01 nguyên hàm tích phân ứng dung

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng Dgiới hạn bởi các đường x=g y , trục tung và hai đường y a y b= , = quanh trục Oy được tính theo công thức... Câu 17: Tính diện t

�sin dx x=- cosx C+

sin ax b+ x=- a ax b+ +C

�

4 Một sô phương pháp tìm nguyên hàm

4.1 Phương pháp đổi biến số

Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t u x= ( ).

4.2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [a b và có đạo hàm liên tục trên đoạn; ][a b ; ]

Khi đó: �u v uvd = - �v ud ( )*

Để tính nguyên hàm �f x x( )d bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1 Chọn , u v sao cho f x x u v( )d = d (chú ý � dv v x x= '( )d )

Sau đó tính v=�dv và du u x= '.d

Bước 2 Thay vào công thức ( )* và tính �v ud

Chú ý Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích

phân �v ud dễ tính hơn �u vd Ta thường gặp các dạng sau

( )sin

d xd

x u

ln 1 2017

ln

x x

dx T

x dx H

x

t � �� �

� �.

x x

e

dx e

e   e  C B. 5 53 1 2 3

x x

5 1

3 3

x x

e   e  C

Câu 25: Nguyên hàm ���sin 2 x 3 cos 3 2   x dx�� là:

A. 2cos 2 x 3 2sin 3 2   x C B. 2cos 2 x 3 2sin 3 2   x C

C. 2cos 2 x 3 2sin 3 2   x C D. 2cos 2 x 3 2sin 3 2   x C

Câu 26: Nguyên hàm ���sin 32 x 1 cos x dx�� là:

x

   Nguyên hàm của f x biết   F 3  là:6

Câu 33: Với phương pháp đổi biến số x� , nguyên hàmt

Câu 37: Nguyên hàm của I �xsinxdx bằng với:

A. xcosx�cosxdx C B. xcosx�cosxdx C

C. xcosx�cosxdx C D cosx x�cosxdx C

Câu 38: Nguyên hàm của I �xsin2xdx là:

x

� là:

A. cot ln cosx  x  x C B. cot ln cosx  x  x C

C. cot ln cosx  x  x C D. cot ln cosx  x  x C

Câu 45:� 2x x2 1 x x dxln  có dạng  3

2 1 2ln 1 2

a x  b x x x  ,Ctrong đó ,a b là hai số hữu tỉ Giá trị a bằng:



� thu được kết quả là:

A

1

C x

( ) 13

21

( ) 13

2( ) 1

2

x

21

( ) 12

16

x c x x 

C F( )x  c x xot  2 D

2 2F( ) ot

Câu 63 Họ nguyên hàm F x của hàm số   f x  cot2x là :

A cot x x C  B cot x x C  C cot x x C 

x

f x e

x

 

Câu 70 Nếu �f x dx e( )  x sin2x C thì ( )f x là hàm nào ?

A e xcos2x B e xsin2x C e xcos2x

Câu 86.Một nguyên hàm của hàm số: f x( )x 1x2 là:

21

( ) 13

21

( ) 13

2( ) 1

2

x

21

( ) 12

x x

( ) ( 5)3

F x  x 

C

3

2 21

( ) ( 5)2

2

x C



Câu 98 Tìm �xsin2xdx ta thu được kết quả nào sau đây?

A xsinxcosx C B 1 sin2 1cos2

A xtanxln cosx B xtanxln cosx 

C tanx xln cosx D xtanxln sinx

Câu 100 Một nguyên hàm của   sin2

x

f x

x

 là :

A xcotxln sinx B xcotxln sin x

C xtanxln cosx D xtanxln sinx

Bài toán 1 Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên đoạn [a b Khi đó diện tích; ]

S của hình phẳng ( )D giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f x( ); trục hoành Ox (

S=�f x - g x x

Chú ý:

1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:

- Giải phương trình f x( )=g x( ) tìm nghiệm x x1 , , , 2 x n�(a b; ) (x1 <x2 < < x n).

Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

2) Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y=f x( ); y=g x( )

Khi đó, ta có công thức tính như sau ( ) ( )

Bài toán 2 Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D

giới hạn bởi các đường x=g y( ), trục tung và hai đường y a y b= , = quanh trục Oy được tính theo công thức

Câu 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ysinx1,trục hoành và hai đường thẳng x0 và 7

Câu 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hàm số ycos2x,

trục hoành, trục tung và đường thẳng x 

Câu 17: Tính diện tích của những hình phẳng giới hạn bởi các đường

Câu 20: Tính diện tích của những hình phẳng giới hạn bởi các đường

Câu 22 Tính diện tích của những hình phẳng được giới hạn bởi các

Câu 23 Tính diện tích của những hình phẳng được giới hạn bởi các

Câu 24 Tính diện tích của những hình phẳng được giới hạn bởi các

đường cong y e x; y e x; x ln 2; xln 2

Câu 27 Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:y e 1x và

Câu 28 Thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi mỗi hình phẳng giới hạn

bởi các đườngy 1 x y2;  khi quay xung quanh trục Ox.0

Câu 29: Thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi mỗi hình phẳng giới hạn

bởi các đường ysin ;2x y0 0 � � khi quay xung quanh trục Ox.x 

Câu 30: Thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi mỗi hình phẳng giới hạn

bởi các đường ylg ;x y0; x khi quay xung quanh trục Ox.10

Câu 31: Thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi mỗi hình phẳng giới hạn

bởi các đường tan ; 0; 0;

Câu 32: Thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi mỗi hình phẳng giới hạn

bởi các đườngy x y x 3;  khi quay xung quanh trục Ox

Câu 34 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung

quanh Ox của hình phẳng giới hạn bởi Ox và đường y xsinx0� �x 

y e

y e x

y x  x và 2 tiếp tuyến xuất phát từ

1 4

Câu 71: Tính diện tích phần mặt phẳng bị giới hạn bởi đồ thị hàm số

ln 2 3 3

88

84

Câu 78: Tính diện tích phần mặt phẳng bị giới hạn bởi đồ thị hàm số

 sin cos cos

Câu 80: Tính diện tích phần mặt phẳng bị giới hạn bởi đồ thị hàm số

2

10

e e

Câu 90: Tính diện tích phần mặt phẳng bị giới hạn bởi đồ thị hàm số

y e x với đường thẳng x ; x1và trục Ox

A sin2e B 2 sin2e C sin1e D.2 sin1e

Câu 93: Tính diện tích phần mặt phẳng bị giới hạn bởi đồ thị hàm số

e e

e e

�  �

Câu 109: Diện tích phần mặt phẳng bị giới hạn bởi đồ thị hàm số

 sinx cos cos

y e  x x với đường thẳng x0; x4 và trục Ox có giá trị gần

nhất với:

Câu 3 Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới

hạn bởi đồ thị hàm sốy  x  1,đường thẳng x và trục Ox quanh trục1

Ox

A. 1

2 B  C 3 D 2

Câu 4 Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới

hạn bởi đồ thị hàm sốy  4  x,đường thẳng x và trục Ox quanh2trục Ox

Câu 6 Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới

hạn bởi đồ thị hàm sốy x  2 1,đường thẳng x ,đường thẳng 0 x và3trục Ox quanh trục Ox

Câu 7 Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới

hạn bởi đồ thị hàm sốy x  4 1,đường thẳng x  ,đường thẳng 2 x2

Câu 8 Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới

hạn bởi đồ thị hàm sốy x  3 2,đường thẳng x   ,đường thẳng 1 x và1trục Ox quanh trục Ox

Câu 9 Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới

hạn bởi đồ thị hàm sốy   ( x 1)2, trục hoành và trục tung quanh trục

V   D V  2(đvtt)

