Tuyển chọn các bài bất đẳng thức hay

Chứng minh rằng Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b+... Lời cảm ơnChắc chắn tuyển tập này sẽ hoàn thành được nếu không có sự giúp đỡ từ những người bạn của chúng tôi.. Họ đã trực

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

Tournament of the Towns, 1993

5 Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn ñiều kiện x2+y2+z2= Hãy tìm giá trị lớn nhất của 1biểu thức

n n

27 Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x+ + = Chứng minh rằngy z 3

x+ y+ z≥xy+yz+zx

Proposed for the Balkan Mathematical Olympical

31 [ Adrian Zahariuc ] Cho x x1, , ,2 x n là các số nguyên ñôi một phân biệt nhau Chứng

minh rằng

1 2 n 1 2 2 3 n 1 2 3

32 [ Murray Klamkin ] Cho x x1, , ,2 x n≥0,n> thỏa mãn ñiều kiện 2 x1+ + +x2 x n= 1

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 2 2 3 n1n n1

x x +x x+ +x−x +x x

Crux Mathematicorum

33 Cho x x1, , ,2 x n> thỏa mãn ñiều kiện 0 x k+1≥ + + + với mọi k Hãy tìm giá trị x1 x2 x k

lớn nhất của hằng số c sao cho x1+ x2+ + x n≤c x1+ + +x2 x n

Adapted after a well – known problem

41 [ Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

xy+yz+ +zx xyz= Chứng minh rằnga) 1

k k

n i

∑ Chứng minh rằng

( )

11

69 [ Titu Vàreescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c+ + ≥abc

Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất ñẳng thức sau ñây là ñúng

2 3 6 6,2 3 6 6,2 3 6 6

a+ + ≥b c b+ + ≥c a c+ + ≥ a b

TST 2001, USA

70 [ Gabriel Dospinescu, Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều

kiện x+ + =y z xyz Chứng minh rằng

( ) ( )

( ) ( )

Austrian – Polish Competition, 1995

77 Cho , , , ,a b c d e là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abcde= Chứng minh rằng1

10

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

sin sin sin sin sin sin sin sin sin

KMO Summer Program Test, 2001

80 [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu ] Cho a a1, , ,2 a n>0,n> thỏa mãn ñiều kiện 2

Vietnamese IMO Training Camp, 1995

89 [ Trần Nam Dũng ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa ñiều kiện ( )3

32

x+ +y z = xyz Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( )

4 4 4 4

+ ++ +

91 [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều

kiện a + + = và n là số nguyên dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức b c 1

( ) ( )

( ) ( )

35

104 [ Turkervici ] Cho , , ,x y z t là các số thực dương Chứng minh rằng

x

=+ ≤

=

≥+

Miklos Schweitzer Competition

117 [ Gabriel Dospinescu ] Cho x x1, , ,2 x n> thỏa mãn ñiều kiện 0 x x1 2 x n= Chứng 1minh rằng

A generazation of Tukervici’s Inequality

118 [ Vasile Cirtoaje ] Cho 1 2

1, , ,

( )

1 2 1

15

(a+ +b c x)( + + =y z) (a2+ +b2 c2)(x2+y2+z2)= 4

Chứng minh rằng

136

Czech and Slovakia, 2000

3 31.

Czech – Slovak Match, 1999

162 Cho , ,a b c là các số thực dương Chứng minh rằng

108

a+ + + + + =b c d e f ace+bdf≥ Chứng minh rằng

20

136

abc+bcd+cde+def+efa+fab≤

Bosnia and Hercegovina, 2002

179 Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc≥ Chứng minh rằng 1

Czech – Slovak – Polish Match 2001

190 Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a+ + = Chứng minh rằng b c 1

Bosnia and Hercegovina, 2005

195 Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a+ + = Chứng minh rằng b c 1

121

1

n n

n

x x

Czech and Slovak, 2005

205 Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 1

3

ab+bc+ca= Chứng minh rằng

Serbia and Montenegro, 2005

208 Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a4+ +b4 c4= Chứng minh 3rằng

