2 1 CUC TRI

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị Nếu x là một điểm cực trị của hàm số f thì ngư=ời ta nói rằng hàm số f đạt cực trị 0tại điểm x .0 Như vậy : Điểm cực trị ph

x được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a; b

chứa điểm x sao cho: f0  

a; b Df(x) f(x ) x a; b \ x

x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a; b

chứa điểm x sao cho: 0  

a; b Df(x) f(x ) x a; b \ x

Khi đó f x 0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

Nếu x là một điểm cực trị của hàm số f thì ngư=ời ta nói rằng hàm số f đạt cực trị 0tại điểm x 0

Như vậy : Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D

Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số , f(x0 ) là giá trị cực trị (hay cực trị ) của hàm số

 Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm

 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 ,

hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:

Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng a; b chứa điểm  x và có đạo hàm 0trên các khoảng a; x0 và x ; b Khi đó :0 

 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 0

Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng a; b chứa điểm  x ,0

 0

f ' x  và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm 0 x 0

Nếu f '' x 0 0thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x 0

Nếu f '' x 0 0thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x 0

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Chú ý: Cho hàm số y f(x) xác định trên D

Điểm xx0D là điểm cực trị của hàm số khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây cùngthảo mãn:

 Tại xx0 đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại

 Đạo hàm đổi dấu khi x đi qua x 0

Các ví dụ

Ví dụ 1 : Tìm cực trị của các hàm số sau:

y

x y'

2 Tập xác định : D¡ \ 2 

Ta có:

2 2

-5/2 -1/2

x y'

y

0 0

-CÑ CT

+

+

Bảng biến thiên

0 0

Bảng biến thiên

4

1 -1

-

-

CÑ

x y' y

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 , y CT 3

Hàm số đạt cực đại tại hai điểm x1, yCĐ  4

-4 -3 -4

1 -1

+

+

CT CT

Hàm số đạt cực đại tại điểmx 0 , y CĐ 3

Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm x1 , yCT 4

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm cực trị (nếu có) của hàm số sau: y x2 x 1

2x 11

Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm x n ; y n 1

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

1 y2 sin 2x 3

2 y sin6x cos6x

Bài 2: Tìm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

1 y cos x  sin xtrên đoạn 0;

2

 2 y cos x sin x3  3  3sin 2x

Bài toán 04: TÌM ĐIỂM LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA SỐ HÀM SỐ

Gọi M(x ; y ) là một điểm cực trị nào đó.0 0

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho hàm số yx3 3x21 Tìm m để đường thẳng nối hai điểm cực trị của hàm số đã cho cắt đường tròn (T) : x2y2 4x 2y m  0một dây cung có độ dài bằng 4 30

5 .

Bài 2: Cho hàm số yx3 3x22 có đồ thị là  C Gọi A, B là các điểm cực đại, cựctiểu của đồ thị  C Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị  C tại 2 điểmM,N sao cho tứ giác AMBN là hình thoi.

Bài toán 06: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ KHÁC

Lấy một dãy 

n

1x

lim x 0 nên với n đủ lớn xna; b và do  f x n 0 f 0 , n   ¡ , theo định

nghĩa cực trị của hàm số , x 0 không phải là một điểm cực trị của f x  

 Nếu f '' x i  thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0 x i

 Nếu f '' x i  thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0 x i

Vậy, với m3 thì hàm số không có cực trị

Hàm số chỉ có một cực trị khi phương trình y' 0 có một nghiệm duy nhất và y' đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó Khi đó phương trình 2mx2m 1 0   * vô nghiệm hay có nghiệm kép x 0

 Nếu m 0 thì y2 0  x ¡ nên hàm số không có cực trị.

 m 0 vì dấu của y'' chỉ phụ thuộc vào m nên để hàm có cực đại thì trước hết

y " 0  m0 Khi đó hàm số có cực đại  Phương trình y' 0 có nghiệm  1

Cách 1:

Điểm cực đại của đồ thị là A m 1; 2 2m   ;

Điểm cực tiểu của đồ thị là B m 1; 2 2m    

có hai nghiệm phân biệt x ,x khác 1 1 2  

là nghiệm của phương trình g x 0,x 1

2 Tìm các hệ số a, b,c,d của hàm số y ax 3bx2cx d  sao cho các điểm A 0; 2  

và B 2; 2   lần lượt là các điểm cực tiểu và cực đại của đồ thị hàm số

Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM

Phương pháp

Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x 0

Khi đó để giải bài toán này ,ta tiến hành theo hai bước

Bước 1 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là y'(x ) 00  , từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số

Bước 2 Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá

trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?

Chú ý:

Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng a; b chứa điểm  x ,0

 0

f ' x  và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm 0 x 0

Nếu f '' x 0 0thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x 0

Nếu f '' x 0 0thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x 0

Trong trường hợp f x '( ) 00  không tồn tại hoặc 0

0

'( ) 0 ''( ) 0

hàm số đạt cực đại tại điểm x 1

Với m 1 thì y'' 1   hàm số không thể có cực trị.0

Với m2 thì y'' 1 2 0  hàm số có cực đại tại x 1

  thì lời giải chưa chính xác

Vì dấu hiệu nêu trong định lí 3 chỉ phát biểu khi y''(x ) 00  Các bạn sẽ thấy điều đó

rõ hơn bằng cách giải bài toán sau:

1 Tìm m để hàm số yx43mx2m2m đạt cực tiểu tại x 0

2 Tìm m đề hàm số yx33(m 2)x 2(m 4)x 2m 1   đạt cực đại tại x1

 Nếu ta khẳng định được y''(x ) 00  thì ta sử dụng   được

Ví dụ 2 : Tìm các hệ số a, b sao cho hàm số

2

ax bx aby

Hàm số có cực đại, cực tiểu   y 0 có 2 nghiệm phân biệt tức là m1

Với m1 , thì đồ thị của hàm số có các điểm cực trị là A(1; m33m 1), B(m; 3m )  2

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi y' x 0 có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu

qua mỗi nghiệm tức là g x 0 có hai nghiệm phân biệt khác  2

Ta có:   m2 1 0, m ¡  hàm số luôn có hai điểm cực trị x ,x 1 2

Giả sử các điểm cực trị của hàm số là A(x ; y ), B(x ; y ) 1 1 2 2

với mọi giá trị của tham số m đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa

hai điểm này không đổi

x 1 , chứng minh rằng với mọi m ,

đồ thị (C ) luôn có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 m

3 Chứng minh rằng với mọi tham số m hàm số

2 Tìm m để đồ thị hàm số: y x3 3x2 2 tiếp xúc với đường tròn: