TOAN CHON LOC BDHSG THCS

Các bài toán chọn lọc về phương trình giúp học sinh THCS có những kĩ năng giải toán độc đáo, thú vị.; nâng cao tư duy toán học. tài liệu gồm các bài toán chọn lọc về phuuwowng trình bậc 2, bậc cao với những lời giải gần gũi với học sinh THCS

độc đáo về nghiệm phơng trình

1) Tìm a,b,c để phơng trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm

là x = 2 − 1

Giải

X = 2 − 1 => ( x + 1 )2 = 2

=> x2 + 2x - 1 = 0

Đồng nhất với phơng trình đã cho => a = 1, b = 2, c = -1 2) Tìm a,b để phơng trình x2 + ax + b = 0 có nghiệm là x

=

5

7

5

7

+

Giải

Trục căn thức ta đợc x = 6 - 35

Biến đổi nh bài 1, ta tìm đợc a = -12 và b = 1

3) CMR x = 2 − 3 là nghiệm của phơng trình x4 - 10x2 +

1 = 0

Giải

X = 2 − 3 => x2 = 5 - 2 6

=> (5 - x2)2 = (2 6)2

=> x4 - 10x2 + 1 = 0 => ĐPCM

4) CMR x = 2 + 3 2 là nghiệm của phơng trình

X6 - 6x4 -4x3 + 12x2 - 24x - 12 = 0

Giải

x = 2 + 3 2 => (x - 2)3 = ( 3 2)3

=> x3 -3 2x2 + 6x - 2 2 = 2

=> (x3 + 6x - 2)2 = [ 2(3x2 + 2) ]2

=> X6 - 6x4 -4x3 + 12x2 - 24x - 12 = 0 =>

ĐPCM

* chú ý (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc

5) CMR x =

2

3

1 + là nghiệm phơng trình 2x2 - 2x - 1 = 0 Giải

Biến đổi x =

2

1 3 4

3 2

4 + = + Tiếp tục nh các bài trên => ĐPCM

6) Tìm a,b,c,d để phơng trình x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0

có nghiệm là

X = 1 + 2 + 3

Giải

X = 1 + 2 + 3 => ( x - 1 )2 = ( 2 + 3)2

=> x2 -2x + 1 = 5 + 2 6

=> ( x2 - 2x - 4)2 = ( 2 6)2

=> x4 - 4x3 - 4x2 + 16x - 8 = 0

Đồng nhất hệ số => a = b = -4, c = 16 và d = - 8

7) CMR x = 2+ 2+ 3 - 6−3 2+ 3 là nghiệm của phơng trình

X4 - 16x2 + 32 = 0

Giải

Gt => x2 = 8 - 2 2 + 3 - 2 3 ( 2 − 3 )

=>

2

8

2 −

x = 2 + 3 + 3 ( 2 − 3 )

=> (

2

8

2 −

x

)2 = ( 2 + 3 + 3 ( 2 − 3 ) )2 = ….= 8 => X4 - 16x2 + 32 = 0 = ĐPCM

8) Tìm a,b, c để phơng trình ax4 + bx2 + c = 0 có nghiệm là

x = 8+2 10+2 5 + 8−2 10+2 5

Giải

Tơng tự các bài trên , tính đợc a = 1, b = -24 và c = 104

9) CMR x = 3 3 2 + 1 là nghiệm phơng trình x9 - 3x6 + 3x3 - 3

= 0

10) CMR x = 2 + 3 + 5 là nghiệm của phơng trình

X4 - 4 5 x3 + 20x2 - 24 = 0

11) Tìm các số hữa tỉ a,b để x = 2 - 1 là nghiệm của phơng trình

X3 + ax2 + bx + 1 = 0

Giải

Ta không áp dụng đợc chiến thuật "bình phơng làm mất căn" nh các bài trớc đợc vì làm nh vậy bậc cao nhất của x luôn chẵn trong khi phơng trình bậc lẻ!

Thay giá trị đã cho của x vào phơng trình ta có:

( 2 - 1)3 + a( 2 - 1 )2 + b( 2 - 1) + 1 = 0

Biến đổi => ( 5 - 2a + b) 2 + 3a - b - 6 = 0

Vì a,b là số hữa tỉ và 2 là số vô tỉ nên xảy ra đồng thời

5 - 2a + b = 0

và 3a - b - 6 = 0

Từ đó tìm đợc a = 1, b = -3

12) Tìm các số hữa tỉ a,b để x = 2 + 5 là nghiệm của phơng trình

X3 + ax2 + bx + 1 = 0 ( Tơng tự ta đợc a

= - 5, b = 3)

13) CMR x = 3 9 + 4 5 + 3 9 − 4 5 là nghiệm phơng trình

X3 - 3x -18 = 0

Giải

Đặt a = 3 9 + 4 5 , b = 3 9 − 4 5

=> a + b = x , a.b = 1 và a3 + b3 = 18

X3 = ( a + b)3 = a3 + b3 + 3ab( a + b ) = 18 + 3x

=> X3 - 3x -18 = 0 => ĐPCM

14) CMR

27

125 9 3 27

125 9 3

3 + + + − + là một số nguyên

Giải

Đặt x =

27

125 9 3 27

125 9 3

CM tơng tự bài 13, ta có x là nghiệm của phơng trình x3

+ 5x - 6 = 0 (*)

Nhẩm nghiệm => x = 1 là nghiệm của pt (*).

=> phơng trình (*)  ( x - 1 )( x2 + x + 6 ) = 0

Vì đa thức x2 + x + 6 không có nghiệm thực nên x = 1 là nghiệm duy nhất

=> ĐPCM

15) CMR:

a) 3 182 + 33125 + 3 182 − 33125 = 7

b) 3 3

1 2

1 1

2

−

−

− = -1

Trên núi cao có ốc sên và chim đại bàng.

16) CMR x =

2

3

1 + là nghiệm phơng trình 2x3 - 4x2 + x +

1 = 0 (1)

Giải

Tơng tự bài 5 ta chứng minh đợc x là nghiệm pt 2x2 - 2x -

1 = 0 (2)

Thực hiện phép chia đa thức (2x3 - 4x2 + x + 1) cho đa thức (2x2 - 2x - 1)

đợc thơng là ( x - 1)

=> pt (1) < = > (2x2 - 2x - 1) ( x - 1) = 0

=> nghiệm của pt (2) cũng là nghiệm của pt (1) Theo bài

5, ta có ĐPCM

17) CMR x = 2 + 3 là nghiệm của phơng trình

X7 - 10x5 + x4 + x3 - 10x2 + 1 = 0 (1)

Giải

Ta chứng minh đợc x = 2 + 3 là nghiệm pt x4 - 10x2 + 1 =

0 ( 2 )

Đa thức vế trái của (1) chia hết cho đa thức vế trái của pt (2)

=> Nghiệm của pt (2) cũng là nghiệm của pt ( 1) => ĐPCM

18) Tìm a, b, c để phơng trình x3 - ax -1 có hai nghiệm là nghiệm của phơng trình x2 - bx + c = 0

18) Tính giá trị của biểu thức A =

3 5 7

1 6 10

2 3

3 4

− +

−

−

−

−

x x x

x x

Với x là nghiệm của phơng trình

9

1 1

−

−x x

x

(1)

Giải

Từ pt (1) => x2 -10x -1 = 0

Thực hiện chia đa thức ở tử và mẫu của phân thức A cho ( x2 - 10x - 1) ta biến đổi đợc nh sau:

A =

9

1 36

4 36 ) 3 )(

1 10 (

4 ) 1 )(

1 10 (

2

2 2

=

= + +

−

−

+ +

−

−

x

x x x

x x

x x

x x

Một hi sinh to lớn dễ dàng hơn những hi sinh nhỏ nhoi và liên tục.

19) Cho x là nghiệm của phơng trình x3 - x2 + x - 2 = 0

Chứng minh

2

3

2

2 3 5 6

+

−

+ +

−

−

x x

x x x

Giải

Thực hiện nh bài 18 ta tính đợc VT = 2 -

2

1

2 −x+

x < 2 ( ĐPCM)

Bây giờ, chúng ta cùng xét một số mở rộng về định lí Vi-ét

20) Cho phơng trình ax4 + bx2 + c = 0 có 4 nghiệm phân biệt x1,x2,x3,x4.

Tính A = x1.x2.x3.x4 và B = x1+ x2 + x3 +x4

Giải

Đặt t = x2 => t > 0 vì phơng trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt

Thay vào pt ta đợc at2 + bt + c = 0 (*)

Pt bậc 4 của x có 4 nghiệm phân biệt nên pt (*) có 2

nghiệm dơng t1,t2

thoả mãn t1.t2 =

a

b

−

và t1 + t2 =

a c

Không mất tổng quát, giả sử x1 = t1 , x2 = t2 , x3 = - t1 ,

x4 = - t2

=> A = x1.x2.x3.x4 = t1.t2 =

a

b

−

và B = 0

21) Cho phơng trình x2 - 4ax + 2a2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2

CMR: (x1)2 + 4ax2 + 2a2 > 0

Giải

Pt đã cho có hai nghiệm phân biệt nên ∆ = 2a2 > 0 => a ≠

0

Ta có x1 là nghiệm của phơng trình nên (x1)2 - 4ax1 + 2a2

= 0

=> (x1)2 + 4ax2 + 2a2 = ( (x1)2 - 4ax1 + 2a2 ) + 4ax1 + 4ax2

= 4a( x1 + x2 )

= 4a 4a = 16a2 > 0 ( vì a ≠0)

22) Gọi x1, x2 là nghiệm phơng trình x2 - 5mx - 4m = 0

CMR: (x1)2 + 5mx2 - 4m > 0

23) Gọi x1, x2 là nghiệm của phơng trình x2 - x - 1 = 0

Tính giá trị của biểu thức A = (x1)5 + 5x2

Giải

Ta thấy hệ số của hai nghiệm khác nhau, số mũ của hai

nghiệm cũng khác nhau hoàn toàn! Các bạn học sinh nên chú

ý phép biến đổi ở đây để thấy sự thú vị của bài toán Trong biểu thức A, số mũ của x1 là 5 nên cần phải đa về mũ

1 ( cùng mũ với x2)

X 1 là nghiệm phơng trình nên (x1)2 - x1 - 1 = 0

=> (x1)2 = x1 + 1

=> (x1)4 = (x1)2 + 2x1 + 1 = (x1 + 1) + 2x1 + 1 = 3x1 + 2

=> (x1)5 = x1.(x1)4 = x1.( 3x1 + 2) = 3(x1)2 + 2x1 = 3.( x1 + 1) + 2x1

= 5x1 + 3

=> A = 5x1 + 3 + 5x2 = 5(x1 + x2) + 3 = 5 + 3 = 8

Bạn hãy tuyệt đối tin tởng điều này: "mọi điều chỉ là

t-ơng đối!"

24) Cho phơng trình x2 - ax + 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 Tìm a để (x1)3 + (a2 - 1)x2 + a = 0

Giải

Tính toán nh trên ta tìm đợc các giá trị của a là 0, - 1, 1

Các giá trị đó đều không thoả mãn điều kiện phơng trình của x có hai nghiệm thực phân biệt.Vậy a = ∅

25) Gọi x1, x2 là nghiệm của phơng trình x2 - x - 1 = 0

Tính giá trị của biểu thức A = (x2)11 + 89x1

Giải

Tơng tự bài 23 ta đợc A = 144

Chú ý rằng các bạn nên bình phơng giá trị (x2)5

Làm nh vậy sẽ nhanh đợc mũ cao hơn phải không bạn?