211 [ Huỳnh Tấn Châu ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

1

xy xy+yz yz+zx zx= Chứng minh rằng

3 3 3 3 3 3

12

2

213 [ Ngô Văn Thái ] Cho x x1, , ,2 x n>0,n> Chứng minh rằng 2

215 [ Lê Thanh Hải ] Cho , ,a b c d là các số thực dương Chứng minh rằng

237 [ Nguyễn ðễ ] Cho , ,α β γ∈ℝ, sinα+sinβ+sinγ≥2 Chứng minh rằng

cosα+cosβ+cosγ≤ 5

238 [ Huỳnh Tấn Châu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a+ + = b c 6

253 [ Triệu Văn Hưng ] Cho , ,a b c> Chứng minh rằng 1

logb c logc a loga b 33

29

32

279 [ đàm Văn Nhỉ ] Cho a b c d, , , ∈[ ]0,1 Chứng minh rằng

282 [ Dương Châu Dinh ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

2 2 2 2 2 2 1

2 cos7

292 [ Cao Minh Quang ] Cho 10 số thực không âm a b i i, i(=1, 2, ,5) thỏa mãn ñiều kiện

293 Cho , ,x y z là các số thực không âm Chứng minh rằng

n n j

j i i i

M

n n

≥

− Nordic, 1995

300 Cho a a1, , ,2 a n n( ≥ là các số thực dương Chứng minh rằng 1)

304 Cho ,a b là các số thực dương và các số thực x y i, i∈[ ]0,1 ,i=1, 2, ,n n( ≥ thỏa mãn 1)

các ñiều kiện x1+ + +x2 x n≤a y, 1+y2+ + y n≤ Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu b

thức

1 1 2 2 n n

x y+x y + +x y Poland, 2005

305 Cho các số thực dương x x1, , ,2 x n và số thực c> − Chứng minh rằng nếu 2

3

n n

n

312 Cho x x1, , ,2 x n−1(n≥ là các số tự nhiên thỏa mãn ñiều kiện 3) x1+ + +x2 x n−1= 2

và x1+2x2+ + − (n 1)x n−1=2n− Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

(1 2 ) 1 ( )

1, , , 2

Xác ñịnh ñiều kiện xảy ra ñẳng thức khi n= 4

318 Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

319 Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x2≤ +y z y, 2≤ +z x z, 2≤ + Hãy x y

tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z

Serbia and Montenegro, 2002

320 Cho , ,a b c là các số thực dương và ,n k là các số tự nhiên Chứng minh rằng

Serbia and Montenegro, 2004

322 Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x+ + = Chứng minh rằng y z 1

xy+yz+zx≥ x y +y z +z x + xyz Serbia and Montenegro, 2006

35

323 Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x+ + = Chứng minh rằng y z 1

94

Serbia and Montenegro TST, 2004

330 Cho , , ,a b c d là các số thực dương Chứng minh rằng

332 Cho 1 2 3 4

1, , , 0,

333 Cho x x1, , ,2 x là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện n x12+x22+ + x n2= Hãy tìm 1

giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x x

a + + +b c abc≤ Italy, 1990

339 Cho , ,a b c là các số thực dương Chứng minh rằng

Hungary – Israel Competition, 2003

344 Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a+ + + = Chứng minh b c d 1rằng

348 Cho ,x y là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x2+xy+y2= Hãy tìm giá trị nhỏ nhất 1

và giá trị lớn nhất của biểu thức

3 3

K=x y+xy Greek , 2006

349 Cho , ,α β γ là các số thực thỏa mãn ñiều kiện

21

0, γ 0βγ

Greek , 2001

351 Cho ,x y là các số thực dương Hãy xác ñịnh số k lớn nhất ñể

13

353 Cho 0≤x y z, , ≤ Hãy tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức 1

x x

α α

+ + −

357 Cho x x x x x1, , , ,2 3 4 5 là các số thực dương Hãy xác ñịnh số C bé nhất ñể

360 Cho , , ,a b c d là các số thực Chứng minh rằng

6 6 6 6 2 6

a + + +b c d + ≥ abcd Austria, 2004

1

2 1

n k

366 Cho , ,a b c là các số khác 0; x y z là các số thực dương thỏa ñiều kiện , , x+ + = y z 3Chứng minh rằng

371. Cho n là một số tự nhiên và x là một số thực Chứng minh rằng

cos cos 2 cos 4 cos 2

1

n p k

a+ + ≥ ≥b c ab+ bc+ ca

390 [ Bogdan Enescu ] Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn các ñiều kiện

cosx+cosy+cosz=0,cos 3x+cos 3y+cos 3z= 0Chứng minh rằng

cos 2 cos 2 cos 2x y z≤ 0

391 [ Phạm Hữu ðức ] Cho , ,a b c là các số thực dương Chứng minh rằng

36

398 [ Phạm Hữu ðức ] Cho , ,a b c là các số thực không âm nhưng không có hai số nào

trong ba số ñồng thời bằng 0 Chứng minh rằng

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b+

407 [ Iurie Boreico, Marcel Teleucă ] Cho 1 2

1, , ,

i

n n n i

n n i

423 Cho x x1, , ,2 x n là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

11

n i i

x

=

=

∑ Chứng minh rằng 2

1

n n i

i i i

n x

424 Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x+ + = Chứng minh rằng y z 1

22

426 Cho , ,a b c là các số thực dương Chứng minh rằng

232

n k i k

i i

a n a

438 Cho , ,a b c là các số thực dương Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2

3 21

i i

i i

n i

i i

x x

=

≤+

1

x x x x

452 Cho , , ,a b c d là các số thực dương Chứng minh rằng

454 [ Lê Quang Nẫm ] Cho , ,x y z là các số thực dương Chứng minh rằng

xyz

460 [ Minh Trân ] Cho x x1, , ,2 x là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện n

11

n i i

462 [ Tạ Hoàng Thông ] Cho , ,x y z là ba số thực dương thỏa ñiều kiện x3+y3+z3= 3Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

469 [ Phạm Hoàng Hà ] Cho , ,x y z là ba số thực không âm thỏa ñiều kiện x+ + = y z 4

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

470 [ Trần Tuấn Anh ] Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa ñiều kiện a+ + = b c 1

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

i i

3

x+ + +x x ≤ ðẳng thức xảy ra khi nào?

475 [ Phạm Hoàng Hà ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

ðẳng thức xảy ra khi nào?

486 [ Trần Nam Dũng ] Cho k∈ −( 1, 2) và , ,a b c là ba số thực ñôi một khác nhau Chứng minh rằng

Tuyển tập các bài toán

Tháng 11 năm 2010

vì mục đích thương mại đều phải được sự đồng ý của các tác giả.

2.1 Đề toán 52.2 Lời giải 14

iii

Lời cảm ơn

Chắc chắn tuyển tập này sẽ hoàn thành được nếu không có sự giúp đỡ từ những người bạn của

chúng tôi Họ đã trực tiếp động viên chúng tôi thực hiện, góp ý để có thể tuyển tập một cách tốt

nhất các bài toán bất đẳng thức Xin chân thành cảm ơn hai anh sau đã giúp chúng tôi rất nhiều

trong việc thực hiện tuyển tập này

1 Nguyễn Văn Dũng - Giảng viên Học Viện Kỹ thuật Quân sự Hà Nội;

2 Võ Quốc Bá Cẩn - Sinh viên Đại học Y Dược Cần Thơ.

1 (Bất đẳng thức AM – GM) Với các số thực không âm a1, a2, , an, ta luôn có

a1+ a2+ + an

n ≥√n

a1a2 an

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1= a2= = an

2 (Bất đẳng thức AM – GM suy rộng) Với các số thực không âm x1, x2, , xnvà các số thựcdương α1, α2, , αncó tổng bằng 1 thì ta luôn có

α1x1+ α2x2+ + αnxn≥ xα1

1 xα2

2 xα n

n.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1= a2= = an

3 (Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz) Cho hai bộ số thực a1, a2, , anvà b1, b2, , bn Khi

đó, ta luôn có

(a2+ a2+ + a2n)(b2+ b2+ + b2n) ≥ (a1b1+ a2b2+ + anbn)2.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tồn tại một số thực k sao cho ai= bkivới i = 1, 2, , n

4 (Bất đẳng thức H¨older) Với m dãy số không âm xi j(i = 1, 2, , m, j = 1, 2, , n) và

Đẳng thức xảy ra khi m dãy số đó tương ứng tỷ lệ

5 (Bất đẳng thức Chebyshev) Giả sử a1, a2, , anvà b1, b2, , bnlà hai bộ số thực bất kỳ

1

Chương 1 Một số kết quả và các ký hiệu 1.1 Một số kết quả

(i) Nếu hai dãy trên đơn điệu cùng chiều thì

n

1 r

r> 0r

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 cùng các hoán vị

Có hai kết quả thường được sử dụng là r = 1 và r = 2

Với r = 1, ta có bất đẳng thức Schur bậc ba

a(a − b)(a − c) + b(b − c)(c − a) + c(c − a)(c − b) ≥ 0

Các dạng tương đương của bất đẳng thức trên là

a3+ b3+ c3+ 3abc ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)

(a + b + c)3+ 9abc ≥ 4(a + b + c)(ab + bc + ca)abc≥ (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b)

a2+ b2+ c2+ 9abc

a+ b + c≥ 2(ab + bc + ca)

Với r = 2, ta có bất đẳng thức Schur bậc bốn

a2(a − b)(a − c) + b2(b − c)(b − a) + c2(c − a)(c − b) ≥ 0

Dạng tương đương của bất đẳng thức trên là

a4+ b4+ c4+ abc(a + b + c) ≥ ab(a2+ b2) + bc(b2+ c2) + ca(c2+ a2)

2

1.1 Một số kết quả Chương 1 Một số kết quả và các ký hiệu

8 (Bất đẳng thức Vornicu – Schur) Cho a ≥ b ≥ c là các số thực và x, y, z là các hàm số không

âm Xét bất đẳng thức sau

x(a − b)(a − c) + y(b − c)(b − a) + z(c − a)(c − b) ≥ 0

Bất đẳng thức trên đúng nếu một trong các tiêu chuẩn sau được thỏa mãn

9 (Hàm lồi) Cho I là một khoảng trong R Một hàm f xác định trên I được gọi là lồi khi và chỉ

khi với mọi a, b ∈ I và α, β ≥ 0 thỏa mãn α + β = 1, ta có

α f (a) + β f (b) ≥ f (α a + β b)

Nếu bất đẳng thức này ngược chiều thì f được gọi là một hàm lõm

Nếu f khả vi trên I thì f lồi khi và chỉ khi đạo hàm f0của nó là một hàm tăng

Nếu f liên tục trên [a; b] và có đạo hàm f00trên (a, b), thì f lồi khi và chỉ khi f00≥ 0

10 (Bất đẳng thức Jensen) Nếu a1, a2, , anlà các số thực không âm sao cho a1+ a2+ +

an= 1 và x1, x2, , xnlà các số thực thì với mọi hàm f lồi trên R ta luôn có

12 Với a ≥ b ≥ c là các số thực không âm và P(a, b, c) là một hàm đối xứng cho ba biến a, b, c.

1 Cố định p = a + b + c, q = ab + bc + ca Khi đó với mọi hàm f khả vi trên [0, ∞) thỏa mãnk(x) = f0(x) là hàm lồi thì

P(a, b, c) = f (a) + f (b) + f (c)

đạt giá trị lớn nhất (nếu có) khi a ≥ b = c và đạt giá trị nhỏ nhất (nếu có) khi a = b ≥ choặc c = 0

3

Chương 1 Một số kết quả và các ký hiệu 1.2 Các ký hiệu

2 Cố định p = a + b + c, q = ab + bc + ca Khi đó với mọi hàm f khả vi trên [0, ∞) thỏa mãn

4 Cố định p = a + b + c, r = abc Khi đó với mọi hàm f khả vi trên [0, ∞) thỏa mãn k(x) =

f0 1x
là hàm lõm thì

P(a, b, c) = f (a) + f (b) + f (c)đạt giá trị lớn nhất (nếu có) khi a = b ≥ c và đạt giá trị nhỏ nhất (nếu có) khi a ≥ b = c

1.2 Các ký hiệu

1 Với mọi tam giác ABC, ta đặt a = BC, b = CA, c = AB Ngoài ra, p, R, r, S lần lượt là nửa chu

vi, bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp và diện tích của ∆ ABC

(Đối với tam giác A0B0C0các ký hiệu a0, b0, c0, p0, R0, r0, S0cũng được hiểu theo nghĩa tương tự)

2 Cho f là một hàm n biến Tổng hoán vị, ký hiệu là ∑cyc, được định nghĩa là

∑

cyc

f(a1, a2, , an) = f (a1, a2, , an) + f (a2, a3, , a1) + + f (an, a1, , an−1)

Trong tuyển tập, ký hiệu ∑

cyctương đương với ∑ Ngoài ra, ký hiệu ∑

a,b,c

còn để chỉ tổng hoán vịcho ba biến a, b, c

b4b + 4c + a+

c4c + 4a + b≤1

cc+p(c + 2a)(c + 2b)≤

5

Chương 2 Tuyển tập các bài toán 2.1 Đề toán

2(a + b + c)(ab + bc + ca)2

9 Giả sử a, b, c là các số thực dương Hãy chứng minh

10 Với mọi a, b, c ≥ 0 thỏa mãn ab + bc + ca > 0 ta luôn có

ab(b + c)(c + a)≥2(a

2+ b2+ c2) + ab + bc + ca2(a2+ b2+ c2+ ab + bc + ca).

13 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn không có hai số nào đồng thời bằng 0 Chứng

minh rằng

ab+ c+b

c+ a+c

a+ b≥3(a

2+ b2+ c2)(a + b + c)2 +1

c+ a

2

+

c

(c + a)2+ 1

(a + b)2≥ 9

4(ab + bc + ca).

(Iranian Mathematical Olympiad 1996)

17 Giả sử a, b, c là các số thực không âm, trong chúng không có hai số nào đồng thời bằng 0.

Hãy chứng minh bất đẳng thức sau

a2+ 2bc

(b + c)2+b

2+ 2ca(c + a)2+c

2+ 2ab(a + b)2+ 2abc

(a + b)(b + c)(c + a)≥5

2.

6

2.1 Đề toán Chương 2 Tuyển tập các bài toán

18 Với a, b, c là các số thực dương, hãy chứng minh

1(c + a)2(a + b)2+ 1

12b3+ 3b + 2+

12c3+ 3c + 2≥

23 Với mọi a, b, c > 0 ta luôn có

apa2+ 2bc + bpb2+ 2ca + cpc2+ 2ab ≥√3(ab + bc + ca)

24 Nếu a, b, c là các số thực thuộc [−1; 1] thỏa mãn điều kiện

1 + 2abc ≥ a2+ b2+ c2,thì khi đó ta luôn có bất đẳng thức

Chương 2 Tuyển tập các bài toán 2.1 Đề toán

29 Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực a, b, c

3(a2− ab + b2)(b2− bc + c2)(c2− ca + a2) ≥ a3b3+ b3c3+ c3a3

30 Giả sử a, b, c > 0 Chứng minh

(a2+ ab + bc)(b2+ bc + ca)(c2+ ca + ab) ≥ (ab + bc + ca)3

31 Cho ba số không âm a, b, c Chứng minh

(a3+ b3+ c3+ 3abc)2≥ (a + b + c)(ab + bc + ca)(a3+ b3+ c3+ abc)