Câu 13 Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi

đườngy 16x4 , trục hoành và quay quanh trục Ox là:

Câu 14 Tinh thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình

phẳng D giới hạn bởi các đường ytanxhai trục tọa độ và đường thẳng

Câu 15 Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn

parabol  P y x:  2 4 và trục hoành khi quay xung quanh trục bằng:

Câu 17 Thể tích của khối tròn xoay tạo nên do quay quanh trục Ox

hình phẳng giới hạn bởi các đường y   (1 x y2),  0, x  0và x bằng :2

Vấn đề 3 CÂU HỎI ÔN TẬP

Câu 1: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( ): y f(x),(C ):C1  2 y g x ( )

và x a x b ,  được tính bởi công thức:

Câu 3: Cho diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( ): y f(x),Ox: y 0C  

và x a x b ,  Phát biểu nào sau đây là Sai:

A. ( ( ) (x)) ( (x) (x))dx

b c

Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số



Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( ):C y e  vàx 1

2( '):C y e  là:x x

Câu 15: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( ):C y x 32x,tiếp tuyến của ( )C tại x1 là:

274

Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong

Câu 18: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( ):C y x 3 ,1(d):y x  , 1 x1, x2 là:

Câu 19: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ):P y x 2 ,10

Câu 20: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong

Câu 21: Chọn phát biểu Đúng trong các phát biểu sau:

A Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số có thể âm

C Nếu ( )f x g(x)đổi dấu trên [ ; ]a b khi đó ta được đem dấu trị tuyệt

đối ra ngoài tích phân: b| ( ) ( )| b ( ) ( )

S�f x g x dx�f x g x dx

D Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x f y x g y ( ),  ( )

và hai đường thẳng y a y b ,  là: b| (y) (y)|

a

S�f g dy

Câu 22: Chọn phát biểu Đúng trong các phát biểu sau:

A Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

( ): y f(x),(C ):C  y g x ( ),(C ):y h x ( ) và x a x b x c ,  ,  được tính bởicông thức: (f( ) (x)) ( (x) (x))dx

b c

a

c

S�f x  dx�g 

C Nếu ( )f x g(x)không đổi dấu trên [ ; ]a b khi đó ta được đem dấu trị

tuyệt đối ra ngoài tích phân: b| ( ) ( )| b ( ) ( )

Câu 23: Chọn phát biểu Sai trong các phát biểu sau:

A Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

( ), ( )

x f y x g y  và hai đường thẳng y a y b ,  là: b| (y) (y)|

a

S�f g dy

B Nếu ( )f x g(x)đổi dấu trên [ ; ]a b khi đó ta được đem dấu trị tuyệt

đối ra ngoài tích phân: b| ( ) ( )| b ( ) ( )

Câu 25: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ):3P x26x , Ox: y 03  và

(C ):y f x C ( ),( ):y g x ( ),x a,x b,f(x) g(x) 0  � � khi quay ( )H quanh trục

Oxta được một vật thể tròn xoay có thể tích được tính theo công thức:

( ):C y f x ( ),Oy: x 0,  :y f a ( ), :y f (b) khi quay ( )H quanh trục Oy

ta được một vật thể tròn xoay có thể tích được tính theo công thức:

Câu 35: Hình phẳng ( )H giới hạn bởi

1 1

( ):C y f x C ( ),( ):y f (x), :y f a ( ), :y f b ( ),f ( ) y �g y ( ) 0� khi quay( )H quanh trục Oyta được một vật thể tròn xoay có thể tích được tính

Câu 36:Chọn phát biểu Đúng trong các phát biểu sau:

A Hình phẳng ( )H giới hạn bởi (C ):1 y f x C ( ),( ):2 y g x ( ),x a,x b khi quay ( )H quanh trục Oxta được một vật thể tròn xoay có thể tíchđược tính theo công thức: b| 2( ) 2( )|

a

V �f x g x dx

B Hình phẳng ( )H giới hạn bởi (C ):1 y f x C ( ),( ):2 y g x ( ),x a,x b khi quay ( )H quanh trục Oxta được một vật thể tròn xoay có thể tíchđược tính theo công thức: b| ( ) ( )|

a

V �f x g x dx

C Hình phẳng ( )H giới hạn bởi

( ):C y f x ( ),Oy: x 0,  :y f a ( ), :y f (b) khi quay ( )H quanh trục Oy

ta được một vật thể tròn xoay có thể tích được tính theo công thức:

a

V �f x dx

Câu 37: Chọn phát biểu Đúng trong các phát biểu sau:

A. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( ): y f(x),Ox: y 0C   và

a

S�f x g x dx

Câu 38: Chọn phát biểu Sai trong các phát biểu sau:

A Hình phẳng ( )H giới hạn bởi (C): y f x Ox y ( ), : 0,x a,x b  khiquay ( )H quanh trục Oxta được một vật thể tròn xoay có thể tích đượctính theo công thức: b 2( )

a

V �f x dx

B Hình phẳng ( )H giới hạn bởi (C ):1 y f x C ( ),( ):2 y g x ( ),x a,x b khi quay ( )H quanh trục Oxta được một vật thể tròn xoay có thể tíchđược tính theo công thức: b| 2( ) 2( )|

Câu 39 Chọn phát biểu Sai trong các phát biểu sau:

A Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

( ): y f(x),(C ):C  y g x ( ),(C ):y h x ( ) và x a x b x c ,  ,  được tính bởicông thức: ( ( ) (x)) ( (x) (x))dx

b c

( ):C y f x ( ),Oy: x 0,  :y f a ( ), :y f (b) khi quay ( )H quanh trục Oy

ta được một vật thể tròn xoay có thể tích được tính theo công thức:

Câu 40: Chọn phát biểu Đúng trong các phát biểu sau:

A Nếu ( )f x g(x) không đổi dấu trên [ ; ]a b khi đó ta được đem dấutrị tuyệt đối ra ngoài tích phân: b| ( ) ( )| b[ ( ) ( )]

S�f x g x dx�f x g x dx

(C ):y f x C ( ),( ):y g x ( ),x a,x b,f(x) g(x) 0  � � khi quay ( )H quanh trục

Oxta được một vật thể tròn xoay có thể tích được tính theo công thức:

Câu 42: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền ( )D giới hạn bởi

2(d):y x P y x ,( ):   khi quay quanh trục x Ox là:

Câu 45: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền ( )D giới hạn bởi

Khái niệm hình thang cong

Cho hàm số y f x   liên tục, không đổi dấu trên đoạn � �a b; Hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x  , trục hoành và hai đường thẳng

Hiệu số F b F a    được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích

phân xác định trên đoạn � �a b; ) của hàm số f x , kí hiệu là

Ý nghĩa hình học của tích phân Nếu hàm số f x  liên tục và

không âm trên đoạn � �a b; , thì tích phân �b  

x x

x Biểu thức P a  1 cógiá trị là:

2 1

x Giá trịcủa biểu thức P a b  là:

a

3 2 1

1 1

2 1

Câu 38: Tích phân 



�73 5 3 0

3 8

2 1

Câu 47: Tích phân    

 

�2 2 1

a

2 3

a I

C.   ln1 5

2 3

a

2 3

a I

e

x có giá trị là:

2 ln

2 ln

2

e e I

2 ln

2 ln

2

e e I

2 cos sin

1 1 7

ln

3 2 3

Câu 71:Biết tích phân





�2 

1 3

sin3 cos cos3 sin sin2

I x dx Khẳng định nào dưới đây khôngđúng?

a c

1 ln 3 1

a dx

Câu 89: Cho tích phân   



�

1 2

2 0

1 1

x

,a và b là các số hữu tỉ Giá trị của a là: