Giải bài tập Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng trong Đề Tham Khảo Toán 2018 Dương Trác Việt* Tóm tắt nội dung Bài viết đề xuất một số chiến lược giải các bài trắc nghiệm về chủ đề Nguyên
Trang 1Giải bài tập Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng trong Đề Tham Khảo Toán 2018
Dương Trác Việt*
Tóm tắt nội dung
Bài viết đề xuất một số chiến lược giải các bài trắc nghiệm về chủ đề Nguyên hàm, Tích phân
và Ứng dụng trong Đề Tham Khảo Tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2018, môn Toán học, của Bộ Giáo dục & Đào tạo
Từ khóa
Nguyên hàm — tích phân
h Nhóm Thủ thuật Casio Khối A, Casio Tư duy
Bài 1 (c6). Cho hàm số y = f (x) liên tục trên
đoạn[a; b] Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị của hàm số y = f (x), trục hoành và
hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D
quanh trục hoành được tính theo công thức
A.V = π
b
Z
a
f2(x) dx.
B V = 2π
b
Z
a
f2(x) dx.
C V = π2
b
Z
a
f2(x) dx.
D V = π2
b
Z
a
f (x) dx.
Hướng dẫn giải
Gặp “Thể tích” thì
1 “cóπ” → không phải π2
→ loại C , D ;
2 “chỉ có1π” → không phải 2π → loại B
=⇒ Chọn đáp án A
Bài 2 (c9). Họ nguyên hàm của hàm số
f (x) = 3x2+ 1 là
A x3+ C.
B. x
3
3 + x + C.
C 6x + C.
D. x3+ x + C.
Hướng dẫn giải
3x2+ 1
R
→ 3 · x
3
3 + x → x3+ x + C.
=⇒ Chọn đáp án D
Bài 3 (c19). Tích phân
2 Z
0
dx
x+ 3 bằng
A. 16
225.
B log5
3.
C.ln5
3.
D. 2
15.
Hướng dẫn giải
Vì 1
x+ 3 là dạng “Lật Ngược”, nên khi lấy tích phân sẽ liên quan đếnln (ln= Lật Ngược)
=⇒ Chọn đáp án C
Bài 4 (c31).
Cho hình (H) là hình
phẳng giới hạn bởi
parabol y = p3x2, cung tròn có phương
trình y = p
4− x2 (với 0 ≤ x ≤ 2) và
x
y
2
trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ) Diện tích của(H) bằng
Trang 2A. 4π +p3
12 .
B. 4π −p3
6 .
C. 4π + 2p3− 3
D. 5
p
3− 2π
Hướng dẫn giải
Cách 1
Ta tách diện tích cần tìm thành hai phần
diện tích nhỏ hơn
Đầu tiên, ta tìm vị trí phân tách Nhìn hình
vẽ dễ thấy chỗ phân tách sẽ là x0 ∈ [0; 2] nên
ta Shift Calc (Solve) phương trình hoành độ
giao điểm với X =0+ 2
2 = 1
p
3X2−p4− X2Solve⇔ X = 1.
Khi đó diện tích lớn sẽ bị chia ra như sau
x
y
2
1 Tức là
I = S1+ S2
=
1
Z
0
(P) +
2 Z
1
(C)
=
1
Z
0
p
3x2dx+
2 Z
1
p
4− x2 dx
CASIO
≈ 1.805719968
Thử lại với bốn phương án đề cho ta thấy
kết quả trên gần nhất với B
Cách 2
Vẽ thêm một số đường phụ, ta được
x
y
2
1
Khi đó dễ thấy nếu cắt phần diện tích bên
trái (S1) chuyển qua phần diện tích bên phải
(S3) thì diện tích S = S1+ S2 cần tìm sẽ xấp
xỉ diện tích hình chữ nhật SChữ nhật = S3+ S2
Rõ ràng hình chữ nhật này có chiều dài không đến2, chỉ khoảng 1.8∗, và chiều rộng2−1 = 1 Như vậy
I ≈ SChữ nhật≈ 1.8 × 1 = 1.8
x
y
2
1
S1
S3
S2
Thử lại với bốn phương án đề cho ta thấy kết quả trên gần nhất với B
=⇒ Chọn đáp án B
Bài 5 (c32). Biết 2
Z
1
dx (x + 1)px + xpx+ 1 =
p
a−pb − c
với a, b, c là các số nguyên dương Tính
P = a + b + c.
A P= 24
B P= 12
C P= 18
D. P = 46
Hướng dẫn giải
Theo đề bài ta có hệ
¨
I =pa−pb − c,
P = a + b + c,
⇔
¨p
a−pb = I + c,
a + b = P − c,
⇒
(p
a−pb2= (I + c)2,
a + b = P − c,
⇔
¨
a + b − 2p
a b = (I + c)2,
a + b = P − c,
⇒P − c − 2pa b = (I + c)2
∗ Căn cứ hình vẽ mà ước lượng trực giác.
Trang 3⇔2pa b = P − c − (I + c)2
⇔4ab =P − c − (I + c)22
Vì a, b∈ N∗nên4a b=
P − c − (I + c)22∈
N∗ Ta cần xét xem với giá trị nào của P (trong
bốn phương án của đề bài) thì ta tìm được số
nguyên dương c thỏa mãn P − c − (I + c)22
cũng là số nguyên dương
Thật vậy,
1 Tính
2
Z
1
dx (x + 1)px + xpx+ 1 và gán vào
biến nhớ Y
2 Vào Mode 7, nhập
f (X ) = PĐáp án− X − (Y + X )22
3 Cho X chạy từ Start = 1 đến End = 20,
bước nhảy Step= 1
4 Với phương án A , B , C ta không tìm
được f (X ) ∈ N∗, với đáp án D , ta được
f (X ) = 1536 ∈ N∗ khi X = 2
=⇒ Chọn đáp án D
Bài 6. Cho hàm số f (x) xác định trên R\§1
2 ª
thỏa mãn f0(x) = 2
2x− 1, f(0) = 1
và f (1) = 2 Giá trị của biểu thức f (−1)+ f (3)
bằng
A 4+ ln 15
B 2+ ln 15
C.3+ ln 15
D ln 15.
Hướng dẫn giải
Vì f0(x) = 2
2x− 1nên f (x) =
Z 2
2x− 1 dx.
Bên cạnh đấy, theo định nghĩa tích phân xác
định, ta còn có
−1
Z
0
2
2x− 1 dx = f (−1) − f (0),
3
Z
1
2
2x− 1 dx = f (3) − f (1).
Suy ra
f (−1) + f (3) − f (0) − f (1)
=
−1 Z
0
2
2x− 1 dx+
3 Z
1
2
2x− 1 dx
⇔ f (−1) + f (3)
= f (0)+ f (1)+
−1 Z
0
2
2x− 1 dx+
3 Z
1
2
2x− 1 dx. Trong các phương án đều có ln 15 kết nối với
Z 2
2x− 1 dx theo mẹo “lật ngược”, do đó
ta không cần quan tâm đến Lúc này đáp án đúng chỉ phụ thuộc vào
f (0) + f (1) = 1 + 2 = 3.
=⇒ Chọn đáp án C
Bài 7 (c50). Cho hàm số f (x) có đạo hàm
liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = 0,
1 Z
0
f0(x)2
dx = 7 và
1 Z
0
x2f (x) dx = 1
3 Tích
phân
1 Z
0
f (x) dx bằng
A. 7
5.
B 1.
C. 7
4.
D 4.
Hướng dẫn giải
Cái đã biết
1 Z
0
f0(x)2
1 Z
0
x2f (x) dx = 1
Trang 4Cái cần tìm I =
1 Z
0
f (x) dx =?
Đối với các bài tập dạng này, thông thường
giả thiết (1) được sử dụng vào giai đoạn cuối
cùng để xác định cụ thể hàm số Vì vậy, tại thời
điểm ban đầu ta cần tìm cách vận dụng (2) và
(3) Cụ thể, ta thử khai triển (3) sao cho có
liên quan đến (2) Dễ thấy (3) là kết quả tính
tích phân có f (x), do đó để tạo ra f0(x) nhằm
liên kết với (2), chỉ còn một hướng tiếp cận là
phương pháp tích phân từng phần
Xét (3), đặt u = f (x),
v0= x2 ⇒
u0= f0(x),
v= x 3
3 , ta có
1
Z
0
x2f (x) dx = x3
3 f (x)
1
0−
1 Z
0
x3
3 f
0(x) dx
⇔1
3= 1
3f(1)
|{z}
0
−0 3
3 f(0) −
1 Z
0
x3
3 f
0(x) dx
⇔1
3= −1
3
1
Z
0
x3f0(x) dx
⇔
1
Z
0
x3f0(x) dx = −1
Để kết nối với (2), ta cần có số7 ở vế phải
⇔ − 7 ×
1
Z
0
x3f0(x) dx = (−1) × (−7)
⇔
1
Z
0
(−7x3) × f0(x) dx = 7 (∗).
So sánh(∗) và (2):
1 Z
0
f0(x) × f0(x) dx = 7 ta
được
f0(x) = −7x3
⇒ f (x) = −7
4x
4+ C
Mà (1): f(1) = 0 nên
0= −7
4+ C
⇔C =7
4.
Vậy f (x) = −7
4x
4+7
4 Từ đó
I =
1 Z
0
−7
4x
4+7 4
dx =7
5.
=⇒ Chọn đáp án A
Tài liệu
[1] Nhóm Thủ Thuật Casio Khối A (2018),
Hướng dẫn giải chi tiết Đề thi tham khảo Kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia năm 2018, truy cập ngày
28-1-2018 tại Drive: file/d/12cnZ8EYxgF2-5zRUV1AJwRtib_EUBHVE/
... liệu[1] Nhóm Thủ Thuật Casio Khối A (2018),
Hướng dẫn giải chi tiết Đề thi tham khảo Kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia năm 2018, truy cập ngày...
x3f0(x) dx = −1
Để kết nối với (2), ta cần có số7 vế phải
⇔ − ×
1
Z
0
x3f0(x)