Khóa luận tốt nghiệp toán Phép đối xứng qua siêu phẳng và bài tập

Phép đối xứng qua siêu phẳng là phép biến hình đẳng cự.Chứng minh: Gọi M’ = ĐaM ta có: ĐaĐaM = ĐaM’ = M = idM => Đa là phép đối hợp CHƯƠNG II: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG ĐẺ GIẢ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

LỜI CẢM ƠNTrong quá trình thực hiện khoá luận em đã nhận được nhiều sự giúp đỡquý báu và bổ ích từ các thầy cô và bạn bè Em xin chân thảnh cảm ơn các thầy

cô trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tâm giảng dạy,truyền thụ kiến thức và kinh nghiệm quý báu để em hoàn thành tốt khoá học

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc của mình tới thầy Bùi Văn Bình,

thầy đã trực tiếp hướng dẫn, nhiệt tình giúp đỡ và chỉ bảo em trong suốt quátrình thực hiện khoá luận

Em xin chân thảnh cảm ơn các thầy cô trong tổ Hình học - khoa Toán, thưviện nhà trường, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện, động viên, giúp đỡ để

em hoàn thành khoá luận này

Xuân Hòa, ngày 16 tháng 5 năm 2014 Sinh viên

Phạm Thùy Lỉnh

LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan khoá luận “Phép đối xứng qua siêu phẳng và bài tập” là kết

quả nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của thầy Bùi Văn Bình.

Tôi xin khẳng định kết quả nghiên cứu trong khoá luận này không trùng với kết quả của bất cứ tác giả nào khác Nếu sai xót tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Xuân Hòa, ngày 16 tháng 5 năm 2014 Sinh viên

Phạm Thùy Lỉnh

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1

1.Lý do chọn đề tài 1

2.Mục đích nghiên cứu 1

3.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 1

4.Nhiệm vụ nghiên cứu 1

5.Phương pháp nghiên cứu 2

6.Cấu trúc khóa luận 2

PHẦN II: NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1 Các khái niệm về phép biến hình 3

1.1 Đinh nghĩa phép biến hình 3

1.2 Ví dụ 3

LỜI CẢM ƠN

2 Phép biến hình đẳng cự 4

2.1 Định nghĩa 4 2.2 Tính chất 4

2.3 Định lý 4

3 Phép đối xứng qua siêu phẳng: 5

3.1 Đinh nghĩa 5

3.2 Tính chất 5

CHƯƠNG II: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG QƯA_SIÊU PHẲNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7

1 Giải bài toán chứng minh 7

1.1 Bài toán chứng minh 7

1.2 Sử dụng phép đối xứng ừong bài toán chứng minh 7

1.3 Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép đối xứng 7

1.4 Một số ví dụ 7

2 Giải bài toán tính toán 20

2.1 Bài toán tính toán 20

2.2 Sử dụng phép đối xứng trong bài toán tính toán 20

2.3 Một số ví dụ 22

3 Giải bài toán dựng hình 26

3.1 Bài toán dựng hình 26

3.2 Sử dụng phép đối xứng ừong bài toán dụng hình 27

3.3 Khai thác bài toán dựng hình nhờ phép đối xứng 27

3.4 Một số ví dụ 28

4 Giải bài toán quỹ tích 36 4.1 Bài toán quỹ tích 36

LỜI CAM ĐOAN

4.2 Sử dụng phép đối xứng để giải bài toán quỹ tích 37

4.3 Sáng tạo bài toán quỹ tích nhờ phép đối xứng 37

4.4 Một số ví dụ 37

CHƯƠNG III: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG 42

PHẦN III: KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

Để giúp học sinh thấy được ứng dụng của phép biến hình vào giải các lớpbài toán: Bài toán chứng minh, Bài toán tính toán, Bài toán dựng hình, Bìatoán quỹ tích và để cho học sinh có thêm hứng thú học tập và sáng tỏ thêmphần nào đó về phép biến hình nên tôi đã chọn đề tài Đối xứng qua siêu

phẳng và bài tập”

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu sâu hơn về phép biến hình, đặc biệt là phép đối xứng qua siêu phẳng

- Làm rõ tính ưu việt của phép đối xứng trong giải toán hình học

3 Đối tượng, phạm vỉ nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Phép đối xứng qua siêu phẳng

- Phạm vi nghiên cứu: Giải các bài toán hình học không gian bằng phép đối xứng

4 Nhiệm vụ nghiền cứu

- Trình bày cơ sở lí thuyết về phép đối xứng

- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về phép đối xứng ừong không

gian

- Đề xuất các phương pháp vận dụng phép đối xứng để giải quyết một

số bài toán hình học

- Xây dựng hệ thống bài tập và ví dụ minh họa

5 Phương pháp nghiền cứu

- Nghiên cứu sử dụng các lí luận, các công cụ Toán học

- Nghiên cứu sách tham khảo, các tài liệu liên quan

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 3 phàn:

Phàn I: Mở đầu:

Phần II: Nội dung:

- Chương 1: Kiến thức chuẩn bị:

- Chương 2: Sử dụng phép đối xứng qua siêu phẳng để giải quyết các bài toán hình học

- Chương 3: Ví dụ minh họa:

Phần III: Kết luận:

PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Các khái niệm về phép biến hình

1.1 Định nghĩa phép biến hình

Mỗi song ánh f: En -^En được gọi là phép biến hình của không gian E n

Như vậy, cho một phép biến hình f:En—»En là cho một quy tắc đểvới bất kì điểm MeEn, ta tìm được một điểm M = f(M) hoàn toàn xác địnhthỏa mãn 2 điều kiện sau đây:

- Nếu M, N là 2 điểm phân biệt của En thì f(M), f(N) là 2 điểm phân biệt của EJ J

- Với mỗi điểm M" eEn bao giờ cũng có một điểm MeEn sao cho f(M) =M'

Điểm f(M) được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f.Ngược lại, điểm M được gọi là tạo ảnh của điểm f(M) qua phép biến hình fnói trên Người ta nói, phép biến hình f biến điểm M thành điểm f(M) và ta

Phép đối xứng trục: Cho đường thẳng A e En Phép biến hình biếnmỗi điểm M không thuộc A thành M’ sao cho A là đường trung trực củađoạn MM’ được gọi là phép đối xứng trục, kí hiệu là ĐA Các điểm thuộc Ađều là điểm bất động cảu phép ĐA

2 Phép biến hình đẳng cự

Phép biến hình f: En —»En được gọi là phép biến hình đẳng cự của

E n nếu nó bảo toàn khoảng cách của 2 điểm bất kì, tức là:

f là phép biến hình đẳng cự nếu d(M,N) = d (f(M),f(N)) VM,N eEnừong đó d(M,N) là khoảng cách của 2 điểm M,N

2.2 Tính chất

a Phép biến hình đẳng cự là phép biến hình afin

b Phép biến hình đẳng cự bảo toàn độ lớn của góc

c Phép biến hình đẳng cự biến 1 siêu cầu của En thành một siêu cầu

a MM’ vuông góc với siêu phang a

b MM’ cắt a tại o là trung điểm của nó

Gọi là phép đối xứng qua siêu phẳng a, phép đối xứng này kí hiệu

là Đa Siêu phẳng a được gọi là siêu phẳng đối xứng của phép đối xứng

3.2.Tính chất

a Phép đổi xứng qua siêu phẳng là 1 phép biến hình đẳng cự nên nó

có đầy đủ tính chất của phép biển hình đẳng cự.

Chứng minh:

Gọi M,N là 2 điểm bất kì trong En Xét phép đối xứng qua siêu phẳng

a

Đa : M -► M’

Phép đối xứng qua siêu phẳng là phép biến hình đẳng cự.

Chứng minh:

Gọi M’ = Đa(M) ta có: Đa(Đa(M)) = Đa(M’) = M = id(M) => Đa là phép

đối hợp

CHƯƠNG II: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG ĐẺ

GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC.

1 Giải bài toán chứng minh

1.1.Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh chứa đựng trong tất cả các lạo bài toán hình họckhác: các bài toán tính toán, bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích

Đó là bài toán cần chứng minh mệnh đề A=> B với A là giả thiết,

B là kết luận Ta đi từ giả thiết A đến kết luận B bằng những suy luận toánhọc hợp logic ừên cơ sở các định lí, định nghĩa, tính chất

1.2.Sử dụng phép đổi xứng trong bài toán chứng minh

Nếu ta thiết lập mối quan hệ giữa các điểm hay các đường đã choừong giả thiết A với các điểm hay các đường trong kết luận B thông qua

phép đối xứng thì nhờ tính chất đẳng cự của phép đối xứng, ta nhận đượckết quả về tính đồng quy, thẳng hang, quan hệ song song, quan hệ vuônggóc, các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau, các tam giác, các đườngtròn bằng nhau Từ đó ta sẽ dễ dàng giải quyết được bài toán chứng minh

1.3.Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép đối xứng

Nếu mệnh đề A=> đã được khẳng định nhờ sử dụng phép đối xứngthì ta có thể sử dụng phép đối xứng xét mệnh đề đảo B=^ , xétcác trường hợp đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa của mệnh đề này ta

sẽ được bài toán mới

1.4.Một sổ ví dụ

Ví du 1: Cho hình chóp S.ABC đều Gọi A, B , c làn lượt là trungđiểm các cạnh BC, CA, AB.Chứng minh rằng : Tứ diện S.ABA và

S.BCB bằng nhau

=> Tứ diện S.ABA và S.BCB bằng nhau.

Ví du 2: Chứng minh rằng: Đa giác đều n cạnh có n trục đối xứng

A’

Đ _, : s h

A h

c hA’

> A

>c

■+ a’

Hình 1.3

Giả sử (d) là trục đối xứng của đa giác, ta có,trong phép biến đổi Đ(d) thì đường thẳng bất động duy nhất chính là (d)

*Trường hợp 1: n chẵn (Hình 1.3)

Ta gọi số đỉnh của đa giác điều là 2k ( k G )

Gọi o là tâm đối xứng của đa giác đều

Gọi các đỉnh của đa giác là A0A1 A2k_

• Giả sử, đỉnh Ao là điểm bất động trong Đ(d) Khi đó, (d) chính làđường thẳng AoO

Do o là tâm đối xứng của đa giác đều nên o là trung điểm của các đoạn thẳng nối các đỉnh đối diện nhau, biến đỉnh này thành đỉnh kia Trong Đ(d): A Q I — > = »

Vậy (d) chính là đường thẳng nối 2 đỉnh AiAk

•Xét phép đối xứng trục AiAk, ta có:

Đ(d) • A) 1

Aj I—> A2I—

ỉ-A2k- ^Vậy, A0Ak chính là đường trung trực của đa giác đều n đỉnh ( n chẵn)

Ta đi xét tương tự đối với trường hợp các đỉnh còn lại là điểm bất động

• Giả sử, trong phép biến hình Đ(d) không có đỉnh nào bất động Khi đó, tathấy Đ(d): A0A11—►

Do không có đỉnh nào bất động nên (d) chính là đường trung trực củaA0A1 hay Đ(d): Aq t—>

Do đa giác đều n đỉnh ( n chẵn) có các cạp cạnh đôi diện song song vàbằng nhau nên (d) cũng chính là đường trung trực của cạnh đối diện với A QA P

• Xét phép đối xứng trục là đường trung trực của AQ A ^

Ta đi xét tương tự với các đường trung trực của các đoạn thẳng còn

lại của đa diện dều

•Vậy đa diện đều n đỉnh (n chẵn) có n trục đối xứng, trong đó, có

—trục đôi xứng là đường thăng nôi 2 đỉnh đôi diện nhau và — trục đôi

xứng là đường thẳng trung trực của 2 cạnh đối diện nhau trong đa giác đều

*Trường hợp 2 : n lẻ (Hình 1.2)

Gọi các đỉnh của đa giác đều là AoA2k ( k G )

Gọi o là tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đều, ta thấy Đ(d):0^

• Giả sử, trong phép biến hình Đ(d) có Ao là điểm bất động

Ta có Đ ^ IA QI — >

Vậy (d) chính là đường thẳng A0O

Ta thấy, do đa giác n đỉnh (n lẻ) nên A0O đi qua trung điểm của cạnh đối diện đỉnh Ao

A0O là trục đối xứng của đa giác nên A0O chính là đường trung trực của cạnh đối diện đỉnh A0

A0O đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều

•Xét phép đối xứng trục qua A0O

-• Giả sử, Đ(d) không đi qua điểm bất động nào của đa giác, ta có

Đ(d): AA1 ^

=>(d) đi qua ừung điểm của đoạn A0Ai => (d) chính là đường trung trực của đoạn A0Ai Do đa giác lẻ cạnh nên đường trung trực của AQ AÌ sẽ đi quađỉnh đối diện của cạnh A0Ai =>- (d) đi qua đỉnh Ak của đa giác đều =ф Đ(d) điqua đỉnh bất biến (mâu thuẫn với giả sử trên)

•Vậy đa diện n cạnh (n lẻ) có n trục đối xứng là trục đi

tâm đường tròn ngoại tiếp của đa diện

Ví du 3: Cho hình tứ diện đều

ABCD Chứng minh rằng: ABCD có 6

mặt phẳng đối xứng

Lời

giải :

Gọi M là trung điểm của CD.(Hình 1.4)

Gọi (P) là mặt phẳng đối xứng của tá diện đều ABCD Khi đó,

^>Do A, B là điểm bất động mà (P) là mặt phẳng đối xứng của ABCD nên

c, D đối xứng qua phép biến hình Đ(P)

Đp :CH-> Dm

=> (P) đi qua đường thẳng trung trực của đoạn CD

Mà M là trung điểm của CD =>■ AM là đường thẳng trung trực củaCD

Mặt phẳng (P) được xác định bởi 3 điểm A, B, M hay (P) chính là mặt phang trung trực của CD

=^>(ABM) chính là mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều ABCD

Mặt khác, xét mặt phẳng (ABM), ta thấy

® AMB • Al—>■

=>• Phép Đ biến tứ diện đều ABCD thành chính nó.

=Ф(АВМ) là mặt phẳng đối xứng của tứ diện

+ Tương tự xét với trường hợp А, с là điểm bất động và A, D là điểm bấtđộng.ta nhận thấy mặt phẳng đi qua AC và trung điểm cạnh BD và mặt phẳng điqua cạnh AD và trung điểm cạnh BC là mặt phẳng đối xứng của hình tó diệnđều ABCD

=> Điểm A bất động ta có tương ứng 3 mặt phẳng đối xứng

+ Ta đi xét lần lượt khi B, c, D là điểm bất động mỗi trường hợp ta thấy có

Mà A’B’C’D’chmh là tò diện ABCD

Khi đó, điểm A có thể biến thành : AI—»■

Giả sử, Đ(P) biến AI—^ , khi đó,giao tuyến của (P) với (ABC)

chính là đường trung trực của đoạn AB

Do A đều nên đường trung trực của AB là đường thẳng đi qua c và vuônggóc với AB tại trung điểm của nó =>(P) chứa điểm c ( hay c là điểm bất động)

=4>Mâu thuẫn với giả thiết

=> (P) không đi qua đỉnh bất động thì không tồn tại (P) là mặt phẳng đốixứng của tứ diện ABCD

Vậy tứ diện đều ABCD có tất cả 6 mặt phẳng đối xứng mà mỗi mặt chứamột cạnh và đi qua trung điểm của cạnh đối diện, (đpcm)

Ví du 4: Chứng minh rằng: Hình lập phương ABCDA’B’C’B’ có 9 mặtphẳng đối xứng

Giả sử, В là điểm bất động =>- Đ(P) : Bi—^

Khi đó, mặt phẳng (P) được xác định bởi 3 điểm А, в, о không thẳng hàng

Ta đi xét mặt phẳng (ABO) hay chính là mặt phẳng (ABC’D’) đi qua 2cạnh đối diện của hình lập phương

Vậy mặt phẳng đối xứng của hình lập phương là mặt phẳng (ABC’D’) điqua 2 cạnh đối diện của hình lập phương

Vì hình lập phương có 6 cặp cạnh đối diện là (AB,C’D’); (CD, А’В’);(АСД’С5); (BD, B’D’); (A’B,D’C); (AB’, DC’) nên hình lập phương có 6 mặtphẳng đối xứng

Xét mặt phẳng (ABC’D’) có nên ta xét phép đối

Ixứng qua mặt phẳng (ABC’D’) : Đ(ABCE)1) :Ah^

Ta thấy: Đ(ABC,D0: ABCDA'B'C'DW lA'B'C'D'

Vậy khi mặt phẳng đối xứng đi qua điểm bất động thì hình lập phương có

6 mặt phẳng đối xứng là các mặt phẳng đi qua các cặp cạnh đối diện của hìnhlập phương

• Trường hợp 2: (P) không đi qua đỉnh nào của hình lập phương Giả sử (P)cắt cạnh mặt phẳng (ABCD) theo một giao tuyến (d) thì (d) bất động

Vì Oệế nên (P)= xác định

Khi đó, (P) cắt hình lập phương theo một thiết diện là hình bình hành

Vì (d) c 1 nên (ABCD) bất động =>(d) là trục đối xứng của hình vuôngABCD

Gọi (d')= n D' =>(d’) là trục đối xứng của hình

vuông A’B’C’D\

Vậy mặt phẳng đối xứng của hình lập phương đi qua trung điểm của 4cạnh song song thuộc 2 mặt đối diện song song Vì hình lập phương có 3 cặpmặt phẳng đối diện song song nên có 3 mặt phẳng đối xứng thỏa mãn điều kiệntrên

Thử lại

Gọi M, N, p, Q lần lượt là trung điểm A’B’, C’D’, CD, AB

Khi đó, MN, NP, PQ, QM lần lượt là các trục đối xứng của các hình vuôngA’B’C’D\ C’D’DC, ABCD, ABB’A\

Vậy Đ(MNPQ): ABCDA'B'C'D'|—» A'B'C'D'

Khi (P) không đi qua đỉnh bất động nào của hình lập phương thì hình lập phương có 3 mặt phẳng đối xứng

Kết luân

Hình lập phương có 9 mặt phẳng đối xứng ừong đó có 6 mặt phẳng màmỗi mặt đi qua 2 cặp cạnh đối diện song song không cùng nằm trên một mặt

của hình lập phương; 3 mặt mà mỗi mặt đi qua trung điểm của 4 cạnh song songthuộc 2 mặt đối diện song song

Ví du 5: Cho góc tam diện Oxyz Chứng minh rằng: 3 mặt phẳng đối xứngcủa 3 góc phẳng không chứa các góc đó cắt nhau theo một giao tuyến

Lời siải:

• Gọi (P) là mặt phẳng đối xứng của yOz

Vì (P) không chứa mặt phẳng xOy

=> _L

• Trên Oy và Oz lấy 2điểm в và с sao cho OB = ОС

Ta có: Đ p ■ ™ ì—» _L tại trung điểm của ВС (1)

• Trên Ox lấy điểm A sao cho OA = OB

Gọi (Q) là mặt phẳng đối xứng của xOy

Vì (Q) không chứa mặt phẳng yOz => _L

Ta có ĐQ : A—> =>■ _L tại trung điểm của AB (2)

Từ (1) và (2) => (P) và (Q)cắt mặt phẳng theo giao tuyến là các

đường trung trực của các cạnh А

=> Giao tuyến (d) của (P) và (Q) đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của A

và vuông góc (ABC)

Ví du 6: Cho A không vuông, trực tâm H Chứng minh rằng:

a Các điểm đối xứng của H qua các cạnh BC, CA, AB làn

lượt là Hi, H2, H3 nằm trên đường tròn (ABC)

b Các đường tròn (HBC); (HCA); (HAB) đều bằng (ABC) và

tâm của 3 đường tròn này là đỉnh của một tam giác bằng A

Lời eiải:

ĐBC H =

a Ta có ĐA C H =

của ĐB C thì BHC= (3)

Từ (1) ; (2); (3) =^> tứ giác ABHiC nội tiếp

Mà A, B, c <E (ABC) =4> Hi e (ABC)

2 Giải bài toán tính toán

2.1.Bài toán tính toán

Trong hình học ta thường bắt gặp một số bài toán tính toán như : tính

độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc, tỉ số độ dài đoạn thẳng, tính chu vi, diện tíchcảu các hình học Đe giải bài toán tính toán thông thường ta thường sử dụng cácbước sau :

1 Xác định các yếu tố cần tính toán, các yếu tố đã biết

2 Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố cần tính

toán

3 Tiến hành tính toán theo dữ liệu đã được thiết lập

2.2.Sử dụng phép đối xứng trong bài toán tính toán

Ta sử dụng các tính chất của phép đối xứng để tìm ra các góc bằngnhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các tam giác hay đường tròn bằng nhau Từ

đó dựa vào những yếu tố đã biết của bài toán và các kết quả ta vừa tìm đượcnhờ sử dụng tính chất của phép đối xứng để tìm ra đại lượng càn tính toán.+ Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một mặt phẳng :

+

+

+

+ +

Cho mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 và điểm N x0;y0;z0

Khi đó, điểm N’ đối xứng với N qua mặt phẳng (P) có toạ độ được xác định nhưsau :

• Gọi (d) là đường thẳng đi qua N và vuông góc với (P)

Phương trình đường thẳng (d) là: (t là tham số)

• Gọi H là giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) Tọa độ của H

là nghiệm của hệ phương trình :