Bất phương trình luôn luôn là một dạng bài khó trong các kì thi THPT quốc gia mới đây và ĐH CĐ trước kia.Để chinh phục được những bài toán này chúng ta cần đòi hỏi luyện tập nhiều, đặc biệt là phải đoán được các dạng của nó và phương pháp giải phù hợp.Tài liệu này tuyển chọn các dạng thường gặp trong các kì thi và phân tích cách giải của từng dạng đó qua các bài toán.Hi vọng giúp đỡ được phần nào ước mơ chinh phục cánh cổng trường ĐH.
Trang 1-Trần Quốc Việt-A3K40-NH2S-
Lời giải: Ta có 4xy z( 1) x y 0 z 1
Từ giả thiết ta có x y 4xy z( 1) (xy) (2 z1) Do z1
1 z 1
x y
Ta có
2
0
x y z y x z x y xy y z x z
z
x y z y x z x y xy xy
4( 1) ( 1)2 3 2( 5)2 7 7
Dấu đẳng thức xảy ra khi 2, 5
4
x y z
Vậy GTLN của biểu thức là maxP=-7
8 đạt được khi
5 2, 4
x y z
Lời giải: Từ giả thiết ta có a b c, , [0;3]
Đánh giá đại diện biểu thức sau ta có
2
a a
a a a a
Tương tự ta cũng có
P a b c 3 6
Dấu đẳng thức xảy ra khi a3,b c 0 và các hoán vị
Vậy GTNN của biểu thức là minP6 đạt được khi a3,b c 0 và các hoán vị
Bài 2:Cho các số thực a,b,c không âm thõa mãn a+b+c=3.Tìm GTNN của biểu thức
P
Bài 1: Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn x+y+4xy=4xyz
2
(Trích đề thi thử THPT Quốc Gia lần 26-thầy Phạm Tuấn Khải)
TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA
Trang 2Lời giải: Từ giả thiết ta có (x y)2 1( )2
4
z xyxy xy
Ta có
3
2 2
1
2
x y
P
xy xz xy yz z xy z x y x y
x y
x y x y
x y
x y
Dấu đẳng thức xảy ra khi x y 3,z9
Vậy GTNN của biểu thức là min 7
8
P đạt được khi x y 3,z9
Lời giải: Ta có bổ đề sau
2
Tương tự ta cũng có
;
Ta có ( x y z)23(x y z)
x y z t
với t x y z;
0 t x y z 3(x y z ) 6
Xét hàm số f t( ) 2t 18
t
trên (0; 6 ] ta có f t'( ) 2(t 3)(2 t 3) 0
t
f t( ) là hàm nghịch biến nên f t( ) f( 6)5 6
Dấu đẳng thức xảy ra khi 6
3
x y z
Vậy minP5 6 đạt được khi 6
3
x y z
Bài 4: Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn 2 2 2
2
x y z Tìm GTNN của biểu thức
P
x y z
(Trích đề thi thử THPT Quốc Gia lần 24-thầy Phạm Tuấn Khải)
Bài 3: Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn 2 2
3
x y z xy Tìm GTNN của biểu thức
16
P
(Trích đề thi thử THPT Quốc Gia lần 19-thầy Phạm Tuấn Khải)
Trang 3
Lời giải: Ta sẽ chứng minh BĐT phụ sau
3
2 2
x x
Ta có từ giả thiết xz y( z) 1 xy 1 xz
z
8(x 1)2 0 2 2 ( 4)2
x
Dấu đẳng thức xảy ra khi 1; 7
x z y
Vậy min 4
3
P đạt được khi 1; 7
x z y
Lời giải: Từ giả thiết ta có
x y z x y z yz x y z y z
x x y z y z
x y z
P
với t y z t; 0
Xét hàm số ( ) 4 13
27
f t
t t
trên (0;) ta có '( ) (1 6 )(1 6 )2
9
t t
f t
t
6
f t t
Vẽ BBT ta sẽ có ( ) ( ) 161
6
f t f
Dấu đẳng thức xảy ra khi 1; 1
x y z
Vậy maxP=16 đạt được khi 1; 1
x y z
Bài 6: Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn 2 2 2
5(x y z )9(xy2yzxz)
x P
Bài 5: Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn xz y( z) 1 Tìm GTNN của biểu thức
