 2015 2015

1 + 2 + + 1000

chia hết cho 1001

Bài 19 Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n, tồn tại số tự nhiên x sao cho mỗi số hạng trong dãy 1, 1, 1,

Dạng 4 Sử dụng phương pháp tách tổng

Lưu ý: Từ hằng đẳng thức

Chứng minh rằng pM2003

HD: Để ý thấy 2003 là số nguyên tố Ta có

Và từ np=2003mq suy ra npM2003⇒ pM2003

Bài 7 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên

vì nó vừa chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 3

Bài 9(Hungary MO1947) Chứng minh rằng

Bài 16 Chứng minh rằng số

Dạng 5 Sử dụng phương pháp xét đồng dư

Lưu ý: - Nếu

Bài 3 Viết liên tiếp các số

có tận cùng bằng 9)

Bài 6 Chứng minh rằng

Bài 8 Viết liên tiếp 2000 số 1999 ta được số

Bài 11 Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên chẵn thì 13 6

n+

chia hết cho 7

Bài 12 Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một số chinh phương là tich của 4 số lẻ

liên tiếp

HD: Giả sử 4 số lẻ liên tiếp là 2n−3, 2 n 1, 2− n+1, 2n+3 Tich

(2n− 3)(2 n 1)(2 − n+ 1)(2n+ 3)

là số chinh phương khi và chỉ khi n=0.

Bài 13 Tìm phần dư khi chia

1987 6

Bài 2 Chứng minh rằng số được số được tạo bởi 3

n

chữ số giống nhau thì chia hếtcho 3

n

HD: - Với n=1, bài toán hiển nhiên đúng

- Giả sử bài toán đúng với n k= .

Tức là

{ 3

nên ta được điều cần chứng minh

Bài 3 Chứng minh rằng với mọi

Bài 7 Có tồn tại hay không một số nguyên dương là bội của 2007 và có tận cùng

Dạng bài tập sử dụng nguyên lí Dirichlet

Định lí Dirrichlet: Nhốt m nk= +1

con thỏ vào k chuồng (k n< ) thì tồn tại chuồngchứa it nhất n+1

con thỏ

Định lí(Áp dụng vào số học) Trong m nk= +1

số có it nhất n+1

số chia k có cùngsố dư

Bài 1 Chứng minh rằng luôn tồn tại số có dạng 20152015 201500 0 và chia hếtcho 2016

HD: Lấy 2017 số gồm các số

2017 2015

2015, 20152015, , 20152015 2015

sô

1 4 4 2 4 4 3

- Khi chia lần lượt 2017 số này cho 2016, theo nguyên li Dirichlet, tồn tại hai số có

cùng số dư khi chia cho 2016 Giả sử hai số đó là 2015

chia hết cho 2016

Bài 2 Chứng minh rằng trong 101 số nguyên bất kì có thể tìm được hai số có 2

chữ số tận cùng giống nhau

Bài 3 Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho 2016 1

k −

chia hết cho

10 2017

Giả sử hai số đó

Bài 5 Chứng minh rằng trong 52 số nguyên dương bất kì luôn luôn tìm được hai

số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 100

Dạng bài tập sử dụng phương pháp phản chứng

Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì

2 1

n + +n

không chia hết cho 9

Phản chứng: Giả sử

chia 9 có dư 3

Bài 2 Giả sử .2 1

HD Giả sử x Mp⇒y Mp Theo định li Fermat nhỏ

Ta có một mâu thuẫn.

Bài 3 Chứng minh rằng

không chia hết cho 125 với mọi n∈ ¥

Bài 6 Chứng minh rằng

3 3 38

n + n−

không chia hết cho 49 vơi mọi n∈ ¥

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1 Biết rằng 3 số

đều lẻ nên k chẵn

- Vì cả 3 số a a k a, + , +2k đều không chia hết cho 3 nên phải có it nhất 2 số đồng dư

theo mod 3 Có 3 TH và mỗi trường hợp đều suy ra

3

kM

- Suy ra kM6

Bài 2 Trong năm số tự nhiên bất kì, tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3.(Kết quả

vẫn còn đúng trong trường hợp nhiều hơn 5 số)

HD: Có 2 trường hợp:

- TH1: Trong 5 số có it nhất 3 số có cùng số dư khi chia cho 3, ta lấy 3 số trongnhóm này Vì nếu 3 số có cùng số dư khi chia cho 3 thì tổng của chúng chia hết cho3

-TH2: Có 3 số có số dư đôi một khác nhau khi chi cho 3(3 số dư là 0,1,2) Khi đótổng của chúng chia hết cho 3

Mở rộng vấn đề: Nếu 8 số thì đầu tiên có 3 số trong 8 số đó có tổng chia hết cho

3, còn lại 5 số cũng có 3 trong chúng có tổng chia hết cho 3 Tức là trong 8 số bất kì có thể lấy đực 2 bộ, mỗi bộ gồm 3 số có tổng chia hết cho 3.

Bài 2’ Giả sử 1 2 17

HD: - Ta chia 17 số thành 3 nhóm, mỗi nhóm lần lượt gồm 5,5,7 số(hoặc gồm 5,6,6số)

- Theo bài 2, trong mỗi nhóm luôn tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3 Ta gọi 3 tổnglần lượt là 1 2 3

Nhận xét: Giả thiết 1 2 17

HD: Ta có nhận xét: ∀ ∈n ¥,n S n≡ ( )(mod 9)

- Theo đề S(a) S(b) 28 1(mod 9)= = ≡ Suy ra a b≡ ≡1(mod 9) và a b− M9

- Nếu a bM, giả sử a kp= thì vì 1000000<a b, <8000000 nên 1<k<8.

- Giả sử b=9m+ ⇒ =1 a k m(9 + ≡1) k(mod 9) Suy ra k ≡1(mod 9)(>< với 1<k<8)

Bài 4 Xét 100 số tự nhiên liên tiếp 1,2,3,…,100 Gọi A là số thu được bằng cách xếp(một cách tùy ý)100 số trên liền thành một dãy Gọi B là số thu được từ A bằng cách đặt các dấu cộng(một cách tùy ý) vào giữa các chữ số A. Chứng minh rằng A và B đều không chia hết cho 2017.

HD: Từ 1 đến 100 có tất cả 21 chữ số 1,20 chữ số 2,…,20 chữ số 9

Ta có S A( ) 21 20(2 9) 901= + + + = không chia hết cho 3 nên S A( ) không chia hếtcho 2017, suy ra A không chia hết cho 2017

- Giả sử sau khi đặt một cách tùy ý một số dấu cộng vào giữa các chữ số của A tađược số 1 2

n

B b b= + + +b

Khi đó, 1 2

n(mod 3)

B b b≡ + + +b 1 ( )(mod 3)

n i i

được viết trong hệ thập phân bởi n số

2002 liên tiếp nhau.

1 Chứng minh tồn tại số nguyên dương n<2002

HD: 1 Ta có

4 4

(10 ) 1 2002.

Bài 5’ Xét số tự nhiên

Bài 6 Giả sử a b, là các số nguyên dương sao cho 2a−1, 2b−1,a b+ đều là các số nguyên tố Chứng minh rằng

đều không chia hết cho a b+

HD: Nhận xét rằng a>1;b>1;a b+ lẻ Không mất tổng quát, giả sử chẵn, lẻ

- Ta có b lẻ nên ( ) ( ).

Khi đó p+q= 6k

12 M

Bài 10 Cho 5 số nguyên phân biệt 1 2 3 4 5

3 2

P P







M M

- Nguyên li Diirichle : Trong (n+1) số bất kì, tồn tại it nhất 2 số có hiệu chia hếtcho n

PM

- Trong các thừa số của P có ít nhất 4 thừ số chia hết cho 2, trong số 4 thừa số đó có ít nhất một thừa số chia hết cho 4 Suy ra

5 2

- Có đúng m tich trong số 1 2 2 3 1 1

và số này chỉ viết bởi các chữ số1 và 2

HD: Nhận xét: Từ

- Giả sử kết luận đúng với n k= .

Tức là tồn tại A gồm k chữ số toàn là 1 và 2 mà

Bài 15 Chứng minh rằng có vô số chia hết cho

11 19

mà trong biểu diễn thập phân của các số đó không có các chữ số 0,1,2,3.

HD: - Gọi a là số tự nhiên có k chữ số mà trong biểu diễn thập phân của nókhông có các chữ số 0,1,2,3

- Xét số a aa aaa, , , ,

- Theo nguyên li Dirichlet có it nhất hai số khi chia cho

2016

11 19

có cùng số dư.

- Giả sử hai số đó là và (n m>

nên Suy ra đpcm vì sự tồn tại của a là vô số

Nhận xét: - Các số 0,1,2,3 ở đây không có vai trò gì hết, có thể thay bằng các sốkhác

- Số có thể được thay bằng số khác miễn là số đó nguyên tố cùng nhau với 10

Bài 16 Chứng minh rằng số 2 6 8 9 ,

A= + + + n∈ ¢+

chia hết cho 5 khi và chỉ khi

n

không chia hết cho 4.

HD: - Dễ thấy, nếu n không chia hết cho 4 thì AM5

- Ngược lại, nếu AM5 Biểu diễn n= +4t r t, ∈¥ và r∈{0,1, 2,3}

Xét trường hợp r=0

Nhận xét: Số 6 có thể được thay bằng 2016(chia 5 dư 1), tương tự với các số còn

, suy ra 3 1(mod )≡ p ⇒ =p 2. Tức là, n là số chẵn

Bài 18 Cho x y p, , ∈¢ và p>1 sao cho

đều chia hết cho p. Chứng

minh rằng số A= + +1 x y không chia hết cho p.

HD: Gọi q là một ước nguyên tố của p. Nhận xét q≥2.

đều chia hết cho p suy ra x y, đều chia hết cho q.

- Do đó, nếu A pM thì A qM ⇒ =q 1

b a

thỏa yêu cầu

- Giả sử kết luận của bài toán đúng với n k=

, tức là tồn tại số tự nhiên k

Bài 22 Cho n là số nguyên >1 Chứng minh rằng

chia hết mp thì m n−

cũng chia hết np.

chia hết cho 3 thì a và b đều chia hết cho 3

Bài 26 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên chẵn n và mọi số tự nhiên lẻ k thì

- Có thể li luận cách khác:

*)TH1: n là số nguyên tố

Theo định li Wilson (n−1)!≡ −1(mod )n ⇔ − + ≡(n 1)! 1 n

Nhận xét: Ta có thể thay 2003 bởi một số nguyên tố khác.

Bài 31 Giả sử 1 2

thì 1 2

x +x

là số nguyên và không chia hết cho 5

HD: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

- Với n=0,1,2 thì Mệnh đề đúng

- Gọi n là số tự nhiên sao cho 1 2

Ta có điều mâu thuẫn

Bài 32 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho

đồng thời chi hết hoặc không chia hết cho 7.

Bài 32 Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho

7 7

Nhận xét: Có thể thay 2002 bởi 2017

Bài 36 Viết số

2004 2003

thành tổng các số nguyên dương Đem tổng các lậpphương tất cả các số hạng đó chia cho 3 thì được dư bao nhiêu

Nhận xét A B≡ (mod 3) Đáp số B≡1(mod 3)

Nhận xét: - Có thể tổng quát, thay 2003 bởi 2017 và thay số 3 bởi số 7, tổng cáclập phương thay bởi tổng lũy thừa bậc 7

Bài 38 Tìm tất cả các số nguyên dương p q r, , sao cho 1 p q r< < < và

(pqr− 1) (p 1)(q 1)(r 1) M − − −

HD: Đặt

1 (1 )(1 )(1 )

pqr R

- R nghịch biến theo p q r, , và R>1

Trường hợp 1: Nếu p≥4 thì

Trường hợp 2: Nếu p=3 thì

3.5.7 1 104 (3,5,7)

q qr

2 (2, 4,6)

3 15

q qr

Kết luận: Có hai bộ thỏa mãn yêu cầu là (3,5,15);(2,4,8)

Bài 38 Tìm tất cả các cặp nguyên dương ( , )m n sao cho

2

m n

m

=



= ⇒  =

và một vài bộ khác không thỏa Ta nghĩ đếnviệc loại trừ các bộ khác

Ta có nhận xét khi m≥4

thì f m( ) 3(mod 5)≡ nhưng

2

n ≡3(mod 5), n∀

nên m≤3.

- Thử m= ⇒ =3 n 3; m 2= ⇒ ∃n

Kết luận: Tồn tại duy nhất bộ (3,3,2) thỏa yêu cầu

Bài 40(Canada 1987) Chứng minh rằng 1985!! 1986!! 1987+ M

Nhận xét: Có thể thay 1985 bởi 2015; 1986 bởi 2016; 1987 bởi 2017

Bài 41 Cho p là số nguyên tố lẻ Chứng minh rằng

Dạng 2: SỐ NGUYÊN TỐ

Bài 1 Tìm tất cả số nguyên tố dạng

Bài 2 Chứng minh rằng

4 1

n +

là số nguyên tố khi và chi khi n=1

HD Chú ý rằng

là một số nguyên tố.

HD – Nhận xét rằng điều kiện cần để

4 4n

n +

là số nguyên tố là n là số lẻ

- Ta thấy n=1 thỏa yêu cầu Ta chứng minh n≥3 không thỏa yêu cầu

Thật vậy: Ta có