Phép quay quanh (n 2) phẳng và bài tập

8 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC .... Phép biến hìnhkhông chỉ cung cấp thêm một công cụ mới để giải bài toán mà nó còn tập cho học sinh làm q

Trong quá trình thực hiện khoá luận, em đã nhận được nhiều sự giúp đỡ quý báu và bổ ích từ các thầy cô và bạn bè Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tâm giảng dạy, truyền thụ kiến thức và kinh nghiệm quý báu để em hoàn thành tốt khoá

học Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc của mình tới thầy Bùi Văn

Bình, thầy đã trực tiếp hướng dẫn, nhiệt tình giúp đỡ và chỉ bảo em trong suốt

quá trình thực hiện khoá luận

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Hình học – khoa Toán, thư viện nhà trường, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện, động viên, giúp

đỡ để em hoàn thành khoá luận này

Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Vân Anh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan khoá luận “Phép quay quanh (n-2)-phẳng và bài tập” là

kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của thầy Bùi Văn Bình

Tôi xin khẳng định kết quả nghiên cứu trong khoá luận này không trùng với kết quả của bất cứ tác giả nào khác Nếu sai xót tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Vân Anh

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU 1

B NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VỀ PHÉP BIẾN HÌNH 3

1 Định nghĩa 3

2.Tích của hai phép biến hình 3

3 Phép biến hình aphin 4

4 Phép biến hình đẳng cự 4

CHƯƠNG 2: PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM 6

2.1 Góc định hướng 6

2.2 Phép quay quanh một điểm 8

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC 9

3.1 Bài toán tính các đại lượng hình học 9

3.2 Bài toán quỹ tích 11

3.3 Bài toán cực trị 13

3.4 Bài toán dựng hình 14

CHƯƠNG 4: PHÉP QUAY QUANH TRỤC TRONG KHÔNG GIAN 26

4.1 Định hướng trong không gian 26

4.2 Phép quay quanh trục trong không gian 27

4.4 Định lý 29

CHƯƠNG 5: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY QUANH TRỤC 30

TRONG GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC 30

5.1 Bài tập xác định phép quay 30

5.2 Bài toán chứng minh tính chất hình học 43

5.3 Phép quay trong E3 với bài toán cực trị 52

KẾT LUẬN Error! Bookmark not defined TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là một môn học khó trong chương trình toán phổ thông bởi ngoài tính chặt chẽ, lôgic, nó còn đòi hỏi tính trừu tượng hóa cao Đặc biệt, phép biến hình là một phần kiến thức tương đối khó đối với học sinh Phép biến hìnhkhông chỉ cung cấp thêm một công cụ mới để giải bài toán mà nó còn tập cho học sinh làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới Dựa vào một bài toán hình học cụ thể nào đó với phép biến hình chúng ta có khả năng sáng tạo ra các bài toán mới khác nhau và đây là một việc làm mang lại nhiều hứng thú trong việc nghiên cứu hình học

Phép biến hình trong chương trình phổ thông mới chỉ tập trung trong phẳng mà trong không gian chỉgiới thiệu khái quát định nghĩa các phép dời hình thông qua ví dụ cụ thể mà chưa đi sâu nghiên cứu ứng dụng của nó vào trong giải bài tập Và với sự say mê yêu thích môn toán nên tôi quyết định lựa chọn nghiên cứu về phép biến hình Do khuôn khổ của khóa luận, do thời gian

và năng lực hạn chế nên tôi chỉ đi sâu nghiên cứu về phép quay và bài tập của

nó Đó chính là lý do tôi chọn đề tài “Phép quay quanh n 2-phẳng và bài tập”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về phép quay trong không gian E E2, 3và các bài tập ứng dụng phép quay để giải

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Phép quay trong không gian E E 2, 3

- Phạm vi nghiên cứu: Giải các bài toán hình học sử dụng phép quay

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

-Trình bày cơ sở lí luận của phép quay trong không gian E E2, 3

-Trình bày phép quay trong không gian E E2, 3

-Xây dựng hệ thống bài tập minh họa ứng dụng phép quay trong không gian

2 , 3

E E vào một số lớp bài toán cơ bản

5 Phương pháp nghiên cứu

-Nghiên cứu lý luận, sử dụng các công cụ toán học

-Nghiên cứu tài liệu, sách, giáo trình

B.NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VỀ PHÉP BIẾN HÌNH

1.Định nghĩa

Định nghĩa 1

Giả sử đã cho tập hợp bất kì T khác rỗng Một song ánh f từ T vào

chính nó được gọi là phép biến hình của tập T

Nếu điểmM là ảnh của M qua phép biến hình f thì ta nói phép biến hình f biến điểm M thành M

Định nghĩa 2

Cho f là một phép biến hình và H là một hình nào đó Hình H’làtập hợp các ảnh của các điểm của hình H gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình f

Điểm M được gọi là điểm bất động (điểm kép hay điểm tự ứng) của hình H nếu f M M

Định nghĩa 3

Mỗi phép biến hình f biến điểm M thành điểm M là song ánh nên

tồn tại phép đảo ngược, kí hiệu 1

f , đó cũng là một song ánh và gọi 1

f là phép biến hình nghịch đảo của f

Phép biến hình f của tập T được gọi là phép biến hình đối hợp nếu

2.Tích của hai phép biến hình

Giả sử f và g là hai phép biến hình của tập T đã cho Với mỗi điểm

M, giả sử f M: Mvà g M:  M Phép biến hình biến M thành M được

gọi là tích của hai phép biến hình f và gvà ta kí hiệu tíchcủa hai phép biến

Tính chất 6 Phép biến hình aphin bảo tồn phép cộng véctơ

Tính chất 7 Phép biến hình aphin bảo tồn phép nhân véctơ với số thực

Tính chất 2 Phép đẳng cự bảo tồn độ lớn của góc phẳng

Tính chất 3 Phép đẳng cự biến đường trònthành đường tròn và trong không gian E3biến mặt cầu thành mặt cầu

4.3 Điều kiện xác định phép đẳng cự

a) Trong E2, phép đẳng cự được xác định bởi hai tam giác bằng nhau

b) Trong E3, phép đẳng cự được xác định bởi hai tứ diện bằng nhau

Phân loại

Phép đẳng cự được gọi là phép dời hình nếu nó là phép aphin loại 1 Ngược lại, ta gọi phép đẳng cự là phép phản chiếu

CHƯƠNG 2: PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM 2.1 Góc định hướng

2.1.1 Định nghĩa

Trong mặt phẳng, cho điểm O thì xung quanh Ocó hai chiều quay, nếu

ta chọn một chiều làm chiều dương và chiều còn lại làm chiều âm, thì ta nói rằng ta đã định hướng được mặt phẳng

Thông thường, ta chọn chiều quay xung quanh O ngược chiều kim đồng hồ làm chiều dương, chiều ngược lại làm chiều âm

2.1.2.Góc định hướng giữa hai tia

Trong mặt phẳng  P đã được định hướng, ta gọi góc định hướng giữa hai tia có tia đầu là tia Ox và tia cuối là Oy, kí hiệu Ox Oy, , là góc thu được khi quay Ox xung quanh O đến trùng với vị trí của tia Oy

Quy ước: Số đo của góc định hướng đó là dương hay âm tùy theo cạnh đầu

quay xung quanh điểm O để nó trùng lên cạnh cuối theo chiều dương hay âm của mặt phẳng

Ví dụ : Nếu Ox Oy,  45o thì Oy Ox,   45o

Nhận xét

- Góc định hướng giữa hai tia Oxvà Oykhông xác định duy nhất

- Chọn m gọi là giá trị đầu củaOx Oy,  đó là giá trị thu được khi quay Ox

theo góc hình học bé nhất tới trùng Oy thì tập hợp tất cả các giá trị

Ox Oy,  m k2 k 

Hệ thức Chales

Trong mặt phẳng đã được định hướng cho ba tia Ox Oy Oz, , Khi đó ta

cóOx Oy,   Oy Oz,   Ox Oz, 

2.1.3 Góc định hướng giữa hai đường thẳng

Trong mặt phẳng  P đã được định hướng, góc định hướng giữa hai đường thẳng a và bcắt nhau tại Otrong đó a là đường thẳng đầu, b là đường thẳng cuối, kí hiệu  a b, là góc thu được khi quay a xung quanh O tới trùng b

Nếu a b, trùng nhau thì a b, kk 

Quy ước: Giá trị của góc định hướng  a b, là âm hay dương tùy theo chiều quay của đường thẳng a theo chiều âm hay dương của mặt phẳng

Nhận xét

- Khi a b, cắt nhau thì giá trị định hướng a b, không duy nhất

- Ta gọi m gọi là giá trị đầu đó là giá trị của góc định hướng thu được khi quay a theo góc hình học bé nhất đến trùng bthì tập hợp giá trị của các góc định hướng  a b, là  a b,  m kk 

Hệ thức Chales

Trong mặt phẳng đã được định hướng, cho các đường thẳnga b c, , Khi

đó ta có     a b,  b c,  a c,

2.1.4 Góc định hướng giữa hai véctơ

Trong mặt phẳng  P định đã được hướng, cho hai véctơ a và b Từ một điểm Onếu vẽ hai véctơ OAa,OBbthì góc định hướng giữa hai véctơ

a và b , kí hiệu  a b, là góc giữa hai véctơ a và b

Quy ước: Số đo của góc định hướng đó là dương hay âm tùy theo véctơ đầu

quay xung quanh điểm O để nó trùng lên véctơ cuối theo chiều dương hay âm của mặt phẳng

Ví dụ : Nếu  a b,  45o thì  b a,   45o

Nhận xét:

- Nếu a 0 hoặc b 0 thì góc định hướng  a b, là tuỳ ý

- Chọn m gọi là giá trị đầu của  a b, đó là giá trị thu được khi quay a theo góc hình học bé nhất tới trùng b thì tập hợp tất cả các giá trị

M  MA MB, m mk2  là đường tròn đi qua hai điểm A B,

2.2 Phép quay quanh một điểm

Tính chất 2 Phép quay Q O , là phép đối hợp khi và chỉ khi k.180o

Tính chất 3 Tập các điểm bất động của phép quay Q O , 

C E

M

B

Hình 1

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM

TRONG GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC 3.1 Bài toán tính các đại lượng hình học

Trong hình học ta thường gặp các bài toán tính các đại lượng như : độ dài, số đo góc,…Để giải bài toán này ta phải thiết lập mối quan hệ giữa những cái đã biết và cái cần tìm, sau đó tính các đại lượng theo yêu cầu bài toán

3.1.1.Giải bài toán tính các đại lượng hình học

Dùng phép biến hình để giải các bài toán tính toán là sử dụng phép biến hình để đưa các yếu tố, các hình ở những vị trí không thuận lợi cho việc tính toán về các vị trí thuận lợi cho việc tính toán (cùng một tam giác, cùng một đường tròn,…) Phép quay là công cụ ưu việt để giải các bài toán tính các đại lượng hình học

Đồng thời tia AEnằm trong BAC

VìACE đều nênACE 60O

ABC

 cân tại A cóBAC 80O

Do đó,BCE 10O

Q P

Vậy MACMAE EAC  10O 60O 70O

Bài 2 Bên trong tam giác nhọn ABC với độ dài các cạnha b c, , Lấy một điểm

O sao cho từ đó nhìn tất cả các cạnh dưới cùng một góc120o Giả sử

Qua E kẻ đường thẳng song song

với QP cắt các cạnh PR và QRtương ứng tại K và L

3.2 Bài toán quỹ tích

Bài toán quỹ tích là bài toán tìm một tập hợp điểm (còn gọi là một hình) có tính chất  cho trước Để khẳng định quỹ tích điểm Mcó tính chất 

là hình H nào đó ta thực hiện các bước sau :

Phần thuận: Chứng minh mỗi điểm có tính chất  đều phải thuộc hình H Phần đảo: Chứng minh mỗi điểm thuộc hình H đều có tính chất 

3.2.1.Giải bài toán tìm quỹ tích

Giả sử f là một phép biến hình '

:

- Nếu quỹ tích điểm M là hìnhH thì quỹ tích điểmM là f H 

- Nếu quỹ tích điểm '

M là hình H thì quỹ tích điểmMlà 1 

f H

Để giải bài toán quỹ tích, thông thường ta phải chứng minh cả phần thuận và phần đảo Nhưng giải bài toán bằng cách sử dụng phép biến hình nói chung, phép quay nói riêng, nhờ vào tính chất 1-1 mà cả phần thuận và phần đảo được giải quyết cùng lúc Đây là ưu điểm lớn của việc sử dụng phép biến hình vào giải bài toán quỹ tích

M'

B

M A

Hình 3

P

M

B A

O I

Bài 2 Cho hai điểm cố định trên đường tròn O R, và M là điểm di động trên

AB Trên tia AMlấy điểm I sao cho AI BM

A' M'

M B

C

Hình 5

Từ PB PA,   MB MA,   suy ra tâm quay Pthuộc AB, hơn nữa do

PAPBnên Plà điểm chính giữa của cung AB (Hình 4)

Vì Mlà điểm di động trên ABvà I Q P M nên quỹ tích củađiểm I là cung tròn Q P AB  A B  A A , tâm O Q P O

3.3 Bài toán cực trị

Bài toán cực trị là bài toán liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đại lượng nào đó

3.3.1 Giải bài toán cực trị

Giải bài toán cực trị bằng phép biến hình ta thường chuyển đại lượng cần xác định về đại lượng đã biết nhờ phép biến hình rồi thực hiện yêu cầu bài toán Với việc sử dụng phép quay ta thường đưa bài toán về bài toán tính toán trước rồi giải bài toán cực trị

3.3.2 Bài tập

Bài toán Cho tam giác ABCcó BCa,ACb,C    120O Tìm điểm M

trong mặt phẳng sao cho MA MB MC  nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó

Dễ thấy trong tam giác A BC có CBa, CA b, BCA  60O

Theo định lí hàm số cosin, ta có 2 2 2  

2 60o

Mặt khác, độ dài đường gấp khúc BMM A  ngắn nhất khi Mvà Mnằm trên BA Điều đó chứng tỏ CMA CAA  60O Điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ACA

Vậy điểm Mcần tìm là giao của đường thẳng BA và đường tròn ngoại

tiếp tam giác ACA Giá trị nhỏ nhất của tổng MA MB MC  là

Lời giải của bài toán dựng hình gồm các bước sau:

Bước 1(phân tích): Giả sử đã có hình cần dựng, từ đó thiết lập mối liên hệ giữa yếu tố phải tìm và yếu tố đã cho để đưa ra cách dựng

Bước 2(cách dựng): Chỉ ra hữu hạn có thứ tự các phép dựng cơ bản và bài toán dựng hình cơ bản cần phải thực hiện để có hình cần dựng

Bước 3(chứng minh): Là việc chỉ ra hình cần dựng ở bước hai đã thoả mãn yêu cầu bài toán

Bước 4(biện luận): Kết luận số nghiệm của bài toán

3.4.1.Giải bài toán dựng hình

Khi giải bài toán“ Dựng hình H có tính chất ”, nếu ta tìm được một phép biến hình f của mặt phẳng biến hình H thành hình H’ sao cho:

{

f thì hình H dựng được

B C

A

Q



) sao cho DB (Hình 6)

Theo tính chất của phép quay có góc bằng

Do điểm A lấy tùy ý trên 1 nên ta có vô số nghiệm hình

Bài 2 Cho điểm O và hai đường thẳng song song d d,  Dựng đường tròn tâm

O cắt d và dlần lượt ở P Q P Q, ,   , sao cho PQP Q  a, alà đoạn thẳng đã cho

Giải

1 Phân tích

Giả sử đã dựng được đường tròn  O cắt d và dlần lượt tại những cặp

điểm P Q, và P Q  , sao cho PQP Q  a

Vì d//d nên tứ giác PQQ P  là hình thang cân

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của PP và QQ ;

Từ đó suy ra K là trung điểm của đoạn IJ ; M N, nằm trên đường

thẳng đi qua K, song song với d và 1

a

MK NK  MN  ; P P,  lần lượt là giao điểm của d và d với đường thẳng vuông góc với OM tại M

Như vậy ta dựng được đường tròn tâm O đi qua P

2 Cách dựng

- Dựng đường thẳng đi qua O và vuông góc với d d,  lần lượt tại các điểm I J,

- Dựng K là trung điểm của đoạn IJ

- Dựng đường thẳng d1 đi qua K và song song với d

- Dựng trên d1 hai điểm M N, sao cho

3.5 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh có dạng A  B, trong đó:

A là giải thiết bao gồm các yếu tố đã biết (điểm, đường thẳng, đường tròn…); những quan hệ đã biết (liên thuộc, song song, vuông góc,…); những yếu tố về lượng (độ dài, góc,…)

B là kết luận cần được khẳng định là đúng

“” là những suy luận hợp lôgic dựa trên giả thiết có mặt trong A, các định

lí, các định nghĩa,… để khẳng định B đúng

3.5.1 Giải bài toán chứng minh

Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm hay đường đã cho trong giả thiết A với các điểm hay đường trong kết luận B thông qua một phép biến hình nào đó thì nhờ những tính chất được bảo toàn qua phép biến hình đó ta

có thể nhận được kết quả về: Tính đồng quy, tính thẳng hàng; Các quan hệ song song, vuông góc, liên thuộc; Các đoạn thẳng bằng nhau hay các góc bằng nhau…giúp suy ra điều phải chứng minh.Phép quay là một công cụ ưu việt trong việc sử dụng để đưa các kết quả trên

3.5.2.Bài tập

Bài 1 Cho hình vuông ABCDnội tiếp trong một hình bình hành MNPQ với

AMN, BNP, CPQ, DQM GọiM là chân đường vuông góc hạ từ M

xuốngAD, N là chân đường vuông góc hạ từ N xuốngAB, P là chân đường vuông góc hạ từP xuốngBC, Q là chân đường vuông góc hạ từ Qxuống CD

Chứng minh rằng tứ giácM N P Q    là hình vuông

Chứng minh

Gọi O là tâm của hình bình hành MNPQ.Khi đó, O cũng là tâm của hình vuôngABCD (Hình 8)

xuống AE cắt ABlần lƣợt tại Kvà H Chứng minh rằng Klà trung điểm đoạn

Klà trung điểm của H B 

VậyKlà trung điểm của HB (theo tính chất phép quay) (đpcm)

Sáng tạo bài toán

Ví dụ 1 Giả sử cho trước điểm A trong mặt phẳng, B C, là hai điểm tuỳ ý

Q được thực hiện như trên ta sẽ xây dựng được nhiều bài toán :

Bài 1 Cho ba điểmC A B, , thẳng hàng theo thứ tự đó Về cùng một phía của đường thẳng CB dựng các tam giác đều ABC1 và ACB1 Gọi E F, lần lượt là trung điểm của BB CC1, 1 Chứng minh rằng tam giác AEFlà tam giác đều

B C

Vậy tam giác AEFlà tam giác đều (đpcm)

Cách chứng minh và kết quả tương tự cho bài toán sau :

Bài 2: Cho tam giác ABC Trên các cạnh AB AC, và về phía ngoài tam giác ta dựng các tam giác đều ABC1 và ACB1 Gọi E F, lần lượt là trung điểm của

BB CC Chứng minh rằng tam giác AEFlà tam giác đều

Bài 3: Cho tam giác ABC Dựng ra ngoài tam giác ABCcác tam giác đều

Từ (3) và (4) suy ra AA1 đi qua I

Vậy các đoạn thẳng AA BB CC1, 1, 1bằng nhau và đồng quy ở I

Nếu I ở trong tam giác ABC

C 1

B 1

A G

Từ sự phân tích bài toán trên ta xây dựng các bài toán sau:

Bài 1 Cho tam giác ABC Trên các cạnh AB AC, và về phía ngoài tam giác dựng các tam giác đều ABC1 và ACB1 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC1,

M là trung điểm cạnh BC Chứng minh rằng GMB1 vuông và MB1MG 3

Bài 2 Cho tứ giác lồiABCD Trên các cạnh tứ giác và về phía ngoài ta dựng

các tam giác đềuABC1, BCD1, CDA1, DAB1 Chứng minh rằng đoạn thẳng nối trọng tâm hai tam giác không kề nhau vuông góc với đoạn thẳng nối hai đỉnh của tam giác của hai tam giác còn lại nằm ngoài tứ giác và tỉ số độ dài hai đoạn thẳng đó bằng 3

Gọi G G1, 3 lần lƣợt là trọng tâm của ABC1, CDA1

Gọi M là trung điểm của BD (Hình 13)

Theo kết quả của ví dụ 3 ta có

CHƯƠNG 4: PHÉP QUAY QUANH TRỤC TRONG KHÔNG GIAN 4.1 Định hướng trong không gian

4.1.1 Định hướng không gian theo một trục

Trong không gian cho đường trục  đã được định hướng

Đặt một vặn nút chai nằm dọc trên trục  có mũi chỉ theo hướng dương của trục  Nếu chiều quay nào thoả mãn khi quay vặn nút chai theo chiều quay đó mà mũi của vặn nút chai tiến theo chiều dương của  thì chiều đó được chọn là chiều dương của không gian, chiều còn lại là chiều âm

Không gian khi đó có một chiều âm, một chiều dương theo trục , nó được gọi là không gian định hướng theo trục 

  là diện đầu,   là diện cuối, kí hiệu   , 

là gócnhị diện thu được khi quay diện đầu  

quanh trục a tới trùng với diện  

4.1.3 Góc tam diện định hướng

Định nghĩa (góc tam diện)

Góc tam diện là một tập hợp sắp thứ tự gồm ba góc phẳng có định hướng xOy,yOz,zOx cùng chung đỉnh O, sắp xếp trong không gian sao cho cạnh cuối của mỗi góc là cạnh đầu của góc liền sau và cạnh cuối của góc sau cùng trùng với cạnh đầu của góc đầu tiên (Hình 15) Kí hiệu Oxyz

M' M

Nếu chiều đi X  Y Z theo chiều kim đồng hồ thì góc tam diện Oxyz

được gọi là có hướng dương Trái lại, ta nói góc tam diện có hướng âm

4.2 Phép quay quanh trục trong không gian