32 Nếu a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c > max{a, b, c} thì

b2+ ca+(a + b)2

c2+ ab ≥ 6,trong đó a, b, c là các số thực không âm sao cho a + b + c > max{a, b, c}

36 Nếu a, b, c là các số thực không âm sao cho (a + b)(b + c)(c + a) > 0 thì

37 Giả sử a, b, c là các số thực không âm và ab + bc + ca = 1 Chứng minh

2

+

bc− a

2

+

c

a− b

2

≥ 2

8

2.1 Đề toán Chương 2 Tuyển tập các bài toán

39 Với mọi số thực a, b, c thỏa mãn (a − b)(b − c)(c − a) 6= 0 ta luôn có

 a − bb− c

2

+ b − cc− a

(Mongolian Mathematical Olympiad 2010)

41 Cho tam giác ABC, ba đường trung tuyến ma, mb, mcứng với các cạnh a, b, c Chứng minh

 bc

a+ca

b+abc

a2

b+ c+3s

b2

c+ a+3s

a6+ b6+ c6

45 Chứng minh với mọi a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 2

bc4

√3a2+ 4+

ca4

√3b2+ 4+

ab4

√3c2+ 4≤

2√43

25

 1

a+1

b+1

c+1a+ b + c

2

(Iranian IMO Summer Training Camp 2010)

47 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi 2 Chứng minh

(Bosian Mathematical Olympiad 2010)9

Chương 2 Tuyển tập các bài toán 2.1 Đề toán

48 Gỉa sử x, y, z là các số thực dương và xy + yz + zx = 1 Khi đó, ta có

1

b+ c+1

c+ a+1a+ b

,

b +abc



c+1

a− 1

 a+1

b+1c

b+1

b+1c

+ 9 ≥ 10(a2+ b2+ c2)

56 Cho a, b, c là các số thực không âm sao cho a + b + c > max{a, b, c} và a + b + c = 1 Chứng

2.1 Đề toán Chương 2 Tuyển tập các bài toán

57 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau với các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3

P(a, b, c) = bc

3 + a2+ ca

3 + b2+ ab

3 + c2

58 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P(a, b, c) = (ab)k+ (bc)k+ (ca)k,với a, b, c, k là các số thực không âm tùy ý thỏa mãn a + b + c = 1

59 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P(a, b, c) =

a

b+ c

k

+

bc+ a

k

+

ca+ b

k

,

trong đó a, b, c, k là các số thực không âm sao cho ab + bc + ca > 0

60 Cho các số nguyên dương lẻ a, b, c, d đôi một khác nhau Chứng minh

abc+ bcd + cda + dab + 34 ≤ 2abcd

61 Với mọi số thực dương a, b, c, d ta luôn có bất đẳng thức

a2− bc

b+ 2c + d+

b2− cdc+ 2d + a+

c2− da

d+ 2a + b+

d2− aba+ 2b + c≥ 0.

62 Cho a, b, c, d là các số thực dương đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau đây

abcd= 1; a+ b + c + d >a

b+b

c+c

d+d

a.

Hãy chứng minh rằng

b

a+c

b+d

c+a

Chương 2 Tuyển tập các bài toán 2.1 Đề toán

65 Với mọi a, b, c, d > 0 ta luôn có

66 Nếu a, b, c, d là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c + d = 3 thì

ab(b + c) + bc(c + d) + cd(d + a) + da(a + b) ≤ 4

67 Cho các số thực không âm a, b, c, d Chứng minh rằng

a4+ b4+ c4+ d4+ 2abcd ≥ a2b2+ a2c2+ a2d2+ b2c2+ b2d2+ c2d2

68 Với mọi số thực không âm a, b, c, d có tổng bằng 1 ta luôn có

4(a3+ b3+ c3+ d3) + 15(abc + bcd + cda + dab) ≥ 1 + 48abcd

69 Cho a, b, c, d là các số thực không âm có tổng bằng 1 Chứng minh

a4+ b4+ c4+ d4+148

27abcd≥ 1

27.

