DUNG DUONG VUONG GOC CHUNG

SA vuông góc với ABCD và SA=a.. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng a SB và AD b SC và BD c SB và CD d SC và AD e SB và AC HD giải : a Nhận xét rằng: ADAB vì ABCD là hình vuông ADSA

DỰNG ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA 2 ĐƯỜNG

THẲNG CHÉO NHAU PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để dựng đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau ta có thể tiến hành theo các phương pháp sau:

Cách 1)

Bước 1) Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a

Bước 2) Chọn M trên a dựng MH vuông góc với mặt phẳng (P) tại H( bản chất là tìm hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P) )

Bước 3) Từ H ta dựng đường thẳng a’ song song với a cắt b tại B

Bước 4) Từ B dựng đường thẳng song song với MH cắt mặt phẳng (P) tại A thì AB là đoạn vuông góc chung

Cách 2)

Bước 1) Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với a tại O

Bước 2) Tìm hình chiếu vuông góc b1 của b trên mặt phẳng (P) Dựng hình chiếu vuông góc của O trên b1 là H

Bước 3) Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B

Bước 4) Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A thì đoạn AB là đoạn vuông góc chung

H

b

a’

b1 H O

Cách 3) Dùng khi a vuông góc với b

Bước 1) Dựng mặt phẳng (P) chứa b vuông góc với a tại A

Bước 2) Dựng AB vuông góc với b tại B thì AB là đoạn vuông góc chung

Ta xét các ví dụ sau

Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a tâm O SA vuông góc

với ABCD và SA=a Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

a) SB và AD b) SC và BD c) SB và CD d) SC và AD e) SB và AC

HD giải :

a) Nhận xét rằng:

ADAB vì ABCD là hình vuông

ADSA vì SA vuông góc với (ABCD)

Suy ra AD(SAB)

Dựng AM vuông góc với SB thì AM là đoạn vuông góc chung của SB và AD

a

AM  SB SA AB  b) Nhận xét rằng: BDAC vì ABCD là hình vuông

BDSA vì SA vuông góc với (ABCD)

Suy ra BD(SAC)

a

A

B b

F M

E B

x

A

C

D H

A

Nhận xét rằng tam giác HCO và tam giác ACS là 2 tam giác vuông có chung góc nhọn ˆC nên

SA  SC �  SC

a

SC SA AC a  a  a �SC a Suy ra:

2

2

6 3

a

a a OH

a

Vậy khoảng cách giữa SC và BD bằng 6

6

a

c) Nhận xét rằng: CD AB// �CD//SAB

�d CD SB ,  d CD SAB ,   d D SAB ,   DA a

Vậy khoảng cách giữa SB và CD bằng a

d) Nhận xét rằng: AD BC// �AD//SBC

2

a

d AD SC d AD SBC d A SBC AM 

�

Vậy khoảng cách giữa SC và AD bằng 2

2

a

e) Dựng: Bx AC// �AC//S Bx, �d AC SB ,  d A S Bx , ,  

hạ AE vuông góc với Bx ta được:

Bx AE Bx S Bx,  S Bx,  SAE ; ,S Bx SAE SE

Bx SA



� 

�

Hạ AF vuông góc với SE, ta có ngayAES Bx, 

Vậy AF là khoảng cách từ điểm A tới (S,Bx)

2

a

AE OB 

3 2

2

a AF

AF SA  AE  a  a a � 

Vậy khoảng cách giữa SB và AC bằng 3

3

a

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có SA=2ª và vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam

giác vuông cân tại B với AB=a Gọi M là trung điểm của AC

a) Hãy dựng đoạn vuông góc chung của SM và BC

b) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SM và BC

HD giải:

a) Để dựng đoạn vuông góc chung của SM và BC ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: Gọi N là trung điểm của AB, suy ra: BC MN// �BC//SMN

MN SA



�

�

Hạ BH SN �BH SMN

Từ H dựng Hx song song với BC và cắt SM tại E Từ E dựng Ey song song với BH và cắt BC tại

F Đoạn EF là đoạn vuông góc chung của SM và BC

BC SA



� 

thuộc BC và vuông góc với BC

Gọi N là trung điểm của AB suy ra: MN BC// �MN SAB, suy ra MN là hình chiếu vuông

góc của SM trên (SAB)

Hạ BH SN �BH SMN

Từ H dựng Hx song song với BC và cắt SM tại E Từ E dựng Ey song song với BH và cắt BC tại

F Đoạn EF là đoạn vuông góc chung của SM và BC

b) Nhận xét rằng tam giác SAN và tam giác BHN là 2 tam giác vuông có 2 góc nhọn đối đỉnh

SA  SN �  SN

a

2

SN SA AN  a � �� � �SN 

� � Suy ra:

2 17

a

a a

BH  

S

A

N

M

C

B H

Vậy khoảng cách giữa SM và BC bằng 2 17

17

a .

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc Aˆ 60 0 và đường cao SO=a

a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC)

b) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SB

HD giải:

a) Hạ OI vuông góc với BC và kéo dài OI cắt AD tại J Ta có: BC OI BC SOI

BC SO



� 

� �SBC  SOI ; SBC � SOISI

Hạ OH vuông góc với SI, ta có OH SBC Vậy OH là khoảng cách từ điểm O tới (SBC) Với hình thoi ABCD ta có: BD=a vì tam giác ABD đều

2

a

OB

�

2 2 3 3

2

a

AC AO a

Trong tam giác OBC vuông tại O, ta có:

 

3 2

a OI

OI OB OC  a  a  a � 

� �

� �

� � Trong tam giác SAE vuông tại A ta có:

2

39 13

a OH

OH  SO OI a  a  a � 

S

A

D

O

C

B

I

J

D

J

C H

Vậy khoảng cách từ O đến (SBC) bằng 3

4

a

b) Nhận xét rằng: AD BC// �AD//SBC �d AD SB ,  d AD SBC ,   d J SBC ,  

Mặt khác ta lại có: JO�SBC I nên:

 

 

 ,,  2  ,   2  ,   2 23

d J SBC d O SBC OH OI

d O SBC   �   

Vậy khoảng cách giữa SB và AD bằng 3

2

a .

BÀI TẬP

1) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a I là trung điểm AB Dựng IS vuông góc với mặt

2

a

IS Gọi M, N , P là trung điểm của BC,SD,SB Dựng và tính đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng:

a) AB và SD b) SA và BD c) NP và AC d) MN và AP

2) Cho hình chóp SABC có ABC là tam giác vuông đỉnh B,AB2 ,a BC a 3,SA2a và vuông góc với (ABC) Gọi M là trung điểm của AB

a) Tính góc giữa 2 mp (SBC) và (ABC)

b) Tính khoảng cách từ A đến CM

c) Tính góc giữa 2 mp (SCM) và (ABC)

d) Tính khoảng cách từ A đến (SCM)