26) Gọi x1,x2,x3,x4 là tất cả các nghiệm của phơng trình (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 1 (1)

Tính A = x1.x2.x3.x4

Giải

Pt (*) < = > ( x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 8) - 1 = 0

Đặt t = x2 + 8x + 7

=> t2 + t - 1 = 0 (2)

Giả thiết => phơng trình (2) có hai nghiệm t1 và t2

Vi-et => t1.t2 = t1+ t2 = -1

Ta có t1 = x2 + 8x + 7 => x2 + 8x + 7 - t1 = 0 (3)

T2 = x2 + 8x + 7 => x2 + 8x + 7 - t2 = 0 (4)

Không giảm tổng quát , gọi x1, x2 là nghiệm của (3) =>

x1.x2 = 7 - t1

x3,, x4 là nghiệm của ( 4) =>

x3.x4 = 7 - t2

=> A = x1.x2.x3.x4 = (7 - t1)( 7 - t2) = 49 -7(t1+ t2) + t1.t2 = 55

27) Giả sử pt ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn

ax1 + bx2 + c = 0

CMR : a2c + ac2 + b3 - 3abc = 0

Giải

Giả thiết => x1 +

a

b

x2 +

a

c

= 0 ( Vì a khác 0) < = > x1 - ( x1 + x2 ).x2 + x1.x2 = 0

< = > x1 - (x2)2 = 0

Kết hợp với x1 + x2 =

-a

b

và x1.x2 =

a c

Ta tính đợc x1 = 3 ( )2

a

c và x2 = 3 ( )

a c

Thay vào hệ thức x1 + x2 =

-a

b

rồi biến đổi ta đợc a2c +

ac2 + b3 - 3abc = 0

28) Tìm giá trị của m để phơng trình (x +1)(x + 2)(x + 3) (x + 4) = m có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả mãn

điều kiện x1.x2.x3.x4 = m

Giải

Pt < = > ( x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) = m

Đặt t = x2 + 5x + 4

= > pt : t2 + 2t - m = 0 có hai ngiệm t1 và t2 => m

> -1/2

Vi-et => t1+ t2 = -2 , t1.t2 = - m

Ta có t1 = x2 + 5x + 4 => x2 + 5x + 4 - t1 = 0 (3)

T2 = x2 + 5x + 4 => x2 + 5x + 4 - t2 = 0 (4)

Không giảm tổng quát , gọi x1, x2 là nghiệm của (3) =>

x1.x2 = 4 - t1

x3,, x4 là nghiệm của ( 4) =>

x3.x4 = 4 - t2

=>x1.x2.x3.x4 = (4 - t1)( 4 - t2) = 16 - 4(t1+ t2) + t1.t2 = 24 - m

Kết hợp với yêu cầu của bài toán ta tìm đợc m = 12 ( thoả mãn đk)

29) Tìm m để phơng trình x(x -1)(x - 4)(x - 5) = m có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả mãn điều kiện:

4 3 2 1

1 1 1 1

x x x

x + + + = 10

Giải

Pt < = > ( x2 - 5x )( x2 - 5x + 4) = m

Đặt t = x2 - 5x

= > pt : t2 + 4t - m = 0 có hai ngiệm t1 và t2 => m

> - 4

Vi-et => t1+ t2 = - 4 , t1.t2 = - m

Ta có t1 = x2 - 5x => x2 - 5x + t1 = 0 (3)

T1 = x2 - 5x => x2 - 5x + t2 = 0 (4)

Giả sử x1, x2 là nghiệm của (3) => x1.x2 = t1 , x1 + x2 = 5

x3,, x4 là nghiệm của ( 4) => x3.x4 = t2, x3 + x4 = 5

ta có

4 3 2 1

1 1 1 1

x x x

x + + + = - 10 < = >

4 3

4 3 2 1

2 1

.

x x x x

x

x + + +

= 10

<= >

2 1

5 5

t

t + = 10

< = > (t1+ t2)/ (t1.t2) = 2 < = > - 4/ (-m) = 2 => m = 2

30) Gọi x1 là nghiệm âm của phơng trình x2 + x - 1 = 0

1 ) 10 13 (x + x+ +x

Giải

Nh các bài trớc, ta tính đợc (x1)8 = 12 -20x1 + (x1)2 => P = 5

31) Tìm m để phơng trình x3 - m(x + 1) + 1 = 0 có ba

nghiệm phân biệt

x1, x2 , x3 thoả mãn điều kiện (x1)3 + (x2)3 + (x3)3 = 3 Giải

Nhẩm nghiệm => x1 = - 1 là nghiệm của phơng trình đã cho

=> pt < = > ( x + 1)(x2 - x + 1 - m) = 0

Theo đầu bài thì phơng trình x2 - x + 1 - m = 0 có hai nghiệm x2 và x3

=> m > 3/4

Ta có x2 + x3 = 1, x2.x3 = 1 - m

(x1)3 + (x2)3 + (x3)3 = 3

< = > - 1 + ( x2 + x3)( x22 - x3.x2 + x32) = 3

< = > ( x2 + x3)2 - 3x2.x3 = 4

=> x2.x3 = - 1 => 1 - m = -1=> m = 2 ( thoả mãn điều kiện)

32) Tìm m để phơng trình x4 - 2(m + 1)x2 + 2m + 1 = 0

có 4 nghiệm

phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả mãn điều kiện (x1)4 + (x2)4 + (x3)4 +(x4)4 = 4

Giải

ĐK của bài toán cho ta 2( t12 + t22) = 4

Với t1, t2 là nghiệm của phơng trình t2 -2(m + 1)t + 2m +

1 = 0

=> m = 3 ( lo¹i m = 0)

33) Cho ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm x1,

x2

§Æt Sn = x1n + x2n Chøng minh r»ng aSn+2 + bSn+1 +

cS = 0

Gi¶i

C¸ch 1: aSn+2 + bSn+1 + cS = 0 < = > Sn+2 +

a

b

Sn+1 +

a

c

S =

0 ( v× a kh¸c 0 )

< = > x1n+2 + x2n+2 - ( x1 + x2) (x1n+1 + x2n+1) +

x1.x2(x1n + x2n) = 0

<=> 0 = 0 ( §óng) => §PCM

C¸ch 2: aSn+2 + bSn+1 + cS = a(x1n+2 + x2n+2) + b(x1n+1 +

x2n+1) + c(x1n + x2n)

= x1n( ax12 + bx1 + c) + x2n( ax22

+ bx2 + c)

= x1n 0 + x2n 0 = 0 ( §PCM) 34) Cho x = 17−12 2 , y = 17+12 2 TÝnh x5 + y5

Gi¶i

§Æt Sn = xn + yn

Ta cã x.y = 1 vµ ( x+ y)2 = 36 = > S 1 = x + y = 6

=> x, y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh X2 - 6X + 1 = 0

=> Sn+2 - 6Sn+1 + S = 0 ( Theo bµi 33)

=> Sn+2 = 6Sn+1 - S

Ta cã ( x+ y)2 = 36 = > S 1 = x + y = 6

=> S2 = x2 + y2 = ( x + y)2 -2xy = 34 => S3 = 6S2 - S1 = 6.34 - 1 = 198

=> S5 = S2.S3 - x2.y2(x + y) = 34.198 - 6 = 6732

35) Tìm phơng trình bậc 7 có các hệ số nguyên và có

nghiệm là

X = 7 7

2

5 5

2 +

Giải nh trên ta đợc phơng trình 10x7 - 70x5 + 140x3 -70x -

29 = 0

36) CMR ( 2 + 3)n có phần nguyên là số lẻ với mọi số

nguyên dơng n

Giải

Đặt x = 2 + 3 , y = 2 - 3

x + y = 4, x.y = 1 => x, y là nghiệm của phơng trình X2

- 4X + 1 = 0

Đặt Sn = xn + yn => Sn+2 - 4Sn+1 + S = 0 => Sn+2 = 4Sn+1 - S (1)

S1 = x + y = 4

S2 = x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 14 Kết hợp (1) => Sn là chẵn với mọi n

Ta có 0 < y < 1 => 0 < yn < 1

=> xn + yn - 1 < xn < xn + yn

=> Sn - 1 < xn < Sn

=> Phần nguyên của xn là Sn - 1 Vì Sn chẵn => ĐPCM 37) Tìm số nguyên lớn nhất không vợt quá ( 2 + 3)8

Tơng tự bài 36