70 Giả sử a, b, c, d là các số thực dương có tổng bằng 4 Hãy chứng minh

abc+ bcd + cda + dab + (abc)2+ (bcd)2+ (cda)2+ (dab)2≤ 8

71 Cho các số dương a, b, c, d có tích bằng 1 Khi đó, ta có

73 Với các số thực không âm a, b, c, d thỏa mãn abc + bcd + cda + dab > 0 ta luôn có

74 Cho a, b, c, d, e là các số thực dương Chứng minh

2.1 Đề toán Chương 2 Tuyển tập các bài toán

76 Với a, b, c, d, e là các số thực dương có tổng bằng 5, hãy chứng minh

abc+ bcd + cde + dea + eab ≤ 5

77 Cho sáu số thực dương a, b, c, x, y, z Chứng minh

(a + b + c)(x + y + z)a+ b + c + x + y + z ≥ ax

a+ x+byb+ y+cz

n

∑

i=1

a2 i n

∑

i=1

1

a2 i

82 Giả sử a1, a2, , an(n ≥ 3) là các số thực dương thỏa mãn a2+ a2+ + a2

n= n Chứngminh

x2+ x2+ + x2

n−2

≥ n

n− 2.(Mathematics and Youth Magazine)

83 Cho a0, a1, , an(n ≥ 1) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ak+1− ak≥ 1 với mọi

(International Mathematical Competition 2010)

13

Chương 2 Tuyển tập các bài toán 2.2 Lời giải

2.2 Lời giải

1 Với mọi số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c > 0, ta luôn có

a4a + 4b + c+

b4b + 4c + a+

c4c + 4a + b≤1

4c(a + b + c)4c + 4a + b ≤4(a + b + c)

a+ 3ca

4a + 4b + c+ b +

3ab4b + 4c + a+ c +

3bc4c + 4a + b≤ a + b + c +a+ b + c

3 ,ca

4a + 4b + c+

ab4b + 4c + a+

bc4c + 4a + b≤a+ b + c

9 .Nhận xét rằng nếu ab + bc + ca = 0 thì bất đẳng thức của ta là hiển nhiên Dưới đây ta sẽ xét với

ab+ bc + ca > 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có

ca4a + 4b + c=

ca(2a + b) + (2a + b) + (2b + c)

≤ca9

12a + b+

12a + b+

12b + c



=ca9

22a + b+

12b + c



Suy ra

V T≤1

9∑

2ca2a + b+

ca2b + c



=19

bc2a + b

f(a, b, c) = 4(a + b + c)3− 27(a2b+ b2c+ c2a+ abc) ≥ 0

Không mất tính tổng quát giả sử b là số nằm giữa a và c Ta có

f(a, b, c) − f (a + c, b, 0) = 27c(b − c)(b − a) ≥ 0,nên ta chỉ cần chứng minh f (a + c, b, 0) ≥ 0 là đủ Nhưng bất đẳng thức này lại hiển nhiên đúng

2.2 Lời giải Chương 2 Tuyển tập các bài toán

2 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh

a

a+p(a + 2b)(a + 2c)+

bb+p(b + 2c)(b + 2a)+

cc+p(c + 2a)(c + 2b)≤

3

4.

Lời giải Trước hết, ta sẽ chứng minh rằng

aa+p(a + 2b)(a + 2c)≤

a4(a + b)+

a4(a + c),

hay là

(2a + b + c)ha+p(a + 2b)(a + 2c)i≥ 4(a + b)(a + c)

Đặt x =a+ba , y =a+ca thì hiển nhiên x, y > 1 Khi đó bất đẳng thức này trở thành

(x + y)h1 +p(2x − 1)(2y − 1)i≥ 4xy,

x+ y − 4xy

x+ y≥ x + y − 1 −p

(2x − 1)(2y − 1),(x − y)2

x+ y ≥(x + y − 1)

2− (2x − 1)(2y − 1)

x+ y − 1 +p(2x − 1)(2y − 1),(x − y)2

a+ b



=3

4.

Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Nhận xét Lời giải 1 của bài toán trước và lời giải của bài toán này đều sử dụng đến đẳng thức.

Có thể nói đó là những lời giải rất hay, nhưng nghĩ ra quả thật chả phải dễ dàng gì Việc pháthiện ra những đẳng thức để tách và ghép có nhiều ý nghĩa trong chứng minh bất đẳng thức Mờicác bạn cùng làm một số bài toán sau để rèn luyện thêm kỹ thuật này

Bài toán 1 Cho a, b, c là các số thực có tổng bằng 3 Chứng minh

14a2+ b2+ c2+ 1

2− ca4b2+ 4c2+ a2+ c

2− ab4c2+ 4a2+ b2≥ 0

15

Chương 2 Tuyển tập các bài toán 2.2 Lời giải

3 Chứng minh với mọi a, b, c dương

Chứng minh hoàn tất tại đây Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Nhận xét Nếu đặtb= x,c= y,a= z, ta được xyz = 1 và bất đẳng thức trên trở thành

Đây là một kết quả có nhiều ứng dụng trong giải toán

4 Nếu a, b, c là các số thực dương và k =ab+bc+caa2+b2+c2thì

(ab + bc + ca)2 + 1 ≤2(a

2+ b2+ c2)2

(ab + bc + ca)2+2(a

2+ b2+ c2)ab+ bc + ca .

Thực hiện biến đổi và rút gọn, ta thấy nó tương đương với

abc(a + b + c) ≤ a2b2+ b2c2+ c2a2,

là một kết quả cơ bản và quen thuộc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Lời giải 2 Chú ý ta có đẳng thức sau

∑b2+ bc + c1 2=(a

2+ b2+ c2)2+ (a2+ b2+ c2)(ab + bc + ca) + (ab + bc + ca)2

(a2+ ab + b2)(b2+ bc + c2)(c2+ ca + a2) .

Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

(a2+ b2+ c2)2+ (a2+ b2+ c2)(ab + bc + ca) + (ab + bc + ca)2

(a2+ ab + b2)(b2+ bc + c2)(c2+ ca + a2)

≤2(a

2+ b2+ c2)2+ 2(a2+ b2+ c2)(ab + bc + ca) + 2(ab + bc + ca)2

(a2+ b2+ c2+ ab + bc + ca)(ab + bc + ca)2 ,hay là

Chương 2 Tuyển tập các bài toán 2.2 Lời giải

Lời giải Ta có các phân tích sau đây

∑ab(a − b)4+ 3∑a2b2(a − b)2− 3A ≥ A ∏(a

2+ ab + b2)(ab2+ bc2+ ca2)(a2b+ b2c+ c2a)− 3A,

∑ab(a − b)4+ 6abc∑a(a − b)(a − c) ≥ A

2

(ab2+ bc2+ ca2)(a2b+ b2c+ c2a),trong đó A = (a − b)2(b − c)2(c − a)2 Lẽ hiển nhiên, ta có 6abc ∑ a(a − b)(a − c) ≥ 0 Vậy ta

chỉ cần chứng minh

ab(a − b)4+ bc(b − c)4+ ca(c − a)4≥ A

2

(ab2+ bc2+ ca2)(a2b+ b2c+ c2a).18

2.2 Lời giải Chương 2 Tuyển tập các bài toán

Với chú ý ở hai bất đẳng thức ∑ a2b2(a−b)2≥ A và a3b3+b3c3+c3a3≤ (ab2+bc2+ca2)(a2b+

b2c+ c2a), bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho ta

Nhận xét Có thể thấy kết quả này mạnh hơn kết quả sau (với cùng điều kiện)

Có hai trường hợp xảy ra

(i) a2+ b2+ c2≥ 2(ab + bc + ca) Ta biến đổi bất đẳng thức như sau

19