3
2 2
2
2
(Trích đề thi thử THPT Quốc Gia lần 38-thầy Phạm Tuấn Khải)
Trang 4Lời giải: Theo giả thiết ta có
4
Đặt 2(2 1); 3 2; 4 3 4
a b c, , 0;a b c 4
Ta có 30x221y210z2 12(2yzxyxz)34xyz
x
xyz
Mà ta có
2
abc a b c a
(Do x 1 a 2 )
17
P
Dấu đẳng thức xảy ra khi x1,y2,z3
Vậy maxP= 3
17 đạt được khi x1,y2,z3
Lời giải: Ta có 12 12 1 1( 1)2 1( 4 )2 8 2
b c bc b c
( 3)( 3) 6 8
Xét hàm số ( ) 92 8 2 8(8 ) 3
với a(0; 2) ta sẽ có
f a( ) f(1) 95 Dấu đẳng thức xảy ra khi 1, 1
2
a b c
Vậy minP 95 đạt được khi 1, 1
2
a b c
Bài 9: Cho x,y thuộc [1;2].Tìm GTNN của biểu thức
P
Bài 8: Cho các số thực dương a,b,c thõa mãn a+b+c=2.Tìm GTNN của biểu thức
P 92 12 12 16 (a 3)(b 3)(c 3)
Bài 7: Cho các số thực x y z, , 1 và 2 1 1 17
6
x y z Tìm GTLN của biểu thức (2 1)(32 22)(4 z 3)2
P
Trang 5Lời giải: Do 1 x 2 nên x1x2 0 x23x2
Tương tự ta có y2 3y2
P
Xét hàm số ( ) 1
t
f t t
trên [2; 4] ta sẽ có
1 3( )( 3)
3
4( 1)
t
(Do t[2; 4] ) ( ) (3) 7
8
f t f
Dấu đẳng thức xảy ra khi x y; 1;2 , 2;1
Vậy min 7
8
P đạt được khi x y; 1;2 , 2;1
Lời giải: Ta có 2 2 2 2 2
2yxz (x y )(z 4) x y (Do x2 y2 z24)
2
P
Dấu đẳng thức xảy ra khi x y z 2
Vậy minP2 đạt được khi x y z 2
Lời giải: Sử dụng bổ đề 21 21 2
a b ab
(*) a b, 1 (ab1)(a b )20 (Đúng a b, 1)
Áp dụng (*) ta sẽ chứng minh được 31 31 31 3
x xyz
x y z, , 1
P
Dấu đẳng thức xảy ra khi x y z 1
Vậy min 3
4
P đạt được khi x y z 1
Bài 11: Cho các số thựcx y z, , 1 Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
P
Bài 10: Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn 2 2 2
4
x y z Tìm GTNN của biểu thức
2
P
Trang 6Lời giải: Ta có
a b a c a b a c ab a c a b c
a b c a b c t t
P
Từ giả thiết ta có
4 a b c a b c a b c a b c ac bc a b c 4 a b c a b c 4 t 4
Xét hàm số
2
( )
t t
f t t
với t4 ta có
2 2
t t
f t
t
t 4 f t( ) là hàm nghịch biến nên
1 ( ) (4)
6
f t f t 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi a b 1;c2
Vậy maxP=1
6 đạt được khi a b 1;c2
Lời giải: Từ giả thiết ta có 4ab3ac b 2c2 a24b2a24c2 4ab4ac
b2c2 ac
Ta lại có
2
2
a b c
b b c
a
ac bc
b
Ta có
2
a c b c b b c ac ac b a b t
P
Xét hàm số ( ) 1
5
t
f t
t
với t(0; 2] ta có
2
2
5
f t
t
10
f t f Dấu đẳng thức xảy ra khi a2,b c 1
Vậy min 9
10
P đạt được khi a2,b c 1
Bài 13: Cho các số thực dương a,b,c thõa mãn 2 2 2
2a 3b 3c 4ab3ac Tìm GTNN của biểu thức
P
Bài 12: Cho các số thực dương a,b,c thõa mãn 3 3 3
4(a b )c 2(a b c ac bc)( 2) Tìm GTLN của biểu thức
P
Trang 7Lời giải: Ta có
4
12
x xy y y yz z
Lại có
P xy yz xz xy yz xz xy yz xz
Dấu đẳng thức xảy ra khi 20 ; y 4 ; z 7
Vậy minP 2 đạt được khi 20 ; y 4 ; z 7
Lời giải: Từ giả thiết ta có 2 2 2
x y z xyyzxz x y z Xét hàm số f t( )3 4t t 1 trên [0;3] ta có
1 3
3
t
f t ; '( ) 0 3log (4 3 )
ln 4
BBT
f t t
4
3
108
x y z
P x y z
Bài 15: Cho các số thực không âm x,y,z thõa mãn 2 2 2
0 (x y) (yz) (x z) 18 Tìm GTLN của biểu thức
4
108
Bài 14: Cho các số thực x,y,z thõa mãn xy+yz+xz > 0.Tìm GTNN của biểu thức
4
x xy y y yz z
t
f’(t)
f(t
)
3 3log ( )
ln 4
0
Trang 8Xét hàm số ( ) 3
108
t
f t t với t0 ta có
3
27
27
t
f t t
Từ đó vẽ BBT dễ dàng suy ra (t) f(3) 21
3
f Dấu đẳng thức xảy ra khi x3,y z 0 và các hoán vị khác
Vậy maxP=21
3 đạt được khi x3,y z 0 và các hoán vị khác
Lời giải: Ta có
2
2
2 2
2
2
2
z xy xy yz xz P
xy yz xz z xy
t t
Với t z2xy 3(xyyzxz) t 0
Xét hàm số ( ) 2 4 1
t
f t
t
với t0 ta có
2
t t
f t
t
t
Vẽ BBT dễ dàng ta sẽ có ( ) ( 2) 3
4
f t f Dấu đẳng thức xảy ra khi x y 1;z0
Vậy maxP=3
4 đạt được khi x y 1;z0
Lời giải: Từ giả thiết ta có
2
2
Do đó suy ra (x2z2)(y2 z2)x y2 2z x2( 2 y2 z2)x y2 2 z xy2( 2 )z xy(xy z ) 2 2z32xyz2z3
Bài 17: Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn 2 2 2
2
x y z xy z Tìm GTNN của biểu thức
3 2
8
P
y z x z x z y z
Bài 16: Cho các số thực không âm x,y,z thõa mãn 2 2 2
x y z xyyzxz Tìm GTLN của biểu thức
2
z xy xy yz xz
x yz y xz P
x yz y xz
Trang 9Ta lại có
2
xy
3
P
Dấu đẳng thức xảy ra khi x y z 1
Vậy minP3 đạt được khi x y z 1
Lời giải: Áp dụng AM-GM ta có
y z
x y z x
Tương tự như thế ta sẽ có
x y z P
x y z
3(x y z )2(x y z) 3 (x y z) 2(x y z) 3 0 x y z 3
Đặt t 2(x y z) 3 t ( 3;3] khi đó
2 2
( )
t
P f t
Xét hàm số
2 2
( )
t
f t
trên ( 3;3] ta có '( ) 232 2 2 62 0
t t
f t
Suy ra f t( ) nghịch biến trên ( 3;3] nên ( ) (3) 10
3
P f t f Dấu đẳng thức xảy ra khi x y z 1
Vậy min 10
3
P đạt được khi x y z 1
Bài 18: Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn 2 2 2
3(x y z )2(x y z)3 Tìm GTNN của biểu thức
2
P
Trang 10Lời giải: Ta có
14(x2 y2 z2) (12223 )(2 x2 y2 z2) x 2y3z
x z y x z y x y z
Từ đó suy ra
2 3
64
32
P x y z
x y z
x y z
x y z x y z
x y z
x y z
Dấu đẳng thức xảy ra khi x1;y2;z3
Vậy minP22 đạt được khi x1;y2;z3
Lời giải: Ta có
1
a b c
Tương tự như trên với hai biểu thức còn lại
a b c
P
Ta có
ab bc ca
9 3
a b c P
b c
Đặt t 3(a2b2 c22) t 3
t
P f t
t
Xét hàm số ( ) 3 227 8
t
f t
t
trên [3;) ta có
Bài 20: Cho các số thực dương a,b,c thõa mãn ab+bc+ac=1
Tìm GTLN của biểu thức
P
Bài 19: Cho các số thực dương x,y,z Tìm GTNN của biểu thức
P
Trang 11'( ) 27 22 2 8 0
t
f t
t
t 3 Suy ra f t( ) nghịch biến trên [3;) ( ) (3) 18
5
f t f
Dấu đẳng thức xảy ra khi 3
3
a b c
Vậy maxP= 18
5
3
a b c
Lời giải: Ta có
(x1)(y1)(z 1) xy yz xz x y z xyz 1 x y z xyz 2 x y z 2
Giả sử x y z thì ta có
2 2 ( ) ; y2 2 2 (y ) ;2 2 2 ( )2 ( )2
x z x z x y x y
2 1 2 21 2 2 1 2 2 1 2 12 12
x y y z x z a b a b
z
a x ;
2
z
b y
2
1
2
a b a b a b ab a b ab ab a b ab a b a b x y z
3
2
x y z x y z
x y z
Dấu đẳng thức xảy ra khi x y 1,z0 và các hoán vị
Vậy min 25
2
P đạt được khi x y 1,z0 và các hoán vị
To be continue…
Bài 21: Cho các số thực không âm x,y,z thõa mãn xy+yz+xz=1
2